最新初中数学图形的相似基础测试题含答案解析(2)
最新初中数学图形的相似基础测试题含答案解析(2)
一、选择题
1．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．28cm
B ．26cm
C ．24cm
D ．22cm
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=12
AC ，故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积的14
【详解】
解：如图，
由平移的性质得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=
12AC 故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积
14
即图中阴影部分的面积为4cm 2．
故选：C
【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.
2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A ．1：2
B ．1：5
C ．1：100
D ．1：10
【答案】C
【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可
知它们的面积为1：100．
故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性
质可得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出
CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AF AB
GF GD
==2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似
图形，且相似比为1
3
，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为
（）
A．（8，6）B．（9，6）C．
1
9,6
2
??
?
??
D．（10，6）
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，
∴
1
3 BC OB
EF EO
==，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴1
36
BO
BO
=
+
，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．
5．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝k
x
上一点，
k的值是（）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．24
【答案】C
【解析】
【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．
【详解】
解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，
OABC Q 是正方形，
6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=?=∠，
D Q 是AB 的中点，
12
BD AB ∴=， //BD OC Q ，
OCQ BDQ ∴??∽， ∴
12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，
OFQ OAB ∴??∽， ∴22213
QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=?
=，2643OF =?=， (4,4)Q ∴，
Q 点Q 在反比例函数的图象上，
4416k ∴=?=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．
6．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD?AB，由此即可解决问题.【详解】
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴AC AD AB AC
，
∴AC2=AD?AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
7．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形
的判定和性质计算即可．
【详解】
解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴
1
'2 CD BC
CE B C
==，
∴CE＝4，则OE＝CE?OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
8．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）
A．3
2
B．
9
2
C．
33
2
D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=3
2
．故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
10．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y
k
x
(x＞0)上，OA＝2，AB
＝4，则k的值为（）
A．4 B．6 C．32
5
D．
42
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到
OB22
OA AB
=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到
CD
85
=，OD
45
=求得
8545
，)于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCO是矩形，
∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，
∵OA＝2，AB＝4，
∴过C作CD⊥x轴于D，
∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴OB AB OA OC CD OD
==，
∴2542
4CD OD
==，
∴CD
85
5
=，OD
5
5
=，
∴C(45
5
，
85
5
)，
∴k
32
5 =，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）
A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm 【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．
【详解】
设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40）cm，
由题意得，
15 4023 x
x
=
+
，
解得，x=75，
则x+40=115，
故选C．
12．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）
A．20米B．18米C．16米D．15米
【答案】D
【解析】
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．
【详解】
解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1:2=旗杆高：30，
∴旗杆的高=130
=15
2
?
米．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．
13．已知的三边长分别为2，6，2，A B C '''?的两边长分别是1和3，如果ABC ?与A B C '''?相似，那么A B C '''?的第三边长应该是（ ）
A ．2
B ．22
C ．62
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．
【详解】
解：根据题意，易证ABC ?∽△A B C '''，且相似比为：2:1， ∴△A B C '''的第三边长应该是
22
=． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是谁．
14．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE ⊥AC 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AF ＝12
CF B ．∠DCF ＝∠DFC
C ．图中与△AEF 相似的三角形共有5个
D ．tan ∠CAD 3【答案】D
【解析】
【分析】
由AE=12AD=12BC ，又AD ∥BC ，所以12
AE AF BC FC ==，故A 正确，不符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1
2
BC，得到
CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．
【详解】
解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AE
BC
＝
AF
FC
，
∵AE＝1
2
AD＝
1
2
BC，
∴AF
FC
＝
1
2
，故A正确，不符合题意；
B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝1
2 BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；
C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．
D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有b
a
＝
2
a
．
∵tan∠CAD＝CD
AD
＝
b
a
＝
2
2
，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线
是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠
OMN=3；③BP=4PK ；④PM?PA=3PD 2，其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4
KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠3②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM?PA=3PD 2，故④正确．
【详解】
解：作PI ∥CE 交DE 于I ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，
在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠??∠=∠??=?，
∴△ADP ≌△ECP ，
∴AD=CE ，
则PI PD CE DC
=，又点P 是CD 的中点，
∴
1=2
PI CE ， ∵AD=CE ， ∴
1=4
KP PI KB BE ， ∴BP=3PK ，
故③错误；
作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，
∴BM ∥OG ∥KN ，
∵点O 是线段BK 的中点，
∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，
∴OM=ON ，
即△MON 是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，
则
根据三角形面积公式，， ∵点O 是线段BK 的中点，
∴PB=3PO ，
∴OG=
13BM=21， MG=23MP=27，
tan ∠OMN=
=3OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，
∴PB 2=PM?PA ，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴，
∵PD=PC ，
∴PB 2=3PD ，
∴PM ?PA=3PD 2，故④正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查相似形综合题．
16．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）
A ．（25+2）cm
B ．（25﹣2）cm
C ．（5+1）cm
D ．（5﹣1）cm 【答案】B
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义进行作答.
