提公因式法

[提公因式法]

教学设计提公因式法(一)教学目标

1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．

2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．

3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.教学重点及难点

教学重点：

因式分解的概念及提公因式法．

教学难点：

正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．

教学过程设计：

一、复习提问

乘法对加法的分配律．

二、新课

1．新课引入：用类比的方法引入课题．

在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．2．因式分解的概念：

请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)

如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)＝a2-b2

(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

再请学生观察它们有什么共同的特点？

特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．

可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．

联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．

区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）

(1)x2-x＝x(x-1) (√)

(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

下面我们学习几种常见的因式分解方法．

3．提公因式法：

我们看多项式：ma+mb+mc

请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

注意：公因式是各项都含有的公共的因式．

又如：a是多项式a2-a各项的公因式．

ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．

2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．

根据乘法的分配律，可得

m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)ax+ay+a (a)

(2)3mx-6mx2 (3mx)

(3)4a2+10ah (2a)

(4)x2y+xy2 (xy)

(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．

解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

说明：

(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．

(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．

例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．

解：3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·1

＝x(3x-6y+1)．

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．课堂练习：（投影）

把下列各式分解因式：

(l)2πR+2πr；

(2)

(3)3x3+6x2；

(4)21a2+7a；

(5)15a2+25ab2；

(6)x2y+xy2-xy．

例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则．

解：-4m3+16m2-26m

＝-(4m3-16m2+26m)

＝-2m(2m2-8m+13)．

说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．课堂练习：（投影）把下列各式分解因式：

(1)-15ax-20a；

(2)-25x8+125x16；

(3)-a3b2+a2b3；

(4)-x3y3-x2y2-xy；

(5)-3ma3+6ma2-12ma； (6)(三)小结

1．因式分解的意义及其概念．

2．因式分解与整式乘法的联系与区别．

3．公因式及提公因式法．

4．提公因式法因式分解中应注意的问题．

六、作业

教材 P．10中 1、2、3、4．

七、板书设计

提公因式法

北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》 教案设计

课题 4.2 提公因式法 【教材分析】 本节课内容选自北京师范大学出版社出版的八年级数学下册第四章因式分解第二课时的提公因式法。内容包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的最基本方法——提公因式法。本节学习的因式分解知识是多项式因式分解中一部分最基本的知识和最基础的方法，受认知水平和思维水平的限制，仍会有较多的学生不适应，掌握不好，教材充分考虑了这一点，内容梯度小，知识点少且浅，利于学生的学习。 【学情分析】 八年级（1）班是重点班，基础知识扎实对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知，并且八年级的学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。 【所属章节】 北京师范大学出版社八年级数学下册第四章因式分解第二课时提公因式法。 【教学三维目标】 A：知识目标： 1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。 2、了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解。 B：能力目标： 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。 C：情感目标： 培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。 【教学重点、难点分析】 1、教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律的逆运算把把多项式进行因式分解。

2、教学难点：让学生识别多项式的公因式。【课时安排】 2节第1课时 【教学过程】

因式分解法(提公因式法、公式法)

因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+

2.2.1 提公因式法(一)

2.2.1 提公因式法（一） 第二课时●课题§2.2.1 提公因式法（一）●教学目标（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.●教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.●教学难点让学生识别多项式的公因式.●教学方法独立思考——合作交流法.●教具准备投影片两张第一张（记作§2.2.1 A）第二张（记作§2.2.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课投影片（§2.2.1 A）一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.解法一：S= × + × + × = + + =2解法二：S= × + × + × = （+ + ）= ×4=2［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.Ⅱ.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解［例1］将下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.［师］请大家互相交流.［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c+abc=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c=ab （8a2b－12b2c+c）（4）－24x3－12x2+28x=－4x（6x2+3x－7）3.议一议［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb （m）（2）4kx－8ky （4k）（3）5y3+20y2 （5y2）（4）a2b－2ab2+ab （ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）（2）a2b－5ab=ab（a－5）（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）（二）补充练习投影片（§2.2.1 B）把3x2－6xy+x分解因式［生］解：3x2－6xy+x=x（3x－6y）［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x2－6xy+x=x（3x－6y+1）［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x·1,这样可知提

