2014年高考函数专题

2014年函数专题精讲

一． 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为

同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个

（答：9）

二．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，

三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3

π

≤等。如

（1）函数()()

2

4lg 3x x y x -=

-的定义域是____

(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；

（2）若函数2

7

43

kx y kx kx +=

++的定义域为R ，则k ∈_______ (答：30,4??????

)；

（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________

(答：[,]a a -)；

（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围

（答：①1a >；②01a ≤≤）

2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3．复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求

()g x 的值域（即()f x 的定义域）

。如 （1）若函数)(x f y =的定义域为??

?

???2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________

（答：{}

42|≤≤x x ）；

（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________

（答：[1,5]）．

三．求函数值域（最值）的方法：

1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是

求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域

（答：[4,8]）；

（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___

（答：2

1

-≥a ）；

（3）设函数41

)(2-+=x x x f ，若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]16

1,21[-，求a

的值.

2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含

有根式或三角函数公式模型，如

（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____

（答：17

[4,]8

-）；

（2）211y x x =++-的值域为_____

（答：(3,)+∞）

（3）sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域为____

（答：1

[1,2]2

-+）；

（4）249y x x =++-的值域为____

（答：[1,324]+）；

3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的

值域，最常用的就是三角函数的有界性，如

求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 1

1cos y θθ

-=

+的值域 （答： 1(,]2-∞、（0,1）、3

(,]2

-∞）

； 4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如

求1(19)y x x x =-<<，22

9sin 1sin y x x

=++，5

32log 1x y x -=+-的值域 （答：80(0,)9、11

[,9]2

、[2,10]）；

5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如

（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2

y

x +及2y x -的取值范围

（答：33

[,]33

-、[5,5]-）

； （2）求函数22(2)(8)y x x =-++的值域

（答：[10,)+∞）；

（3）求函数2261345y x x x x =-++++及2261345y x x x x =-+-++的值域

（答：[43,)+∞、(26,26)-）

注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其

它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：

①2

b

y k x =+型，可直接用不等式性质，如 求2

3

2y x =+的值域

（答：3

(0,]2

）

②2bx

y x mx n

=

++型，先化简，再用均值不等式，如

（1）求2

1x

y x

=+的值域 （答：1

(,]2

-∞）；

（2）求函数2

3

x y x +=

+的值域 （答：1

[0,]2

）

③22x m x n y x mx n

''++=++型，通常用判别式法；如

已知函数2328log 1

mx x n

y x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值

（答：5m n ==）

④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如

求211

x x y x ++=+的值域

（答：(,3][1,)-∞-+∞ ）

7．不等式法――利用基本不等式2(,)a b ab a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要

求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如

设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值范围是__.

（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

8．导数法――一般适用于高次多项式函数，如

求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48）

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？

四．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系

的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如

（1）设函数2

(1).(1)

()4 1.(1)

x x f x x x ?+

（答：(,2][0,10]-∞- ）；

（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-

，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集_____

（答：3

(,]2

-∞）

五．求函数解析式的常用方法：

1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如

已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。

（答：21

()212

f x x x =++）

2．代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如

（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式

（答：242()2,[2,2]f x x x x =-+∈-）；

（2）若221

)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____

（答：223x x -+）；

（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________

（答：3(1)x x -）.

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

3．方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋

值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如 （1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式

（答：2

()33

f x x =--）；

（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 1

1

-x ,则()f x = _

（答：21

x

x -）。

六．反函数：

1．存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数

一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。如

函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是

A 、(],1a ∈-∞

B 、[)2,a ∈+∞

C 、[1,2]a ∈

D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞

（答：D ）

2．求反函数的步骤：①反求x ；②互换 x 、y ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函

数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。如

设)0()1(

)(2

>+=x x

x x f .求)(x f 的反函数)(1

x f -

（答：11

()(1)1

f x x x -=

>-）． 3．反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如

单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1x f -的定义域为

??

?

???a a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________ （答：[4,7]）.

