函数的认识

（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，使相应的底数不为零；

其次，当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

例7、求出下列函数中自变量x的取值范围

课堂练习

1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，设CP＝x．y 表示△APB的面积．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)求自变量x的取值范围．

2、小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形．请你写出底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

3、晚饭后，小红从家里出去散步，如图，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依图回答下列问题：

（1）公共阅报栏离小红家有___米，小红从家走到公共阅报栏用了___分；

（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了___分；

（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了___分；

（4）小红从邮亭走回家用了______分，平均速度是______米／秒．

4、如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同时从点C均以1 cm/s的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止。设运动时间为x(s)，运动过程中△AEF的面积为y，请写出用x表示y的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

5、某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元.

（1）写出年产值y(万元)与年数x的函数关系；

（2）画出函数图象；

（3）求计划7年后的年产值.

对函数的进一步认识

对函数的进一步认识 姓名： A 组 1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为________． 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐 标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3) )的值等于________． 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝????? 3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个． 5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________. 6．已知函数f (x )＝????? 1＋1x (x >1)， x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1 )，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32 ， 求a . B 组 1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2 ＋lg(2x －1)的定义域是________． 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝????? －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)， 2x －1，(x >2)，则f (f (f (32 )＋5))＝_. 3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________． 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个． 5．设函数f (x )＝? ???? 2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个． 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12 ，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________． 7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝? ???? x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ???? log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________． 9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y

初中数学鲁教版(五四制)九年级上册第三章 二次函数1 对函数的再认识-章节测试习题(2)

章节测试题 1.【答题】下列y与x的关系式中，y不是x的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 【解答】D项中，对于x在它允许范围内的每一个值，y有一个或两个值与它对应，所以y不是x的函数． 2.【题文】（2018浙江舟山中考）小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（m）与摆时间t（s）之间的关系如图3-1-1所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是不是关于t的函数； （2）结合图象回答： ①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②千秋摆动第一个来回需要多长时间？ 【答案】 【分析】

【解答】（1）∵对于每一个摆时间t，h，都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数． （2）①当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度为 0.5m． ②由题图可知，秋千摆动第一个来回需2.8s． 3.【答题】已知函数，当x=m时，函数值y为1，则m的值为（） A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 【答案】B 【分析】 【解答】将x=m，y=1代入，得，解得m=3，经检验，m=3是分式方程的根． 4.【答题】（2018重庆中考B卷）根据如图3-1-2所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（） A. 9 B. 7 C. -9 D. -7 【答案】C

【分析】 【解答】由题意得，解得b=-9．选C． 5.【答题】当x=______时，与的函数值相等． 【答案】-11 【分析】 【解答】由题意，得2x+6=x-5，解得x=-11． 6.【答题】已知函数，当y＜0时，x______． 【答案】＞2 【分析】 【解答】由题意，得，解得x＞2． 7.【答题】（2019广西柳州中考）已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B 地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是______ A. B. C. D. 【答案】D 【分析】

《认识函数》教学设计

5.2 函数 教学目标 1、通过实例，了解函数的概念． 2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．． 3、理解函数值的概念． 4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值． 教学重点与难点 ◆教学重点：函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点． ◆教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点． 教学过程 教学过程分以下6个环节： 创设情境、探究新知、应用新知、课堂练习、知识整理、布置作业 1．创设情境 问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表： 然后回答下列问题： （1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t、m） （2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t） 教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应． 问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2 s (0

