第二章 内积空间
第二章 内积空间
在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性
质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间
一、欧氏空间与酉空间
定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =
),(),(.2y x y x λ=λ，λ?∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈
0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=
则称(,)x y 为V 的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21
),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义1
0((),())()()f x g x f x g x dx =?，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]n
P x 构成一个欧氏空间。 例2 在n n ?R 中对,n n A B ??∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ?R 为欧氏空间。 证明 因为,,,n n A B C λ??∈∈R R
（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===
（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+
（4） 2
11
(,)tr()0n n
T
ij j i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立
故n n ?R 为欧氏空间。 例3 ,n x y ?∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
例4 设A 为n 阶正定阵且,n x y ?∈R 定义T (,)x y x Ay =，则n R 是n 维欧氏空
间。 证明 ,,,n x y z λ?∈∈R R
（1）T T T T (,)[](,)x y x Ay x Ay y Ax y x ==== （2）T (,)(,)x y x Ay x y λλλ==
（3）T T T (,)()(,)(,)x y z x y Az x Az y Az x z y z +=+=+=+
（4）因为T x Ax 正定二次型，故T (,)0x x x Ax =≥，T 0x Ax x θ=?=
注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空间我们视为不同的。
由于经常用到复矩阵及其相关性质，故以下列出一些常用概念及性质。
矩阵共轭及共轭转置：设n n A ?∈C 1. ()ij m n A a ?= ，()ij m n A a ?=，称A 为A 的共轭。
2. A B A B +=+，,m n A B ?∈C 。
3. AB AB =，,m s s n A B ??∈∈C C 。
4. 记T
H A A =，H A 称为A 的复共轭转置矩阵，m n A ?∈C 。
5. T
H T A A A ==，m n A ?∈C 。 6. H H H ()A B A B +=+，,m n A B ?∈C 。
7. H H ()kA kA =，k ∈C 。
8. H H H ()AB B A =，,m s s n A B ??∈∈C C 。 9.
H H ()A A =，m n A ?∈C 。
10. 若H A A =，则称A 为埃尔米特（Hermite ）矩阵，n n A ?∈C 。
11. 若H A A =-，则称A 为反埃尔米特矩阵，n n A ?∈C
定义2 设V 是C 上的线性空间，若V y x ∈?,有(,)x y ∈C 且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ λ∈C
),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈
0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=
则称(,)x y 为V 的内积，称定义了上述内积的有限维线性空间()V C 为复内积空间或酉空间，称21
),(x x x =为x 的长度或模。
例5 在n C 中定义H (,)x y x y =，则n C 是酉空间。
注：在n C （n R ）中定义的内积H (,)x y x y =（T x y ）称为标准内积。以后若无特
殊说明，n C （n R ）及其子空间的内积均采用标准内积。
例6在m n ?C 中对,m n A B ??∈C 定义H (,)tr()A B A B =,则m n ?C 为酉空间。
证明 与例2类似，请读者自证。
二、欧氏空间与酉空间的性质 定理1：设(,)x y 是酉空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈C （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈
（3）11
11
(,
)(,)m
r m r
i i j
j
i
j i j i j i j x y x y λμλ
μ=====∑∑∑∑， 其中,i j λμ∈C ，,i j x y V ∈，
1,2,,i m =，1,2,,j r =。
证明（1） (,)(,)(,)(,)x y y x y x x y λλλλ===
（2）),(),(),(),(),(),(z x y x x z x y x z y z y x +=+=+=+