②函数()y f x =的图象与其反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，注意函数()y f x =的图象与1()x f y -=的图象相同。如

（1）已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_

（答：（1,3））；

（2）已知函数1

3

2)(-+=x x x f ，若函数()y g x =与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求(3)

g 的值

（答：7

2

）；

③1

()()f a b f b a -=?=。如

（1）已知函数)24(log )(3+=x

x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______

（答：1）；

（2）设函数f (x )的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1()f x -，f (4)＝0，则1(4)f -＝

（答：－2）

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如

已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式

()12log 1f x -<的解集为________

（答：（2,8））；

⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]f f x x -=

()x A ∈，但11[()][()]f f x f f x --≠。 七．函数的奇偶性。

1．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必

先判定函数定义域是否关于原点对称。如

若函数)(x f 2sin(3)x θ=+，[25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是

（答：0）；

2．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

①定义法：如判断函数2

|4|4

9x y x

--=-的奇偶性____（答：奇函数）。

变式训练: 判断下列函数的奇偶性．

1)f (x )＝lg 1－x

1＋x

； (2)f (x )＝(x ＋1)

1－x

1＋x

； 3)f (x )＝?????

x 2

＋x (x >0)，

x 2

－x (x <0)；

(4)f (x )＝lg (1－x 2

)

|x 2－2|－2

.

(5f (x )＝3－x 2

＋x 2

－3； (6)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3

.

②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()

1()

f x f x -=±（()0f x ≠）

。如 判断11

()(

)212

x

f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 3．函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.如

若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31

(f =2，则不等式2)(log 8

1>x f 的解集为

______.

（答：(0,0.5)(2,)+∞ ）

④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。如

若22

()21

x x

a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如

设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2

f x f x F x +-=，()()

()2f x f x G x --=

。①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____

（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝1

2

x ）

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

4.函数的奇偶性应用

(1)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，求f (x )的解析式；

(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．

变式训练 (1)若函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋2a 2)是奇函数，则实数a 的值是________．

2)若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)

A ．(0,10) B.????110，10 C.????110，＋∞ D.???

?0，1

10∪(10，＋∞) 3）函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．

(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增

函数，求x 的取值范围．

4）已知函数的定义域是),0(+∞，且满足()()()f x y f x f y =+,1

()12

f =,如果对于0x y <<, 都有()()f x f y >,（1）求(1)f ；

（2）解不等式2

)3()(-≥-+-x f x f 。

引申拓展：

几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；

②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()

()()

x f x f y f y =；

③指数函数型：()x f x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()

()()

f x f x y f y -=；

④对数函数型：()log a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()x

f f x f y y

=-；

⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()

()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，

且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2

(T

f ____（答：0）

八．函数的单调性。

1．确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。如

已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____

(答：(0,3]）)； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b

y ax a x

=+>

0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b b

a a

-∞-+∞，减区间为

[,0),(0,]b b a a

-

.如 （1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______

(答：3-≤a ）)；

（2）已知函数1

()2

ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____

（答：1

(,)2

+∞）；

（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ??

=+->≠ ???

且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______

(答：04a <≤且1a ≠）)； 4）若函数(

)2f x ax b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。 （答：0,0≤>b a ）

1）函数f (x )为R 上的减函数，则满足)1()1(f x

f < 的实数x 的取值范围是 （ ）

A ．(－1,1)

B ．(0,1)

C ．(－1,0)∪(0,1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数()212

log 2y x x =-+的单调递增区间是

________

(答：（1,2）)。

2．特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2

a

-∞上为减函

数，求a 的取值范围（答：(1,23)）； 3．函数单调性与奇偶性的逆用：（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是

定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：12

23

m -<<）

九．函数的周期性与对称性

1.几种特殊的抽象函数的周期：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

1

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()

f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

⑥1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑦函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若为奇函数，则其周期为4T a =， 若为偶函数，则其周期为2T a =. 2.对称性：

函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=-

函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=

函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=- 3函数的周期性与对称性的应用：

例1．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )

A 、2005

B 、2

C 、1

D 、0 （答：B ）

例2． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）

(A)()()()

1.53.56.5f f f <<； (B )()()()3.51.56.5f f f <<； (C)()()()6.53.51.5f f f <<； (D)()()()3.56.51.5f f f << （答：B ） 例3.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-

成中心对称，且满足f (x ) =1)1(),2

3

(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）

A ．–2

B ．–1

C ．0

D ．1 （答：C ）

例4.已知函数是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()x fx x fx +=+，则5

(())2

f f 的值是 的值是

A .0 B.