提公因式法1

§2.2.1 提公因式法（一） 学习目标： 1. 了解公因式的意义，并能准确的确定一个多项式各项的公因式； 2. 掌握因式分解的概念，会用提公因式法把多项式分解因式. 3．进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法 学习重点： 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. 学习难点： 正确识别多项式的公因式. 预习作业 1、一个多项式各项都含有 _______因式，叫做这个多项式各项的_____ 2、公因式是各项系数的_________与各项都含有的字母的_______的积。 3、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个______提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做______________ 4、把首项系数变为正数。 （1）=--22xy y x —（ ） （2）=-+-xy xy y x 1892722—（ ） （3）=++---b a b a b a n n n 221—（ ） 例1、确定下列各题中的公因式： （1）324bc a -，212ac ，38ab （2）)(23n m a --，)(42m n a - （3）18-n m y x ，n m y x 14+- 例2、用提公因式法分解因式 （1）c ab b a 323128- （2）x xy x +-632（跟踪练习课本48页随堂练习1，2）） （3）m m m 2616423-+- （练习课本49页随堂练习5,6，知识技能中有关题目） （4）114 12-+-+k k k x x x （练习下边4） 练习：1．分解因式： （1）x x 2172- （2）abc c ab b a +-323128 （3）x x x 28122423+-- （4）1212222-+-+n n n a a a

提公因式法(一)教学设计

第四章 因式分解 2．提公因式法（一）教学设计 指导教师：于智军 授课教师：闫聪 课时安排：1课时 教学目标： 1.经历探索、认识多项式各项公因式的过程，并在具体的问题中，能确定多项式各项的公因式。 2.会用提公因式法对多项式进行因式分解。 3.通过与因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想。 教学重点：怎样用提公因式法因式分解 教学难点：如何正确找出多项式中各项的公因式并提取公因式 教学方法：探究 讨论 讲练结合 教学工具：多媒体 教学过程： 一、复习回顾 1.因式分解的概念 2.整式的乘法和因式分解的关系 3.因式分解的注意事项 二、新课讲授 1、计算：28 59851585?+??- （问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？ ） 目的是在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。 2、想一想： (1)多项式 ab+bc 中，各项有相同的因式吗？多项式 3x 2+x 呢？多项式mb2+nb-b 呢？ 公因式与多项式的各项有什么关系？

总结：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 (2)你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？ 总结：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 3、议一议 多项式2x 2 + 6 x3中各项的公因式是什么？多项式3x2y+9x3z呢？ 如何确定公因式：定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 公因式的系数与公因式字母部分的积就是这个多项式各项的公因式． 考考你：确定下列多项式中各项的公因式： （1）a c+ b c（2）3 x2 +x（3）30 m b2 + 5n b（4）3x+6 （5）a2 b –2a b2 + ab （6）7 ( a–3 ) –b ( a–3) 4、例题：（例题中公因式都是单项式，被分解的多项式由两项逐步增加到三项） （1）3a2-9ab（2）9x2–6xy+3xz（学生尝试完成，教师指导）（3）–24x3 +12x2–28x 解：3a2-9ab =3a?a-3a?3b =3a(a-3b) 解：–24x3 +12x2–28x = –（24x3–12x2+28x） = –（4x·6x2–4x·3x+4x·7) = –4x（6x2–3x+7) 讨论：小颖解的有误吗？（要求学生讨论完成，强化本节课的知识学习） 把8 a 3 b2–12ab 3 c + ab因式分解. 解：8 a3b2–12ab3c + ab = ab(8a2b - 12b2c) 总结：提取公因式的注意事项 1、提公因式时用多项式的每一项与公因式作除法，所得的商为这项余下的因式。 2、余下的因式中不能再有公因式，余下因式的项数与原多项式的项数相同。 3、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。

