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深圳市宝安区2021届高三9月开学考试

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宝安区2020-2021学年第一学期期末调研测试卷

高三 数学

2020.09

全卷共三道大题,满分150分,考试时间120分钟。 注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的。

1. 已知集合{}

=1A x y x =-,{}12B x x =-<< ,则A B =( )

A .()1,1-

B .(]1,1-

C .[)1,2

D .()1,2

2.设函数(),f x x =则

()()0

11x f x f x

lim

?→+?-=

?( )

A .0

B .1

C .2

D .-1

3. 在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=3,AC=4,点M 满足2BM MC =,则AB AM ?等于( )

A .10

B .9

C .8

D .7

4.已知函数()f x 与()f x '图象如图所示,则不等式组()()

03

f x f x x '

A. ()0,1

B. ()1,3

C. ()1,2

D. ()1,4

第4题

5.设01a <<,离散型随机变量X 的分布列是如下,则当a 在20,3??

???

内增大时( )

X

0 1 2

P

12

a -

12 2

a A .()D X 增大 B .()D X 减小 C .()D X 先减小后增大 D .()D X 先增大后减小 6.如果函数()f x 对任意的实数x ,都有()1()f x f x +=-,且当1

2

x ≥时,()()2log 31f x x =-,那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为( )

A .2

B .3

C . 4

D .-1

7.函数()()f x x g x =-的图象在2x =点处的切线方程是1y x =--,则()()22g g '+=( ) A.7

B.4

C.0

D.-4

8. 如图,1111D C B A ABCD -为正方体,下面结论:① //BD 平面11D CB ;② BD AC ⊥1;③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1

C.2

D.3

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。

9.已知点P 在双曲线C :22

1169

x y -=上,

F 1,F 2是双曲线C 的左、右焦点,若12PF F ?的面积为20,则下列说法正确的有( )

A .点P 到x 轴的距离为

203 B.1250

||+||=3

PF PF C .12PF F ?为钝角三角形 D.12=

3F PF π

10.已知正项等比数列{}n a 满足12a =,4232a a a =+,若设其公比为q ,前n 项和为n S ,则( )

A .2q = B. 2n

n a = C. 10=2047S D. 12n n n a a a +++<

11.已知函数()sin(3)()2

2

f x x π

π

??=+-<<

的图象关于直线4

x π=

对称,则( )

A .函数(+

)12

f x π

为奇函数

B .函数()f x 在[,]123

ππ

上单调递增

C .若12| ()()|2f x f x -=,则12| |x x -的最小值为3

π D .函数()f x 的图象向右平移

4

π

个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 12.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F ,且1

=2

EF ,则下列结论中正确的是( ) A .AC ⊥BE B .EF ∥平面ABCD

C .AEF 的面积与BEF 的面积相等

D .三棱锥A-BEF 的体积为定值

三、填空题:每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上。

13.如果复数()2,,2,a i bi a b R ++∈成等差数列,则a b +=_____________.

14.某车队有6辆车,现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务,要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出,则共有_____________种不同的调度方法.(用数字填写答案)

15.设函数()()()21,0

0,0,11,0x f x x g x x f x x >??===-??-

,则函数()g x 的递减区间是__________.

16.已知定义在R 上的奇函数()f x ,设其导函数为'()f x ,当(,0)x ∈-∞时,恒有()()xf x f x '<--,令()()f x F x x

=

,则满足()()21F x F x >-的实数x 的取值范围为_______.

四、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本题10分)已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--,且π

()13

f =.

(1)求a 的值及()f x 的最小正周期; (2)若1()3f α=-,(0,)2

απ

∈,求sin 2α.

18. (本小题12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2,n S n n =+数列{}n b 满足

1222121

21

n

n n b b b

a =

+++

+++. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)若,4

n n

n a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T .

19.(本小题12分)如图,AB 为圆O 的直径,点E ,F 在圆O 上,//AB EF ,矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直,已知2AB =,1EF =. (Ⅰ)求证:平面DAF ⊥平面CBF ;

(Ⅱ)当AD 的长为何值时,二面角--D CF B 的大小为60??

20. (本小题12分)已知抛物线的方程为24x y =,过点()4,2P 作斜率为k 直线l 与抛物线交于

不同的两点M ,N . (1)求k 的取值范围;

(2)若OMN ?为直角三角形,且OM ON ⊥,求k 的值.

21. (本小题12分)2020年寒假是个特殊的寒假,因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在线网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,男生与女生的人数之比为11:13,其中男生30人对于线上教育满意,女生15名表示对线上教育不满意.

(1)完成22?列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”

(2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的个数为ξ,求出ξ的分布列及期望值. 参考公式:附()

()()()()

2

2

n ad bc K a b a c b d c d -=

++++

22. (本小题12分)已知函数()()32,ln f x x x b g x a x =-++=.

(1)若函数()f x 在区间1,12??-??

??

上的最大值为38

,求实数b

的值;

(2)对任意的[]1,x e ∈,都有()()22g x x a x ≥-++恒成立,求实数a 的取值范围.

数学答案

1 2 3 4 5 6 7 8 C B

D

B

D

C

A

D

二.多选题 9 10 11 12 BC ABD

AC

ABD

三. 填空题 13. 4 14. 72 15. [)0,1 16. 111,,1322??

??

?

???

??

