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指数及指数函数

对数运算和对数函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果a x n

=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *.负

数没有偶次方根;0的任何次方根都是

记作00=n 。当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2.分数指数幂 正

的分数

指数

幂的意义,

)1,,,0(*

>∈>=n N n m a a a

n

m

n

m )1,,,0(1

1*>∈>=

=

-n N n m a a a

a n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈; (2)()(0,,)r s rs

a a a r s Q =>∈;(3)()(0,0,)r r r a

b a b a b r Q =>>∈. (二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数,其中x 是自变量,

函数的定义域为R .

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2

(1)在],[b a 上,x

a x f =)((0>a 且1≠a )值域是)]

b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [;

(2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x

≠>=且,总有a )1(f =; 一、化解

1

111

3342

a b a b -?? ???

0,0a b >>) 1

ab - (2)0121

32

)32()25(10)002.0()827(-+--+----.67

9

1-

二、比较大小 1、 2.5

31.7______1.7; 2 0.10.20.8______1.25- ;3 331.7______1.8; 4 220.7______0.8--;

5 0.3

3.11.7

______0.9;

6设52

53

52

)5

2

(,)52(,)53(===c b a ,则c b a ,,的大小关系是,c b a >>

三、解指数方程

1 方程96370x

x

-?-=的解是___3log 7x =______。 2 方程192327x x ---?=的根是 。 四、方程恒过定点 1已知函数()1

4x f x a -=+的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( ()1,5 )

2已知函数3)(1-=-x

a

x f 的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( )2,1(- )

五、指数函数的单调性问题

1指数函数x

a x f )1()(2

-=是减函数,则实数a 的取值范围是 .

2已知()()3 1log 1a a x a x f x x x ?--

是() -∞+∞,上的增函数,那么a 的取值范围是 3 32??

????, .

六、指数函数的图像

1若1,1a b ><-则函数x

y a b =+的图象必不经过( B )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2已知函数))()(()(b a b x a x x f >--=,若)(x f 的图象如图所示,则函数b a x g x

+=)(的图象是( )

七、指数函数中的值域问题

1函数121

+=

x

y 的值域是_____. 2函数122

)2

1(-+=x x y 的值域是

( ]4,0( )

八、指数函数中的底数问题

1若指数函数x

a y =在]1,1[-上的最大值与最小值的差是a 3,则底数=

a 2

1

2函数221x

x y a

a =+-(0>a 且1≠a )在区间]1,1[-上的最大值为14,a 的值是 331==a a 或

九、指数函数中的绝对值问题

1 指数函数42)(-=x x f ,若m x f =)(有且只有两实数根,则实数m 的取值范围 2若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1||

1|5425

有实根,则实数m 的取值范围是____4-≥m ____。

十、指数函数的综合问题

1已知,3234+?-=x

x

y 当其值域为[1,7]时,求x 的取值范围。]2,1[]0,( -∞ 2已知093109≤+?-x x

,求函数2)2

1

(4)

4

1

(1

+-=-x x y 的最大值和最小值。

习题

1

63

a a -?等于 A.-a - B.-a C.a -

D.

a

2化简x

x 3

-的结果是( x -- )

3 计算:

549)13(2

51

0----+ -1 4 计算:ab b a b a b a 21332

121231

)4()3()65(----?÷-?12

35()6a b - b

45-

5

计算:

4

13

3

223

3

84b a a

b a

-+÷3

3

)21(a a

b - a 6计算:

12112

13

32·

··a b a b ---?? ?

7计算:21

332

12

1231)4()3(6

5----?÷?-??b a b a b a

8 计算:32

63441031)3

2

()32(28)67()23(--?+?+-?-110

9 计算:

4

3

5

35

2

3

a b b a ?