（3）由定理1的（2 ）得
1
1
1
1
(,
)(,)m
r
m r
i i j
j
i
i
j
j
i j i j x y
x y λμλμ=====
∑∑∑∑
11(,)m
r
i i j j i j x y λμ===∑∑
11
(,)m
r
i j i j i j x y λμ===∑∑
上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即 推论1设(,)x y 是欧氏空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈R （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈
（3）11
11
(,
)(,)m
r
m r
i i j
j i j i j i j i j x y x y λμ
λμ=====∑∑∑∑ 其中,i j x y V ∈，,i j λμ∈R ，
1,2,,i m =，1,2,,j r =。
定理2 设(,)x y 是酉（欧氏）空间V 的内积，则 （1）kx k x =，k ∈C （k ∈R ）。 （2）(,)x y x
y ≤，柯西—许瓦兹（Cauchy ––Schwarz ）不等式
（3）x y x y +≤+ 证明 不妨设V 是酉空间。
（1）kx k x ===。
（2）y θ=时显然，不妨设y θ≠，考虑
),(02
y x y x y x λ-λ-=λ-≤
),(),(),(),(2
y y x y y x x x λ+λ-λ-=
取)
,()
,(y y x y =
λ，则 2
2
2
2
2
2
2
(,)(,)(,)
0x y x y y x x
y
y
y
-
-
+
≥
所以
y x y x ≤),(
（3） 2
(,)x y x y x y +=++
2
2
(,)(,)x x y y x y =+++
2
2R e (,)x x
y y =++ 22
2(,)x x y y ≤++， 由柯西—许瓦兹不等式，即得 2
x y
+2
2
22()x x
y y x y ≤++=+
所以 y x y x +≤+
三、内积在基下的矩阵
线性空间中，向量是由一个基唯一线性表示的，而内积是两个向量的运算，所以我们自然要讨论欧氏（酉）空间中内积与基的关系。
定义3：设12,,
,n εεε为欧氏（酉）空间V 的基，则称n n ij a A ?=)(为内积在基
下的矩阵，也称度量矩阵，其中n j n i a j i ij 2,1,2,1),(==εε=。 定理3设12,,
,n εεε为酉空间V 的基，则
（1） 内积在基下的矩阵A 是埃尔米特矩阵，即H A A =。
（2）H (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈C 。 （3）n x θ?≠∈C 均有H 0x Ax >。
证明 （1） 由于ji i j j i ij a a =εε=εε=),(),(，故H A A =。
（2） 设T T 1212(,,
,),(,,
,)n n x x x x y y y y ==，由定理1有
11
(,)(,
)n
n
i i j j
i j x y x y εε
===∑∑
11
(,)n
n
i j i j i j x y εε===∑∑
H 11
n n
i j ij i j x y a x Ay ====∑∑
（3）(x x θ≠?=12,,,)n x εεεθ≠，所以H (,)0x Ax x x =>。
在欧氏空间中，由定理3可得类似结论。 推论2 设12,,
,n εεε为欧氏空间V 的基，则
（1） 内积在基下的矩阵A 是实对称阵，即T A A =。
（2）T (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈R 。
例7 3(),()[]f x g x P x ?∈，定义2
0((),())()()f x g x f x g x dx =?，则3[]P x 为欧氏
空间，求内积在基21,1,(1)x x --下的矩阵。
解 2110
2a dx ==?，2120
(1)0a x dx =-=?， 2
2130
2
(1)3
a x dx =-=
? 2
2220
2
(1)3
a x dx =-=
?，23230(1)0a x dx =-=?
2
4330
2
(1)5
a x dx =-=
? 因为A 是实对称阵，所以22032
03220
3
5A ?????
???=??????????
。
定理4 设欧氏（酉）空间的内积),(y x 在两组基12,,,n εεε和12,,,n
εεε'''下的矩阵分别为B A ,，且 12(,,,)(n εεε'''=12,,,)n P εεε，则H B P AP =，即B 与A 合
同。 证明：设(),(,),(),(,)ij n n ij i j ij n n ij i j A a a B b b εεεε??''==== ，12()n P p p p =，
则
12(,,,)(n
εεε'''=12,,,)n P εεε =12(,,
,)n εεε12
()n p p p
所以
i ε'=12(,,,)n i p εεε j ε'=12(,,,)n j p εεε
故由定理3有
H (,)ij i j i j b p Ap εε''==
所以
H ()()ij n n i j n n B b p Ap ??==
H H H 1112
1H H H 1
2
n n
n n n p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap ??
??=?
????? H 11
H []n n p Ap Ap p ??
??
=??????
H 1H 1
H []n n p A p p P AP p ????==??????
