第3章线性方程组习题集解答
习题3
3-1．求下列齐次线性方程组的通解：
（1）??
?
??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
????
? ??-----?→?????? ??-----=144072021
1873153211A
)(000720211阶梯形矩阵B =????
? ??-?→?
???
?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =?????
? ???→?
， 与原方程组同解的齐次线性方程组为
???
???
?=+=+02702
11
z y z x ， 即
???
???
?-=-=z y z x 272
11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系
T
)1,2
7,211(--
=ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2
7,211(T
k k --
=ξk 为任意常数． （2）???
??=+++=+++=++++0
86530543207224321
432154321x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
????
? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A
)(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→?
????
? ??-?→?70000141010211201
)(100000101001201行最简形矩阵C =????
? ???→?，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
???
??==+=++00
025
42431x x x x x x ， 即
???
??=-=--=025
4
2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T
，得到方程组的一个基础解系
T
)0,0,1,0,2(1-=ξ，T
)0,1,0,1,1(2--=ξ，
所以，方程组的通解为
=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．
（3）???????=-+-+=-++-=-+-=--+0
74242043624020354321543214
3215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
11031112104263424247A --?? ?--
?= ?-- ? ?--??
11031022210003100000--??
?
-
?
??→ ?
- ?
??
?
)(阶梯形矩阵B =
)(000003110006501106701
1
行最简形矩阵C =?
?
??
?
??
??----?→?，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
???
?
?
?
???
=-=--=-+03106506
754532531
x x x x x x x x ，
即
???
?
?
?
???
=+=+-=5453
2531
31656
7x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T
，得到方程组的一个基础解系
T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,3
1
,0,65,67(2=ξ，
所以，方程组的通解为
=+2211ξξk k T T k k )1,3
1
,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．
3-2．当λ取何值时，方程组
??
?
??=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？
解 原方程组等价于
??
?
??=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ,
上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式
067
1
743134=-----λ
λλ，
即
0)756(2=-+λλλ，
从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．
3-3．求解下列非齐次线性方程组：
（1）???
??=++--=-+-=++-5
5212124321
43214321x x x x x x x x x x x x .
解 对增广矩阵A 施行行初等变换
????? ??-----=551211112111121A ????
? ??-?→?000001100011121B =，
因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换
B ???
?
?
??-?→?
000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为
??
?==+-1
24321x x x x , 即
??
?=-=124
3
21x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T
T x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解
T )1,0,0,0(0=η，
对应的齐次方程组（即导出方程组）为
??
?=-=0
243
21x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T
，得到对应齐次方程组的一个基础解系
T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,
方程组的通解为
0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，
其中21,k k 为任意常数．
（2）???????=+--=+--=+--=-+-8
1095724533223132432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x .
解 对增广矩阵A 施行行初等变换
???????
??--------=810957245113322311312A ??????
? ??----?→?000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换
B ??
?
?
?
?
? ??----?→?
000000000039131015
801C =，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
??
?-=-+-=-+39131
58432
431x x x x x x , 即
??
?+--=+--=432
4
319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T T
x x =，得到非齐次方程组的一个解
T )0,0,3,1(0--=η,
对应的齐次方程组（即导出方程组）为
??
?+-=+-=432
4
3191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T
，得到对应齐次方程组的一个基础解系
T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，
方程组的通解为
0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,
其中21,k k 为任意常数．
（3）???????=++=-+=-+-=-+100
132122133213213
21321x x x x x x x x x x x x ．
解 对增广矩阵A 施行行初等变换
????
?
?
? ??---?→????????
?
?----=1014002010341013111001111321121213
11A ??
?
?
?
?
?
??----→
???????
?
?----?→?96000
5400
3410
1311
1014005400341013
11，
因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.
3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．
??
?
??=++++=+-+=+++3
)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλ
λλλ
λ． 解 方程组的系数行列式为
2312
11(1)3(1)3
A λλλλλλλλ+=-=-++.
（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为
123231
33200
333
x x x x x x x ++=??
-+=??+=?， 显然无解．
(ii) 当1λ＝时，原方程组为
???
