二维离散傅立叶变换
图像的二维离散傅立叶变换
一、实验目的
掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质
二、实验要求
1) 建立输入图像，在64?64的黑色图像矩阵的中心建立16?16的白色矩形图像点阵，
形成图像文件。对输入图像进行二维傅立叶变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上。
2) 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中
心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸（40?40，4?4），再进行变换，将原始图像及变
换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
三、实验仪器设备及软件
HP D538、MATLAB
四、实验原理
设),(y x f 是在空间域上等间隔采样得到的M ×N 的二维离散信号，x 和y 是离散实变量，u 和v 为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为
∑∑-=-=+-=1010)],(2exp[),(1),(M x N y N
yu M xu j y x f MN v u F π,1,0=u …，M-1；y=0，1，…N-1 ∑∑-=-=+=101
0)],(
2e x p [),(),(M x N y N
uy M ux j v u F y x f π ,1,0=x …，M-1；y=0，1，…N-1 在图像处理中，有事为了讨论上的方便，取M=N ，这样二维离散傅里叶变换对就定义为,])(2exp[),(1),(1010∑∑-=-=+-=N x N y N
yu xu j y x f N v u F π 1,0,=v u …，N-1 ,])(2exp[),(1),(1010∑∑-=-=+=N u N v N
vy ux j v u F N y x f π 1,0,=y x ，…，N-1 其中，]/)(2exp[N yv xu j +-π是正变换核，]/)(2exp[N vy ux j +π是反变换核。 将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为),(y x f 的功率谱，记为
),(),(|),(|),(222v u I v u R v u F v u P +==
功率谱反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。
五、实验步骤及程序
（1）实验步骤
1、建立一个64×64的原始图像，在矩阵的中心建立16?16的白色矩形图像点阵，形成图像文件。
2、对输入图像进行二维傅立叶变换
3、进行频谱中心化，得到中心化傅立叶频谱图
4、将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
5、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，输出图像
6、调整输入图像中白色矩形的尺寸（40?40，4?4），再进行变换，输出图像
（2）图像的二维离散傅立叶变换实验流程图
2 3
1 2 3
图1.1图像的二维离散傅立叶变换实验流程图
（3）实验源程序
1、将原始图像及变换图像都显示于屏幕上的程序
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(25:40,25:40)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
建立原始图像
对原始图像进行傅立叶变换 进行中心化 输出实验结果图像
调整输入图像位置 调整输入图像尺寸为（40?40，4?4）
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
2、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的程序
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(47:63,47:63)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
3、整输入图像中白色矩形的尺寸（40?40，4?4），再进行变换的程序
40×40
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
4×4
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
六、实验结果与分析
图1.2将原始图像及变换图像都显示的实验图像
图1.3调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的实验图像
图1.4调整输入图像中白色矩形的尺寸（40?40），再进行变换的实验图像
图1.5整输入图像中白色矩形的尺寸（4?4），再进行变换的实验图像
1、傅里叶频谱的低频主要决定图像的平坦区域中灰度的总体分布，而高频主要决定于图像的边缘和噪声等细节。按照图像空间域和频率域的对应关系，空域中的强相关性，即由于图像中存在大量的平坦区域，使得图像中的相邻或相近像素一般趋向于取相同的灰度值，反映在频率域中，就是图像的能量主要集中于低频部分。因此在三维频谱图中可以清楚地看出原图像的频谱中的较大值集中于四个角的低频部分。原图像的频谱图不能明显地反映图像的完整频谱。经过中心化后可以看出频谱中的较大值集中在中心。可以很好地反映出图像的完整频谱。
2、基于傅里叶变换的周期性及平移特性，图1.2是经过平移后的图像，通过图1.2和图1.3对比可以证明傅里叶变换的周期性及平移特性。
3、通过图1.4和图1.5的对比可以看出图1.4的较大值更加集中。图1.5在最大值旁还有较大值伴随。
七、实验心得
通过本次实验是我对于图像的二维傅里叶变换有了更好地理解，对于傅里叶变换的周期性和平移特性更加直观的学习到了。傅里叶变换后图像的优点和不足也有了深刻地了解，通过图像的中心化可以更好地反映出图像的完整频谱。
二维离散小波分解的C语言实现 论文