=4a a

10计算: 2211

0.50.25

332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]0.062589----+÷?÷() 9

2

11计算:

.)2(248533233

23

233

23

134a

a a a a

b a

a

ab b b a a ???-÷++--

2a

12计算:2

1

3323

121

)(1.0)4()41(----?b a ab

13化简46

3

9436

9)()(

a a ?的结果为( a 4 )

14计算: 22110.50.25

332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]0.062589----+÷?÷

()

15化简:

.)2(248533233

23

233

23

134a

a a a a

b a

a

ab b b a a ???-÷++--

16计算:021

23

1

)12()9

72()71()

027.0(--+----

=__-45______。

17计算:41

2

12132

5.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---;9

2

18计算:

)0(5

4

3>a a

a a 的值是_10

17

a ______.

19化简: 0

121

32)32()25(10)002.0()8

27(-+--+---- -1679.

20若122-=x

a

,则x

x x

x a

a a a --++33等于( 122- ) 21已知4

4

2

21

)31

)(21(,31a

a a a a

a a a a

a +

++

++=+

的值. 5200

22已知4

4

2

21

)31

)(21(,31a

a a a a

a a a a

a +

++

++=+

的值.

23若32

121=+-x

x ,求3

2

2

22

323

++++--

x x x x 的值.25. 24指数函数x

a x f =)(的图象经过点)8,3(-,则=)3(f __1

8

25已知函数x

x x f -+=22)(,若3)(=a f ,则)2(a f =_____7_____.

26已知2

15-=

a ,函数x

a x f =)(,若实数n m ,满足)()(n f m f >,则n m ,的关系为( n m <)

27若()

10x f x =,则()3f =( lg 3 ) 28已知4213

3

3

2,3,25a b c ===,则 b a c <<

29设函数???

??<≥=02

10)(x x x x x f 则))4((-f f =_____4_____.

30比较下列两个值的大小:

(1)53

31-??

?

??和2

3

4- (2) 2-π和214.3- (3)2

131-

?

?? ??和2

123-

?

?

? ??

31设5.1344.029

.01)2

1

(,8,4

-===y y y ,则( )

A .3y >1y >2y

B .2y >1y >3y

C .1y >2y >3y

D .1y >3y >2y

32下列各式比较大小正确的是( ).

A .1.72.5>1.73

B .0.6-1>0.62

C .0.8-0.1>1.250.2

D .1.70.3<0.93.1

33已知函数2

()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b

的取值范围为(22

34若43-->a a ,求a 的取值范围。1>a

35设5.1344.029

.01)2

1

(,8,4

-===y y y ,则( 1y >3y >2y )

36已知2log 2,)2

1

(,255.02.1===-c b a ,则c b a ,,的大小关系为( c b a >> )

37设m b a ==52,且

21

1=+b

a ,则m 等于( 10 ).

38求函数y =3

3

22++-x x 的定义域、值域和单调区间.[1,+∞).

39函数x

a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3,则=a 2 .

40指数函数x

a x f =)(在]2,1[中的最大值比最小值大

2a ,则a 的值为___2

321or 41若函数2

)()(μ--=x e x f (e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数,求m +μ的值。1

42若指数函数1)(-=x

a x f 的定义域和值域都是]2,0[,则实数=a __3_____.

43函数 2 010 2 010x y a -=+(10≠>a a 且),恒过点___(2 010,2 011)_____. 44方程22x x -=的解的个数为__1____. 45已知121)(--

=x a x f 是定义在),1[]1,(+∞--∞ 上的奇函数,则)(x f 的值域为__

]2

3

,21()21,23[ --

46求函数1)21()41(+-=x x y 在]2,3[-上的值域.]57,4

3[

47求函数1

)

3

2(+-=x y 的值域.

48求函数1

22+=x x

y 在x ∈[-3,2]上的值域

49函数1

21

+=x

y 的值域是)1,0(____.

50求函数4

322

+--=x x y 的值域.

51求函数x

x y 22

21-?

?

?

??=的单调区间,

52函数1

2221-+?

?

? ??=x x y 的值域是( )为]4,0(

53已知函数 ()

121-?

?

?