三.解答题

17. 解:(1)由已知π()13f =,得11

2122

a ??=,解得2a =.(1分)

所以31

()4cos (sin cos )2

f x x x x =-223sin cos 2cos x x x =-

3sin 2cos21x x =--π

2sin(2)16x =--.

所以π

()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.(5分))

(2)1()3f α=-,π1π1

2sin(2)1,sin(2)6363

αα--=--=,

因为(0,)2απ∈,所以π52(,)666αππ

-∈-,又π11sin(2)632α-=<,所以π2(0,)66απ-∈.

所以π22

cos(2)6α-=.(7分))

则ππππππ

sin 2=sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 666666

αααα-+=-+-

13221322

32+=?+?=

.(10分) 18. 解:(1)因为2n S n n =+,所以当1n =时,112a S ==,

当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=,(2分)

又12a =也满足上式,所以2()n a n n *=∈N . 又12222121

21n

n n b b b

a n +++

==+++, 所以

11221

22(2,)2121

2

1

n n b

b b

n n n *--+++=-≥∈+++N ,

两式作差得,221

n

n

b =+,所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ,(5分) 当1n =时1

1,

2,63

b b ==,又16b =满足上式,所以122()n n b n +*=+∈N .(6分) (2)因为2,4

n n n

n a b c n n =-=?所以231222322n n T n =?+?+?++?,

23121222(1)22n n n T n n +=?+?+

+-?+?,

两式相减,得23122222n n n T n +-=++++-?,即11222n n n T n ++-=--?,

所以1(1)22n n T n +=-?+.(12分)

19. 解:(1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,CB ⊥AB ,平面ABCD ∩平面ABEF =AB , ∴CB ⊥平面ABEF ,(3分) ∵AF ?平面ABEF ,∴AF ⊥CB ,

又因为AB 为圆O 的直径,∴AF ⊥BF ,∴AF ⊥平面CBF , ∵AF ?平面ADF ,∴平面DAF ⊥平面CBF .(6分)

(Ⅱ)设EF 中点为G ,以O 为坐标原点,OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设(0)AD t t =>,则点D 的坐标为()1,0,t ,则()1,0,C t -,又()()131,0,0,1,0,0,,,02A B F ??- ? ???,所以()132,0,0,,,2CD FD t ??==- ? ???

, 设平面DCF 的法向量为()1,,n x y z =,则10n CD ?=,10n FD ?=,即20

30x y tz =??

?-+=??,

令3z =,解得0x =,2y t =,∴()

10,2,3n t =.(8分)

由(1)可知AF ⊥平面CFB ,取平面CFB

的一个法向量为212n AF ??

==- ? ???

∴1212cos60||||n n n n ?

?=

?

,即12

,解得t = 因此,当AD DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°

.(12分) 20. 解:(1)直线l 的方程可设为(4)2y k x =-+,1分

联立方程组得2

(4)24k x y

y x ==-+??

?,

消元得241680x kx k -+-= 3分

()

216416

80k k ?=-->,解得22k k <>

5分

(2)设()()1122,,,M x y N x y ,因为OM ON ⊥,所以0OM ON

k k

?=,7分 所以12120x x y y +=,()()121242420x x k x k x +-+-+=????????,

9分

()()()()2

2

1212124240k

x x k k x x k ++-++-=,

()()()()

2

2

2

1168424240

k

k k

k k +-+-+-=11分

解之得12k =± 当12k =时,点O 和点M 重合,所以1

2

k ≠,故12k =-

12分.

21. 解:(1)因为男生人数为:11

120551113

?

=+,所以女生人数为1205565-=,于是可完成22?列联表,如下:

3分

根据列联表中的数据,得到2K 的观测值 ()2

2

12030152550960 6.713 6.63555658040143

K ??-?==≈>???,

所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”。 6分 (2)由(1)可知男生抽3人,女生抽5人, 7分

依题意可知ξ的可能取值为0,1,2,3,并且ξ服从超几何分布,

()()335380,1,2,3,k k C C P k k C ξ-===即()()0312

353533

885

150,12828

C C C C P P C C ξξ======, ()()2130

353533

88151

2,35656

C C C C P P C C ξξ======

10分

所以ξ的分布列为:

11分

()5151519

0123282856568

E ξ=?

+?+?+?= 12分

22. 解:(1)()()23232f x x x x x '=-+=--1分

令()0f x '=,得0x =或2

3

x =

2分

当1,02x ??

∈-

???时,函数()f x 为减函数, 当20,3x ??

∈ ???时,函数()f x 为增函数,

当2,13x ??

∈ ???

时,函数()f x 为减函数

3分

1324,

28327f b f b ??

??-=+=+

? ???

??,1223f f ????∴-> ? ?????

4分

133288f b ??

∴-=+= ???

,0b ∴=.

5分

(2)由()()22,g x x a x ≥-++得()2ln 2x x a x x -≤-

[]1,,ln 1,x e x x ∈∴≤≤由于不能同时取等号,

ln ,x x ∴<即ln 0,x x -<22ln x x

a x x

-∴≤

-在[]1,x e ∈上恒成立7分

令()22ln x x

h x x x -=

-,[]1,x e ∈,则()()()()

2

122ln ,ln x x x h x x x -+-'=-8分

当[]1,x e ∈时,10,x -≥()22ln 21ln 0,x x x x +-=+->从而()0h x '≥,

∴函数()22ln x x

h x x x

-=-在[]1,e 上为增函数

10分

∴函数()()min 11,h x h ==-1a ∴≤-

故实数a 的取值范围为(]

,1-∞-12分

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