高中数学对函数的进一步认识 练习与解析

对函数的进一步认识 练习与解析 一、选择题 1．下列各对函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．f （x ）＝2x ，g （x ）＝x B ．f （x ）＝x —1，g （x ）＝1 )1 1( －－x C ．f （x ）＝|x －3|（x ≥3），g （x ）＝－|x －3|（x ≤3） D ．f （s ）＝s 2 ＋1，g （t ）＝t 2 ＋1 解析：若用x 表示自变量，则选项D 中f （x ）和g （x ）完全一样．选D ． 答案：D 2．在映射f ：A →B 中，下列说法中不正确的说法为（ ） ①集合B 中的任一元素，在集合A 中至少有一个元素与它相对应 ②集合B 中至少存在一元素在集合A 中无原象 ③集合B 中可能有元素在集合A 中无原象 ④集合B 中可能有元素在集合A 中的原象不止一个 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：由映射的定义知①②不正确，故选A ． 答案：A 3．已知映射f ：A →B ，A ＝｛a ，b ，c ｝，B ＝｛－3，0，3｝，则满足使a 、b 、c 的象的 和为零的映射有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．9个 解析：按象集合中象的个数分类．若象集为单元素集时，只有｛0｝满足0＋0＋0＝0；若象集为双元素集时，均不适合；若象集为B 时，因为－3＋0＋3＝0恒成立，所以f （a ）、f （b ）、f （c ）可有6种搭配的方案．故选C ． 答案：C 4．函数f （x ）的定义域是［0，2］，则函数)2 1()21 ()(－－＋＝x f x f x g 的定义域是（ ） A ．（0，2） B ．（21－ ，2 3） C ．（21，25） D ．（21，2 3 ） 解析：∵f （x ）的定义域是［0，2］， 解不等式组???????≤≤≤≤．－，＋221221x x x x 即???????≤≤≤≤． ，－252 12 321x x ∴函数g （x ）的定义域是［21，2 3 ］．故应选D ． 答案：D 5．设A 是直角坐标平面上的所有点组成的集合，如果由A 到A 的映射f ，使象集合的元素（y －1，x ＋2）和原象集合的元素（x ，y ）对应，那么，象点（3，一4）的原象是点（ ） A ．（－5，5） B ．（4，－6）

四川省遂宁市船山区河沙镇初级中学数学(北师大版)九年级2.1《对函数的再认识》学案

备课时间：9.23 上课时间：10.7 课型：新授课课时：1课时 2.1《对函数的再认识》学案 学习目标： 1．复习并进一步认识函数的定义，能够表示简单变量之间的函数关系 2.了解表示函数的方法。． 学习重点：会求简单函数的自变量取值范围及函数值。 学习过程： 一、学前准备 (一)一起想一想 （1）对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得什么是函数吗？你能举出几个函数的例子吗？ （2）你学过哪些函数？请你写出它们的表达式，它们的图象各是什么? （3）函数的定义是什么，你还记得吗? (二)自己做一做： 课本P37 “做一做”（作到书上） 二、探究活动 (一)独立思考：在上面三个例子中 : （1）自变量分别是什么 ? 自变量可以取值的范围是什么 ? （2）对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值,另一个变量是否都有惟一确定的值与它对应? （3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴进行交流。 函数的定义：

（二）探究交流 例1：某种商品按进价提高30%后标价，又以9折优惠售出，试写出该商品每件的利润y(元)与每件的进价x(元)之间的关系式. 思考：对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值α, 函数y 有惟一确定的对应值 , 这个对应值叫做 . 如对于例 2(1) 中的函数y =3x+7,16就是当x =3 时的函数值 . （三）应用探究 A、课本P38随堂练习1、2做到练习本上 B、课本P39习题1、2做到练习本上 C、课本P39试一试

练习中你出现过什么问题？还有什么需要格外．． 注意的？ 四、回顾思考：通过本节课的学习,你有什么体会和收获? 五、自我测试 1、x 取什么值时，函数y=x+2与函数2 3-=x x y 的值相等 2、x 取什么值时，函数y=x+2的值小于0. 3、x 取什么值时，函数y=x+2的值大于函数y=5-3x 的值.