高等教育自学考试毕业论文（设计）题目：二维离散小波分解的C语言实现 摘要 小波变换用于图像处理是小波变换应用效果比较突出的领域之一。由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。本文在一维离散Mallat算法的基础上，用C语言实现了二维图像的离散小波变换。这种二维变换是行列可分离的变换方式，即二维分解可以通过行和列依次作一维分解实现。对图像作二维离散小波分解后得到一个低频子带和一系列高频子带，分别反映图像的基本信息和细节信息。用这些子带也可以实现图像的重构。
目录 第一章绪论 (1) 1. 1小波理论与应用技术的发展概况 (1) 1. 2图像技术的发展历程及面临的问题 (2) 1. 3小波的特点及其在图像处理中的应用 (2) 第二章Mallat算法由一维到二维的推广 (4) 2. 1小波级数 (4) 2. 2 Mallat算法 (5) 2. 3二维离散小波变换 (7) 2. 4二维离散小波变换后的系数分布 (8) 第三章二维Mallat算法的C语言实现 (10) 3. 1基本模块 (10) 3．2 单层分解与重构 (10)
3．3金字塔结构的多层分解和重构 (11) 3．4小波系数的数据结构 (14) 3．5 结果与分析 (14) 参考文献 (19) 致谢 (20)
第一章绪论 1. 1小波理论与应用技术的发展概况 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图像可以看作是二维信号)，在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 自1807年法国数学家Fourier从热传导理论提出Fourier分析以后，无论对数学史还是工程科学史的发展都起到了很大的影响和推动作用。Fourier分析的核心是通过Fourier变换引入频率的概念，并发展了频谱分析理论，使许多通过时域分析无法看清的现象在频域中一目了然。但Fourier变换是一种全时域变换，无法提取局部时时间段上的信号特征，为此数学家和工程师们提出了一种加时间窗的短时Fourier变换，最著名的是以Gaussian函数为窗口的Gabor变换，日后被发展为Morlet小波。因此，小波是一类能进行伸缩和平移操作的紧支局部函数，而小波分析就是以小波函数为变换核的一类积分变换的统称，本质上是对Fourier分析的继承与发展.1910年，Harr通过对双极函数进行伸缩操作，构造了一组最早的小波规范止交基:Harr小波基，提出了小波变换的原始思想。1936年Littlewood和Paley对Fourier级数建立了二进频率分量组理论(即L-P理论)，后来的多分辨分析思想来源于此。接着科学家们在奇异积分算子、框架分解、小波级数、正交小波系、Besov空间等方面日益完善了小波理论，但都局限于数学理论研究方面。小波研究与应用的热潮始于20世纪80年代，1983年法国工程师Morlet在分析地震波的局部特性时，为解决Gabor变换在高频条件下不能很好地收集信号能量的问题，引入了小波概念，将Gabor变换中的Gaussian函数进行伸缩和平移，这就是Morlet小波。理论物理学家Grossmann对该小波的分解可行性作了研究，提出了确定函数的伸缩与平移展开理论，为小波分析理论的形成奠定了基础。随后，Meyer证明了一维小波函数的存在性，并构造了具有衰减性的光滑函数--Meyer小波，其二进伸缩和平移构成Q(R)的规范正交基。1987年Mallat将多分辨分析思想引入小波函数构造，完善了正交小波及其正交补一尺度函数理论，并研究了小波变换的离散化形式和滤波器组概念，提出了信号小波分解与重构的Mallat算法。比利时数学家Daubechies证明了紧支集正交小波基的存在性，并构造了Daubechies类正交小波基。近年来，为弥补单小波在解决高频段分辨率差、维护难、自由度不够、高维奇异性、缺乏方向性以及混和光滑函数类逼近等问题上的不足，小波理论在实践需要的推动下快速发展，产生了许多新的研究方向，如小波包(wavelets packet)、区间小波(interval Wavelets)、多小波(multiwavelets)、基于提升型(liftingscheme)的第二代小波以及脊波(ridgelet)、曲线波(curvelet)、双曲波(hyperbolic wavelet)等新兴小波理论受到广泛关注，这些将成为未来小波的主要研究方向。小波理论从诞生的那天起就注定它是一门应用性很强的学科，目前在信号分析、图像压缩机器视觉、模式识别、航空航天、量子力学、目标跟踪、系统辨识、自动控制、函数逼近数值计算甚至金融经济等领域都有小波技术的影子。数字图像的压缩己成为小波的顶级应用。 一言以蔽之，小波以其时频联合局部性和多分辨分析性能等优势正深刻改变着工程技术领域的一些传统研究和分析方法，图像技术等学科同样也深受其影响。
小波变换详解
基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率
的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不
离散傅里叶变换的分析与研究
XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日
离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析
The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis
离散傅立叶变换及谱分析
数字信号处理实验 实验二、离散傅立叶变换及谱分析 学院：信息工程学院 班级：电子101班 姓名：*** 学号：******
一、实验目的 1．掌握离散傅里叶变换的计算机实现方法。 2．检验实序列傅里叶变换的性质。 3．掌握计算序列的循环卷积的方法。 4．学习用DFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT。 二、实验内容 1．实现序列的离散傅里叶变换并对结果进行分析。（自己选择序列，要求包括复序列，实序列，实偶序列，实奇序列，虚奇序列） 本例检验实序列的性质DFT[xec(n)]=Re[X(k)] DFT[xoc(n)]=Im[X(k)] (1)设 x(n)=10*(0.8).^n（0<=n<=10），将x(n)分解为共扼对称及共扼反对称部分 n=0:10; x=10*(0.8).