一次函数与反比例函数综合
有关一次函数和反比例函数综合题
一. 探求同一坐标系下的图象
例1. （2006年韶关市中考题）已知函数m x y =与x
n
y =在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ） A. 0n ,0m >> B. 0n ,0m <> C. 0n ,0m ><
D. 0n ,0m <<
分析：由图知，一次函数m x y =中，y 随x 的增大而增大，所以0m >；反比例函数x
n
y =在第二、四象限，所以0n <。观察各选项知，应选B 。
评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。 例2. （2006年贵港市中考题）在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x
k
y ≠=的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
图2
分析：本题可采用排除法。由选项A 、B 的一次函数图象知，0k >-即0k <，则一次函数k kx y +-=图象与y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A 、B 都不符合要求，故都排除；由
选项D 的一次图象知，0k <-即0k >，则反比例函数)0k (x
k
y ≠=图象应在第一、三象限，而选项D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C 。
评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。 二. 探求函数解析式
例3. （2006年广东省中考题）如图3，直线b x k y 1+=与双曲线x
k y 2
=
只有一个交点A （1，2），且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线与双曲线的解析式。
析解：因为双曲线x
k y 2
=
过点A （1，2）， 所以2k ,1
k 222
==
得双曲线的解析式为x
2y =
。 因为AD 垂直平分OB ，A 点的坐标为（1，2）。所以B 点的坐标为（2，0）。 因为b x k y 1+=过点A （1，2）和B （2，0），
所以???=+=+0b k 22b k 11
解得?
??=-=4b 2k 1
所以直线的解析式为4x 2y +-=
评注：解决本题的关键是确定点B 的坐标，由AD 垂直OB 知，点D 和点A 的横坐标应相同，所以点D 的坐标为（1，0），又AD 平分OB 知，2OD 2OB ==，所以点B 坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。 三. 探求点的坐标
例4. （2006年咸宁市中考题）如图6，直线1x 2
1
y +=分别交x 轴、y 轴于点A ，C ，点P 是直线AC 与双曲线x
k
y =在第一象限内的交点，x PB ⊥轴，垂足为点B ，APB ?的面积为4。
（1）求点P 的坐标；（2）略。
析解：在1x 2
1
y +=
中，令0x =，则1y =；令0y =，则2x -=。 所以点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，1）。 因为点P 的直线1x 2
1
y +=
上， 不妨设点P 的坐标为)1m 2
1,m (+
所以1m 2
1
PB ,2m AB +=
+=。 又因为4PB AB 2
1
S APB =?=? 所以
4)1m 2
1
)(2m (21=++ 整理得012m 4m 2=-+ 即0)6m )(2m (=+- 解得6m ,2m 21-==
因为点P 在第一象限，所以2m =。 故点P 的坐标为（2，2）。
评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。
四、 交点问题
1、 与坐标轴的交点问题：无限趋近于x 、y 轴， 与x 、y 轴无交点。
2、 与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性。
3、 与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。
解决交点问题时，需要注意：
（1）直线与双曲线的交点坐标适合直线解析式，也适合双曲线解析式； （2）通过观察图像可以知道在某一自变量范围内，一次函数值与反比例函数值的大小。 解题方法：
（1）当已知交点求函数解析式时，先将一次函数和反比例函数的解析式设出来，然后把交点坐标代入，求出未知量。
（2）对于一次函数值与反比例函数值大小的比较，我们需要观察两者的图像：当直线在双曲线上方时，即一次函数值大于反比例函数值；当直线在双曲线下方时，即一次函数值小于反比例函数值。
例题：
例1、如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝
m
x
的图象交于A （－2，1），B （1，n ）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
分析：（1）求反比例函数解析式需要先求出m 的值．
把A （－2，1）代入y ＝
m
x 中便可求出m ＝－2． 把B （1，n ）代入y ＝2
x
-中得n ＝－2．由待定系数法不难求出
一次函数解析式．
（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x 的取值范围．
例2、在平面直角坐标系XOY 中，直线y ＝－x 绕点O 顺时针旋转90°得到直线L ，直线L 与反比例函数y ＝
k
x
的图象的一个交点为A （a ，3），试确定反比例函数的解析式． 分析：依题意得，直线L 的解析式为y ＝x ．
因为A （a ，3）在直线y ＝x 上，则a ＝3，即A （3，3），
又因为（3，3）在y ＝
k
x
的图象上，可求得k ＝9， 所以反比例函数的解析式为y ＝
9
x
课上练习：
1．已知正比例函数y ＝k 1x (k 1≠0)与反比例函数y ＝2
k x
(k 2≠0)的图象有一个交点的坐标为(－2，－1)，则它的另一个交点的坐标是( )
A. (2，1)
B. (－2，－1)
C. (－2，1)
D. (2，－1)
2．函数y=
1
x
与函数y=x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个
3．正比例函数与反比例函数图象都经过点(1，4)，在第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方的自变量x 的取值范围是＿＿＿.
