对数运算和对数函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果a x n
=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *.负
数没有偶次方根;0的任何次方根都是
记作00=n 。当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
2.分数指数幂 正
数
的分数
指数
幂的意义,
规
定
:
)1,,,0(*
>∈>=n N n m a a a
n
m
n
m )1,,,0(1
1*>∈>=
=
-n N n m a a a
a n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈; (2)()(0,,)r s rs
a a a r s Q =>∈;(3)()(0,0,)r r r a
b a b a b r Q =>>∈. (二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数,其中x 是自变量,
函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2
(1)在],[b a 上,x
a x f =)((0>a 且1≠a )值域是)]
b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [;
(2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且,总有a )1(f =; 一、化解
1
111
3342
a b a b -?? ???
0,0a b >>) 1
ab - (2)0121
32
)32()25(10)002.0()827(-+--+----.67
9
1-
二、比较大小 1、 2.5
31.7______1.7; 2 0.10.20.8______1.25- ;3 331.7______1.8; 4 220.7______0.8--;
5 0.3
3.11.7
______0.9;
6设52
53
52
)5
2
(,)52(,)53(===c b a ,则c b a ,,的大小关系是,c b a >>
三、解指数方程
1 方程96370x
x
-?-=的解是___3log 7x =______。 2 方程192327x x ---?=的根是 。 四、方程恒过定点 1已知函数()1
4x f x a -=+的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( ()1,5 )
2已知函数3)(1-=-x
a
x f 的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( )2,1(- )
五、指数函数的单调性问题
1指数函数x
a x f )1()(2
-=是减函数,则实数a 的取值范围是 .
2已知()()3 1log 1a a x a x f x x x ?--=?≥??,,
是() -∞+∞,上的增函数,那么a 的取值范围是 3 32??
????, .
六、指数函数的图像
1若1,1a b ><-则函数x
y a b =+的图象必不经过( B )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2已知函数))()(()(b a b x a x x f >--=,若)(x f 的图象如图所示,则函数b a x g x
+=)(的图象是( )
七、指数函数中的值域问题
1函数121
+=
x
y 的值域是_____. 2函数122
)2
1(-+=x x y 的值域是
( ]4,0( )
八、指数函数中的底数问题
1若指数函数x
a y =在]1,1[-上的最大值与最小值的差是a 3,则底数=
a 2
1
2函数221x
x y a
a =+-(0>a 且1≠a )在区间]1,1[-上的最大值为14,a 的值是 331==a a 或
九、指数函数中的绝对值问题
1 指数函数42)(-=x x f ,若m x f =)(有且只有两实数根,则实数m 的取值范围 2若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1||
1|5425
有实根,则实数m 的取值范围是____4-≥m ____。
十、指数函数的综合问题
1已知,3234+?-=x
x
y 当其值域为[1,7]时,求x 的取值范围。]2,1[]0,( -∞ 2已知093109≤+?-x x
,求函数2)2
1
(4)
4
1
(1
+-=-x x y 的最大值和最小值。
习题
1
63
a a -?等于 A.-a - B.-a C.a -
D.
a
2化简x
x 3
-的结果是( x -- )
3 计算:
549)13(2
51
0----+ -1 4 计算:ab b a b a b a 21332
121231
)4()3()65(----?÷-?12
35()6a b - b
45-
5
计算:
4
13
3
223
3
84b a a
b a
-+÷3
3
)21(a a
b - a 6计算:
12112
13
32·
··a b a b ---?? ?
7计算:21
332
12
1231)4()3(6
5----?÷?-??b a b a b a
8 计算:32
63441031)3
2
()32(28)67()23(--?+?+-?-110
9 计算:
4
3
5
35
2
3
a b b a ?
