物理光学与应用光学习题解第二章
第二章
习题
2-1. 如图所示，两相干平行光夹角为α，在垂直于角平分线的方位上放置一观察屏，试证明屏上的干涉亮条纹间的宽度为： 2
sin
2α
λ
=
l 。
2-2. 如图所示，两相干平面光波的传播方向与干涉场法线的 夹角分别为0θ和R θ，试求干涉场上的干涉条纹间距。
2-3. 在杨氏实验装置中，两小孔的间距为0.5mm ，光屏离小孔的距离为50cm 。当以折射率为1.60的透明薄片贴住小孔S2时，发现屏上的条纹移动了1cm ，试确定该薄片的厚度。
2-4. 在双缝实验中，缝间距为0.45mm ，观察屏离缝115cm ，现用读数显微镜测得10个条纹（准确地说是11个亮纹或暗纹）之间的距离为15mm ，试求所用波长。用白光实验时，干涉条纹有什么变化？
2-5. 一波长为0.55m μ的绿光入射到间距为0.2mm 的双缝上，求离双缝2m 远处的观察屏上干涉条纹的间距。若双缝距离增加到2mm ，条纹间距又是多少？
2-6. 波长为0.40m μ～0.76m μ的可见光正入射在一块厚度为1.2×10-6 m 、折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强？
2-7. 题图绘出了测量铝箔厚度D 的干涉装置结构。两块薄玻璃板尺寸为75mm ×25mm 。在钠黄光（λ=
0.5893m μ）照明下，从劈尖开始数出60个条纹（准确地说是从劈尖开始数出61个明条纹或暗条纹），相应的距离是30
mm ，试求铝箔的厚度D = ？若改用绿光照明，从劈尖开始数出100个条纹，其间距离为46.6 mm ，试求这绿光的波长。
2-8. 如图所示的尖劈形薄膜，右端厚度h 为0.005cm ，折射率n = 1.5，波长为0.707m μ的光以30°角入射到上表
2-1题用图
2-2题用图
2-7题用图
2-8题用图
面，求在这个面上产生的条纹数。若以两块玻璃片形成的空气尖劈代替，产生多少条条纹？
2-9. 利用牛顿环干涉条纹可以测定凹曲面的曲率半径，结构如图所示。试证明第m 个暗环的半径r m 与凹面半径R 2、凸面半径R 1、光波长0λ之间的关系为：
122102R R R R m r m -=λ。
2-10. 在观察牛顿环时，用1λ= 0.5m μ的第6个亮环与
用2λ的第7个亮环重合，求波长2λ= ？ 2-11. 如图所示当迈克尔逊干涉仪中的M 2反射镜移动距离为0.233mm 时，数得移动条纹数为792条，求光波长。 2-12.在迈克尔逊干涉仪的一个臂中引入100.0mm 长、充一个大气压空气的玻璃管，用λ= 0.5850m μ的光照射。如果将玻璃管内逐渐抽成真空，发现有100条干涉条纹移动，求空气的折射率。
2-13. 已知一组F-P 标准具的间距为1mm 、10mm 、
60mm 和120mm ，对于λ= 0.55m μ的入射光来说，其相应的标准具常数为多少？为测量λ= 0.6328m μ、波长宽度为0.01×10-4m μ的激光，应选用多大间距的F-P 标准具？
2-14. 某光源发出波长很接近的二单色光，平均波长为600 nm 。通过间隔d = 10 mm 的F-P 干涉仪观察时，看到波长为用1λ的光所产生的干涉条纹正好在波长为2λ的光所产生的干涉条纹的中间，问二光波长相差多少？
2-15. 已知F-P 标准具反射面的反射系数r = 0.8944，求： （1）条纹半宽度。 （2）条纹精细度。
2-16. 红外波段的光通过锗片（Ge ，n = 4）窗口时，其光能至少损失多少？若在锗片两表面镀上硫化锌（n = 2.35）膜层，其光学厚度为1.25 m μ,则波长为5 m μ的红外光垂直入射该窗口时，光能损失多少？
2-11题用图
2-17. 在光学玻璃基片（n G = 1.52）镀上硫化锌膜层（n = 2.35），入射光波长λ= 0.5m μ，求正入射时给出最大反射率和最小反射率的膜厚度及相应的反射率。
2-18. 在某种玻璃基片（n G = 1.6）上镀制单层增透膜，膜材料为氟化镁（n = 1.38），控制膜厚，对波长0λ= 0.5m μ的光在正入射时给出最小反射率。试求这个单层膜在下列条件下的反射率：
（1）波长0λ= 0.5m μ，入射角?=00θ； （2）波长λ= 0.6m μ，入射角?=00θ； （3）波长0λ= 0.5m μ，入射角?=300θ； （4）波长λ= 0.6m μ，入射角?=300θ。
2-19. 计算比较下述两个7层4/λ膜系的等效折射率和反 射率：
（1）n G = 1.50，n H = 2.40，n L = 1.38；
（2）n G = 1.50，n H = 2.20，n L = 1.38。 由此说明膜层折射率对膜系反射率的影响。
2-20. 对实用波导，n ＋n G ≈ 2n ，试证明厚度为h 的对称波导，传输m 阶膜的必要条件为：
Δn = n －n G ≥2
228nh
m λ 式中，λ是光波在真空中的波长。
2-21. 太阳直径对地球表面的张角θ2约为230'?， 如图所示。在暗室中若直接用太阳光作光源进行 双缝干涉实验（不限制光源尺寸的单缝），则双 缝间距不能超过多大？（设太阳光的平均波长为 λ= 0.55m μ，日盘上各点的亮度差可以忽略。
） 2-22. 在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为2 mm 的圆形光源。光源发射光的波长为λ= 0.5m μ，它到小孔的距离为1.5 m 。问两小孔能够发生干涉的最大距离是多少？
2-23. 若光波的波长宽度为λ?，频率宽度为ν?，试证明λλνν//?=?。式中ν和λ分别为该光波的频率和波长。对于波长为632.8 nm 的He-Ne 激光，波长宽度λ?= 2×10-8 nm ，试计算它的频率宽度和相干长度。
部分习题解答
2-2. 解：在图示的坐标系中，两束平行光的振幅可以写成：