??=++=+=++3
461
1
24321
31321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换
412110111011012361430000A ????
? ?=→-- ? ? ? ?????
，
因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为
132
31
23x x x x +=??
-=-?， 即
13
2
3132x x x x =-??
=-+?（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解
0(1,3,0)T η=-，
对应的齐次方程组（即导出方程组）为
13
2
32x x x x =-??
=?（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系
(1,2,1)T ξ=-，
方程组的通解为
0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．
3-5．写出一个以122234
1001x c c -????
? ?- ? ?=+ ? ? ? ?????
为通解的齐次线性方程组．
解 由已知，1(2,3,1,0)T ξ=-和2(2,4,0,1)T
ξ=-是齐次线性方程组
AX O =的基础解系，
即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为
422-=，故可设系数矩阵
1112
13142122
23
24a
a a a A a a a a ??= ???
, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组
()12342234,,,1001x x x x O -?? ?-
?= ? ???
, 即方程组123124
230
240x x x x x x -+=??-++=?的线性无关的两个解即为12,αα,
方程组的系数矩阵
2310204324010111-????→ ? ?-????
, 该方程组等价于
134
234
243x x x x x x =--??
=--?（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T
，得到该齐次方程组的一个基础解系
1(2,1,1,0)T α=--，23
(,1,0,1)2
T ξ=--，
故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中2
1103
1012
A --??
?= ?
--??
,
即
123124203
02
x x x x x x --+=??
?--+=??. 3-6．设线性方程组
???
??=+++=++0
0221
11212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a ΛΛ
ΛΛΛ， 的解都是02211=+++n n x b x b x b Λ的解，试证T
n b b b ),,,(21Λ=β是向量组
T n a a a ),,,(112111Λ=α,T n a a a ),,,(222212Λ=α, ,),,,(21mn m m m a a a Λ=α的线
性组合．
证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是
02211=+++n n x b x b x b Λ的解，所以方程组（*）与方程组
111122111221122000
n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=???
?
+++=??+++=?L L L L L L , 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组
12,,,m αααL 和12,,,,m αααβL 的秩相同，故β可由12,,,m αααL 线性表示．
3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．
证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是
O BX =的解．
充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故
()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．
3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量T
b ，使
T A ab =．
证 充分性.若存在列向量12m a a a a ??
? ?= ? ???
M 及行向量()12T n b b b b =L ，其中
,i j a b 不全为零1,,i m =L ，1,,j n =L ，则有
()111121221
22
21212
n n T
n m m m m n a a b a b a b a a b a b a b A ab b b b a a b a b a b ????
?
? ? ?
=== ? ? ?
?????
L L L
M L L L L L
, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．
必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形
1000000
0D ?? ?
?= ? ???
L L L L L L L
， 而矩阵D 可以表示为
()100100001,0,,00
00D ???? ? ?
? ?== ? ? ? ?????
L L L L L L L M L
，
则存在可逆矩阵P ，Q 使得1
P AQ D -=，从而
()1110
1,0,,00A PDQ P Q --?? ? ?== ? ???
L M ，其中1,P Q -均可逆，
记
10
0a P ?? ? ?= ? ???
M ， ()11,0,,0T b Q -=L ，
又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同
理，因为1Q -可逆，所以行向量T
b 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量T
b ，使T
A ab =．
补充题
B3-1.设A 是m n ?矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.
（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解； （D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．
B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T
A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组
（ⅰ）AX O =； （ⅱ）T
A AX O =， 必有（ D ）．
（A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．
B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．
（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解； （Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．
B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：
??
?
??=++=++=++21
λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式
211
11(1)(2)1
1A λ
λ
λλλ
==-+，
（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解
2
11(1),,222
x y z λλλλλ++=-==+++．
（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为
1x y z ++=，
因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为
0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,
其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为
212224x y z x y z x y z -++=??
-+=-??+-=?
， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换
2111112412120112112400015A --???? ? ?=--→- ? ? ? ?-????
，
因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．
解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换
221
111
11
1
1
111
1
1
1A λλλλ
λλλλ
λλ
??
?? ?
?=→ ? ? ? ??
???
