空间几何——平行与垂直证明

c

c

∥∥b a b a ∥?三、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那

么这条直线和交线平行。

5) 利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6) 利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a

b

α

β b

a a =??βαβ

α∥b

a ∥?

b a b a ////???

?

??

==γβγαβα β

α

⊥⊥b a b

a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：

在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1) 利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2) 利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1) 利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

α

b

a

β

α

a

β

αα∥?a β

∥a ?b

∥a b a αα??α

∥a ?

2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义：两个平面没有公共点

三、“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

4) 利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

α

αββ////∩??b a P b a b a =α

β//?α

β

b

a

P

α

α

⊥?

b a a

b ⊥?α

a

b

5) 利用常用结论：

①

一条直线也垂直于第三条直线。

②

如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。 （二）1)

利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂

直于此平面。

3) 利用直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

l

b l a b a l ⊥⊥??=?⊥β

αβαβαb

a ⊥?c

a b a ⊥∥c

b ⊥?b

a

l

αA

α⊥????

?

???l b

l a l A b a b a ⊥⊥=?? α

α b

α

α∥b a ⊥b

a ⊥?

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

(完整版)高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD （第2题图）

3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

第2讲 空间中的平行与垂直

第2讲空间中的平行与垂直 高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析连接BD，BE， ∵点N是正方形ABCD的中心， ∴点N在BD上，且BN＝DN， ∴BM，EN是△DBE的中线， ∴BM，EN必相交. 连接CM，设DE＝a，则EC＝DC＝a，MC＝3 2a，

∵平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面EDC ， 则BD ＝2a ，BE ＝ a 2＋a 2＝2a ， BM ＝ ? ?? ?? 32a 2 ＋a 2＝72a ， 又EN ＝ ? ????a 22 ＋? ?? ?? 32a 2 ＝a ， 故BM ≠EN . 答案 B 2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离. 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 所以PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°. 在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝ （3）2－12＝ 2. 答案 2 3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：

空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直(文/理) 热点一空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断． 例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 (2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是() A．若a∥b，b?α，则a∥α B．若a∥α，b?α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 答案(1)D(2)D 解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交． (2)线面平行的判定定理中的条件要求a?α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D. 思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；

立体几何垂直证明题常见模型与方法

立体几何垂直证明题常见模型及方法 证明空间线面垂直需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模 型） ○1 等腰（等边）三角形中的中线 ○ 2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥ （2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥ 变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；

变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于' A . 求证:'A D EF ⊥； 变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o证明：AB ⊥PC 类型二：线面垂直证明 方法○1 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证： 1A O BDE ⊥平面 变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1 1AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1 的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； B E 'A D F G

16-17版 第1部分 专题4 突破点11 空间中的平行与垂直关系

突破点11 空间中的平行与垂直关系 提炼1 异面直线的性质 (1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．

回访1异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2.] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l

(典型题)高考数学二轮复习 知识点总结 空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假实行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体实行考查，难度中等． 1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的判定定理 ? ??? ? a ∥ b b ?αa ?α?a ∥α 线面平行的性质定理 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b 线面垂直的判定定理 ? ??? ?a ?α，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ? l ⊥α 线面垂直的性质定理 ? ????a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2． 面面垂直的判定定理 ? ????a ⊥αa ?β?α⊥β 面面垂直的性质定理 ? ??? ?α⊥β α∩β＝c a ?αa ⊥c ?a ⊥β

面面平行的判定定理 ? ????a ?βb ?β a ∩ b ＝O a ∥α， b ∥α? α∥β 面面平行的性质定理 ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题准确的是 ( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 (2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题准确的是 ( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 答案 (1)B (2)B 解析 (1)对于A ，直线l 1与l 3可能异面、相交；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B. (2)A 中直线l 可能在平面α内；C 与D 中直线l ，m 可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B 准确． 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理实行判断，必要时能够利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中． (1)(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中准确的是 ( )

专题 空间几何中的平行与垂直

专题空间几何中的平行与垂直 考点 点、线、面位置关系的判断 一 1.(优质试题浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则( ). A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【解析】∵α∩β=l,∴l?β.∵n⊥β,∴n⊥l. 【答案】C 2.(优质试题安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面, 则下列命题正确的是( ). A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m?α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确.故D项正确. 【答案】D 3.(优质试题广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平 面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ). A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行也不相交,故l1,l2中至少有一条与l相交. 【答案】D 4.(优质试题全国Ⅲ卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ). A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 【解析】连接B1C,由题意得BC1⊥B1C. ∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1?平面B1BCC1, ∴A1B1⊥BC1, ∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1, ∵A1E?平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C. 【答案】C 5.(优质试题上海卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( ). A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1