认识函数(1)

认识函数(1) 〖教学目标〗◆1、通过实例，了解函数的概念．◆2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．．◆3、理解函数值的概念．◆4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．〖教学重点与难点〗◆教学重点：函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．◆教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点．〖教学过程〗教学过程分以下6个环节：创设情境、探究新知、应用新知、课堂练习、知识整理、布置作业1．创设情境问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：工作时间（时）15101520……报酬（元）然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量、）（2）能用的代数式来表示的值吗？（能，=16 ）教师指出：在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，

其跳远的距离(米)与助跑的速度(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离(018收费标准y （元/度）2.002.503.00（1）y是x的函数吗？为什么？（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值；（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；共3页，当前第2页123当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．说明本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？(2)求当t=5分时的函数值？(3)当10≤t≤15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义？(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家

九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识复习》知识梳理与要点回顾(青岛版)

对圆的进一步认识复习 知识梳理 1、圆的对称性 （1）确定一个圆有两要素，一是_________，二是_________。圆心确定_________，半径确定___________；圆既是______对称图形，又是中心对称图形，它的对称中心是_______，对称轴是________，有________条对称轴。 （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦_________；如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别________。 （3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_________，同弧或等弧所对的圆周角是其所对的圆心角的______，半圆（或直径）所对的圆周角是________，________的圆周角所对的弦是直径。 （4）垂直于弦的直径________这条弦，并且平分弦所对的_________。 2、圆中的位置关系 （1）用d表示点到圆心（或点到直线，两圆圆心）的距离，r表示圆的半径， ①点在圆内?____________，点在圆上?_____________，点在圆外?______________； ②直线和圆相交?_________，直线和圆相切?_________，直线和圆相离?_________。 ③若再用R表示另一个圆的半径，则两圆外离?___________，两圆外切?____________，两圆相交?____________，两圆内切?______________，两圆内含?____________。 （2）圆的切线__________于经过切点的半径，经过半径的外端且_______于这条半径的直线是圆的切线。 3、切线的判定方法 （1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线（定义法）。 （2）到圆心的距离等于行径的直线是圆的切线。 （3）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4、三角形的外接圆与内切圆

《对函数的再认识》同步练习

3.1 对函数的再认识 序号1 主备人:陈云英 审核:初四数学备课组 一、选择题 1、函数2 y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≥ D ．2x ≤ 2．下列变量之间的关系：①正方体体积V 与它的边长a ；②x-y=3中的x 与y ；③y=23x - 中的y 与x ；④圆的面积S 与圆的半径r ，其中成函数关系的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3、函数y=-2x+4当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 4、根据图4中的程序，当输入数值x 为2-时，输出数值y 为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 图4 5、夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T ℃随时间t 变化的关系的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A.y=x -2 B.y= 2 1 -x C.y=24x D.y=2+x ·2-x 二、填空题 7、圆的面积S 与半径R 的关系是______，其中常量是______，变量是_______． 8、x-2y=1改写成y 关于x 的函数是______． 输入x 1x ≥ 1 52 y x = + 1 5 2 y x =-+输入y 是 否

9、已知函数y=2213---x ，则x 的取值范围是________ 10、函数y= 1 -x x 中自变量x 的取值范围是______________ 11.A 、B 两地相距30千米，王强以每小时5千米的速度由A 步行到B ，若设他与B 地距离为y 千米，步行的时间为x 时，请写出y 与x 之间的函数关系式____________． 12.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y(cm)与底边x(cm)的函数关系式为______，其中自变量x 的取值范围是______. 三、解答题 13、已知水池中有水600立方米，每小时放水50立方米． （1）写出剩余水的体积Q （立方米）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）求出自变量t 的取值范围； （3）8小时后，池中还有多少立方米的水？ （4）几小时后，池中还有100立方米的水？ 14、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P 在BC 上，点P 从点C 以1单位/秒的速度从点C 向点B 运动（点P 不与点B ，C 重合），设运动时间为x ，△APB 的面积为S ． （1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围．

北师版数学高一必修1第二章第2节对函数的进一步认识(第1课时)

2.1 函数概念 1．了解生活中的变量关系． 2．理解函数的概念． 3．会求出简单函数的定义域、值域． 1．生活中的变量关系 (1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系． (2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系． 函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数 关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作 物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入， 具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系． 【做一做1－1】张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )． A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数 【做一做1－2】某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？ 2．函数的概念 给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数． (1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x