2223110110111λ
λλλλλλλλ??
?→--- ? ?---??
2
2
223110110021λλλλλλλλλλλ?? ?→--- ?
?--+--??
2
2
21101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ?? ?→---= ? ?-+-+??
， (1)当
12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解
2
11(1),,222
x y z λλλλλ++=-==+++.
(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为
0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,
其中21,k k 为任意常数．
(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．
B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：
122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．
证 设有三个数123,,k k k 使得
112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,
则有
131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,
因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故
131223
000k k k k k k +=??
+=??+=?, 该方程组的系数行列式
10111020011
=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以
122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．
B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且
??????? ??=54321ξ，??????
? ??=+432132ξξ，
求该方程组的通解．
解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以
1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即
12334
2()56ηξξξ??
? ?=-+= ? ???
,
为导出组的解．
故原方程组的通解为
12334
4556k k ξξη???? ? ? ? ?=+=+ ? ? ? ?????
，k 为任意常数．
B3-7. 设*
ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，
r n -ηηη,,,21Λ是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：
（1）,*
ξr n -ηηη,,,21Λ线性无关；
（2）r n -+++ηξηξηξξ*
2*1**,,,,Λ线性无关．
证（１） 反证法.设,*
ξr n -ηηη,,,21Λ线性相关，由r n -ηηη,,,21Λ是对应的
齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21Λ线性无关，故*
ξ可由
r n -ηηη,,,21Λ线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21Λ线性无关．
证（2） 反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*
2*1**,,,,Λ线性相关，则存在不全
为零的数012,,,,n r k k k k -L ，使得
****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=L ,
即
*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=L L ,
由（１）知，,*
ξr n -ηηη,,,21Λ线性无关，则
0120n r k k k k -++++=L ，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,
从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -L 不全为零矛盾,
故r n -+++ηξηξηξξ*
2*1**,,,,Λ线性无关．
B3-8．设线性方程组
??????
?=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛ22112
222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵
???????
? ??02
1
21222221111211n
n nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ 的秩，试证这个方程组有解．
证 令1112
121
22
212
n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?
= ?
???
L L L L L L L
, 11121121
222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ??
?
?
= ?
?
??L L L L L L L L ,
111211212222121
2
0n n n n nn n n a a a b a a a b B a a a b b b b ??
?
? ?= ?
? ???
L L L
L L L L L L
,
因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故
()()()r A r A r B ≤≤,
而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．
B-9．设A 是n 阶方阵，*
A 是A 的伴随矩阵，证明：
??
?
??-<-===*
1
,01,1,n r n r n r n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**
AA A A A E ==，1
*0n A A
-=≠，故
第二章 线性方程组的数值解法
第二章 线性方程组的数值解法 在科技、工程技术、社会经济等各个领域中很多问题常常归结到求解线性方程组。例如电学中的网络问题，样条函数问题，构造求解微分方程的差分格式和工程力学中用有限元方法解连续介质力学问题，以及经济学中求解投入产出模型等都导致求解线性方程组。 n 阶线性方程组的一般形式为 ?? ???? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L K K K K L L 22112 222212********* （1.1） 其矩阵形式为 b Ax = （1.2） 其中 ????? ???????=??? ?????????=? ? ????? ?????= n n nn n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A M M L K K K K L L 2121212222111211 ),,2,1,(n j i a ij L =，),,2,1(n i b i L =均为实数，i b 不全为0，且A 为非奇异。 关于线性方程组的数值解法一般分为两类： 1．直接法 就是不考虑计算机过程中的舍入误差时，经有限次的四则运算得到方程组准确解的方法。 而实际中由于计算机字长的限制，舍入误差的存在和影响，这种算法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的消去法及其某些变形。这些方法主要用于求解低阶稠密系数矩阵方程组。 2．迭代法 从某个解的近似值出发，通过构造一个无穷序列，用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。本章主要介绍迭代法与迭代法。迭代法是解大型稀疏矩阵（矩阵阶数高而且零元素较多）的线性方程组的重要方法。 §1 高斯)(Gauss 消去法 1.1 Gauss 消去法 Gauss 消去法是将线性方程组化成等价的三角形方程组求解。首先举例说明Gauss
