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燕博园联考2020届高三年级综合能力测试(CAT一)理科(全国卷I)数学试题2020.3(解析版)

燕博园联考2020届高三年级综合能力测试（CAT）（一）

理科数学（全国卷）详解版

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知全集为R，集合

(1),{|20}

A x y x

B x x x

==-=-<

，则()A B=

e（）A．(0,2)B．(1,2]C．[0,1]D．(0,1]

1．答案：D

解析：

(1){|1},{|1}

A x y x x y x x A x x

???

==-===>∴=

????

??R

≤

e，

{|20}{|(2)0}{|02}

B x x x x x x x x

=-<=-<=<<，()(0,1]

A B

∴=

e．

2．复数满足48i

z z

+=+，则复数z在复平面内所对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．答案：B

解析：设i(,)

z a b a b

=+∈R，则22

i48i

z z a b a b

+=+++=+，

226

,68i

a a b

?=-

?++=

∴?∴=-+

，所以复数z在复平面内所对应的点在第二象限．3．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且28

2,10

a a

=-=，则

S=（）

A．45 B．42 C．25 D．36

3．答案：D

解析：1928

9()9()9(210)

222

a a a a

++?-+

====．

4．函数

x x

e e-

的图象大致为（）

4．答案：A

解析：设()

x x

f x

e e-

，则()()

x x

f x f x

e e

-==-

，所以函数()

f x是奇函数，其图象关于原点对

称，排除B，C，且当x→+∞时，()0

x x

f x

e e-

=→

，排除D，选A．

5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t = D ．0.05sin 540000y t =

5．答案：C

解析：由12f T ωπ

，可知若12()f nf n *=∈N ，则必有12()n n ωω*

=∈N ，故选C ． 6．已知,a b r

r 为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（）

A ．充分不必要条件

B ．充分必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

6．答案：B

解析：若22a b b a =r r r r 成立，则22a b b a =r r r r ，则向量a r 与b r

的方向相同，且22a b b a =r r r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ；若a a b b =r r r r ，则向量a r 与b r

的方向相同，且22a b =r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ．

所以“22a b b a =r r r r

”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件．

7．把函数2

()sin f x x =的图象向右平移12

个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]

②()g x 的一个对称轴是12

x π

③()g x 的一个对称中心是1,32π??

???

④()g x 存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．答案：C

解析：2

121cos 21cos 21112()sin ()cos 222262x x f x x g x x π

ππ?

?-- ?

-????==

??????→==--+ ??

?向右平移个单位， cos 2[1,1]6x π?

?-∈- ??

?Q ，()g x ∴的值域为[0,1]，①错误；

当12

x π

=时，206x π

=，所以12

x π

=是函数()g x 的一条对称轴，②正确；

当3

x π

时，26

x ππ

，所以()g x 的一个对称中心是1,32π??

???

，③正确；

()sin 2[1,1]6g x x π?

?'=-∈- ??

?，则121212,,()1,()1,()()1x x g x g x g x g x ''''?∈=-=?=-R ，则()g x 在

1x x =和2x x =处的切线互相垂直，④正确．

8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神

兽人们喜爱．右图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1

取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）

A ．37

B ．

47 C ．57

D ．67

8．答案：D

解析：窗花的面积为2

1241140-?=，其中小正方形的面积为5420?=，所以所求概率140206

1407

P -=

=．

9．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积

为（） A ．

B ．4π

C ．

323

D ．

9．答案：A 解析：AB =

=PB h =，则由2PA PB =2h =，解得1h =，可将

三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R ，则22,1R R ===，所以外接球的体积34433

V R ππ

． 10．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（） A ．17种 B ．27种

C ．37种

D ．47种

10．答案：C

解析：所有可能的情况有3464=种，其中最大值不是4的情况有3

327=种，所以取得小球标号最大值是

4的取法有642737-=种．

11．已知双曲线22

22:1(0)x y M b a a b

-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作

的圆2

()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（） A

． B

．

11．答案：B

解析：b a >Q ，

所以离心率c e a ==>圆222

()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T

所作的圆的两条切线互相垂直，必有TF ，而焦点(,0)F c 到双曲线渐近线

的距离为b

，所以TF b =≥

，即b

≤c e ==，所以双曲线M 的离心

y x

=交于点N ，3OM ON OP +=u u u u r u u u r

u u u r ，

，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数

为（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

12．答案：C

解析：设(,3ln )M t t ，则1,N t t ??