提公因式、公式法因式分解专题

因式分解练习一 提取公因式法分解因式 (1)-15ax-20a; (2)-25x 8+125x 16; (3)-a 3b 2+a 2b 3; (4)6a 3-8a 2-4a; (5)-x 3y 3-x 2y 2-xy; (6)a 8+a 7-2a 6-3a 5; (7)6a 3x 4-8a 2x 5+16ax 6; (8)9a 3x 2-18a 5x 2-36a 4x 4; "3繆 (9) 27 9 3. (10)a m -a m+1; (11)-12a 2n+1 b m+2+20a m+1 b 2nM ; (12)x(a+b)+y(a+b); (13)(a+b)2+(a+b); (16)a(a-b)+b(b-a); (14)a 2b(a-b)+3ab(a-b); (15)x( a+b-3c)-(a+b-3c) (17)(x ?3 产(x ?3)2; (20)(x-a)3+a(a-x); (I8)a 2b(x-y)-ab(y-x); (19)a 2(x-2a)2-a(2a-x)2; (21)(x ?2y)(2x+3y)?2(2y ?x)(5x ?y); (24) a(x ?y)?b(y ?x)?c(x ?y); (22)3m(x-5)-5n(5-x); (23)y(x ?y)2?(y ?x)3;

(25) (x?2)2?(2?xF; (26)m(n-2)-p(2-n)+(n-2); (27)a3-b3-a2+b2; (28) (m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m); (29) a2(x-2a)3-a(2a-x)2; (30)(a-3)(a3-2)-(3-a)(a2-1)+2(3-a); (31)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c); (32)(x+2)(x?3)(x2?7)+(2+x)(3?x)(x+3); (33)(a?b)2(a+b 产(b-a)2(b+a)2; (34)x(b+c-d)-y(d-b-c)-b-c+d; (35)(x+1 )2(2x?3)+(x+1 )(2x?3)2?(x+1 )(3?2x);

提公因式法 优质课教案

提公因式法 【教学目标】 1．在具体情境中认识公因式。 2．通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式。 【教学重难点】 1．掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 2．正确地找出公因式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是 3.8m，6.2m，宽都是 3.7m，如何计算这块菜园的面积呢？ 列式：3.7×3.8+3.7×6.2（学生思考后列式） 有简便算法吗？ =3.7×(3.8+6.2) =3.7×10=37(m2) 6.2 在这一过程中，把3.7换成m，3.8换成a，6.2换成b，于是有：ma＋mb =m(a＋b) 利用整式乘法验证：m(a＋b)=ma＋mb 二、观察分析，探究新知 让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有m，含有两种运算，乘法和加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。） 各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 如：b是多项式ab-b2各项的公因式。 2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式。

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。 三、独立练习，巩固新知 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）。 （1）ax+ay-a （a） （2）5x2y3-10x2y （5x2y） （3）24abc-9a2b2 （3ab） （4）m2n+mn2 （mn） （5）x(x-y)2-y(x-y) （x-y） 说明：本活动也可以改为寻找公因式游戏，如：根据提供的多项式和整式，寻找出这个多项式的公因式。 （1）ax+ay-a （2）5x2y3-10x2y （3）24abc-9a2b2 （4）m2n+mn2 （5）x(x-y)2-y(x-y) a，x，y 5xy，5x2y3，5x2y 3abc，9ab，3ab mn，m2n，mn2 x(x-y)，y(x-y)，(x-y) 游戏规则：准备好写有整式和多项式的纸牌，学生分为四组，每组选四个同学游戏，其中3个同学举一组题中的整式牌，第四个根据组员建议寻找出题中的公因式，并说明理由。 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）： （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）。 （2）字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂。 根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）。这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 四、例题教学，运用新知 例：把3pq3+15p3q分解因式 通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式。 解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)