C.1

D. （答：A ） 例5.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()

1

11f x f x f x ++=-，若()212f =-则f(2009)=_ （答：

-1-2）

例6．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21

=

x 称,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=

。

（答：0） 例7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时， f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；

(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)．

例8．设函数在(,)-∞+∞上满足(

2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==． （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论

（答：（1）函数y= f (x ) 非奇非偶函数不是奇函数； (2)在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．）

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

高三美术班数学基础专题训练——函数的图像及抽象函数(部分答案)

菁华学校高三美术班数学基础知识专题训练07 函数的图象及抽象函数 一、考点回顾 1．函数图象： ⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：①平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”； ②对称变换ⅰ))(x f y =(0,0)????→原点)(x f y --= ⅱ))(x f y =0) x y =????→轴()(x f y -=； ⅲ) )(x f y =(0)y x =???? →轴)(x f y -=； ⅳ))(x f y =y x =????→直线()x f y =； ③翻转变换：（保正去负，左右翻折（上下翻折）） ⅰ)()(||)y f x y f x =→=：右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=：上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； ④伸缩变换ⅰ)11101()()y f x y f x ωωωωω><<=?????????→=横坐标缩短到原来的倍横坐标伸长到原来的倍 ⅱ)101()()A A A A y f x y Af x ><<=?????????→=纵坐标伸长到原来的倍纵坐标缩短到原来的倍 2抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比。（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。 3. 函数的对称性。 ①满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2 a b x += 对称。 ②因为(,)x y 关于点(,)a b 的对称的点是(2,2)a x b y --，所以曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。 提醒：求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题。 4. 函数的周期性。 定义：“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”。 ①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)() f x a a f x += ≠恒成立，则2T a =； ③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 三．基础训练

高考抽象函数专题

抽象函数专题 几类抽象函数模型 练习题 1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12． 解： 因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝1 2 ． 2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009． 解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×1 2＝1009． 3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，若f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1 C ．19 D ．43 答案：D ． 解： 因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9 累加，得f (8)＝43．

(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，若f (1)＝1，则f (－8)＝ A．－1 B．1 C．19 D．43 答案：C． 解： 因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得 f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此： f (1)－f (0)＝2 f (0)－f (－1)＝1 f (－1)－f (－2)＝0 f (－2)－f (－3)＝－1 f (－3)－f (－4)＝－2 f (－4)－f (－5)＝－3 f (－5)－f (－6)＝－4 f (－6)－f (－7)＝－5 f (－7)－f (－8)＝－6 累加，得f (－8)＝19． 另外： f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (x)＋f (－x)＝x 2－2 4．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法正确的是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数 C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数 答案：C 解： x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1． x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数． 5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是 A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8) 答案：B

高考数学复习专题 含导函数的抽象函数的构造

1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =- 例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞， 【答案】B 【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意R x ∈，()2f x '>， 所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数， 又由于()()()112140G f -=----?=，所以()()240G x f x x -->=， 即()24f x x >+的解集为()1-+∞， ．故选B ． 2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x = 例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立， ()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数． 因为()()()xf x f x xf x ''=+????，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+>．故选D ． 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造 高考数学复习专题 含导函数的抽象函数的构造

高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期

高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目

函数()f x 的定义域为D ，则其图像为： ()(){},|,x y y f x x D =∈ 1，若把这个图像向左平移a 个单位，得到新图像为： ()(){},|,x y y f x a x D =+∈ 简单说明：新图像上任取点(),x y ，向右平移a 个单位得到(),x a y +，这个点在()f x 图像上，所以()y f x a =+ 向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出 2，若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称，得到新函数为()2y f a x =- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -，这个点在()f x 图像上，所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似，请自己给出 需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y x =作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。 3，若把()f x 图像按照点(),a b 作对称，得到新函数()22y b f a b =-- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照点(),a b 作对称，得到点()2,2a x b y --，这个点在()f x 图像上，则()22b y f a x -=-，整理得()22y b f a x =-- 4，若把()f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a 倍（0a ≠），纵坐标不变，那么得到新函数图像是x y f a ?? = ??? 简单说明：新函数图像上取点(),x y ，变回去,x y a ?? ???， 这点在()f x 图像上，所以x y f a ?? = ??? 至于竖直方向的伸缩，请自己给出 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性 5，如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合，即a 是一个周期，那么按照第1条， ()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合，也就是说：()()f x a f x += 6，如果一个函数有一条对称轴x a =，那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个，也就是说：()()2f a x f x -=，至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件，改写一下是非常显然的