???，所以21,ln 33

3OM ON t OP t t +??==+ ???u u u u r u u u r u u u r ，依题意可得1ln 03t t +=，

设1()ln 3g t t t =+

，则22

1131()33t g t t t t -'=-=，当103t <<时，()0,()g t g t '<单调递减，当1

t >时， ()0,()g t g t '>单调递增，所以min 1()1ln 303g t g ??

==-< ???

，且221120,(1)033e g g e ??=-+>=> ???，

()ln 03g t t t

∴=+

=有两个不同的解，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．抛物线2

4y x =上到其焦点F 距离为5的点有个． 13．答案：2

解析：设符合条件的点00(,)P x y ，则00015,4,4PF x x y =+=∴==±，所以符合条件的点有2个． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2n n S a +=-，则数列{}n a 的通项n a = ．

14．答案：1

12n -??

- ?

解析：当1n =时，1111221S a a a +==-?=-，由2n n S a +=-，可知当2n ≥时，112n n S a --+=-，两式相减，得120n n a a --=，即11(2)2n n a a n -=

≥，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1

的等比数列，

所以1

12n n a -??

=- ?

．

15．对任意正整数n ，函数3

()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为． 15．答案：13,2??-∞-

???，13

- 解析：由(2)1628210f λ=---≥，解得13

λ-

≤．当n 为奇数时，cos 1n π=-，由3

()2710f n n n n λ=+--≥，得2

127n n n

λ+-

≤，而函数2

()27g n n n n

=+-

为单调递增函数，所以min ()(1)8g n g ==，所以8λ≤．当n 为偶数时，cos 1n π=，由32()2710f n n n n λ=---≥，得2

127n n n

λ--≤，

设2

1()27(2)h x x x x x =--≥，则212,()470x h x x x '∴=-+>Q ≥，()h x ∴单调递增，

min 13()(2)2h x h ∴==-．所以132λ-≤，综上可知，若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为13

-．

16．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ?，使得11B F CD ⊥；

②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是12?

???

；

③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为

④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号） 16．答案：①②③④

解析：取CD 中点G ，连接EG ，则1//EG A B ，所以平面1A BE 即为平面1A BGE ，取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得111//,//B M BG B N A E ，从而平面1//B MN 平面1A BGE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ，平面1B MN 即为平面α．

①取F 为MN 中点，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故①正确；

②设正方体的棱长为2，当点F 为MN 中点时，直线1B F 与直线BC

所成角最小，此时12

C F =

，

11111tan 4

C F C B F B C ∠=

，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时111

tan 2C B F ∠=，所以直线1B F 与直线BC

所成角的正切值的取值范围是142???

?，②正确； ③取F 为MN 中点，则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角，

111tan B C B FC C F

∠=

=，所以③正确； ④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，平面ABCD ，平面1111A B C D ，平面11BCC B ，平面11ADD A 与平面α所成的角相等，所以④正确．

D 1

A 1

B 1

C 1

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第

17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，,cos 4

B C π

∠=

．

（1）求cos A 的值；

（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围． 17．解：（1）在ABC △

，cos C =

，所以2sin 3

C ==.…………………………1分所以 cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C π

ππππ?

???

-=-+=- ? ??

???

223236

-=…………………………………………………………5分（2）由（1

）可知cos 06A =<，所以2

A π

>．

因为

sin sin AD DC C DAC =∠，所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DAC

λ===

∠∠．……………………8分因为0DAC BAC <∠∠≤，所以 sin (0,1]DAC ∠∈．…………………………………………11分所以2

,3λ??∈+∞????