=4a a
10计算: 2211
0.50.25
332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]0.062589----+÷?÷() 9
2
11计算:
.)2(248533233
23
233
23
134a
a a a a
b a
a
ab b b a a ???-÷++--
2a
12计算:2
1
3323
121
)(1.0)4()41(----?b a ab
13化简46
3
9436
9)()(
a a ?的结果为( a 4 )
14计算: 22110.50.25
332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]0.062589----+÷?÷
()
15化简:
.)2(248533233
23
233
23
134a
a a a a
b a
a
ab b b a a ???-÷++--
16计算:021
23
1
)12()9
72()71()
027.0(--+----
=__-45______。
17计算:41
2
12132
5.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---;9
2
18计算:
)0(5
4
3>a a
a a 的值是_10
17
a ______.
19化简: 0
121
32)32()25(10)002.0()8
27(-+--+---- -1679.
20若122-=x
a
,则x
x x
x a
a a a --++33等于( 122- ) 21已知4
4
2
21
)31
)(21(,31a
a a a a
a a a a
a +
++
++=+
求
的值. 5200
22已知4
4
2
21
)31
)(21(,31a
a a a a
a a a a
a +
++
++=+
求
的值.
23若32
121=+-x
x ,求3
2
2
22
323
++++--
x x x x 的值.25. 24指数函数x
a x f =)(的图象经过点)8,3(-,则=)3(f __1
8
25已知函数x
x x f -+=22)(,若3)(=a f ,则)2(a f =_____7_____.
26已知2
15-=
a ,函数x
a x f =)(,若实数n m ,满足)()(n f m f >,则n m ,的关系为( n m <)
27若()
10x f x =,则()3f =( lg 3 ) 28已知4213
3
3
2,3,25a b c ===,则 b a c <<
29设函数???
??<≥=02
10)(x x x x x f 则))4((-f f =_____4_____.
30比较下列两个值的大小:
(1)53
31-??
?
??和2
3
4- (2) 2-π和214.3- (3)2
131-
?
?? ??和2
123-
?
?
? ??
31设5.1344.029
.01)2
1
(,8,4
-===y y y ,则( )
A .3y >1y >2y
B .2y >1y >3y
C .1y >2y >3y
D .1y >3y >2y
32下列各式比较大小正确的是( ).
A .1.72.5>1.73
B .0.6-1>0.62
C .0.8-0.1>1.250.2
D .1.70.3<0.93.1
33已知函数2
()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b
的取值范围为(22
34若43-->a a ,求a 的取值范围。1>a
35设5.1344.029
.01)2
1
(,8,4
-===y y y ,则( 1y >3y >2y )
36已知2log 2,)2
1
(,255.02.1===-c b a ,则c b a ,,的大小关系为( c b a >> )
37设m b a ==52,且
21
1=+b
a ,则m 等于( 10 ).
38求函数y =3
3
22++-x x 的定义域、值域和单调区间.[1,+∞).
39函数x
a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3,则=a 2 .
40指数函数x
a x f =)(在]2,1[中的最大值比最小值大
2a ,则a 的值为___2
321or 41若函数2
)()(μ--=x e x f (e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数,求m +μ的值。1
42若指数函数1)(-=x
a x f 的定义域和值域都是]2,0[,则实数=a __3_____.
43函数 2 010 2 010x y a -=+(10≠>a a 且),恒过点___(2 010,2 011)_____. 44方程22x x -=的解的个数为__1____. 45已知121)(--
=x a x f 是定义在),1[]1,(+∞--∞ 上的奇函数,则)(x f 的值域为__
]2
3
,21()21,23[ --
46求函数1)21()41(+-=x x y 在]2,3[-上的值域.]57,4
3[
47求函数1
)
3
2(+-=x y 的值域.
48求函数1
22+=x x
y 在x ∈[-3,2]上的值域
49函数1
21
+=x
y 的值域是)1,0(____.
50求函数4
322
+--=x x y 的值域.
51求函数x
x y 22
21-?
?
?
??=的单调区间,
52函数1
2221-+?
?
