(完整版)对数函数的图像与性质知识点与习题
对数函数的图像与性质知识点与习题
一、知识回顾：
1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x
与对数函数)1,0(log ≠>=a a x
y a 的图象与性质
2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x
与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其
图象关于直线x y =对称
二、例题与习题
1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __；
2. 已知函数=-=+-=)(,2
1
)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04
1
log
2
12≤-x ，则________∈x
4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a
5.若函数m y x +=+-1
2
的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ）
（A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m
6．函数x x f a )1(2log )(-=是减函数，则实数a 的取值范围是 .
7．若13
2
log >a
，则a 的取值范围是
8.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x
x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g
9．方程lgx -x ＋1＝0的实数解有______个．
10.)2lg(2
x x y +-=的递增区间为___________
，值域为 .
11.求)1,0()
(log ≠>-=a a a a y x
a 的定义域。
12.已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。
13．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(| 1 21|{<<-的值； （3）求)(x f 的反函数)(1 x f -； （4）若3 1 )1(1 =-f ，解关于x 的不等式∈<-m m x f ()(1 R ）. 14.已知函数12)(-=x x f 的反函数为)13(log )(, )(41 +=-x x g x f (1)若 )()(1 x g x f ≤-，求x 的取值范围D 。设)(2 1)()(1 x f x g x H -- =， 当D x ∈时，求函数)(x H 的值域 三、练习题 1．函数y=log (x-1)(3-x)的定义域是 。 2．函数y=log 2 1(x 2-5x+17)的值域为 。 3．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。 4.若02log )1(log 2 <<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ） （A ）)1,0( （B ）)21,0( （C ）)1,2 1( （D ）),1(+∞ 5.若02log 2log <>b a （D ）1>>a b 6.函数)0(1log 2≠-=a ax y 图象的对称轴为2=x ，则a 为 （ ） （A ）21 （B ）2 1 - （C ）2 （D ）2- 7．函数f(x)=x x 10 110+的反函数是 。 8．函数y=log 2 1(x 2-6x+17)的值域是 。 9．函数y=log 2 1(2x 2-3x+1)的递减区间为 。 10．函数y=(2 1)2x +1 +2,(x<0)的反函数为 。 11.已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a 1 +x 是（ ） （A ）在（-∞，0）上的增函数 （B ）在（-∞，0）上的减函数 （C ）在（-∞，-1）上的增函数 （D ）在（-∞，-1）上的减函数 12.已知函数f(x)=x lg ,0 （A ）ab>1 （B ）ab<1 （C ）ab=1 （D ）(a-1)(b-1)>0 13.(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2 ≤-恒成立，则a 的取值范围是 （ ） （A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）(]2,1 （D ）?? ????2,21 14．若函数y=lg[x 2+(k+2)x+ 4 5 ]的定义域为R ，则k 的取值范围是 。 15. 已知函数y ＝log a x ，x ∈[2，4]，a ＞0且a ≠1，又函数最大值比最小值大1，则a 的取值 范围是______。 16.已知函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a x a x x f a 且的值域为R ，则实数a 的取值范围 是 . 17.关于x 的方程a x ＝x a 1log (a ＞0，a ≠1)，以下说法正确的是( ) (A)必有唯一解 (B)仅当0＜a ＜1时有唯一解 (C)无解 (D)仅当a ＞1时有唯一解 18.设)(3 421lg )(R a a x f x x ∈?++=，如果当)1,(-∞∈x 时)(x f 有意义，求a 的取值范围。 12．已知函数)10,1)(lg()(<<>-=b a b a x f x x ， （1）求)(x f 的定义域； （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x 轴？ （3）当a 、b 满足什么条件时)(x f 恰在),1(+∞取正值. 13．求函数)(log )1(log 1 1 log )(222 x p x x x x f -+-+-+=的值域. 14．在函数)1,1(log >>=x a x y a 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m 、2+m 、4+m ，若 △ABC 的面积为S ，求函数)(m f S =的值域. 15.设集合?? ? ???? ???≤+-=03log 14)(log 242 2 1x x x A ，若函数2log log )(a x a a x a x f ?=，其中 1,0≠>a a ，当A x ∈时，其值域为? ?????≤≤-=241 y y B ，求实数a 的值。 例4、若关于x 的方程05 425 1 1 =-?-+-+-m x x 有实根，求m 的取值范围。 变题1：设有两个命题：①关于x 的方程9(4)340x x a ++?+=有解；②函数22()log a a f x x -=是减函数。当①与②至少有一个真命题时，实数a 的取值范围是＿＿ 变题：已知函数 3 ()log 3 a x f x x -=+的定义域为[),αβ，值域为 (]log (1),log (1)a a a a βα--，且函数()f x 为[),αβ上的减函数，求实数a 的取值范围。 