4．已知关于x 的一次函数y=kx+1和反比例函数y=6
x
的图象都经过点（2，m ），则一次函数的解析式是________．
5．已知一次函数y=3x+m 与反比例函数y=3
m x
-的图象有两个交点，当m=_____时，有一个交点的纵坐标为6．
6．若正比例函数y ＝mx (m ≠0)和反比例函数y ＝n
x
(n ≠0)的图象都经过点(2，3)，则m ＝______，n ＝_________.
7．一条直线与双曲线x
y 1
=的交点是A （a ，4），B （－1，b ），则这条直线的解析式为（ ）
A ．34-=x y
B ．34
1
+=
x y C ．34+=x y D ．34--=x y 8．如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝x
k
的图象交于M 、N 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围
9． 如图，已知一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B?两点，且与反比例函数y=
m
x
（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，?若OA=OB=OD=1．（1）求点A 、B 、D 的坐标;（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
五、面积问题1、
则：
2、
则：
3、
则：
.
A
轴的垂线
x
做
P
过
,
)0
(
)
,
(（如图所示）
，垂足为
有
上任意一点
是双曲线
设≠
=k
x
k
y
n
m
P
|
|
2
1
|
|
|
|
2
1
2
1
k
n
m
AP
OA
S
OAP
=
?
=
?
?
=
?
).
(|
||
|
|
|如图所示
矩形
k
n
m
AP
OA
S
OAPB
=
?
=
?
=
B.
A
轴y
x
做
P
过
,
)0
(
)
,
(，
轴的垂线，垂足为
分别
有
上任意一点
是双曲线
设≠
=k
x
k
y
n
m
P
.
),
,
(
)
,
(点
轴的垂线交于
作
轴的垂线与过
作
过
关于原点的对称点是
设A
y
P
x
P
n
m
P
n
m
P-
-
'
).
(如图所示
|k|2
|
2n
||
2m
|
2
1
|
P
A
AP
|
2
1
P
S=
?
=
'
?
=
'
A
P
Δ
例题：
例1．如图，过反比例函数x
y 1
=
（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2
（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定
分析：从反比例函数x
k
y =
（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k xy S ==，由此可得S 1＝S 2 ＝2
1
，故选B
例2．如图，P 是反比例函数x
k
y = 图像上的一点，由P 分
别向x 轴、y 轴引垂线，阴影部分面积为3，则这个反比例函数的解析式是 。
分析：由性质(2)可得：
例3 ．如图，A 、B 是函数x
y 1
=
的图像上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）
A.S = 1
B.1 C. S = 2 D.S>2 分析：由上述性质(3)可知, S △ABC = 2|k| = 2 例4．如图:A 、C 是函数 x y 1 = 的图象上任意两点，过A 做x 轴的垂线，垂足为B,过C 做y 轴的垂线，垂足为D.记AOB △Rt 的面积为1S ,OCD △Rt 的面积为2S ,则（ ） A.21S S > B.21S S < C.21S S = D.1S 和2S 的大小关系不能确定. 分析：由上述性质1可知选C 。注意此题不属于性质3的题型，要仔细读题，不能只看图像想当然的去做。理解并熟练掌握运用上述三个性质是解决此类问题的关键。 . 3|||,|=∴=k k S APCO 矩形, ,四象限图像在二又 3 -=∴k . 3 x y -=∴ 解析式为 例5、如图，已知一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x y 8 -=的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-，求： （1）一次函数的解折式； （2）△AOB 的面积． 例6．已知反比例函数x m y 3- =和一次函数1-=kx y 的图象都经过点m P (，)3m - (1)求点P 的坐标和这个一次函数的解析式；⑵ 若点M(a ，1y )和点N (1+a ，2y )都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质，说明1y 大于2y 1、如图，点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作 x 轴的垂线PQ 交双曲线 x y 1 = 于点Q ，连结OQ ，当点P 沿x 轴正半方向运动时，Rt △QOP 面积（ ）． A ．逐渐减小 B ．逐渐增大 C ．保持不变 D ．无法确定 2、反比例函数的图象在第一象限内经过点A ，过点A 分别向x 轴，y 轴引垂线，垂足 分别为P Q ，，已知四边形APOQ 的面积为4，那么这个反比例函数的解析式为（ ） Ａ．4y x = Ｂ．4 x y = Ｃ．4y x = Ｄ．2y x = 3、如图，点P 是反比例函数2 y x =-图象上的一点，PD 垂直于x 轴于点D ，计算POD △的面积的面积。 y x B A O 4、如图，A C ，是函数1 y x = 的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记AOB t R △的面积为1S ，COD t R △的面积为2S ，则（ ） Ａ．12S S > Ｂ．12S S < Ｃ．12S S = Ｄ．1S 和2S 的大小关系不能确定 5、如图所示，正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数x k y 2 =的图象交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为)32,3(。 （1）分别写出这两个函数的表达式。 （2）你能求出点B 的坐标吗？你是怎样求的？ （3）若点C 坐标是（–4，0），请求△BOC 的面积。 （4）试着在坐标轴上找点D,使△AOD ≌△BOC 。