? ??=x x y 的值域是( )为]4,0(
53已知函数 ()
121-?
?
?
??=x y 求值域10≤ 54 函数y =[0,4) 55函数3|log | 3x y =的值域为[1,)+∞ 56设2 2)(x x x f -= ,求函数524 12 1+?-=+-x x y 的最大值和最小值. 57求函数3 22 3++-=x x y 的值域。),1[+∞. 58 解方程032 41 =--+x x 59方程649x x x +=的根是 2 3 2251()0,(),332 1 log 2x x x ->=∴=则 。 60方程1 42 0x x +-=的解为_______.1=x 61若函数()()101x y a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限,则有( B ) A .1a >,且1b < B .1a >,且0b > C .01a <<,且0b > D .01a <<,且0b < 62方程 1 313313 x x -+=-的实数解为______3log 4x =. 63若函数4 2)(-=x a x f (10≠>a a 且),满足9 1)1(=f ,则)(x f 的单调递减区间是 [2,+∞) 64若存在负实数使得方程1 1 2-= -x a x 成立,则实数a 的取值范围是 ( (2,+∞) ) 65已知实数b a ,满足等式b a 20152014=,下列五个关系式:①a b <<0;②b a <<0;③0< ④0< A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 66设函数=)(x f ()() 1 , 0,0x x x e x ?>???? ≤若R x x x f x F ∈+=,)()(,则)(x F 的值域为( ),2[]1,(+∞-∞ ) 67若关于x 的方程a a x 21=-(10≠>a a 且)有两个不等实根,则a 的取值范围是( )2 1,0( ) 68关于x 的方程32325x a a +??= ?-?? 有负数根,则实数a 的取值范围为__)43,32(-___. 69设函数3 x y =与2 )2 1(-=x y 的图象的交点为),(00y x ,则0x 所在的区间为)1,(+k k ,求整数k 的值是1 70对于函数的这些性质:(1)奇函数;(2)偶函数;(3)增函数;(4)减函数,函数()()322x x f x x x R -=+-∈具有的性质是( B ) A (1)(4) B (1)(3) C (2)(4) D (3) 71下列各式中正确的是( D ) A B C D .<<.<<.<<.<<()()()()()()()()()()()()121512 121215 151212 151212 2323 1 3 1323 2 3 23132 3 23231 3 72设关于x 的方程02 41 =--+b x x 有实数解,求实数b 的取值范围。),1[+∞- 73函数()x a y 1-=与x a y ??? ??=1具有不同的单调性,则()31 1-=a m 与3 1?? ? ??=a n 的大小关系是( D ) A . m <n B . m =n C . m >n D .不能确定 74若* ∈N n ,则=+-+ ++----12412411n n n n ( 2 ) 75下列说法中,正确的是( B ) ①任取R x ∈都有x x 23>; ②当1>a 时,任取R x ∈都有x x a a ->;③x y -=)3(是增函数; ④x y 2=的最小值为1 ; ⑤在同一坐标系中,y =x 2与y =x -2 的图象对称于y 轴; A .①②④ B .④⑤ C .②③④ D .①⑤ 76不等式162 2<-+x x 的解集是 }12|{<<-x x . 77不等式2 1 2 4 22≤ -+x x 的解集为____]1,3[- 78指数函数x a x f )1()(2-=是减函数,则实数a 的取值范围是 )2,1()1,2( -- . 79对于自然数,,()a b c a b c ≤≤和实数,,,x y z w ,若70,x y z w a b c ===1111x y z w ++=, 则a b +与c 的大小关系为a b c += 79若函数1 ,0()1(),0 3x x x f x x ??=??≥?? 则不等式1|()|3f x ≥的解集为_____[]3,1-_______ 80若函数|1| 12x y m -?? =+ ? ?? 的图象存在零点,则m 的取值范围是 10m -≤< 81设函数1 12)(--+=x x x f ,求使22)(≥x f 的x 的取值范围.),4 3[+∞ 82已知z y x ,,满足,0442=-+y x , 5424+?