提公因式、公式法因式分解专题

因式分解练习一 提取公因式法分解因式 (1)-15ax-20a;(2)-25x8+125x16;(3)-a3b2+a2b3;(4)6a3-8a2-4a; (5)-x3y3-x2y2-xy;(6)a8+a7-2a6-3a5;(7)6a3x4-8a2x5+16ax6;(8)9a3x2-18a5x2-36a4x4; (9)(10)a m-a m+1;(11)-12a2n+1b m+2+20a m+1b2n+4;(12)x(a+b)+y(a+b); (13)(a+b)2+(a+b); (14)a2b(a-b)+3ab(a-b);(15)x(a+b-3c)-(a+b-3c)(16)a(a-b)+b(b-a); (17)(x-3)3-(x-3)2;(18)a2b(x-y)-ab(y-x);( 19)a2(x-2a)2-a(2a-x)2;(20)(x-a)3+a(a-x); (21)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y); (22)3m(x-5)-5n(5-x);(23)y(x-y)2-(y-x)3;(24)a(x-y)-b(y-x)-c(x-y); (25)(x-2)2-(2-x)3;(26)m(n-2)-p(2-n)+(n-2);(27)a3-b3-a2+b2; (28)(m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m); (29)a2(x-2a)3-a(2a-x)2;(30)(a-3)(a3-2)-(3-a)(a2-1)+2(3-a);(31)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c); (32)(x+2)(x-3)(x2-7)+(2+x)(3-x)(x＋3);(33)(a-b)2(a+b)3-(b-a)2(b+a)2;(34)x(b+c-d)-y(d-b-c)-b-c+d; (35)(x+1)2(2x-3)+(x+1)(2x-3)2-(x+1)(3-2x); 因式分解练习二 运用公式法分解因式； (1)a2-9b2; (2)-9x2+4y2; (3)a4-4b2; (4)a6-a8; (5)x2-324; (6)144a2-256b2; (7)64x16-y4z6; (8)16a16-25b2x4; (9)25a2b4c16-1; (10)(11)36a4x10-49b6y8; (12)81x8-225a4b4; (13)(a+b)2-100; (14)-z2+(x-y)2; (15)361-(3a+2b)2; (16)(ax+by)2-1; (17)20a3x3-45axy2; (18)(2x-3y)2-4a2; (19)(a+2b)2-(x-3y)2; (20)4(a+2b)2-25(a-b)2; (21)a2(a+2b)2-9(x+y)2; (22)b2-(a-b+c)2; (23)(a+b)2-4a2; (24)(x-y+z)2-(2x-3y+4z)2; (25)4(x+y+z)2-9(x-y-z)2; (26)a-a5; (27)a4-9b4;(28)a8-81b8; (29)a9-ab2; (30)a16-b16;(31)a2b3-4a2b;(32)x2-y2+x-y;

提公因式法练习题[1]

（一）课堂练习 一、填空题 1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式______________。 2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。 (1)x 2-5xy _________ (2)-3m 2 +12mn _________ (3)12b 3-8b 2+4b _________ (4)-4a 3b 2-12ab 3 __________ (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy _________ 3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)21 a 2-a=21 a( ) 二、选择题 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （ ） (A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2+3x-4=x(x+3)-4 (C)x 2-25=(x+5)(x-5) (D)(x+1)(x+2)=x 2+3x+2 2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是 （ ） (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2y+xy 2+xy=xy(x+y) (C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2 (D)3x 3+27x=3x(x 2+9) 3.下列各式因式分解错误的是 （ ） (A)8xyz-6x 2y 2=2xy(4z-3xy) (B)3x 2-6xy+x=3x(x-2y) (C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2 (4a-b) (D)-a 2+ab-ac=-a(a-b+c) 4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是 （ ） (A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 2 5.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是 （ ） (A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4 (C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3 (D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 3 6.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是 （ ） (A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z 7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于 （ ） (A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 2 8. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=x 1(x 2+2x) ④ a 2-2ab+ b 2=(a-b)2是因式分解的有 （ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

提公因式法 教学设计

《提公因式法》教学设计 一、教材分析： “因式分解”是“华东师大版八年级数学（上）”第13章第5节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的承上启下的作用。本节主要讲“提公因式法”，为一个课时。提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。 二、目标分析： 知识与技能： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法： 在教学过程中，体会类比的数学思想，逐步形成独立思考、主动探索的习惯。 情感态度、价值观： 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。三、教学重难点： 教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。 四、学习者分析： 1、初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。 2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。 3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。 五、教法学法： 教法：类比、探究式教学方法 1、教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系； 2、设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。 学法：自主、合作、探索的学习方式 在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，以促进学生发展为目的。

因式分解专题1_用提公因式法(含答案)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?