．………………………………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

在四棱锥P ABCD -中，1

,//,,2

AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=

△是等边三角形，点M 在棱PC 上，平面PAD ⊥平面ABCD ．

（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；

（2）若AB AD =，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；（3）设直线AM 与平面PBD 相交于点N ，若AN PM AM PC =，求AN

的值．

18．解析：（1）证明：取AD 中点为O ，连接PO ． PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥．因为PAD ABCD ⊥平面平面且相交于AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO DC ⊥．

因为//,AB CD AB PA ⊥，所以CD PA ⊥．因为PO PA P =I 在平面PAD 内，所以CD PAD ⊥平面．所以PCD PAD ⊥平面平面．………… 3分

（2）以O 为原点，过O 作AB 的平行线OF ，分别以OA , OF ，OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．设2AB AD ==，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,4,0)C -

，P ．………… 5分

因为M 在棱PC

上，可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈u u u u r u u u r u u u r

，

所以(1,4))AM t t t =---u u u u r

．

设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r

，因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-u u u r u u u r

，

所以22040x y x y -+=??

?-+=?? 令1x =

，可得1

1x y z ?=?=??

，即n =r ．

设直线AM 与平面PBC 所成角为θ

，所以sin cos ,AM n AM n AM n θ?===

u u u u r r

u u u u r r u u u u r r ．可知当1

t =

时， sin θ

；…………8分

（3）设2,AD DC m ==

，则有(1,,0)P C m -

，得(1,,PC m =-u u u r ．设AN PM

k AM PC

==，

那么,PM k PC AN k AM ==u u u u r u u u r u u u r u u u u r

，所以(,,)PM k mk =-u u u u r

．所以(,))M k mk k --．

因为(1,0,0),(1,))A AM k mk k =---u u u u r

所以．

22,(,(1))AN k AM AN k k mk k ==---u u u r u u u u r u u u r

因为所以

．所以22(1,(1))N k k mk k --+-．

又因为(1,0,0),1,,02m D B ??- ???

，所以22

(2,(1))DN k k mk k =--+-u u u r ．

(1,0,2,,02m PD DB ??=-= ???

u u u r u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r

，

有020

2x m x y ?-=?

?+=?

?x =令

x y m z ?=??=??=??

，即n ??= ? ???r …………10分

因为N 在平面PDB 内，所以DN n ⊥u u u r r ．所以0DN n ?=u u u r r

．

所以2

22)(1)0k k mk k --++-=．即2210k k +-=，所以12k =

或者1k =-（舍），即12

AN AM =………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2

(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．

（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；

（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，则

5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==?=．

19．解（1）14950

50(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-??-=≥，

由于X 满足二项分布，故0.0013500.065EX =?= …………--5分

（2）由题意可知不合格率为

，若不检查，损失的期望为252()2602020505E Y n n =??-=-，若检

查，成本为10n ，由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-，当n 充分大时，2()102005

E Y n n -=-> 所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件． ……………………12分

20．（本小题满分12分）

已知椭圆22

22:1(0)x y M a b a b

+=>>

经过点(0,2)A -，离心率为3．

（1）求椭圆M 的方程；

（2）经过点(0,1)E 且斜率存在的直线l 交椭圆于,Q N 两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接

,AB AN ．求证：存在实数λ，使得AN AB k k λ=成立．

20．解：（1）由题意可知2b =，

c a =

222a c b -=

，得a c == 所以椭圆M 的方程为22

164

x y +=；……………4分

（2）证明：设直线l 的方程为为：1y kx =+，

联立221

4y kx x y =+???+=??，消元可得：22

(23)690k x kx ++-=，设1122(,),(,)Q x y N x y

则有1212

,2323k x x x x k k +=-=-++……………-8分因为1212

22,AQ AN y y k k x x ++=

=，所以2222121212Q 1212

223()92232A AN

y y k x x k x x k k k k k x x x x +++++?=?==+--=-

又因为点B 与点Q 关于原点对称，所以11(,)B x y --，即11

AB y k x -+=

-，则有2111

11224AQ AB

y y y k k x x +-+-?=?=-，由点Q 在椭圆22:1x y C +=上，得2224y x -=，所以2

AQ AB k k ?=-

，所以AN AB k k =

所以存在实数3λ=，使AN k λ=

（2）解法二：证明：设直线l 的方程为为：1y kx =+，

联立22116

4y kx x y =+???+=??，消元可得：22

(23)690k x kx ++-=，设1122(,),(,)Q x y N x y ，则11(,)B x y --，

则有121222

,2323k x x x x k k

+=-

=-++……………8分 121223x x k x x +∴

=，12123()2

x x kx x +=，222AN y k x +=，112AB y k x -=，所以

121

21211211212

2121122122

3()