-=y x z 求z 的取值范围。213<<-z 83满足条件2)(2 m m m m >的正数m 的取值范围是______),2()1,0(+∞ _____________. 84函数)1(log )(++=x a x f a x 在]1,0[上的最大值与最小值的和为a ,则a 的值为 2 1 85已知093109≤+?-x x ,求函数2)2 1 (4) 4 1(1 +-=-x x y 的最大值2 86若函数)43lg(2 x x y +-=的定义域为M ,当M x ∈时,求x x x f 432)(2 ?-=+的最大值。 3 4 87解方程:1 1 2 35-+=x x 88函数3|log | 3 x y =的值域为[1,)+∞ 89函数2 )3 1(x y =的值域是( (0,1] ) 90 函数2 22) 2 1(+-=x x y 的递增区间是_(-∞,1]__________. 91函数x e y -=的图象 A.与x e y =的图象关于y 轴对称 B.与x e y =的图象关于坐标原点对称 C.与x e y -=的图象关于y 轴对称 D.与x e y -=的图象关于坐标原点对称 92指数函数122-+=x x a a y 在]1,1[-上的最大值是14,求a 的值. 93若函数2 27 24)(2 1+ ?-=-x x a x f 在区间]2,0[上的最大值为9,求实数a 的值。5 94函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3,则=a . 95求函数3 22 3++-=x x y 在]3,0[的最大值. 96若直线a y 2=与函数1-=x a y (10≠>a a 且)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是__)2 1,0(___ 97若曲线12+=x y 与直线b y =没有公共点,则b 的取值范围是___]1,1[- 98设函数2 1 212)(-+=x x x f ,][x 表示不超过x 的最大整数,则函数)]([x f y =的值域是 .}0,1{- 99设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0>x 时,32)(-=x x f ,则=+-)0()2(f f ____-1 100函数)(x f 的定义域为R ,)2()2(x f x f -=+,当]2,1[-∈x 时,()12x f x ?? = ??? ,则)4(),1(),21(f f f -的 大小关系是________.)1()4()2 1 (f f f >>- 101已知实数1≠a ,函数???≤>=-0 0)(2x e x e x f x a x ,若)1()1(-=-a f a f ,则a 的值为_21 _. 102要使函数124++=x x a y 在]1,(-∞∈x ,上0>y 恒成立,求a 的取值范围。4 3->a , 103已知函数?? ?>≤+-=-7710)31()(7 x a x a x a x f x ,是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( ]116 ,31( ). 104若函数ax x x f 2)(2 +-=与()1(1)x g x a -=+在区间]2,1[上都是减函数,则a 的取值范围是__]1,0(__ 105定义运算:?? ?>≤=*b a b b a a b a ,若()22,x x f x x -=*∈R ,则()f x 的值域为 (0,1] 106若指数函数x a x f =)(在]2,1[-上的最大值为4,最小值为m , 且函数()(14g x m =-),0[+∞上是增函数,则=a ____1 4 ______. 107函数b a y x -=(10≠>a a 且)的图象经过第二、三、四象限,则b a 的取值范围为()1,0( ). 108已知函数? ??≤-->-=020 12)(2x x x x x f x ,若函数m x f x g -=)()(有3个零点,则实数m 的取值范围是_)1,0(_. 109已知指数函数x a x f -=)(,且)3()2(->-f f ,则a 的取值范围是_)1,0(_______. 110函数x x y --=22是( ). A .奇函数,在区间),0(+∞上单调递增 B .奇函数,在区间),0(+∞上单调递减 C .偶函数,在区间)0,(-∞上单调递增 D .偶函数,在区间)0,(-∞上单调递减 111若函数1-+=b a y x (10≠>a a 且)的图象经过二、三、四象限,则一定有 A.10<b B.1>a 且0>b