??=x y 求值域10≤

54

函数y =[0,4) 55函数3|log |

3x y =的值域为[1,)+∞

56设2

2)(x x x f -=

,求函数524

12

1+?-=+-x x y 的最大值和最小值.

57求函数3

22

3++-=x x y 的值域。),1[+∞.

58 解方程032

41

=--+x x

59方程649x x x +=的根是

2

3

2251()0,(),332

1

log 2x x x ->=∴=则 。 60方程1

42

0x x +-=的解为_______.1=x

61若函数()()101x

y a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限,则有( B )

A .1a >,且1b <

B .1a >,且0b >

C .01a <<,且0b >

D .01a <<,且0b <

62方程

1

313313

x x

-+=-的实数解为______3log 4x =. 63若函数4

2)(-=x a x f (10≠>a a 且),满足9

1)1(=f ,则)(x f 的单调递减区间是 [2,+∞)

64若存在负实数使得方程1

1

2-=

-x a x

成立,则实数a 的取值范围是 ( (2,+∞) )

65已知实数b a ,满足等式b

a

20152014=,下列五个关系式:①a b <<0;②b a <<0;③0<

④0<

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

66设函数=)(x f ()()

1

,

0,0x x x

e x ?>????

≤若R x x x f x F ∈+=,)()(,则)(x F 的值域为( ),2[]1,(+∞-∞ )

67若关于x 的方程a a x 21=-(10≠>a a 且)有两个不等实根,则a 的取值范围是( )2

1,0( )

68关于x 的方程32325x

a

a +??= ?-??

有负数根,则实数a 的取值范围为__)43,32(-___.

69设函数3

x y =与2

)2

1(-=x y 的图象的交点为),(00y x ,则0x 所在的区间为)1,(+k k ,求整数k 的值是1

70对于函数的这些性质:(1)奇函数;(2)偶函数;(3)增函数;(4)减函数,函数()()322x x f x x x R -=+-∈具有的性质是( B ) A (1)(4) B (1)(3) C (2)(4) D (3) 71下列各式中正确的是( D )

A B C D .<<.<<.<<.<<()()()()()()()()()()()()121512

121215

151212

151212

2323

1

3

1323

2

3

23132

3

23231

3

72设关于x 的方程02

41

=--+b x x 有实数解,求实数b 的取值范围。),1[+∞-

73函数()x

a y 1-=与x

a y ??? ??=1具有不同的单调性,则()31

1-=a m 与3

1??

?

??=a n 的大小关系是( D )

A . m <n

B . m =n

C . m >n

D .不能确定

74若*

∈N n ,则=+-+

++----12412411n n n n ( 2 )

75下列说法中,正确的是( B )

①任取R x ∈都有x

x

23>; ②当1>a 时,任取R x ∈都有x

x

a

a ->;③x

y -=)3(是增函数;

④x y 2=的最小值为1 ; ⑤在同一坐标系中,y =x 2与y =x

-2

的图象对称于y 轴;

A .①②④

B .④⑤

C .②③④

D .①⑤

76不等式162

2<-+x x 的解集是 }12|{<<-x x .

77不等式2

1

2

4

22≤

-+x x 的解集为____]1,3[- 78指数函数x

a x f )1()(2-=是减函数,则实数a 的取值范围是 )2,1()1,2( -- .

79对于自然数,,()a b c a b c ≤≤和实数,,,x y z w ,若70,x y z w

a b c ===1111x y z w

++=, 则a b +与c 的大小关系为a b c +=

79若函数1

,0()1(),0

3x x x

f x x ?

80若函数|1|

12x y m -??

=+ ?

??

的图象存在零点,则m 的取值范围是 10m -≤<

81设函数1

12)(--+=x x x f ,求使22)(≥x f 的x 的取值范围.),4

3[+∞

82已知z y x ,,满足,0442=-+y x , 5424+?-=y

x

z 求z 的取值范围。213<<-z 83满足条件2)(2

m m m m >的正数m 的取值范围是______),2()1,0(+∞ _____________.