3(2)(3)393233()(2)(1)32

AN AB

x x x k y x kx x kx x x x x x x k x y x kx kx x x x x x +-++++======+---+-，

所以存在实数3λ=，使AN AB k k λ=成立．………………12分 21．（本小题满分12分）已知2

()(0)kx

f x kx e k -=+>

（1）当1

x >

时，判断函数()f x 的极值点的个数；（2）记2

1()()ln 2g x f x x m x x ??

=+->

???

，若存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，求证：122m x x >． 21．解析：（1）当12x >

时，'()(2)kx f x k x e -=-，(())(2)0kx

f x k ke -''=+>，所以()f x '在1,2??+∞ ???

递增．所以21()(1)02k

f x f k e -??''>=-> ???．所以()f x 在1,2??

+∞ ???

递增，所以函数()f x 没有极值点；

…………………………………4分

（2）2

()()ln (1)ln kx

g x f x x m x k x m x e -=+-=+-+，存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象

交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，即存在121,,2x x ??

∈+∞

???

且12x x <，使12()()g x g x =．……… 6分由12()()g x g x =可得：2

122

2121(ln ln )(1)()()kx kx m x x k x x e e ---=+-+-，12x x <，

由（1）可知21()()f x f x >，可得：2

221()kx kx e e k x x --->--．

所以22

212

1(ln ln )m x x x x

->-，即

22ln x x m x x ->

．……………………8分

下面证明22

21122

2ln x x x x x x ->,只需证明：

21221112ln x x x x x x ??- ???>．令211x s x =>,则证：212ln s s s ->，即1

2ln 0s s s

-->．……………………………………10分设1

()2ln h s s s s

=--，那么22

(1)()0s h s s -'=>．所以()(1)0h s h >=．所以

122

x x >，即122m x x >．………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

已知曲线M 的参数方程为1cos 2

1sin 2

x y αα?

=????=??（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线N 的极坐标方程为2

2sin 2ρθ

-．

（1）写出曲线M 的极坐标方程；

（2）点A 是曲线N 上的一点，试判断点A 与曲线M 的位置关系． 22．解析：（1）曲线M 的极坐标方程是1

ρ=．………………………………………4分（2）当3π4θ=

时，线段OA 取得最小长度为22332sin(2π)4

=-?．…………………………6分

因为曲线M 是以原点为圆心，半径为

12的圆，所以 12

OA >．所以点A 与曲线M 的位置关系是点A 在曲线M 外．………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．

（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．

23．解析：（1）2,1,1,1a b c d ====-．（答案不唯一）………………………………4分

（2）证明：由题意可知，0a ≠．因为a c d ≥≥，所以()()0a c a d --≥．所以2

()0a c d a cd -++≥，即2

()a cd c d a ++≥． (7)

因为0a b >≥，所以cd a c d a ++≥．因为ab cd ≥，所以 cd

b a

≥

．所以cd

a b a c d a

+≥≥．………………10分

2019年全国1卷文科数学

2019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设3i 12i z -=+，则z =（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =e（） A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则（） A ． B ． C ． D ． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512 -（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（） A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm a b c <

5．函数2 sin ()cos x x f x x x += +在[—π，π]的图像大致为（） A ． B ． C ． D ． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（） A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 7．tan255°=（） A ．－2－3 B ．－2+3 C ．2－3 D ．2+3 8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（） A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 9．如图是求1 12122 + +的程序框图，图中空白框中应填入（） A ．1 2A A = + B ．12A A =+ C ．1 12A A = + D ．112A A =+