^n; [xec,xoc]=circevod(x); subplot(2,1,1);stem(n,xec); title('Circular -even component') xlabel('n');ylabel('xec(n)');axis([-0.5,10.5,-1,11]) subplot(2,1,2);stem(n,xoc); title('Circular -odd component') xlabel('n');ylabel('xoc(n)');axis([-0.5,10.5,-4,4]) figure(2) X=dft(x,11); Xec=dft(xec,11); Xoc=dft(xoc,11); subplot(2,2,1);stem(n,real(X));axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('Real{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,2);stem(n,imag(X));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('Imag{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,3);stem(n,Xec);axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('DFT[xec(n)]');xlabel('k'); subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xoc));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('DFT[xoc(n)]');xlabel('k'); 实验说明： 复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量，复数序列虚数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的反对称分量，复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分，复序列反对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。
离散小波变换
长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。 1.1 离散小波变换DWT 1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法 先对一维小波变换作一简单介绍。设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ， )2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与 )}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换 DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为： ∑∑+=+=-k k jk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1 其中：∑ =-=-+1 1 2)(p n j n k j k c n h c ，∑=-=-+1 1 2)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jk ψ 来确定，p 为权系数 的长度。}{0 n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。 算法 一维离散小波变换串行算法 输入：c 0 =d 0 (c 00 , c 10 ,…, c N-10 ) h=(h 0, h 1,…, h L-1) g=(g 0, g 1,…, g L-1) 输出：c i j , d i j (i=0, 1,…, N/2j-1 , j ≥0)
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换 在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质 3.1.1 非周期序列傅里叶变换 1．定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为： 正变换： ∑∞ -∞ =ω-ω = =n n j j e n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1) 反变换： ? π π -ωωω-ωπ = =d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2) 记为： )()(ω?→←j F e X n x 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。 [例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得 ωω=--=--== = ω-ω-ωω-ω-ωω-ω -ω-ω-=ω-∞ -∞ =ω ∑∑ 2 1sin 3sin )() (11)()(2 521 212133365 6j j j j j j j j j n j n n j n j e e e e e e e e e e e n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1
离散信号的傅里叶变换(MATLAB实验)
离散信号的变换（MATLAB 实验） 一、实验目的 掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法，掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点，了解快速傅立叶变换。 二、实验内容 1、已经系统函数为 5147.13418.217.098.2250 5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图，判断系统是否稳定； (2)检查系统是否稳定； (3) 如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图'); z=roots(a); magz=abs(z) magz = 0.9000 0.9220 0.9220 0.9900 n=[0:1000]; x=stepseq(0,0,1000); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出'); （1）因为极点都在单位园内，所以系统是稳定的。 （2）因为根的幅值（magz ）都小于1，所以这个系统是稳定的。 （3）稳定时间为570。 2、综合运用上述命令，完成下列任务。 (1) 已知)(n x 是一个6点序列： ???≤≤=其它,050,1)(n n x