84函数)1(log )(++=x a x f a x

在]1,0[上的最大值与最小值的和为a ,则a 的值为

2

1 85已知093109≤+?-x

x ,求函数2)2

1

(4)

4

1(1

+-=-x x y 的最大值2

86若函数)43lg(2

x x y +-=的定义域为M ,当M x ∈时,求x x x f 432)(2

?-=+的最大值。

3

4 87解方程:1

1

2

35-+=x

x

88函数3|log |

3

x y =的值域为[1,)+∞

89函数2

)3

1(x y =的值域是( (0,1] )

90 函数2

22)

2

1(+-=x x y 的递增区间是_(-∞,1]__________.

91函数x

e y -=的图象

A.与x

e y =的图象关于y 轴对称 B.与x

e y =的图象关于坐标原点对称 C.与x e

y -=的图象关于y 轴对称

D.与x

e

y -=的图象关于坐标原点对称

92指数函数122-+=x x

a a

y 在]1,1[-上的最大值是14,求a 的值.

93若函数2

27

24)(2

1+

?-=-x x a x f 在区间]2,0[上的最大值为9,求实数a 的值。5 94函数x

a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3,则=a .

95求函数3

22

3++-=x x

y 在]3,0[的最大值.

96若直线a y 2=与函数1-=x a y (10≠>a a 且)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是__)2

1,0(___ 97若曲线12+=x y 与直线b y =没有公共点,则b 的取值范围是___]1,1[-

98设函数2

1

212)(-+=x

x x f ,][x 表示不超过x 的最大整数,则函数)]([x f y =的值域是 .}0,1{- 99设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0>x 时,32)(-=x

x f ,则=+-)0()2(f f ____-1

100函数)(x f 的定义域为R ,)2()2(x f x f -=+,当]2,1[-∈x 时,()12x

f x ??

= ???

,则)4(),1(),21(f f f -的

大小关系是________.)1()4()2

1

(f f f >>-

101已知实数1≠a ,函数???≤>=-0

0)(2x e x e x f x a x ,若)1()1(-=-a f a f ,则a 的值为_21

_.

102要使函数124++=x

x

a y 在]1,(-∞∈x ,上0>y 恒成立,求a 的取值范围。4

3->a , 103已知函数??

?>≤+-=-7710)31()(7

x a

x a x a x f x ,是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( ]116

,31( ). 104若函数ax x x f 2)(2

+-=与()1(1)x g x a -=+在区间]2,1[上都是减函数,则a 的取值范围是__]1,0(__ 105定义运算:??

?>≤=*b

a b b

a a

b a ,若()22,x x f x x -=*∈R ,则()f x 的值域为 (0,1]

106若指数函数x

a x f =)(在]2,1[-上的最大值为4,最小值为m ,

且函数()(14g x m =-),0[+∞上是增函数,则=a ____1

4

______.

107函数b a y x

-=(10≠>a a 且)的图象经过第二、三、四象限,则b

a 的取值范围为()1,0( ).

108已知函数?

??≤-->-=020

12)(2x x x x x f x ,若函数m x f x g -=)()(有3个零点,则实数m 的取值范围是_)1,0(_.

109已知指数函数x

a

x f -=)(,且)3()2(->-f f ,则a 的取值范围是_)1,0(_______.

110函数x

x

y --=22是( ).

A .奇函数,在区间),0(+∞上单调递增

B .奇函数,在区间),0(+∞上单调递减

C .偶函数,在区间)0,(-∞上单调递增

D .偶函数,在区间)0,(-∞上单调递减 111若函数1-+=b a y x

(10≠>a a 且)的图象经过二、三、四象限,则一定有 A.10<b

B.1>a 且0>b

C.10<

D.1>a 且0

112 设13)(-=x x f ,a b c <<且)()()(b f a f c f >>,则下列关系式中一定成立的是( D ).