《因式分解--提公因式法》教案

《15．4．1因式分解——提公因式法》教案 广西桂平市社步一中黄郁贞 一、教学目标 ㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 ㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观 察能力，进一步发展学生的类比思想。 （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 ㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。 难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

-1)= 个整式的

五、学生学习活动评价设计 在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如： 1.个人回答问题次数：正确次数：改正人： 2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误； （在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。 活动…… 3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 六、教学反思 ㈠、教材分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。

因式分解(提公因式、公式法)

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：初一 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课 类型 C 提取公因式法 C 公式法 C 能力提升 授课日 期时段 教学内容 1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系； 2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式； 3. 掌握公式法分解因式. 一、有关概念： 1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式. 3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法. 4.提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积. 5.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 提取公因式法 教学目标 知识点睛

二、 提取公因式的步骤： “一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式； “二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来； “三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式. 题型一、因式分解概念： 【例】下列变形是因式分解的是 ( ) A ．()()2111x x x +-=- B ．2 21139342a a a ??-+=- ??? C ．()25656x x x x -+=-+ D ．()()ax ay bx by a x y b x y +++=+++ 【巩固】判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？ （1）2 (3)(3)9x x x +-=- （2）4 2 2 25(5)(5)m m m -=+- （3）2 32(3)2x x x x +-=+- （4）4 22 4 2 22 2()a a b b a b -+=- 题型二、提公因式： 【例】（1）2 abc abd a b +- （2）155ax xy -- （3）()()2 2 3x a b b a -+- （4）34256686a x a x ax -+ （5）32524491836a x a x a b -- （6）54256 3286a b a x ax -+ （7）32 52 4 4 91836a x a x a x -- （8）54 35 27 321624a b a b a b -+ 例题精讲

提公因式法基础知识讲解

提公因式法（基础） 【学习目标】 1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多 项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的 积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式 分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母， 指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而

正好是 除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因 式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公 因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号， 使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都 要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等 或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或 “－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形： ⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+ ⑶()22261266x xy y x y ++=+； ⑷()()22323294a b a b a b +-=- 其中是因式分解的有 （填序号） 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． 【答案】（3）. 【解析】 解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式， (2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解； 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三： 【变式】（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21 2 +4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）

因式分解提公因式教案

《提公因式法》教案 教学目标 1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系． 2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力. 教学重点及难点 教学重点： 因式分解的概念及提公因式法． 教学难点： 正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系． 教学过程设计： 一、复习提问 乘法对加法的分配律． 二、新课 1．新课引入：用类比的方法引入课题． 在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7． 在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法． 2．因式分解的概念： 请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．) 如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy (a+b)(a-b)＝a2-b2 (a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn (x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等． 再请学生观察它们有什么共同的特点？ 特点：左边，整式×整式；右边，是多项式． 可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

因式分解分类练习提公因式法公式法十字相乘法

因式分解：提公因式法 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数

【教学设计】4.2提公因式法(1)

4.2 提公因式法（1） 平阴县实验学校刚 一、教材分析 本节是因式分解的第2节，共两个课时，这是第一课时，因式分解的第一种方法。通过本节课的学习，满足学生学会因式分解的要求，为下一节的学习打好基础，提公因式法也是本章分解因式的第一步，对学生的学习具有重要意义。它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，可以使学生易于理解和掌握并且进一步理解整式乘法与因式分解的关系。 二、学情分析 学生已经学习了因式分解的概念，但是学生对于因式分解只是知道其概念，并不会把一个多项式因式分解，因此本节课的教学符合学生的认知的需求。本节课的提公因式法是因式分解这一章的基础，也是后续学习的保障，对学生今后的学习具有很重要的影响。 三、教学目标 （一）知识与技能： 1.经历探索多项式公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。 2.会用提公因式法因式分解，理解添括号方法。 3.理解提公因式法因式分解与单项式乘以多项式之间的关系。 （二）过程与方法： 在探索过程中，培养学生的观察能力，提高学生善于发现问题和解决问题的能力。让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想。 （三）情感态度与价值观： 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。在与他人合作交流的过程中，能较好的理解他人的思考方法和结论。 四．教学重、难点 （一）教学重点：会用提公因式法因式分解

（二）教学难点：准确的找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题。