宝安区2020-2021学年第一学期期末调研测试卷
高三 数学
2020.09
全卷共三道大题,满分150分,考试时间120分钟。 注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合{}
=1A x y x =-,{}12B x x =-<< ,则A B =( )
A .()1,1-
B .(]1,1-
C .[)1,2
D .()1,2
2.设函数(),f x x =则
()()0
11x f x f x
lim
?→+?-=
?( )
A .0
B .1
C .2
D .-1
3. 在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=3,AC=4,点M 满足2BM MC =,则AB AM ?等于( )
A .10
B .9
C .8
D .7
4.已知函数()f x 与()f x '图象如图所示,则不等式组()()
03
f x f x x '??<?的解集为( )
A. ()0,1
B. ()1,3
C. ()1,2
D. ()1,4
第4题
5.设01a <<,离散型随机变量X 的分布列是如下,则当a 在20,3??
???
内增大时( )
X
0 1 2
P
12
a -
12 2
a A .()D X 增大 B .()D X 减小 C .()D X 先减小后增大 D .()D X 先增大后减小 6.如果函数()f x 对任意的实数x ,都有()1()f x f x +=-,且当1
2
x ≥时,()()2log 31f x x =-,那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为( )
A .2
B .3
C . 4
D .-1
7.函数()()f x x g x =-的图象在2x =点处的切线方程是1y x =--,则()()22g g '+=( ) A.7
B.4
C.0
D.-4
8. 如图,1111D C B A ABCD -为正方体,下面结论:① //BD 平面11D CB ;② BD AC ⊥1;③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1
C.2
D.3
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知点P 在双曲线C :22
1169
x y -=上,
F 1,F 2是双曲线C 的左、右焦点,若12PF F ?的面积为20,则下列说法正确的有( )
A .点P 到x 轴的距离为
203 B.1250
||+||=3
PF PF C .12PF F ?为钝角三角形 D.12=
3F PF π
∠
10.已知正项等比数列{}n a 满足12a =,4232a a a =+,若设其公比为q ,前n 项和为n S ,则( )
A .2q = B. 2n
n a = C. 10=2047S D. 12n n n a a a +++<
11.已知函数()sin(3)()2
2
f x x π
π
??=+-<<
的图象关于直线4
x π=
对称,则( )
A .函数(+
)12
f x π
为奇函数
B .函数()f x 在[,]123
ππ
上单调递增
C .若12| ()()|2f x f x -=,则12| |x x -的最小值为3
π D .函数()f x 的图象向右平移
4
π
个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 12.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F ,且1
=2
EF ,则下列结论中正确的是( ) A .AC ⊥BE B .EF ∥平面ABCD
C .AEF 的面积与BEF 的面积相等
D .三棱锥A-BEF 的体积为定值
三、填空题:每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上。
13.如果复数()2,,2,a i bi a b R ++∈成等差数列,则a b +=_____________.
14.某车队有6辆车,现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务,要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出,则共有_____________种不同的调度方法.(用数字填写答案)
15.设函数()()()21,0
0,0,11,0x f x x g x x f x x >??===-??-
,则函数()g x 的递减区间是__________.
16.已知定义在R 上的奇函数()f x ,设其导函数为'()f x ,当(,0)x ∈-∞时,恒有()()xf x f x '<--,令()()f x F x x
=
,则满足()()21F x F x >-的实数x 的取值范围为_______.
四、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本题10分)已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--,且π
()13
f =.
(1)求a 的值及()f x 的最小正周期; (2)若1()3f α=-,(0,)2
απ
∈,求sin 2α.
18. (本小题12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2,n S n n =+数列{}n b 满足
1222121
21
n
n n b b b
a =
+++
+++. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)若,4
n n
n a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T .
19.(本小题12分)如图,AB 为圆O 的直径,点E ,F 在圆O 上,//AB EF ,矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直,已知2AB =,1EF =. (Ⅰ)求证:平面DAF ⊥平面CBF ;
(Ⅱ)当AD 的长为何值时,二面角--D CF B 的大小为60??
20. (本小题12分)已知抛物线的方程为24x y =,过点()4,2P 作斜率为k 直线l 与抛物线交于
不同的两点M ,N . (1)求k 的取值范围;
(2)若OMN ?为直角三角形,且OM ON ⊥,求k 的值.
21. (本小题12分)2020年寒假是个特殊的寒假,因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在线网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,男生与女生的人数之比为11:13,其中男生30人对于线上教育满意,女生15名表示对线上教育不满意.
(1)完成22?列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”
(2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的个数为ξ,求出ξ的分布列及期望值. 参考公式:附()
()()()()
2
2
n ad bc K a b a c b d c d -=
++++
22. (本小题12分)已知函数()()32,ln f x x x b g x a x =-++=.
(1)若函数()f x 在区间1,12??-??
??
上的最大值为38
,求实数b
的值;
(2)对任意的[]1,x e ∈,都有()()22g x x a x ≥-++恒成立,求实数a 的取值范围.
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 C B
D
B
D
C
A
D
二.多选题 9 10 11 12 BC ABD
AC
ABD
三. 填空题 13. 4 14. 72 15. [)0,1 16. 111,,1322??
??
?
???
??
三.解答题
17. 解:(1)由已知π()13f =,得11
2122
a ??=,解得2a =.(1分)
所以31
()4cos (sin cos )2
f x x x x =-223sin cos 2cos x x x =-
3sin 2cos21x x =--π
2sin(2)16x =--.