第三章 线性方程组
第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组的矩阵消元解法 例3.1 求解线性方程组 ??? ??=+-=+-=-+4 5342622321 321321x x x x x x x x x 解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。 除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换： ????? ??---411534216122→????? ??---411534210960→???? ? ??---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。 下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组： ????? ??---4115342]1[6122 →? ?? ?? ??----111990342 109]6[0 ?→?* ????? ??---11]5.5[0005 .110310 1→? ???? ? ?210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二 步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。最后一个矩阵对应方程组 ?? ? ??=++=++=++2 003001 00321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。写成列向量 ()T x 2,3,1=，叫做解向量。显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列 直接读出，无需写出对应的方程组。 第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1 的线性方程组，写成矩阵形式是??? ? ? ??=????? ??---436115421122x 。
线性方程组的数值解法实验
线性方程组的数值解法 实验 题目 用Gauss消元法和Seidel迭代法求线性方程组的解。 实验目的 通过本次实验了解Gauss消元法和Seidel迭代法的基本原理，掌握其算法,学会用Matlab编程进行计算，并能用这些方法解决实际问题。 Gauss 顺序消元法的基本原理算法： （1）输入：,. A b （2）对1,2,,1 k n =???-做 1）if0 kk a=then输出算法失败信息，停机； 2）对1,, i k n =+???做 1/; ik ik ik kk a l a a ←= 2; i i ik k b b l b =- 3对1,, j k n =+???做; ij ij ik kj a a l a =- （3）if0 nn a=then输出算法失败信息，并停机else做 1）/; n n n nn b x b a ←= 2）对1,,2,1 i n =-???做 1 ()/; n i i i ij j ii j i b x b a x a =+ ←=-∑ （4）输出方程组的解.X
流程图见附页 Seidel 迭代法的基本原理算法： （1）输入：,; A b （2）输入：初始解向量 ;x （3）对1,2,, i n =???做 1） 1 ()/; n i i ij j ii j j i y b a x a = ≠ =-∑ 2）; i i i e y x =- 3）; i i x y = （4）if 1 {||} max i i n eε ≤≤
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组 1．线性方程组的基本概念 (1)线性方程组的一般形式为： 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0). 即[] n a a ,,a 21ΛΛ??? ?? ? ??????n x x x M 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a ΛΛ 如下 ????????????= 121111m a a a M α ，????????????=222122m a a a M α，………，????????????=mn n n n a a a M 21α, ? ? ??? ???????=m b b b M 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21ΛΛ线性表示。 矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0). ? ? ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ M O M M Λ Λ 2 122221 11211 ，????????????=n x x x X M 2 1 ???? ? ???????=m b b b M 21β 其中A 为m n ?矩阵，则： ① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。 矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21ΛΛ，β），称矩阵A 为方 程组的增广矩阵。 2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合 c 1η1+ c 2η2+? + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。 性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线 性方程组的一个解。 3.线性方程组解的情况的判别 （1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ). 若有非零解? r(A ) 四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠 密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件： 在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。 方程A*X=b 变成所以 在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形 式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b) 第四章 线性方程组 1．设齐次方程组12312312 30030 x ax x ax x x x x x ++=?? ++=??-+=? 有非零解，求a 及其通解. 解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零. 2211 ||1 131******** a a a a a a ==-+--+=-=-A 所以，2 1a =，即1a =± （1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换 111111120111000011113022000?????? ? ? ?=→→- ? ? ? ? ? ?--?????? A 原方程组等价于1223200x x x x +=??-=?, 即 12322x x x x =-??=?. 取21x =，得1211-?? ? = ? ? ?? ξ为方程组的基 础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξT R . （2）当1a =-时， 111111110111001001113000000---?????? ? ? ?=-→→ ? ? ? ? ? ?-??????A 原方程组等价于123 0x x x -=??=? 取21x =，得()T 21,1,0=ξ为方程组的基础解系. 故通解为2(1,1,0), T R k k k ==∈X ξ. 2．解齐次方程组 （1）1234123412 3420222020x x x x x x x x x x x x ++-=??+++=??++-=? （2）12341234 12 3412342350 327043602470 x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=??+-+=??-+-=? 