计算该序列的离散时间傅立叶变换，并绘出它们的幅度和相位。 要求：离散时间傅立叶变换在[-2π,2π]之间的两个周期内取401个等分频率上进行数值求值。 n=0:5;x=ones(1,6); k=-200:200;w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位'); (2) 已知下列序列： a. ,1000),52.0cos()48.0cos()(≤≤+=n n n n x ππ； b ．)4sin()(πn n x =是一个N ＝32的有限序列； 试绘制)(n x 及它的离散傅立叶变换 )(k X 的图像。 a ． n=[0:1:100];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); subplot(2,1,1);plot(n,x);title('x(n)的图像'); X=dft(x,101); magX=abs(X); subplot(2,1,2);plot(n,magX);title('丨X(k)丨的图像');
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3）
傅里叶变换 讲解最通俗易懂的一片
【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶 变换？来源：胡姬的日志 写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬！！！ 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得 非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.sodocs.net/doc/674392467.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，
离散序列傅里叶变换习题教学教材
1、 2、 11、 试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)x n n δ=- （2）211 ()(1)()(1)22 x n n n n δδδ= +++- （3）3()(),01n x n a u n a =<< （4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 12、 设()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性 质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。 （1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2 ()()g n x n = （7）(), ()2 0, n x n g n n ??=???为偶数为奇数 13、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(),||1n x n a u n a =< （2）2()(),||1n x n a u n a =-> （3）||3, ||()0, n a n M x n n ?≤=? ?为其他 （4）4()(3),||1n x n a u n a =+< （5）50 1 ()()(3)4n m x n n m δ∞ == -∑ （6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ???? =????????
14、 设()x n 是一有限长序列，已知 1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0, n x n n --=?=? ?为其他 它的离散傅里叶变换为()j X e ω 。不具体计算()j X e ω ，试直接确定下列表达式的值。 （1）0 ()j X e （2）()j X e π （3）()j X e d π ωπ ω- ? （4） 2|()|j X e d π ω πω- ? （5）2 ()| |j dX e d d ωπ πωω -? 15、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,||()0, n N x n n ≤?=? ?为其他 （2）21||/,||()0, n N n N x n n -≤?=? ?为其他 （3）3cos(),||()20, n n N x n N n π?≤? =???为其他 6、证明：若()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而 1(), ()0, n n x x n k k ??=???为整数 其他 则1()()j j X e X e ωω =。 7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为 1 ()(2)1j j l X e l e ω ω πδωπ∞ -=-∞ =+--∑ 8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω 表示其
MATLAB的离散傅里叶变换的仿真