对数学理解的再认识

对数学理解的再认识 作者：黄燕玲等文章来源：数学教育学报 摘要：现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类，根据数学知识的特征，我们将数学知识分为结果性知识和过程性知识 2 类，其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识．因而，数学理解就应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解．图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质． 关键词：数学理解；陈述性知识；程序性知识；过程性知识 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）03–0040–04 “数学理解”已成为当今数学教育研究的一个热点[1~4]．纵观这些研究，可以发现有一个明显的缺陷，即缺乏对数学过程性知识理解的探究，本文旨在对这一问题作初步探索． 1.数学理解”的研究概述 1.1 两种学习理论对“理解”的阐释 行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结．在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱．因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题．显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别．事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨． 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程．Mayer 给出了学习者的理解过程模式[5]，如图1 所示． 在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆．第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆．第三阶段是表征的重新建构和整合阶段．当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构．由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识理解的解释就更加深刻和合理． 1.2 对数学理解的研究 对数学理解的研究主要集中在几个方面． （1）数学理解的界定．Hiebert 和Carpenter[1]认为：“一个数学的概念或方法或事实被理

七年级数学上册5.5函数的初步认识版

5.5 函数的初步认识 学习目标 1.结合实例，知道自变量与函数的意义，能够区分自变量与函数. 2.对于给定的函数，能根据自变量的值求出函数的值. 自主学习 自主学习课本，完成下列问题： 1.什么是函数？什么是自变量？ 什么是一个函数的函数值？怎样求？ ①下列变量之间的关系不是函数关系的是（） A.矩形的一条边长是6cm，它的面积S（cm2）与另一边长x（cm）的关系 B.正方形的面积与周长的关系 C.圆的面积与周长的关系 D.某图形的面积与它所在的平面的位置关系 ②一般地，如果在一个______________中，有两个____________，例如x和y，对于x的每—个值，y都有______________与之对应，我们就说x是________________，y是________________，此时也称y是x的________________． ③当x＝-3时，分别求出下列函数的函数值． (1)y=(x-1)(x+2) (2) 2 3 22+ - =x x y 课堂突破 通过以上的练习，你一定知道函数和自变量了？和同桌交流一下吧，找出它们之间的联系与区别. 反思巩固 一、回顾反思 1.你的收获：知识点： 数学思想或方法： 2.你觉得最难以理解的方面： 巩固练习 1.函数 1 - + =x x y ，当x＝2时，函数值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0

2.写出下列函数关系式，指出自变量与函数. 一辆汽车从南京开出，行驶在去上海的高速公路上，速度为120km／h，南京至上海约270km，则该汽车离上海的路程s与行驶时间t之间的函数关系； 3.判断下列式子中y是否是x的函数，并说明理由： （1） ()2 21 2- =x y ；（2） x y2- = ；（3） x y3 - = .

第三章 概率的进一步认识知识点复习

第三章 《概率的进一步认识》知识点复习 姓名：_______ 知识点1：求“连续两次完成某事件”的概率 1、有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为________． 2、抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是________． 3、盒子里放有三张分别写有整式a ＋1，a ＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是________． 4、“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 5、一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ） A.21 B. 31 C. 41 D. 6 1 6．若从长度是3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能构成三角形的概率是( ) A. 21 B.43 C.31 D.41 7．在x 2□4x □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的整式中，恰好是完全平方式的概率是( ) A ．1 B.21 C.31 D.4 1 8．假定鸟蛋孵化后，雏鸟为雌与雄时概率相同，如果三枚蛋全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是( ) A.61 B.83 C.85 D.3 2 9．我市辖区内景点较多，李老师和刚高中毕业的儿子准备从A ，B ，C 列三个景点去游玩．如 果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站，那么他们都选择B 景点的概率是_ _． 10．从甲地到乙地有A 1，A 2两条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3三条路线，从丙地到丁地有C 1，C 2两条路线，一个人任意选了一条从甲地经乙地、丙地到丁地的路线，求他选到B 2路线的概率． 11．一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一 个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是( ) A.161 B.163 C.41 D.16 5 12．一枚质地均匀的正方体骰子，连续抛掷两次，两次点数相同的概率是( )