解线性方程组基思想 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠 密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件： 在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。 方程A*X=b 变成所以 在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形 式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b) 第4章解线性方程组的迭代法 用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组， 如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式 （4.1） 任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。 若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限 即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。 可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有 再由迭代式可得到 由线性代数定理，的充分必要条件。 因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。 定理4.1迭代法收敛的充要条件是。 定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径 因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的 工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中 于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列 是收敛的。 要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。 在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式 雅可比迭代计算 元线性方程组 （4.2） 写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组： 记，构造迭代形式 第一讲 基本概念 一．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: ???????=+++=+++=+++, ,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 个数1C ,2C , …, n C 构成,它满足:当每个方程中的 未知数1x 都用1C 替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. ???=+=+f ey dx c by ax 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷 多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总 是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷 多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为 (i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 21222 2111211 =和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 212 12222111211)(=β 为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐 次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息. 2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为 习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-. 习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =. 3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-= 常微分方程学习活动6-第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习WORD版 常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次 方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1 +n R 空间 不能 与x 轴相交． 2．方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的 图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n+1 个． 5．若函数组)()(2 1 x x ??，在区间),(b a 上线性相关， 则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于 ． 6．函数组? ? ?==x y x y cos sin 2 1的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-= 7．二阶方程 2=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ?????--='='y x xy y y y 2111 ． 8．若)(1 x y ?=和) (2 x y ? =是二阶线性齐次方程的 基本解组，则它们 没有 共同零点． 9．二阶线性齐次微分方程的两个解 ) (1x y ?=, ) (2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 ． 10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个 好久没来论坛，刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰，谢谢大家支持！ 今天趁着不想做其他事情，把线性方程组的数值解法总结下，有不足的地方希望大神指教！数学建模中也会用到线性方程组的解法，你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死，而且不一定有结果，直接用matlab的函数，可以，关键是你不理解用着你安心吗？你怎么知道解得对不对？ 我打算开个长久帖子，直到讲完为止！这是第一讲，如有纰漏请多多直接，大家一起交流！线性方程组解法有两大类：直接法和迭代法 直接法是解精确解，这里主要讲一下Gauss消去法，目前求解中小型线性方程组（阶数不超过1000），它是常用的方法，一般用于系数矩阵稠密，而有没有特殊结构的线性方程组。 首先，有三角形方程组的解法引入Gauss消去法，下三角方程组用前代法求解， 这个很简单，就是通过第一个解第二个，然后一直这样直到解出最后一个未知数，代码如下：前代法： function [b]= qiandai_method(L,b) n=size(L,1); %n 矩阵L的行数 for j=1:n-1 %前代法求解结果存放在b中 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n); 上三角方程组用回代法，和前面一样就是从下面开始解x，代码： 后代法： function [y]=houdai_method(U,y) n=size(U,1); %n 矩阵L的行数 for j=n:-1:2 %后代法求解结果存放在y中 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1); Gauss消去的前提就是这两个算法： 具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A，分解为一个上三角和一个下三角的乘积，即A=LU，其中L为下三角，U为上三角。 