所以π
()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.(5分))
(2)1()3f α=-,π1π1
2sin(2)1,sin(2)6363
αα--=--=,
因为(0,)2απ∈,所以π52(,)666αππ
-∈-,又π11sin(2)632α-=<,所以π2(0,)66απ-∈.
所以π22
cos(2)6α-=.(7分))
则ππππππ
sin 2=sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 666666
αααα-+=-+-
13221322
32+=?+?=
.(10分) 18. 解:(1)因为2n S n n =+,所以当1n =时,112a S ==,
当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=,(2分)
又12a =也满足上式,所以2()n a n n *=∈N . 又12222121
21n
n n b b b
a n +++
==+++, 所以
11221
22(2,)2121
2
1
n n b
b b
n n n *--+++=-≥∈+++N ,
两式作差得,221
n
n
b =+,所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ,(5分) 当1n =时1
1,
2,63
b b ==,又16b =满足上式,所以122()n n b n +*=+∈N .(6分) (2)因为2,4
n n n
n a b c n n =-=?所以231222322n n T n =?+?+?++?,
23121222(1)22n n n T n n +=?+?+
+-?+?,
两式相减,得23122222n n n T n +-=++++-?,即11222n n n T n ++-=--?,
所以1(1)22n n T n +=-?+.(12分)
19. 解:(1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,CB ⊥AB ,平面ABCD ∩平面ABEF =AB , ∴CB ⊥平面ABEF ,(3分) ∵AF ?平面ABEF ,∴AF ⊥CB ,
又因为AB 为圆O 的直径,∴AF ⊥BF ,∴AF ⊥平面CBF , ∵AF ?平面ADF ,∴平面DAF ⊥平面CBF .(6分)
(Ⅱ)设EF 中点为G ,以O 为坐标原点,OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设(0)AD t t =>,则点D 的坐标为()1,0,t ,则()1,0,C t -,又()()131,0,0,1,0,0,,,02A B F ??- ? ???,所以()132,0,0,,,2CD FD t ??==- ? ???
, 设平面DCF 的法向量为()1,,n x y z =,则10n CD ?=,10n FD ?=,即20
30x y tz =??
?-+=??,
令3z =,解得0x =,2y t =,∴()
10,2,3n t =.(8分)
由(1)可知AF ⊥平面CFB ,取平面CFB
的一个法向量为212n AF ??
==- ? ???
,
∴1212cos60||||n n n n ?
?=
?
,即12
,解得t = 因此,当AD DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°
.(12分) 20. 解:(1)直线l 的方程可设为(4)2y k x =-+,1分
联立方程组得2
(4)24k x y
y x ==-+??
?,
消元得241680x kx k -+-= 3分
()
216416
80k k ?=-->,解得22k k <>
5分
(2)设()()1122,,,M x y N x y ,因为OM ON ⊥,所以0OM ON
k k
?=,7分 所以12120x x y y +=,()()121242420x x k x k x +-+-+=????????,
9分
()()()()2
2
1212124240k
x x k k x x k ++-++-=,
()()()()
2
2
2
1168424240
k
k k
k k +-+-+-=11分
解之得12k =± 当12k =时,点O 和点M 重合,所以1
2
k ≠,故12k =-
12分.
21. 解:(1)因为男生人数为:11
120551113
?
=+,所以女生人数为1205565-=,于是可完成22?列联表,如下:
3分
根据列联表中的数据,得到2K 的观测值 ()2
2
12030152550960 6.713 6.63555658040143
K ??-?==≈>???,
所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”。 6分 (2)由(1)可知男生抽3人,女生抽5人, 7分
依题意可知ξ的可能取值为0,1,2,3,并且ξ服从超几何分布,
()()335380,1,2,3,k k C C P k k C ξ-===即()()0312
353533
885
150,12828
C C C C P P C C ξξ======, ()()2130
353533
88151
2,35656
C C C C P P C C ξξ======
10分
所以ξ的分布列为:
11分
()5151519
0123282856568
E ξ=?
+?+?+?= 12分
22. 解:(1)()()23232f x x x x x '=-+=--1分
令()0f x '=,得0x =或2
3
x =
2分
当1,02x ??
∈-
???时,函数()f x 为减函数, 当20,3x ??
∈ ???时,函数()f x 为增函数,
当2,13x ??
∈ ???
时,函数()f x 为减函数
3分
1324,
28327f b f b ??
??-=+=+
? ???
??,1223f f ????∴-> ? ?????
,
4分
133288f b ??
∴-=+= ???
,0b ∴=.
5分
(2)由()()22,g x x a x ≥-++得()2ln 2x x a x x -≤-
[]1,,ln 1,x e x x ∈∴≤≤由于不能同时取等号,
ln ,x x ∴<即ln 0,x x -<22ln x x
a x x
-∴≤
-在[]1,x e ∈上恒成立7分
令()22ln x x
h x x x -=
-,[]1,x e ∈,则()()()()
2
122ln ,ln x x x h x x x -+-'=-8分
当[]1,x e ∈时,10,x -≥()22ln 21ln 0,x x x x +-=+->从而()0h x '≥,
∴函数()22ln x x
h x x x
-=-在[]1,e 上为增函数
10分
∴函数()()min 11,h x h ==-1a ∴≤-
故实数a 的取值范围为(]
,1-∞-12分