§2.2向量的正交与标准正交基
一、向量的正交与标准正交基
定义1 设V 为欧氏（酉）空间，,x y V ∈，如果(,)0x y =，则称向量x 与y 正
交，记为x y ⊥。
在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，得到两个欧氏（酉）空间，则向量在这两个欧氏（酉）空间的正交性不一定相同，如下例。
例1在[]n P x 中定义内积1
11((),())()()f x g x f x g x dx -=?，得欧氏空间1V ，定义
内积1
20
((),())()()f x g x f x g x dx =?，得欧氏空间2V ，取2
(),()f x x g x x
==，则在1
V 中2x x ⊥，在2V 中x 与2x 不正交。
定义1 设V 为欧氏（酉）空间，12,,
,m ααα是V 中非零向量组，如果
12,,,m ααα两两正交，则称12,,,m ααα是正交向量组。若12,,,m ααα是正交向
量组且都是单位向量（即12||||||||||||1m ααα==
==）
，则称12,,,m ααα是标准正
交向量组。
定理1 正交向量组是线性无关向量组。
证明 设12,,,m ααα是正交向量组，令1122m m k k k αααθ+++=，则
因为
1,(,)0,i j ij i j
i j
ααδ=?==?
≠? 所以
1122(,)m m i k k k αααα++
+1
(,)m
j j i j k αα==∑
(,)00,1,2,
,i i i i k k i m αα==?==
故12,,
,m ααα线性无关。
定义2 若12,,
,n εεε为欧氏（酉）空间的基且为标准正交向量组，则称
12,,,n εεε为标准正交基。
定义 3 设()n n n n A ??∈C R ，若H H n AA A A I ==(T T n AA A A I ==)，则称A 为酉矩阵（正交阵），全体n 阶酉（正交）矩阵构成的集合记为()n n n n ??U E 。
下列为酉矩阵的简单性质，设,n n A B ?∈U ，则 1. H 1A A -= 2. T n n A ?∈U 3. n n AB ?∈U 4. |det |1A =
证明 H H det det det 1n n A A I A A I =??==，即
d e t d e t 1
A A ?=，|det |1A = 5. A 的特征值模为1，即|()|1A λ=。
证明 设λ是A 的特征值，则存在n x θ≠∈C ，使得Ax x λ=，所以
H H ()()Ax Ax x x λλ=?H H H x A Ax x x λλ=
即
1λλ=，|()|1A λ=
6. A 、T A 和H A 的列分别构成n C 的标准正交基。 证明 只证A 的列构成n C 的标准正交基，其余类似。 设12
[]n A ααα=，由H n A A I =得
H 1H 212H []n n n I αααααα??????=????????
所以
H
1,(,)0,i
j i j ij i j
i j ααααδ=?===?≠?
定理2 设12,,,n εεε为酉（欧氏）空间V 的标准正交基，则内积在基下的矩
阵为单位阵，从而内积(,)H x y x y =，其中,x y 分别为,x y 在基12,,,n εεε下的坐
标。
证明 设1212[,,
,],[,,,]n n x x y y εεεεεε==，因为
1,(,)0,ij i j ij i j
a i j
εεδ=?===?
≠? 所以()ij n n n A a I ?==，所以由§2.1定理3得
H H H (,)n x y x Ay x I y x y ===
定理3 酉（欧氏）空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉（正交）矩阵。
证明 不妨设V 是酉空间，设12,,
,n εεε，12,,,n
εεε'''是V 的两个标准正交基，P 为由12,,
,n εεε到12,,,n
εεε'''的过渡矩阵。由§2.1定理4知内积在这两个基下的矩阵合同，又由本节定理2知内积在基下的矩阵为单位阵，故有H n n I P I P =，即H n P P I =，P 为酉矩阵。
推论1 设V 是酉（欧氏）空间，12(I):,,
,n εεε，12(II):,,,n
εεε'''是V 的两个标准正交基，P 为由(I)到(II)的过渡矩阵，x 在(I)、(II)下的坐标分别是,a b ，则H b P a =。
证明 由§1.3定理1及P 为酉（正交）矩阵即得。
二、向量的正交化
由本节定理2、定理3知道酉（欧氏）空间中的基用标准正交基，则向量的内积表达和向量的坐标转换较为方便，而酉（欧氏）空间V 中的基与标准正交基是等价的，下面讨论如何从V 的一个基出发，求出V 的标准正交基，即向量正交化问题。
定理4 （Schmidt 正交化）设12,,,m ααα是酉（欧氏）空间V 的线性无关向
量组，则在V
中存在正交向量组12,,
,m βββ，且使得
12[,,,]m ααα=12[,,,]m B βββ，其中()m m m m
m m B ??∈C R 为单位上三角阵
（单位上三角阵：对角线元素都是1的上三角阵；()m m m m m m ??C R ：()m m
m m ??C
R 中秩为m 的矩阵全体）。
证明 令 11βα=
1222111(,)
(,)
βαβαβββ=-
13233312
1122(,)(,)
(,)(,)
βαβαβαββββββ=--
121121112211(,)(,)
(,)
(,)(,)
(,)
m m m m m m m m m βαβαβαβαβββββββββ----=-
--
-
不难证明12,,
,m βββ是V 中正交向量组。
而 11αβ=
1221211(,)
(,)
βααββββ=
+
13233123
1122(,)(,)
(,)(,)
βαβααβββββββ=
++
121121112211(,)(,)
(,)
(,)(,)
(,)
m m m m m m m m m βαβαβααββββββββββ----=
++
+
+
所以
12[,,,]m ααα=12[,,
,]m βββ1*01??