A .b c 33>

B .a b 33>

C .233>+a c

D .233<+a c

113对于函数()f x 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠,有如下结论:①)()()(2121x f x f x x f =+;②)()()(2121x f x f x x f +=?;③

0)()(2121>--x x x f x f ;④2

)

()()2(2121x f x f x x f +<+,当x x f 2)(=时,上述结

论中正确结论的序号是______. ①③④

114已知直线mx y =与函数?????>+≤-=012

0)31(2)(2x x x x f ,的图象恰好有3个不同的公共点,则实数m 的取值范围是( ),2(+∞ )

115对于函数)(x f ,如果存在函数b ax x g +=)((b a ,为常数),使得对于区间D 上的一切实数x 都有

)()(x g x f ≤成立,则称函数)(x g 为函数)(x f 在区间D 上的一个“覆盖函数”,设x x g x f x 2)(,2)(==,若函数)(x g 为函数)(x f 在区间],[n m 上的一个“覆盖函数”,则|m -n |的最大值为______1

116已知函数??

???∈∈+=-)

2,21[2)21,0[21

)(1

x x x x f x ,若存在21,x x ,当2021<<≤x x 时,)()(21x f x f =,则)(21x f x 的取值范

围是___)2

1

,422[

- 117设函数)(x f 定义在实数集上,它的图象关于直线1=x 对称,且当1≥x 时,13)(-=x

x f ,则有( ) A .)32()23()31(f f f <

1()32()23(f f f <<

118指数函数x

b y a ??= ???

的图象如图所示,求二次函数2

y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围.102??- ???,

119在下列图象中,二次函数c bx ax y ++=2

与函数x

a

b y )(=的图象可能是( )

120已知函数22)(-=x

x f ,则函数)(x f y =的图象可能是( ).

121指数函数(1)x

a y =,(2)x

b y =,(3)x

c y =,(4)x

d y =的图象如下,则d c b a ,,,与1的大小关系是

y

A.a <b <1<c <d

B.b <a <1<d <c

C.1<a <b <c <d

D.a <b <1<d <c

122函数3

2x

y =的图象与直线x y =的位置关系是C

123定义运算??

?>≤=⊕b

a b b a a b a ,则x

x x f -⊕=22)(的图象是( )

124函数a a y x

-=(0>a ,且1≠a )的图象可能是( )

125函数b

x a

x f -=)(的图象如图所示,其中b a ,为常数,则下列结论正确的是 ( )

A .0,1<>b a

B .0,1>>b a

C .0,10><

D .0,10<<

126函数a

a y x

1

-

=(0>a ,且1≠a )的图象可能是( A ).

.o.m

127在下列图象中,二次函数c bx ax y ++=2

与函数x

a

b y )(=的图象可能是( A )

128函数x

x x

x e e e e y ---+=的图象大致为( A )

129设已知函数x x e

a

a e x f --+=

)(是定义在R 上的函数. (1))(x f 可能是奇函数吗? (2)若)(x f 是偶函数,求a 的值.1±=a

130 已知函数2)(x x e e x f --=,2

)(x

x e e x g -+=,证明:)(21x x f +=)(1x f )(2x g +)(1x g )(2x f .

131 设a 是实数,2

()()21

x

f x a x R =-

∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 132 k 为何值时,方程k x =-13,无解?有一解?有两解?

133已知函数1

1

)(+-=x x a a x f , (1)a >

(1)判断函数的奇偶性;奇函数 (2)求该函数的值域;)1,1(- (3)证明()f x 是R 上的增函数.

134设2

44)(+=x x

x f ,若01a <<,试求:

(1)求()(1)f a f a +-的值;1 (2)求123

1000

()()()()1001100110011001

f f f f ++++的值.500

135已知0>a 且)1

(1)(log .12x

x a a x f a a --=≠ (1)求)(x f ;)(1

)(2

x

x a a a a x f ---=

(2)判断)(x f 的奇偶性与单调性;

(3)对于)(x f ,当)1,1(-∈x 时 , 有2

( 1

) (1) 0f m f m +<--,求m 的集合。21<

136已知函数x

x a

b y 22++=(b a ,是常数且1,0≠>a a )在区间]0,23[-

上有2

5

,3min max ==y y ,试求a 和b 的值. ??