【详解】
由黄金分割的定义知，
512
MP MN -=，又MN=4，所以，MP=25 - 2. 所以答案选B. 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.
17．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设BPQ ?，DKM ?，CNH ?的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】 由已知条件可以得到△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，然后得到△BPQ 与△DKM 的相似比为12，△BPQ 与△CNH 的相似比为13
，由相似三角形的性质求出1S ，从而求出2S .
【详解】
解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD、四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，∴BE∥DF∥CG，
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∴△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴
1
2 AB BQ
AD DM
==，
1
3
BQ AB
CH AC
==，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，
∵
1
2
BQ
MD
=，
1
3
BQ
CH
=，
∴1
2
1
4
S
S
=，1
3
1
9
S
S
=，
∴21
4
S S
=，
31
9
S S
=，
∵1320
S S
+=，
∴12
S=，
∴21
48
S S
==；
故选：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到21
4
S S
=，
31
9
S S
=，从而求出答案.
18．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S?FCG＝3，其中正确的有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用折叠性质和HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG，从而判断①；设BG=FG=x，则CG=6-x，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC为等腰三角形，由此推
出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802
FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④． 【详解】
解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°
又∵AG=AG
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；
由Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4
∴在Rt △EGC 中，222
(6)4(2)x x -+=+
解得：x=3
∴BG ＝3，CG=6-3=3
∴BG ＝CG ，故②正确；
又BG ＝CG ， ∴1802
FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴1802
FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB
∴AG ∥CF ，故③正确；
过点F 作FM ⊥CE ，
∴FM ∥CG
∴△EFM ∽△EGC
∴FM EF GC EG =即235
FM = 解得65FM =
∴S ?FCG ＝116344 3.6225
ECG ECF S S -=??-??=V V ，故④错误
正确的共3个
故选：C ．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
19．如图，Rt ABO ?中，90AOB ∠=?，3AO BO =，点B 在反比例函数2
y x =
的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】 【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9
BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212
BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=?
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD
又∵3AO BO =，2OC CA =
∴13OB OA =，23
OC OA =
∴21()9BOF OAD S
OB S OA ==V V ，24()9
COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOF
S S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =
的图象上
∴212
BOF S ==V ∴4COE S =V ∴42
k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
20．如图Rt ABC V 中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，D 为BC 上一动点，DE BC ⊥，当BD CE =时，BE 的长为（ ）．
A ．52
B ．125
C 515
D ．3418
【答案】D
【解析】
【分析】
利用90ABC ∠=?，DE BC ⊥得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解,,BD DE 再利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：90,ABC ∠=?Q DE BC ⊥，
//,DE BA ∴
,CED CAB ∴??: ,CE CD ED CA CB AB ∴== 90,4,3,ABC AB BC ∠=?==Q 5,AC ∴=
设,BD x = Q BD CE =，
,3,BD CE x CD x ∴===-
3,534
x x ED -∴== 3155,x x ∴=-
15,8
x ∴= 15
8,54
ED ∴= 3,2
ED ∴= Q DE BC ⊥，
2222153341()().828
BE DB DE ∴=+=+=
故选D ．
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键．