函数)2lg()(b x f x -=（b 为常数），若[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则（ ） （A ）1≤b （B ）1 2,log ,2x y x y y x ===这四个函数中，当1021<< 2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +> +恒成立的函数的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【例1】已知1 1log )(--=x mx x f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ，（1）求m 的值；（2） 讨论)(x f 的单调性；（3）求)(x f 的反函数)(1 x f -；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时， )(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值. [解析]（1）011log 11log 11log )()(2 2 2=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a a Θ 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(111222 2 2±=?=-?=--∴m x m x x m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）∴-+=,1 1 log )(x x x f a Θ定义域为),1()1,(+∞--∞Y ， 设1 1 )(-+= x x x g ，任取111221>>-< 1)(1() (21111)()(2112112212<----=-+--+= -∴x x x x x x x x x g x g ， )()(12x g x g <∴，结论同上； （3）111)1(1111log -+=?+=-?-+=?-+=y y y y y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(1 1 )(,0,011 ≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y 且Θ （4）)2,1()(,3,21->∴-< ∴命题等价于1)2(=-a f ，即01413 1 log 2=+-?=--a a a a a ， 解得32+=a . [评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验. 【例2】对于函数)32(log )(2 2 1+-=ax x x f ，解答下述问题： （1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞Y ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. [解答]记2 223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==， （1）R x u ∈>对0Θ恒成立，33032 min < <-?>-=∴a a u ， a ∴ 的取值范围是)3,3(-； （2）这是一个较难理解的问题。从“x a log 的值域为R ”，这点思考，“u 2 1log 的值域 为R ”等价于“)(x g u =能取遍),0(+∞的一切值”，或理解为“)(x g u =的值域包含了区间),0(+∞” )(x g u =Θ的值域为),,0(),3[2+∞?+∞-a ∴命题等价于33032 min ≥ -≤?≤-=a a a u 或， ∴a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞Y ； （3）应注意“在),1[+∞-内有意义”与定义域的概念是不同的， 命题等价于“),1[0)(+∞-∈>=x x g u 对恒成立”，应按)(x g 的对称轴a x =0分类， ???<<--≥???->---<∴33121012410)1(12 a a a a a a g a 或或， a ∴的取值范围是)3,2(-； （4）由定义域的概念知，命题等价于 不等式0322 >+-ax x 的解集为}31|{> 3,121==∴x x 是方程0322=+-ax x 的两根， ,23 22121=????=?=+∴a x x a x x 即a 的值为2； （5）由对数函数性质易知：)(x g 的值域为),2[+∞，由此学生很容易得2)(≥x g ，但这是不正确的.因为“2)(≥x g ”与“)(x g 的值域为),2[+∞”并不等价，后者要求)(x g 能取遍),2[+∞的一切值（而且不能多取）. ∵)(x g 的值域是),3[2 +∞-a ， ∴命题等价于123)]([2 min ±=?=-=a a x g ； 即a 的值为±1； （6）命题等价于：???>≥=??? ?-∞∈>-∞0)1(1 ]1,(0)(]1,()(0 g a x x x g x g 恒成立对为减函数 在， 即? ??<≥21 a a ，得a 的取值范围是)2,1[. [评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概 念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验. 【例3】解答下述问题：（Ⅰ）设集合}03log 21log 2|{82 21≤+-=x x x A ，若当A x ∈时，函数4log 2log )(22 x x x f a ?=的最大值为2，求实数a 的值. [解析]}3log 2 1 | {}03log 7log 2|{2222≤≤=≤+-=x x x x x A Θ}82|{≤≤=x x 而a x a x x a x x f 2log )2(log )2)(log (log )(22 222++-=--=， 令32 1 ,82,log 2≤≤∴≤≤=t x t x Θ ， a t a t t g x f 2)2()()(2++-==∴，其对称轴2 2 += a t ， ①当4722≤+= a t ，即12)3()]([23 max =?==≤a g t g a 时，适合； ②当6 13 2)21()]([,23,4722max =?==>>+=a g t g a a t 时即，适合； 综上，6 13 1或=a . （Ⅱ）若函数2 27 24)(2 1+ ?-=- x x a x f 在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a 的值. [解析]2 27 2221)(2+ ?-?= x x a x f Θ， 令41,20,2≤≤∴≤≤=t x t x Θ， ),41(2 227)(2122721)()(22 2≤≤-+-=+-==∴t a a t at t t g x f ∴抛物线)(t g 的对称轴为a t =， ①当2 584394243)4()]([,25max >=?=-==< a a g x f a 时，不合； ②当2 5 ≥ a 时，5914)1()]([max =?=-==a a g x f ，适合； 综上，5=a （Ⅲ）设关于x 的方程∈=--+b b x x (02 41 R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取 值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解. [解析]（1）原方程为1 2 4+-=x x b ， 11)12(22)2(24221-≥--=?-=-+x x x x x Θ， ),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解； （2）①当1-=b 时，12=x ，∴方程有唯一解0=x ； ②当1->b 时，b b x x +±=?+=-1121)12(2Θ. b b x x ++=∴>++>112,011,02Θ的解为)11(log 2b x ++=； 令,0111011<<-?<+?>+-b b b b b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=； 综合①、②，得 1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=； 2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=； 3）当1- [评析]例3是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验. 