???
?????
12[,,
,]m B βββ=。
推论2 设12,,
,m ααα是酉（欧氏）空间V 的线性无关向量组，则在V 中存
在标准正交向量组12,,,m ξξξ，且使得12[,,
,]m ααα=12[,,
,]m R ξξξ，其中
()m m m m
m m R ??∈C R 为正线上三角阵（正线上三角阵：对角线元素都是正数的上三角
阵）。
证明 由上述定理4将12,,
,m ααα正交化，得V 中正交向量组12,,
,m βββ，
且12[,,,]m ααα=12[,,
,]m B βββ，其中1
*0
1B ??
??=?
?????
。令 1,1,2,,||||
i i i i m ξββ=
=（单位化）
则12,,
,m ξξξ是V 中标准正交向量组。因为
||||,1,2,,i i i i m ββξ==
所以
12[,,,]m ααα=12[,,,]m B βββ
1122[||||,||||,,||||]m m B βξβξβξ=
1212[,,
,]diag[||||,||||,
,||||]m m B ξξξβββ=
1212||||
||||[,,
,]0||||m m ββξξξβ?
??
???
?=???????
?
12[,,,]m R ξξξ=
定理4及推论2给出了将酉（欧氏）空间V 的基12,,,n ααα化为标准正交基
的方法，分为两个步骤。
第一步：将12,,
,n ααα 用Schmidt 正交化方法正交化，得V 的正交基
12,,,n βββ。
第二步：将12,,
,n βββ单位化，即令1,1,2,,||||
i i i i n ξββ=
=，则12,,,n
ξξξ是V 标准正交基。
例2 在3[]P x 定义1
1((),())()()f x g x f x g x dx -=?，求3[]P x 的一个标准正交基。
解 21231,,x x ααα===是3[]P x 的基，将123,,ααα正交化，得
111βα== 1222111(,)
(,)
x βαβαβββ=-
=
2132333121122(,)(,)1
(,)(,)3
x βαβαβαββββββ=-
-=-
将123,,βββ标准化，得
1111||||
ξββ=
=
2221||||ξββ=
=
233311
)||||
3
x ξββ==
- 则123,,ξξξ是3[]P x 的标准正交基。
一般我们有12,,
,n ξξξ是[]n P x 的标准正交基，而
(),1,2,,i k x k n ξ==
其中
121
11
1()(1),1,2,,2(1)!k k k k k d L x x k n k dx
----=-=-
称为勒让得(Legendre)多项式。
例3 设123411011012,,,12121101αααα????????????????
????????====????????????????????????