应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波 设计目的 要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。 一、设计要求 1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图； 2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明； 3、绘制三种信号的均方根图谱； 4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 二、系统原理 用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。 x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为： N?1?2?kn)(nx j?W W NN e?0?n N X(k)=DFT[x(n)]=,k=0,1,...,N-1N?11?kn?)(WXk N N0?n x(n) =IDFT[X(k)]= 逆变换：,k=0,1,...,N-1 但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFFT对信号进行谱分析。 三、程序设计 fs=input('please input the fs:');%设定采样频率 N=input('please input the N:');%设定数据长度 t=0:0.001:1; f=100;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号 x=sin(2*pi*f*t); figure(1); subplot(211); plot(t,x);%作正弦信号的时域波形 axis([0,0.1,-1,1]); title('正弦信号时域波形'); z=square(50*t); subplot(212) plot(t,z) axis([0,1,-2,2]); title('方波信号时域波形');grid;
理解离散傅立叶变换
理解离散傅立叶变换（一） ------傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.sodocs.net/doc/674392467.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 一、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因怕会被推上断头台而一直在逃避。 直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。 用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真
实验2 离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理：
1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：
小波分析实验：二维离散小波变换(Mallat快速算法)
小波分析实验：实验2二维离散小波变换（Mallat快速算法） 实验目的： 在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。 实验工具： 计算机，matlab6.5
分解算法: 重构算法: “"二工必（刃- 2上*［十三g （刃- 2k ）d ［ * 分解算法写成矩阵的形式！ （lb g 的长度为4） 4[0]如]力⑵ h[3] 0 0 0 ' ［勺【0】? 记" h[0] h[\]h[2]山⑶ … ? ????? ? ? C J = 勺【1] ? ? 申[2] h[3] 0 0 0 -.^[0] ^[1]_ .勺［乃-1】_ >[0] g[l] g ⑵ g[3] 0 ? ? ? e= ? 0 ? g[0] g[l]g ⑵ ? ? g[3] ■ ? ?? ■ 0 ? D J = <[i] ■ ? 目2] ■ g[3] 0 0 …茎0] 畀］ |g[0] g[l] g[2] g[3] 0 0 0 I 0 0 g[0] g[l]g[2] S [3] - 0 ? ????? ? ? ?????■ ? ? g[2] g[3] 0 0 0 ...g[0] g[l]J |_勺4-1[ 叨］ I 二 ?(2?
于是Mallat分解公式为矩阵变换？丄 Cj- = PC^................. ⑶卩 D j = Q D J-L..... .......... ⑷ 重构算法写成矩阵变换：- C J_I =C$ + Dj------------------------------------ (5) 4 M N PPq. 一片『峰值信噪比计算公式：P沁沁逻竺皿E卢H耿V 屈E M ｛皿，00分别表示原始图像和重建图像，且 本实验采取的一些小技乐P (I)分SW法…
离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反
离散系统分析和离散傅里叶变换讲解
第四章 离散系统分析和离散傅里叶变换 4-1概述 在上一章中我们已经介绍了连续时间信号（周期的或非周期的）的傅里叶变换。在第一、二章中介绍了离散信号和离散系统的概念，在这一章中主要讨论离散信号的傅里叶变换。 4-2离散信号的傅里叶变换 时域抽样定理告诉我们，连续时间信号可以由它的样本值恢复出来，即 ]2 ) ([ )()(∑ ∞ -∞ =-Ω= n s nT t Sa nT f t f 当抽样频率s Ω给定时，抽样函数]2 ) ([ nT t Sa s -Ω就确定了，唯一与信号相关的是信号的样本值)(nT f ，换句话说传载)(t f 中信息的是样本值)(nT f 。因此研究连续时间信号)(t f 中的信息，就转 变为研究样本值)(nT f 中的信息。当抽样频率s Ω给定时，T 也就一定了，样本值)(nT f 就可以抽象为序列)(n f ，也就是说离散信号的数学抽象是序列。以后我们就用序列)(n f 表示离散信号（样本值）。 由于序列的变量是整数变量，与连续信号的变量不同，因此对序列的处理方法与连续时间变量的处理方法也必定不同。先来看看序列的傅里叶变换，连续非周期时间信号)(t f 的傅里叶变换为 ? ∞ ∞ -Ω-= =Ωdt e t f t f F t j )(])([)(F ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= Ω=d e F F t f t j -)(21 )]([)(1 π F 假定)(n f 是非周期的，仿照连续时间信号的傅里叶变换形式可以定义序列的傅里叶变换： ∑∞ -∞ =-= n jn j e n f e F ω ω )()( （4-1） ?- = π πωω ωπ d e e F n f jn j )(21 )( （4-2） 式中ω为数字角频率。（4-1）式和（4-2）式构成了序列的傅里叶变换对，前者称为序列的傅里叶正变换，后者称为序列的傅里叶逆变换。注意到序列傅里叶正变换公式是个和式，这是因为序列)(n f 的变量是离散的整数，序列的傅里叶逆变换公式是个积分式，由此也说明序列的傅里叶变换是ω的连续函数，也就是说，离散信号的傅里叶变换是频域中连续的函数。此外因