抽象函数题型大全例题含答案

高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211 x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知331 1()f x x x x +=+，求()f x 解：∵2221 1111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22 f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

含导函数的抽象函数的构造 专题

含导函数的抽象函数的构造 1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =- 例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则 ()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞， 【答案】B 【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意 R x ∈，()2f x '>， 所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数， 又由于()()()112140G f -=----?=，所以()()240G x f x x -->=， 即()24f x x >+的解集为()1-+∞，．故选B ． 2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造 ()()f x h x x = 例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞， ()()0f x xf x '+<成立，()0.20.2 22a f =，()log 3log 3b f π π=，()33log 9log 9c f =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数． 因为()()()xf x f x xf x ''=+????，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+

1 抽象函数定义域 高中数学 高考

一.定义域问题 总结解题模板 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中 b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1 已知函数()f x 的定义域为[]1 5-，，求(35)f x -的定义域． 分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知 15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]1 5-，，1355x ∴--≤≤，41033 x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033 ?????? ，． 变式训练： 1 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为 。

高三数学(带答案)抽象函数

2014届高三数学函数专题——抽象函数 一、选择题： 1、已知()f x 是R 上的增函数，若令()(1)(1)F x f x f x =--+，则()F x 是R 上的（ ） A ．减函数 B ．增函数 C ．先减后增的函数 D ．先增后减的函数 2、定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y R ∈，），(1)2f =，则(3)f -等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 3、已知函数()21y f x =+是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x = 的图象关于直线y x =对称，则()()g x g x +-的值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．不能确定 4、定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果 124x x +<，且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值为 （ ） A ．恒大于零 B ．恒小于零 C ．可能为零 D ．可正可负 5、已知函数()f x 对于任意x ∈R ，有()1 (2)()1 f x f x f x -+= +，且(1)2f =-，则(2005)f 的值为 A ．2 B ． 1 2 C ．2- D ．12 - 二、填空题： 6、若函数()f x 满足(0)1f =，且对任意x y R ∈、都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=?--+，则()f x = 。 7、定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3 (,0)4 -中心对称，对任意的实数都有 3 ()()2 f x f x =-+，且(1)1,(0)2f f -==-，则(1)(2)(2010)f f f ++???+的值为 。 8、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 1 2f x f x += ，若()15,f =-则()()5f f =__________。 9、若(23)(26)f x f x -=+，则（1）函数()y f x =的一个周期为 ；（2）函数 (23)y f x =-的一个周期为 . 10 、若函数()0),x f x b =>则122010 ()()()201120112011f f f ++???+的值为 。 三、解答题： 11、已知函数()()y f x x =∈R 对任意非零实数12x x 、都有1212()()()f x x f x f x +=+，且0x >时 ()0f x >,1 (1)4 f = 。 （1）试判断函数()f x 的奇偶性；（2）求函数()f x 在[3,3]-上的值域；（3）解不等式 23 (2)12 f x x -+>。 12、设函数()f x 的定义域为R ，且满足对任意x y ∈R 、，有()()()f x y f x f y +=?，且当0x >时，0()1f x <<。（1）求(0)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明的你的结论； （3）设(){}( ){} 2 2 ,()()(1),,(1,A x y f x f y f B x y f ax y a R = ?>=-+ =∈,若A B =?I , 试确定a 的取值范围；（4）试举出一个满足条件的函数()f x 。

高考数学专题复习 抽象函数

2015高考数学复习：抽象函数 高考常考抽象函数模型： 1.正比例函数型：()(0)f x kx k =≠?()()()f x y f x f y ±=± 2.一次函数型：()b kx x f +=?()()()b y f x f y x f -+=+ 3.幂函数型：2 ()f x x = ?()()()f xy f x f y =， ()()()x f x f y f y = 4.指数函数型：()x f x a = ?()()()f x y f x f y +=， () ()()f x f x y f y -= 5.对数函数型：()log a f x x = ?()()()f xy f x f y =+，()()() x f f x f y y =- 6.三角函数型：()tan f x x = ? ()() ()1()()f x f y f x y f x f y ++= - 1、直线型抽象函数 例 1.已知函数()f x 对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >， (1)2f -=-，求()f x 在[]1,2-的值域 2、指数函数型抽象函数 例 2.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()()()f m n f m f n +=?，且当0x >时， 0()1f x <<． (1) 试求(0)f 的值 (2) 判断()f x 的单调性并证明 3、对数函数模型 例3.定义在 R + 上的函数()f x 满足：①(10)1f =;②对任意实数b ，()()b f x bf x =，当1>x 时，()0>x f (1) 求 11(1),(),() 24f f f (2) 求证：对任意正实数,,()()()x y f xy f x f y =+ (3) 求证：()f x 是R +上的增函数