，求1234(,,,)L αααα的标准正交
基。
解 因为123,,ααα线性无关，1234,,,αααα线性相关，所以123,,ααα是
1234(,,,)L αααα的基，将123,,ααα正交化，得
T 11[1111]βα== T 1222111(,)
[0110](,)
βαβαβββ=-=-
T 132333121122(,)(,)
[0110](,)(,)
βαβαβαββββββ=-
-=
将123,,βββ标准化，得
T 11111
111[
]||||2222ξββ=
=
T 2221
[00]||||ξββ=
=
T 3331[0
0]||||
ξββ==
则123,,ξξξ是1234(,,,)L αααα的标准正交基。
§2.3 正交子空间
一、子空间的正交
定义1 设W 是酉（欧氏）空间V 的子空间，x V ∈，如果y W ?∈均有x y ⊥，则称向量x 与子空间W 正交，记为x W ⊥。
定义2 设12,W W 都是酉（欧氏）空间V 的子空间，如果1x W ?∈，均有2x W ⊥，则称子空间12,W W 正交，记为12W W ⊥。
例1 设酉（欧氏）空间12(,,,)n V L ααα=，12,,,n ααα是V 的标准正交基，
则
()()i j L L αα⊥，,1,2,
,,1,2,,i j i n j n ≠==
定理1 设12,W W 是正交子空间，则 （1）12{}W W θ=
（2）1212dim()dim dim W W W W +=+
证明 （1）12x W W ?∈，由(,)0x x x θ=?=，所以12{}W W θ=。 （2）由子空间维数定理及（1）即得。
定理2 设,n m n s A B ??∈∈C C ，则H ()()R A R B A B O ⊥?=。 证明 设12
12[],[]m s A a a a B bb b ==。
充分性 ()()R A R B ⊥，因为(),()i j a R A b R B ∈∈，所以(,)0H i j i j a b a b ==，
1,2,
,,1,2,
,i m j s ==，即得H A B O =。
必要性 H A B O =?(,)0H i j i j a b a b ==，1,2,
,,1,2,
,i m j s ==。
(),()x R A y R B ?∈?∈，设
1122m m x k a k a k a =+++ 1122s s y t b t b t b =++
+
其中1212,,
,,,,,m s k k k t t t ∈C ，则
11
(,)(,)0m
s
i j i j i j x y k t a b ====∑∑
即
()()R A R B ⊥
推论1 设,n m n s A B ??∈∈R R ，则T ()()R A R B A B O ⊥?=。
二、正交子空间的和
由第一章我们知道n 维线性空间可以分解为一些子空间的直和，而由本节定
理1得正交子空间的和是直和，所以下面讨论酉（欧氏）空间分解为正交子空间和的问题。
定义3 设12,W W 都是酉（欧氏）空间V 的子空间，若12W W ⊥且12V W W =+，
则称2W 是1W 的正交补子空间，记21W W ⊥=或12W W ⊥=。 定理3 设m n A ?∈C ，则H ()()m R A N A ⊕=C ，且H ()()R A N A ⊥。
证明 ()y R A ?∈，则n z ?∈C ，使得y Az =，而H ()x N A ?∈，有H A x =0，所
以
H H H H (,)()0x y x y x Az A x z ====
即H ()()R A N A ⊥。
因为
H H H dim ()dim ()rank N A m R A m A =-=-
rank dim ()m A m R A =-=-
所以H dim ()dim ()R A N A m +=，又由§1.4定理7得H ()()m R A N A ⊕=C 。 推论2设m n A ?∈C ，则H ()()n R A N A ⊕=C ，且H ()()R A N A ⊥。 证明 将定理3中的A 换为H A 即可得证。
在第一章中知线性空间直和分解不唯一，但酉（欧氏）空间的正交分解唯一。 定理4设1W 是酉（欧氏）空间V 的子空间，则存在唯一的21W W ⊥=，使得
12V W W =⊕。 证明 设12,,
,r εεε是1W 的标准正交基，将12,,,r εεε扩充为V 的标准正交基
1212,,,,,,,r r r n εεεεεε++
取212(,,
,)r r n W L εεε++=，则
12W W ⊥且12V W W =⊕
假设存在V 的子空间3W ，使得13V W W =⊕且13W W ⊥，又设12,,,r
r n
εεε++'''是3W 的基，则由§1.4定理7知12,,,,r εεε12,,,r
r n
εεε++'''是V 的基。
3x W ?∈，因为3W V ?，所以12,,
,()n k k k ?∈C R ，使得
11221122r r r r r r n n x k k k k k k εεεεεε++++=++
+++++
因为1x W ⊥，12,,
,,r εεε是1W 的标准正交基及12W W ⊥，故
0(,),1,2,
,i i x k i r ε===
所以
11222r r r r n n x k k k W εεε++++=++
+∈
即有32W W ?，又因为
32dim dim W W =
所以32W W =，即21W W ⊥=唯一。
注：定理4实际上也给出了正交补子空间的求法，但取正交基也可证明。
例2 设112(,)W L αα=，T T 12[110],[011]αα==，
求1W 的正交补空间2W 使得312W W =⊕R 。
解 将12,αα扩充为3R 的基123,,ααα，其中取T 3[100]α=，将123,,ααα用
施密特正交化方法化为3R 的正交基
T 11[110]βα== T 1222111(,)1
1
[1](,)2
2
βαβαβββ=-=-
T 132333121122(,)(,)11
1[](,)(,)33