函数的初步认识

课题：函数的初步认识 [教学目标] 1、初步了解函数的概念，在具体情景中分清哪个变量是自变量，谁是谁的函数， 会由自变量的值求出函数值。 2、经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维能力，感悟运动变化的 观点。 3、通过具体情景中对函数关系式的建立。提高认识变化规律、预测发展趋势的 能力。 重点：1、函数的概念 2、会由自变量的值求出函数值 难点：1、哪个变量是自变量，谁是谁的函数。 2、从具体实例中抽象出函数 [教学过程] 一、想一想： 1、一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它合多少厘米？15英寸呢？ （注：1英寸=2.54厘米） 2、如果某种电视机屏幕的对角线长度是x英寸，换算为公制是y厘米，试写出 y与x之间的关系式？ 3、在y与x的关系式中，哪些量是常量？哪些量是变量？y的值是由哪个变量 的取值确定的？ 4、你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ 二、填一填，学一学： 1、如果三角形一条边的长为x厘米，这条边上的高为6厘米，那末这个三角形

的面积y= 平方厘米；当x =4厘米时，y= 平方厘米；当x =8厘米时，y= 平方厘米. 2、在同一个变化过程中，有两个变量 和 ，变量 的取值是由变量 的取值惟一确定的，我们把 叫做 的函数，其中 叫自变量。 3、8是关于字母x 的代数式2x 当x=4时的值，也叫做函数y=2x 当x=4时对应的 。 三、试一试： 人行道有小正方形水泥地砖铺设而成，下图是小正方形水泥地砖的一种铺设方式 ① ② ③ …… （1）按图①②③的次序这样铺下去，第④个图形中有多少块小正方形水泥地砖？ （2）如果用n 表示上述图形中的序号，S 表示相应图形中小正方形水泥地砖的块数，写出S 与n 之间的关系式。指出在这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数。 （3）在序号为100的图形中，一共有多少块小正方形水泥地砖？ 四、求一求： 当x 分别取-1，0，2时，求下列函数对应的函数值：

北师大版高中数学(必修12.2对函数的进一步认识函数的表示法同步测试题

第二章 函数 2.2 函数的表示法 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为……… ( ) A.f(x)＝－x B.f(x)＝x －1 C.f(x)＝x ＋1 D.f(x)＝－x ＋1 【答案】 D 2.已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为…………………………………( ) A.－2 B.6 C.1 D.0 【解析】 方法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f(t)＝(t ＋1)2－3， ∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6. 方法二：f(x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2， ∴f(x)＝x 2＋2x －2， ∴f(2)＝22＋2×2－2＝6. 方法三：令x －1＝2， ∴x ＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故选B. 【答案】 B 3.已知f(x)＝1 x 2－1，g(x)＝x ＋1，则f(g(x))的表达式是…………………… ( ) A.1 x 2＋2x B.x 2 x 2－1 C.x 2 x 2＋2x D. 1 x 2－1 【解析】 f(g(x))＝1(x ＋1)2－1＝1 x 2＋2x . 【答案】 A 4.已知函数y ＝??? f(1)＝0 f(n ＋1)＝f(n)＋3，n ∈N * ，则f(3)等于…………………… ( ) A.0 B. 3

C. 6 D.9 【解析】 f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3， ∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6. 【答案】 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 【解析】 由图象可看出-3≤x ≤3，-2≤y ≤2. 【答案】 ［-3,3］［-2,2］ 6.已知f(x)与g(x)分别由下表给出 那 么 f(g(3)) ＝ . 【解析】 由表可 得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 【答案】 1 三、解答题(每小题10分，共20分) 7.解答下列问题： (1)若f(x ＋1)＝2x 2＋1，求f(x)； (2)若函数f(x)＝x ax ＋b ，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，求f(x). 【解析】 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f(t)＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3.∴f(x)＝2x 2－4x ＋3. (2)由f(2)＝1得2 2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2； 由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x 变形得x(1 ax ＋b －1)＝0，解此方程得：x ＝0或x ＝1－b a .又因为方 程有唯一解，所以1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以所求解析式为f(x)＝2x x ＋2 . 8.作下列各函数的图象： (1)y ＝2x 2－4x －3(0≤x ＜3)； (2)y ＝|x －1|； 【解析】 (1)∵0≤x ＜3，∴这个函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x ＜3之间的一段弧(如图(1)). x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 x 1 2 3 4 g(x) 3 1 4 2