《对数函数及其性质》 学校：广西师范大学院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节 针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的 规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 （一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一)指数与指数函数 １．根式 （１）根式的概念 (2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂：0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算. (２）有理数指数幂的性质 ①a r ａs =a r+ｓ (ａ>0，ｒ、ｓ∈Q ）; ②（a r )s =a rs （a 〉0,r 、s ∈Q )； ③（a ｂ）r ＝a r ｂs (ａ>0,b ＞0，r ∈Ｑ）；。 n 为奇数 n 为偶数 3．指数函数的图象与性质 y=a x a〉1 0 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号: 11gz2sx012619 学员编号：gzlfx677 年 级：高一 课时数及课时进度：3 （24/30） 学员姓名：耿开睿 辅导科目：数学 学科教师：彭文俊 学科组长/带头人签名及日期 课 题 对数和对数函数的图像和性质 授课时间：2012-1-1 备课时间： 2011-12-28 教学目标 1.知识目标： 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。 2.能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力，发展学生探究和解决问题的能力，并 渗透数形结合、分类讨论等数学思想，提高学生的应用意识和创新能力。 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想． 3.情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣，对学生进行对称美、抽象美等 重点、难点 理解对数函数的定义，掌握对数函数图像和性质 考点及考试要求 由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质 教学内容 知识点一 对数与对数函数 知识点二 对数函数的定义 注意点：①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ②以无理数)71828 .2( e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ③真数N 为正数（负数和零无对数） ④01log =a ；1log =a a ⑤对数运算时，尽量转化为同底对数 ⑥()()M N M N M N a a a a log log log log +=?≠+ 知识点三 指数函数与对数函数的性质与图像 指数函数 ()0,1x y a a a =>≠ 对数数函数 ()log 0,1a y x a a =>≠ 定义域 x R ∈ ()0,x ∈+∞ 值域 ()0,y ∈+∞ y R ∈ 图象 性质 过定点(0,1) 过定点(1,0) 减函数 增函数 减函数 增函数 (,0)(1,)(0,)(0,1)x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时， (,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时， (0,1)(0,) (1,)(,0) x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时， (0,1)(,0)(1,)(0,) x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时， a b < a b > a b < a b > 二、例题精讲 例1 设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2 2 011)＝ ________. 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3 对数函数及其性质题型总结 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征Error! 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1) x 是对数函数，则实数a ＝__________． (1)图象与性质 a ＞10＜a ＜1 图 象 (1)定义域{x |x ＞0} (2)值域{y |y R } ∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0) (4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当 0＜x ＜1时，y ＞0 性质 (5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0 性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低 谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． 题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域． 例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)； (3)． y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0． 题型二:对数值域问题 对数型函数的值域的求解 《对数函数》说课稿 各位老师，大家好： 今天我说课的题目是《对数函数》.对于这个课题，下面我主要从以下两大方面进行说明. 一、教材分析与教法设计 教材的内容与地位 《对数函数》是人教B版必修1第三章内容.主要学习（1）对数函数的定义（2）对数函数的图象与性质（3）利用对数函数图像与性质进行初步应用. 对数函数是继一次函数、二次函数、指数函数后所要研究的又一重要的基本初等函数，它在实际生活中有广泛的应用,所以学习对数函数既是对前面所学函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为学习其他函数奠定良好的基础，起着承上启下的作用. 学情分析 在学习本节课前，学生学过指对互化原理，已经树立了相互联系相互转化的观点.而经过对一、二次函数、指数函数研究后，学生对函数研究思路有了更加理性的思维.但是对数是一个新出现的代数形式，学生在对数的四则运算方面掌握的并不好. 教学目标的确定及依据 按照《课程标准》的要求（通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系；初步理解对数函数的概念，能借体会对数函数是一类重要的函数模型；助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。），根据上述教材内容与地位的分析，考虑到学生的学情，我制定如下教学目标： 1、能够准确说出对数函数的定义;通过探究例1会利用对数函数定义求相关函数的定义域； 2、会画出具体的对数函数图像; 3、通过观察对数函数的图像，利用数形结合的思想方法，运用自主探究、小组合作方式归纳出对数函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、定点等）; 4、通过探究例2学会利用对数函数的单调性判断大小.（已知真数大小，比较两个对数值大小；已知对数值大小，比较真数大小；已知对数值、真数大小判定底数范围。）