立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几何垂直证明题常 见模型及方法 Revised as of 23 November 2020

立体几何垂直证明题常见模型及方法 证明空间线面垂直需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以 下几种模型） ○ 1 等腰（等边）三角形中的中线 ○ 2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥ （2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥

变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥； 变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A . 求证:'A D EF ⊥； 变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC 类型二：线面垂直证明 方法○1 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证： 1A O BDE ⊥平面 B E 'A D F G

2016高考立体几何证明垂直的专题训练

P E D C B A 高中立体几何证明垂直的专题训练 (1) 通过“平移”,根据若//,,a b b a αα⊥⊥且平面则平面 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点，且1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC （3）利用勾股定理 7、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形， ,1, 2.PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ； 8、如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且 _ P E F B A C D P （第2题图） A C B P

专题二 第1讲空间中的平行与垂直关系

第1讲空间中的平行与垂直关系 A组基础达标 1. 能保证直线a与平面α平行的条件是________．(填序号) ①b?α，a∥b； ②b?α，c∥α，a∥b，a∥c； ③b?α，A，B∈a，C，D∈b且AC＝BD； ④a?α，bα，a∥b. 2. 若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列说法中错误的是________．(填序号) ①垂直于平面β的平面一定平行于平面α； ②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α； ③垂直于平面β的平面一定平行于直线l； ④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直． 3. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出以下四个命题： ①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是________．(填序号) 4. 已知l，m是平面α外两条不同的直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________． 5. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中的“可换命题”是________．(填序号) 6. (2019·南方凤凰台密题)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为底 边的等腰三角形，D，E，F分别是PC，AC，BC的中点． (1) 求证：平面DEF∥平面P AB； (2) 求证：AB⊥PC. (第6题) 7. (2019·南通最后一卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别

2016—高二高中立体几何证明垂直的专题训练(最新整理)

E 高中立体几何证明垂直的练习 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若a // b ,且b ⊥ 平面 ,则a ⊥ 平面 1 1. 在四棱锥 P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB⊥平面 PBC ，AB∥CD，AB= DC ， 2 E 为PD 中点.求证：AE⊥平面 PDC. D 分析：取 PC 的中点 F ，易证 AE//BF ，易证 A B F⊥平面 PDC B C P

P 2.如图，四棱锥P－ABCD 的底面是正方形，P A⊥底面ABCD，∠ PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；F 分析：取PC 的中点G，易证EG//AF，又易证A F⊥平面 PDC 于是E G⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD E A D B C （第 2 题图） 3、如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD , AB / /CD , PD =AD , E 是PB 的中点， F 是CD 上的点，且DF =1 AB , PH 为?PAD 中AD 边上的高。2 （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若PH = 1，AD =2，FC =1 求三棱锥E -BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB . 分析：要证EF ⊥平面PAB ，只要把FE 平移 到DG，也即是取AP 的中点G，易证EF//GD, 易证D G⊥平面 PAB

高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系

高中数学总复习- 第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系 【知识结构图】 第3课空间中的平行关系 【考点导读】 1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1．若b a、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交

2．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假． 命题的个数是 4 个。 3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。 4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ?a ∥b ；③α∥c ，β∥c ?α∥β； ④α∥r ，β∥r ?α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ?a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ?a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。 【范例导析】 例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面． ∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH 面ABC ，GF 面ABD ， 由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB ∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ． 例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.

高一立体几何平行垂直解答题精选

高一立体几何平行、垂直解答题精选 2017.12.18 1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN. 2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由. 3．在正方体1111ABCD A B C D -中， M ， O 分别是1,A B BD 的中点. （1）求证： //OM 平面11AA D D ； （2）求证： 1OM BC ⊥. 4．如图， AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====.