那么具体怎么做呢？ 有高斯变换，什么是高斯变换？由于时间有限我不可能去输入公式，所以我用最平白的话把它描述出来。 你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0？ 高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把A的第i列对角线元素以下的都变为0，最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L’=L(n-1)L(n-2)…L2L1，而L’A=U, 那么L=L’的转置，这样就得到了A得分解。 我们要求Ax=b A=LU 第四章 线性方程组 一 综述 线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的. 作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）. 线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求 掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法. 4.1 消元法 一 教学思考 本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求 主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程 1．引例：解方程组???? ?????=++=++=++2534233351 3121321321321x x x x x x x x x （1） 定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据 3．转引 在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入： 线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组 123131233231 2104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两 个不同的解向量，则a 的取值如何 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ?-→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是 ()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 12234411223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。 题型2 线性方程组求解 第四章 线性方程组 一、本章知识串讲 线性方程组是线性代数的基础内容之一，首先应当会解方程组，主要方法是高斯消元法，特殊情况可考虑用克莱姆法则.特别地，当方程组中有参数时，讨论解的各种情况时不要遗漏；其次，齐次方程组0A x =总是有解的，我们关心的问题是它何时有非零解？有多少非零解？如何表示每个解？这就有解空间，解空间的基（即基础解系）等概念，要掌握基础解系的求法；再其次，对于非齐次线性方程组,Ax b =要理解解的结构，有解的判定等问题；最后应注意方程组与向量组线性表示及秩之间的联系，要了解方程组与空间平面的关系. 二、大纲考查要点诠释 1．线性方程组的各种表达形式 1111 22112112 222211 22,,n n n n m m m n n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=?? +++=??? ?+++=? （4.1） 可用矩阵乘法表示为：.A x b = （4.2） 如果对系数矩阵A 按列分块，方程组有向量形式 1122 .n n x x x b ααα+++= （4.3） 2．齐次方程组0A x =恒有解（必有零解） 当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0A x =的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间.解空间的维数是(),n r A -解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系. 3．如12,,,t ηηη 是0A x =的基础解系，即12,,,t ηηη 是0A x =的解，12,,,t ηηη 线性无关，且 ().t n r A =- （4.4） 1122t t k k k ηηη+++ 是0A x =的通解. 基础解系中解向量的个数是(),()n r A n r A --也是方程组自由变量的个数. 求基础解系时，可对A 作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元（共有()r A 个主元），那么剩余的其它未知数就是自由变量（共有()n r A -个），对自由变量按阶梯形适当赋值后，再代入求解就可得到基础解系. 【例4.1】若某齐次方程组经高斯消元，化为 1 2131 542 3-?? ?→ - ? ?-? ? 则()532,n r A -=-=基础解系由2个向量组成.此时134,,x x x 是主元，25,x x 是自变量，因而可赋值为 12(, 1 ,,,0), (, 0,,,2).T T ηη== 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，， ，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求出通解. 第三章线性方程组地数值解法 范数 (1> 常用范数 ① 向量 1- 范数: ② 向量 2- 范数: ③ 向量∞- 范数: ④ 向量 p- 范数: 向量1- 范数,向量2- 范数,向量∞- 范数实际上为任意 p- 范数地特例. (2> 矩阵范数 设,则 (1>,A地行范数 (2>,A地列范数 (3>,A地 2- 范数,也称谱范数 (4>, F- 范数 其中指矩阵地最大特征值 (3>谱半径(用于判断迭代法地收敛值> 设为矩阵A地特征值,则 称为A地谱半径 谱半径小于任何半径,若,则 (4>设A为非奇异矩阵,称 为A地条件数 矩阵地条件数与范数选取有关,通常有 显然当A对称时 直接法 Gauss消去法 ①Gauss顺序消去法 对线性方程组Ax=b,设,按顺序消元法,写出增广矩阵(A┆b>第一步,写出,将2～n行中地变为0 第k步,写出,将k+1～n行中地变为0 具体步骤可参照下面地例题 例5:用Gauss消去法解方程组 解: Guass列主元消去法 消去过程与Guass消元法基本相同,不同地是每一步消元时,都要将所选到地绝对值最大元素作为主元. 具体分析参见习题详解1 ②矩阵三角(LU>分解法 基本思想:将Ax=b化为LUx=b,令Ux=y 可得Ly=b,Ux=y,相当于先求出y,再求出x 其中,L,U分别为下三角矩阵和上三角矩阵 若L为单位下三角矩阵,则称为Doolittle分解。若U为单位上三角矩阵,则称为Crout分解. ③矩阵Doolittle分解法 计算公式 具体解题见习题详解2 注意计算顺序,先行再列,用简图表示为 虚线上地元素为对角元,划为行元. ④ 分解法 计算公式 线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量它满足:当每个方中的未知数xi 都用ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解 b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 线性方程组的解法 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 （1）、写出线性方程组的增广矩阵。 （2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。 （3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。 （4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r 。如果r=n ，则方程组有唯一解；如果r解线性方程组的基本思想
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