3
βαβαβαββββββ=-
-=-
则112(,)W L ββ=，213()W W L β⊥==。 定理5 设12,W W 都是酉（欧氏）空间V 的子空间，则 （1）1212()W W W W ⊥⊥⊥+= （2）1212()W W W W ⊥⊥⊥=+
证明（1）1212()()x W W x W W ⊥?∈+?⊥+，即12,y W z W ?∈?∈有()x y z ⊥+，
取z x y θ=?⊥，同理x z ⊥，故12,x W x W ⊥⊥∈∈，所以12x W W ⊥⊥∈，即得
1212()W W W W ⊥⊥⊥+?。
反之，12x W W ⊥⊥?∈，则1212,()x W x W x W W ⊥⊥?⊥+，所以12()x W W ⊥∈+，
得1212()W W W W ⊥⊥⊥?+，故1212()W W W W ⊥⊥⊥+=。 （2）证明与（1）相似，略。
§2.4酉（正交）变换、正交投影
一、酉（正交）变换
物理学和一些工程学科中常用到酉（正交）变换（也称保距变换），例如三维空间中的刚体运动等。
定义1 设T 是酉（欧氏）空间V 的变换，如果,x y V ?∈，均有
((),())(,)T x T y x y =
则称T 是V 的酉（正交）变换。
例1 设H ()(2),n n H x I uu x x =-?∈C ，其中n u ∈C 且H 1u u =，则H 是n C 的酉
变换。
证明 ,n x y ?∈C ，有
H H H H
H
H
H ((),())
[(2)](2)(2)(2)n n n n H x H y I uu x I uu y x I uu I uu y x y
=--=--=
所以H 是酉变换，其中H 2n I uu -是酉阵。 在上例中H 称为豪斯何尔德镜象变换。 定理1 酉（正交）变换是线性变换。
证明 设T 是V 的酉（正交）变换，则,x y V ?∈，有
(()()(),()()())T x y T x T y T x y T x T y +--+--
((),())((),())((),())((),())((),())((),())((),())((),())((),())(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)0
T x y T x y T x y T x T x y T y T x T x y T x T x T x T y T y T x y T y T x T y T y x y x y x y x x y y x x y x x x y y x y y x y y =++-+-+-+++-+++=++-+-+-+++-+++=
所以()()()T x y T x T y +=+。而()λ?∈C R ，有
(()(),()())T x T x T x T x λλλλ--
((),())((),())((),())((),())(,)(,)(,)(,)0
T x T x T x T x T x T x T x T x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλλλλλλ=--+=--+=
即()()T x T x λλ=，所以T 为线性变换。 定理2设T 是酉（欧氏）空间V 的线性变换，则下列命题等价。 （1） T 为酉变换。 （2） ||()||||||T x x =。
（3） 若12,,
,n εεε是V 的标准正交基，则12(),(),,()n T T T εεε也是V 的标
准正交基。
（4） T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是酉（正交）矩阵。 证明 (1)(2)? 显然。
(2)(1)? 因为 ((),())T x y T x y ++
(()(),()())
((),())((),())((),())((),())(,)((),())((),())(,)T x T y T x T y T x T x T x T y T y T x T y T y x x T x T y T y T x y y =++=+++=+++ 而
(,)x y x y ++(,)(,)(,)(,)x x x y y x y y =+++
由
((),())(,)T x y T x y x y x y ++=++
即得
((),())((),())(,)(,)T x T y T y T x x y y x +=+ （*）
在（*）式中将y 换为iy （i ）即得
((),())((),())(,)(,)T x T y T y T x x y y x -=- （**）
（*）、（**）两式相加得
((),())(,)T x T y x y =
(1)(3)? ((),())(,)i j i j ij T T εεεεδ==，1,2,
,i n =，1,2,,j n =，所以
12(),(),,()n T T T εεε也是V 的标准正交基。
(3)(4)? 122(,,
,)(,
,)n n T A εεεεε=，而
1212(,,
,)[(),(),
,()]n n T T T T εεεεεε=
所以
12[(),(),,()]n T T T εεε2(,,)n A εε=
即A 也是标准正交基到标准正交基的过渡矩阵，由§2.2定理3知A 为酉（正交）矩阵。
(4)(2)? 设12,,
,n εεε是V 的标准正交基，122(,,,)(,,)n n T A εεεεε=，A
为酉（正交）矩阵。
,()n n x V x ?∈?∈C R ，使得12(,,
,)n x x εεε=，则
12()(,,
,)n T x Ax εεε=
由于内积在标准正交基下的矩阵为单位阵，故有
H H ((),())()(,)T x T x Ax Ax x x x x ===
所以 ||()
||||T x x = 推论1 设A 为n 阶酉（正交）矩阵，则:(),()n n T T x Ax x =∈C R 为()n n C R 的
酉（正交）变换。
证明 H H ((),())(,)(,)T x T y Ax Ay x A Ay x y ===。