初二数学试题-认识函数测试题 最新

浙教版八上《7.2 认识函数》同步练习2 ◆基础训练 1．函数y=2x+1中自变量x 的取值范围是________． 2．x-2y=1改写成y 关于x 的函数是______． 3．函数y=x 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≤1且x ≠0 B ．x>1且x ≠0 C ．x ≠0 D ．x<1且x ≠0 4．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，?国家决定对某药品的价格分两次降价，若 设平均每次降价的百分率均为x ，该药品的原价是m 元，?两次降价后的价格是y 元，则y 与x 之间的函数关系是（ ） A ．y=2m （1-x ） B ．y=2m （1+x ） C ．y=m （1-x ）2 D ．y=m （1+x ）2 5．求下列函数中自变量x 的取值范围： （1）y=1x ； （2）y=x-1； （3）y=x 2-2x+1； （4）21 (5)(6)1y y x ==-． 6．如图表示函数y 与x 之间的关系． （1）写出x ，y 的取值范围; （2）写出x=1时y 的值，y=2时x 的值． 7．A 、B 两地相距30千米，王强以每小时5千米的速度由A 步行到B ，若设他与B 地距离为 y 千米，步行的时间为x 时，请写出y 与x 之间的函数关系式． 8．已知水池中有水600立方米，每小时放水50立方米． （1）写出剩余水的体积Q （立方米）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）求出自变量t 的取值范围； （3）8小时后，池中还有多少立方米的水？ （4）几小时后，池中还有100立方米的水？ ◆提高训练 9．如图所示是小思所设计的函数值计算程序，若输入x 的值为3，则输出的值为（ ）

谈谈对函数性质教学的认识

谈谈对函数性质教学的认识 1抓住函数概念核心，加强概念形成的教学 理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。对于函数概念教学的重要性要有充分的认识，要舍得花时间、花力气 函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了现代函数的定义形式。而在初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“y对x是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数。因此可以认为，初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。 函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。 2、加强研究函数的一般方法的引导 概念教学的几个基本环节： 概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入） 概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性） 概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延） 概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色） 概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。实际上，相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程。因此在教学过程中，适时地给他们一些“先行组织者”，加以研究方法的引导，对于学生理解相关概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。 再如，对于几种特殊函数性质的讨论，也有很多研究方法的联系。无论是对于正比例函数，还是一次函数、反比例函数、二次函数，都要研究以下问题： 研究的内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等； 研究的方法：“三步曲”——画函数图象，观察归纳特征，数学语言描述性质； 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。 这些内容，反映了我们研究函数问题的“基本套路”。在开始对特殊函数的研究中，需要教师遵循这个套路，并能适时归纳和总结。在后续对其他函数的研究中，这个先行组织者就能起到“导游图”的作用，为将要学习的内容提供了一个框架或线索，使学生对学习进程心中有数，