获得灵活运用知识的能力. 教学重点与难点 对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实 数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象 x y > O x y 第十八章 函数 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ， 43，35，110 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A 43，35，110 B ，43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1 的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； 初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称 点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 对数及对数函数 1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对 数， 记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式 （2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln . （3）指数式与对数式的关系：log x a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >） （4）对数恒等式： 2、对数的性质 （1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、对数的运算性质 （1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③M n M a n a log log = （2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log = ； ② ； ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ，且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 第一课时 对数及其运算 【知识要点】 1.对数的定义： 如果N a b =（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log 2.指数式与对数式的关系：b N N a a b =?=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、 b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. 3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1） log 10a =； log 1a a =； log a N a N =； log b a a b =； （2）()log log log a a a MN M N =+ （3）log log log a a a M M N N =- （4）()log log n a a M n M n R =∈ （5 ）1log log a a M n = （6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c b b a a b c c a =>≠>>≠ 换底公式推论：（1）1log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ??=；（3）log log m n a a n b b m = 【典题精讲】 题型一 对数的化简、求值 1.b N N a a b =?=log ． 2．注意对数恒等式log a N a N ＝，对数换底公式log log log b a b N N a =及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a =?=在解题中的灵活应用． 【例1】(1) 若23=x ，则x = 465=??? ??x ，求=x (2)设3643==b a ，则=+b a 12__________； (3)计算：22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3 25lg +?++ 解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1log 363 ，b ＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. (3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 【变式1】已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ A ） A ．2a - B ．52a - C ．2 3(1)a a -+ D ． 23a a - 【变式2】若=-=-33)2 lg()2lg(,lg lg y x a y x 则（ A ） A ．a 3 B ．a 23 C ．23-a D ．a 【变式3】（1）计算=-+2 3lg 53lg 25lg __________. 答案：1 （2）计算：=+?+20lg 5lg 2lg 5lg 2 __________. 答案：2 【例2 ()lg1000lg1041lg10lg102 -==-?-； 【变式1 】lg 的值是（ ） 第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数 必修一 对数函数及其性质 练习题A 附答案 一、选择题 1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log 3(x ＋1) B ．y ＝log a (2x )(a >0，且a ≠1) C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1) D ．y ＝ln x [答案] D 2．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5 B.15 C.1e D.12 [答案] A 3．函数f (x )＝log a x (0 A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) [答案] B 4．(2012～2013重庆市风鸣山中学期中试题)函数f (x )＝1 lg x ＋2－x 定义域为( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)∪(1,2] D ．(－∞，2] [答案] C [解析] 使f (x )＝1 lg x ＋ 2－x 有意义满足???? ? x ＞0lg x ≠0 2－x ≥0 ∴0＜x ≤2且x ≠1，故选C. 5．(2012·全国高考数学文科试题安徽卷)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2] [答案] D [解析] A ＝{x |－3≤2x －1≤3}＝[－1,2]，B ＝(1，＋∞)?A ∩B ＝(1,2] 6．函数y ＝log 12 x ，x ∈(0,8]的值域是( ) A ．[－3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－3] D ．(－∞，3] [答案] A对数函数图像及其性质
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