高考抽象函数技巧全总结

抽象函数高考讲解 1.判断函数的奇偶性： 例 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 3.解不定式的有关题目 例9：如果()f x =2 ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。 例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式 的解。 2、指数函数型抽象函数 例3、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在 ，使得 ，对任何x 和y ， 成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 例4、是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）＞0，x ∈N ；②；③f （2） ＝4。同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，如不存在，说明理由。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足 ，求： （1）f （1）；（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。 例6、设函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝g （x ）。如果f （ab ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例7、己知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当是定义域中的数时，有；②f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； ③当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0。试问：（1）f （x ）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a ）上,f （x ）的单调性如何？说明理由。 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

高考数学 抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法， 此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知3 31 1 ()f x x x x +=+ ，求()f x 解：∵2 2211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+ =++-又∵11||||1|| x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=?? =?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=?--

抽象函数经典综合题例含详细解答

抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0

2020届高三数学专题练习含导函数的抽象函数的构造

2019届高三数学专题练习含导函数的抽象函数的构造 1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =- 例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞， 2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x = 例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立， ()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造 () ()e x f x h x = 例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ?∈，均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ，cos x 构造 例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ?? ∈- ??? 满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（ ）

最新高三高考抽象函数总结

最新高三抽象函数总结 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。 抽象函数常见题型讲解： 一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。 提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。 变式训练1：已知函数)(2 x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。 变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例二、已知定义域为 的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，5 1 )6(= f ；②)()()(y f x f y x f +=?，求f(3)，f(9)的值。 注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。 变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为 变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____ 变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足 )()()()()(y f x g y g x f y x f ?-?=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________

有关高中数学抽象函数问题专题

抽象函数问题专题 抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。 由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。 一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数 【例1】⑴（04全国IV ）设函数f (x )（x ∈R ）为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ········································································································································· （ ） A ．0 B ．1 C ．52 D ．5 ⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足 f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ······························································································· （ C ） A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数 ⑶（2011广东文10）设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g )(x )和(f ?g )(x )；对任意x ∈R ，(f g )(x )＝f (g (x ))；(f ?g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ） A. ((f g ) ?h ) (x )＝((f ?h )(g ?h ))(x ) B. ((f ?g ) h ) (x )＝((f h )?(g h ))(x ) C. ((f g ) h ) (x )＝((f h )(g h ))(x ) D. ((f ?g ) ?h ) (x )＝((f ? h )?(g ?h ))(x ) 【例2】⑴已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x ＋2)的定义域是 ； ⑵已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x 2)的定义域是 ； ⑶已知函数f (x ＋2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑷已知函数f (x 2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑸已知函数f (x )的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x )＋4f (x )的值域是 . 【例3】已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ).

高中数学--抽象函数专题

【包哥数学】抽象函数专题 抽象函数简介 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。 抽象函数一些模型 根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。 例1：f (x)在R +上是增函数，且f (x)=f (y x )+f (y),若f (3)=1,f (x)－f (5 1 x )≥2，求x 的范围 。 例2：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，01; （2）证明：f(x)在R 上单调递减； （3）设A=｛(x,y)│f (x 2)·f(y 2)>f(1),B=｛(x,y)│f (ax -y+2)=1,a ∈R ｝，若A∩B=?，确定a 的范围。 抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性 ①先深刻理解奇函数，偶函数概念 ②方法：用哪个数代替x 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图

象关于直线x= 对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则 函数y=f (x) 的图象关于点 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 了解 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线 x=对称。 对任意x0,令a+x0=b-x1,则x0+x1=b-a 此时令y=f(a+x0)=f(b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上 因为x0+x1=b-a,所以有x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线x=(b-a)/2对称 所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/2是对称的 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于 点对称。 二、抽象函数的周期性 命题1：若a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. 函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数y=f(x)满足f(x+a)=1() f x ，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 2a b +( ,) 22a b c +2b a -( ,) 22b a c -