对函数的进一步认识同步测试题北师大版必修

第二章函数 函数概念 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1.下列两个函数完全相同的是…………………………………( ) A.y＝x2 x 与y＝x B.y＝x2与y＝x C.y＝(x)2与y＝x D.y＝3 x3与y＝x 【解析】A中y＝x2 x 的定义域为{x|x≠0}，而y＝x的定义域为R； C中y＝(x)2的定义域为［0，＋∞)，而y＝x的定义域为R，故A、C错；B中y＝x2＝|x|与y＝x的对应关系不同，所以B错； D中y＝3 x3＝x与y＝x定义域与对应关系均相同，故D对. 【答案】D 2.函数y＝ 1 x＋1 的定义域是…………………………………( ) A.［－1，＋∞) B.［－1,0) C.(－1，＋∞) D.(－1,0) 【解析】要使函数式有意义，须满足x＋1>0， ∴x>－1，故定义域为(－1，＋∞). 【答案】C 3.如图所示，可表示函数图象的是…………………………………( ) A.① B.②③④ C.①③④ D.② 【解析】因为在②图中，给定x的一个值，有两个y值与它对应，不满足函数的定义，而①、③、④均满足函数定义. 【答案】C 4.已知f(x)＝x2＋1，则f［f(－1)］的值等于[JY。] …………………………………( ) A. 2 B.3 C. 4 D.5 【解析】f(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝5.

【答案】 D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.用区间表示下列数集： (1){x|x≥1}＝ . (2){x|2－1且x≠2}＝ . 【答案】 (1)［1，＋∞) (2)(2,4］ (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 6. 函数y ＝－x 2 ＋2x ＋1的值域为 . 【解析】 ∵y＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2］. 【答案】 (－∞，2］. 三、解答题(每小题10分，共20分) 7.求下列函数的定义域 (1)f(x)＝ x ＋1x －1； (2)f(x)＝11＋1x . 【解析】 (1)要使函数有意义，须 ??? x ＋1≥0x －1＞0??? x≥－1x ＞1x ＞1 ∴f(x)的定义域为(1，＋∞) (2)要使函数有意义，须 ????? x≠0 1＋1x ≠0x≠0且x≠－1 ∴f(x)的定义域为{x|x∈R 且x≠0且x≠－ 1}.(]22111113(1)(1)(,1,1)11f x x a x x x ??+=++-∞?-∞-+-=++ ?? ? 8.已知函数f(x)＝x 2＋x －1. (1)求f(2)；(2)求f(1x ＋1)；(3)若f(x)＝5，求x 的值. 【解析】 (1)f(2)＝4＋2－1＝5. (2)2211113(1)(1)(1)11f x x x x x +=+++-=++.

对函数的再认识

对函数的再认识（1） 贺新春 一、教材分析 （一）教材的地位和作用： 《对函数的再认识》第一节课的第一课时，在学生已有的函数知识的基础上首次正式出现了“函数”概念，它既是对前面所学的正比例函数、一次函数、反比例函数的一个回顾和延伸，又是后面学习函数表示方法的基础，也为学习二次函数打下扎实的认知、探究思路指明了学习方向；通过对函数概念的教学，更进一步的培养了学生的语言表达能力，另外，通过小组合作学习，力争创建“和谐高效”的课堂，使学生的分析能力、思维能力、合作能力等综合能力得到发展和提高。 （二）教育教学目标 1、知识和能力目标 （1）使学生了解对应观点下的函数意义，会求简单的自变量取值范围和函数值。 （2）了解函数与函数值的区别，会根据实际问题求出函数关系式。 2、过程与方法目标 （1）经历对数学问题的探索，分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． （2）使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程，进一步体会数学知识是来源于生活又应用于生活的。 3、情感态度与价值观目标 （1）注意展示学生思维的闪光点，努力激发学生思维的创造点，培养他们的语言表达能力和合作能力。（2）让学生体会学习函数的乐趣，进一步体会数学是与实际生活紧密相连的。 （三）教学重点和难点 教学重点：函数概念的理解,能够表示简单变量之间的函数关系。 教学难点：理解函数的意义，深入认识函数关系中两个变量之间的对应关系。 二、教学策略 （一）教学方法 因“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者，教师的作用是要发现强化这种探索精神，所以 1、本节课的教学方法是“问题解决法”，通过创设问题情景——设置问题——归纳与分析，引导学生探索本节课的知识。 2、通过小组合作学习，以优生带困难生全面提高课堂效率。 （二）学法指导 鼓励学生将所学的知识应用到生活实际中，学会归纳总结，逐步掌握主动获取知识的本领。 三、教学准备：三角板、多媒体课件 四、教学过程：