（1）求证：平面AFC ⊥平面CBF ； （2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由. 5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中， 13AA =， 2AB =， N 为棱AB 的中点． （1）求证： 1AC 平面1NB C ． （2）求证：平面1CNB ⊥平面11ABB A ． （3）求四棱锥111C ANB A -的体积． 6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且 (01).AE AF AC AD λλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC ； （2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ? 7．如图，在菱形ABCD 中， 60,ABC AC ∠=与BD 相交于点O ， AE ⊥平面A B C D ， //,2CF AE AB AE ==.

立体几何证明简单例题

考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 ' 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 ? 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． $ 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1A C ⊥面11AB D ． A E D 1 C B 1 D 【 B A S D C B A D 1C 1 B 1 A 1

> 考点：线面垂直的判定 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 《 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． ; 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD ( 考点：三垂线定理 A } A B 1 C 1 C D 1 D G F

空间中的平行与垂直关系

空间中的平行与垂直关系 一、知识梳理 1、 平行关系 （1）直线与平面平行的判定 定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。 判定定理：若l α?，a α?，l ∥a ，则l ∥α。 （2）直线与平面的平行性质定理： 判定定理：若l ∥α，l β?，a αβ= ，则l ∥a 。 （3）平面与平面的平行的判定 定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。 判定定理1：若, a b αα??，a b P = ，a ∥β，b ∥β，则α∥β； 判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β； 判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。 （4）平面与平面的平行性质定理： 性质定理1：若α∥β，a α?，则a ∥β； 性质定理2：若α∥β，且a γα= ，b γβ= ，则a ∥b ； 性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。 2、补充结论： 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。 3、线线平行的常用证明方法 （1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等； （2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理 4、垂直关系 （1）直线与平面垂直的判定 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。 判定定理：若, , m n m n P αα??= ，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。 （2）直线与平面的垂直性质定理： 符号表示：若l α⊥，对任意的a α?，都有l a ⊥。 （3）平面与平面的垂直的判定 定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。 判定定理：若, a a αβ?⊥，则l α⊥。

立体几何证明题专题(教师版)分析

立体几何证明题 考点1：点线面的位置关系及平面的性质 例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________． 【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示． 在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错． 【答案】④ 2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 答案 B 解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾． 对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线． 对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条． 对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条． 1 / 21

专题06 空间中的平行与垂直(解析版)

专题06 空间中的平行与垂直 【要点提炼】 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 考点 考向一空间点、线、面位置关系 【典例1】(1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是() A.m＝n B.m＝n＋2 C.m＜n D.m＋n＜8 (2)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 解析(1)直线CE?平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1， 易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，

则m＝4. 取CD的中点G，连接FG，EG. 易证CD⊥平面EGF， 又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD， 从而平面EGF∥平面BPP1B1∥平面AQQ1A1， ∴EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1， 则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n＝4， 故m＝n＝4. (2)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可能与α平行，或l与α相交但不垂直； 由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α； 由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. 故正确的命题是②③?①或①③?②. 答案(1)A(2)若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一) 探究提高 1.判断空间位置关系命题的真假 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断. (2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定. 2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断. 【拓展练习1】(1)(2020·衡水中学调研)已知M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是() A.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交 B.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直 C.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交

高中立体几何证明线垂直的方法(学生)

P E D C B A 高中立体几何证明线线垂直方法 （1）通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点，且1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. E F B A C D P （第2题图）

4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为 PC 的中点, PA ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 5.在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC （3）利用勾股定理 7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ； _ D _ C _ B _ A _ P A C B P

空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直 [A组小题提速练] 1．(空间关系及命题)已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析：若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF 和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要条件． 答案：B 2．(空间平行关系及命题)已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题： ①若b?α，a?α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件； ②若a?α，b?α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件． 判断正确的是( ) A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 解析：若b?α，a?α，a∥b，则由线面平行的判定定理可得a∥α，反过来，若b?α，a?α，a∥α，则a，b可能平行或异面，则b?α，a?α，“a∥b”是“a

∥α”的充分不必要条件，①是真命题；若a?α，b?α，α∥β，则由面面平行的性质可得a∥β，b∥β，反过来，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，则α，β可能平行或相交，则a?α，b?α，则“α∥β”是“a∥β，b∥β”的充分不必要条件，②是假命题，选项B正确． 答案：B 3．(空间平行、垂直与命题)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确的命题是( ) A．①②B．②③ C．①④D．②④ 解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确． 答案：B 4．(线面、面面的垂直关系)已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的( ) A．充分不必要条件