二、正交投影
酉（欧氏）空间V 可以分解为两个互为正交补空间的和且分解唯一，即设
12V W W =⊕且12W W ⊥，则x V ?∈有12x x x =+，11x W ∈，22x W ∈，x 与1x --对
应，x 与2x --对应，12x x ⊥。这样，就可以把解析几何中的向量投影概念推广到酉（欧氏）空间中。
定义2 设酉（欧氏）空间V L M =⊕，L M ⊥，T 是V 的变换，若x V ?∈，
1212,,x x x x L x M =+∈∈，有1()T x x =，则称T 为V 到L 的正交投影，记为L P 。 性质1 正交投影是线性变换。
证明 设L P 是酉（欧氏）空间V 到L 的正交投影，V L M =⊕，L M ⊥。由定
义2得,x y V ?∈，11,x y L ?∈，22,x y M ∈，使得
1212,x x x y y y =+=+，11(),()L L P x x P y y ==
而
1122x y x y x y +=+++
所以有11()L P x y x y +=+，即
()()()L L L P x y P x P y +=+
又由于()λ?∈C R ，有12x x x λλλ=+，故
1()()L L P x x P x λλλ==
所以L P 是线性变换。 性质2设L P 是酉（欧氏）空间V 到L 的正交投影，则2L L P P =。
证明 设V L M =⊕，L M ⊥，则x V ?∈，12,x L x M ?∈∈，使得12x x x =+，
1()L P x x =，因为11x x θ=+，所以211()()()L L L P x P x x P x ===。
定理3设L P 是酉空间n C 到L 的正交投影，12,,
,r u u u 是L 的标准正交基，
121,,,,,
,r r n u u u u u +是n C 的标准正交基，记112
[]r U u u u =，则
H 11:(),n L L P P x U U x x =?∈C 。
证明 记212
[]r r n U u u u ++=，则12[]n n U U U ?=∈U ，所以
H H
112H 2[]n U I UU U U U ??==????
H H
1122U U U U =+
第二章 内积空间
第二章 内积空间 目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。 §1 内积空间的概念 定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一 个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。 (1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。 此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。 例2－1 对于n R 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积 ()∑==n i i i y x Y X 1 ,，n R 成为一个内积空间。内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称 为欧氏空间。由于n 维实内积空间都与n R 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。 例2－2 如果对于n n R B A ?∈?,，定义内积为()∑== n j i ij ij b a B A 1 ,,，则n n R ?成为一个内积 空间。 例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f b a ? = )()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积 的条件，从而],[b a R 构成内积空间。 内积()βα,具有下列基本性质 (1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+； (3) ()()0,,==βθθα。
第二章内积空间
第二章 内积空间 在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性 质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。 §2.1欧氏空间与酉空间 一、欧氏空间与酉空间 定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ，λ?∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈ 0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ= 则称(,)x y 为V 的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21 ),(x x x =为x 的长度或模。 例1 在[]n P x 中定义1 0((),())()()f x g x f x g x dx =?，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]n P x 构成一个欧氏空间。 例2 在n n ?R 中对,n n A B ??∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ?R 为欧氏空间。 证明 因为,,,n n A B C λ??∈∈R R （1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ=== （3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+