?==22b a 或??

???

==23

32b a 137已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=,当[]0,4x ∈时,()2x m

f x n -=+,且()26f =.

(1)求,m n 的值;??

?==5

2

n m

(2)当[]0,4x ∈时,关于x 的方程()20x

f x a -?=有解,求a 的取值范围.9,916a ??

∈????

138已知函数x

x

x f 3

13)(-

=

(1)若2)(=x f ,求x 的值;)21(log 3+=x (2)判断0>x 时,)(x f 的单调性;递增

(3)若0)()2(3≥+t mf t f t

对于]1,2

1[∈t 恒成立,求m 的取值范围。),4[+∞-

139已知定义在实数集R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2,且当)1,0(∈x 时,1

42)(+=x x

x f 。

(1)求函数)(x f 在)1,1(-上的解析式;()()2,1,0410,02,0,141

x

x x x x x x ?-∈-?+??

=???∈?+?

(2)判断)(x f 在)1,0(上的单调性;

(3)当λ取何值时,方程λ=)(x f 在)1,1(-上有实数解?)2

1

,52(}0{)52,21( --

140已知定义域为R 的函数a

b

x f x x ++-=+122)(是奇函数.

(1)求b a ,的值;??

?==1

2

b a

(2)若对任意的R t ∈,不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的取值范围.3

1

)2

111(

)(x a x f x

?+-=(0>a 且1≠a ). (1)求函数)(x f 的定义域;}0{≠x x (2)讨论函数)(x f 的奇偶性; 偶函数 (3)求a 的取值范围,使0)(>x f 在定义域上恒成立。1>a

142已知函数2)(x x e e x f --=,2

)(x

x e e x g -+=

(1)判断函数)(x f 、)(x g 的奇偶性;(2) 证明()f x 是R 上的增函数; (3) 证明:①)2(x f =2)(x f )(x g ; ②1)]([)]([2

2

=-x f x g .

143已知2

()()1

x x a f x a a a -=

-- (0>a 且1≠a ). (1)判断)(x f 的奇偶性; (2)讨论)(x f 的单调性;

(3)当]1,1[-∈x 时,b x f ≥)(恒成立,求b 的取值范围。]1,(--∞ 144已知函数x

x

x f 2

12)(-

=

(1)若2)(=x f ,求x 的值;)21(log 2+=x

(2)若0)()2(2≥+t mf t f t

对于]2,1[∈t 恒成立,求实数m 的取值范围.),5[+∞-

145已知函数x x f x )2

1

121(

)(+-= (1)求函数)(x f 的定义域; (2)讨论)(x f 的奇偶性;偶函数 (3)求证:0)(>x f 146已知函数3

42)

3

1()(+-=x ax x f

(1)若1-=a ,求)(x f 的单调区间;单调递增区间是),2[+∞-,单调递减区间是)2,(--∞ (2)若)(x f 有最大值3,求a 的值.1 147设函数x

x

a

ka x f --=)((0>a 且1≠a )是定义域为R 的奇函数.

(1)若0)1(>f ,试求不等式0)4()2(2

>-++x f x x f 的解集;),1()4,(+∞--∞ (2)若2

3)1(=

f ,且)(4)(22x f a a x

g x

x -+=-,求)(x g 在),1[+∞上的最小值.-2 148已知函数x

a b x f ?=)((其中b a ,为常量且0>a 且1≠a )的图象经过点)24,3(),6,1(B A 。 (1)试确定)(x f ;x

x f 23)(?=

(2)若不等式0)1()1(≥-+m b a x

x

在]1,(-∞上恒成立,求实数m 的取值范围.]6

5,(-∞