)
sin cos (0R R kx kz t i R R e E E θθω---=， )
sin cos (0O O kx kz t i O O e
E E θθω+--=
干涉光振幅：
)
sin cos (0)
sin cos (0O O R R kx kz t i O kx kz t i R O R e
E e
E E E E θθωθθω+-----+=+=
t
i kx kz i O kx kz i R e e E e E O O R R ωθθθθ--++=)()sin cos (0)sin cos (0
干涉光强度分布：
*
E E I ?=))(()sin cos (0)sin cos (0)sin cos (0)sin cos (0O O R R O O R R kx kz i O kx kz i R kx kz i O kx kz i R e E e E e E e E θθθθθθθθ--+--+++=
)sin cos ()sin cos (00)sin cos ()sin cos (002020O O R R R R O O kx kz i kx kz i O R kx kz i kx kz i O R O R e e E E e e E E E E θθθθθθθθ--++--+++=
)()sin (sin )cos (cos )sin (sin )cos (cos 002
020O R R O O R R O ikx ikz ikx ikz O R O R e e e e E E E E θθθθθθθθ+--+--+++= ))sin (sin )cos (cos (cos 2002
020O R R O O R O R x z k E E E E θθθθ+--++=
由此可以看出：干涉光强是随空间位置（x, z ）而变化的。如果在z = 0处放置一个观察屏，
则屏上光强分布为：)sin (sin cos 2002
020O R O R O R kx E E E E I θθ+++=
如果进一步假设二干涉光强度相等：2
0200O R E E I ==，则屏上光强分布为：
))sin (sin cos 1(20O R kx I I θθ++=
2-6. 解：由产生亮纹的条件λλ
m nh =+
=?2
2，计算得：
m = 1时，=λ7.2×10-6 m ；m = 5时，=λ0.8×10-6 m ；m = 6时，=λ 6.545×10-6 m ； m = 7时，=λ0.5538×10-6 m ；m = 8时，=λ0.48×10-6 m ；m = 9时，=λ0.4235×10-6 m ； m = 10时，=λ0.3789×10-6 m 。
所以在可见光范围内，=λ 6.545×10-6 m ，0.5538×10-6 m ，0.48×10-6 m ，0.4235×10-6 m 四个波长的光反射光最强。
2-9. 证：双光束等厚干涉的反射光的光程差是：2
cos 20λ
θ+
=?d n
产生暗纹的条件是λλλ
θ2
1
2cos 20+=+
=?m d n ，即λθm d n =cos 20。 )()(2
2
222
2
11m m m r R R r R R d -----=
))2(())2((22221211R r R R R r R R m m ----
-=221222R r R r m m -=)11(22
12
R R r m -= 代入光程差条件得：λm R R r m =-)11(22
212，即1
2212R R R
R m r m -=λ
2-14. 解：设二波长为：λλ?-=216001， λλ?+=2
1
6002
通过F-P 干涉仪后一个波长的条纹刚好落在另一个波长所产生条纹的中间，说明一个波长的明纹条件正好是另一个波长所产生条纹的暗纹条件， 由
2
sin 112?F I I i t +=，?=k ?2cos 22θλ
π
nh =知道：
当πθλπ
?m nh 2cos 222==
（m = 0，±1，±2，±3，…）时是明纹条件， 当πθλ
π
?)12(cos 222+==m nh （m = 0，±1，±2，±3，…）时是暗纹条件，
也就是说二波长在同一位置（2θ相同），产生的位相差差π，即： πθλ
λλλπ??=?+-?-=-221cos 2)2
11
211(
2nh 1cos ))
2
1((
422
2=?-?θλλλ
nh 考虑到λ?很小，而且角度2θ也很小， 所以2
2
cos 4θλλnh =
?nh 42
λ=nm 109m 10910
104)106.0(312326----?=?=???=
2-18. 解：（1）镀单层膜后的反射率为：?
?
cos 21cos 22122
212122212
r r r r r r r r E E
R t r ++++=
=，
其中： 10101n n n n r +-=159664.038.1138.11-=+-=， 21212n n n n r +-=073826.06
.138.16
.138.1-=+-=，
111cos 22θλ
π
?h n =
极值位置取在0sin =?时，此时1cos ±=?， 当1cos -=?时，πθλ
π
?==
111cos 22h n 1
14n h λ
=
?nm 6.90m 0906.038
.145
.0==?=
μ
212
2212
12
22
1212r r r r r r r r R -+-+=007545.0073826
.0159664.02073826.0159664.01073826
.0159664.02073826.0159664.02222=??-?+??-+= （2）?====
=
1506
5
6.05.0cos 22cos 2211100111ππθλπλλθλ
π
?h n h n ?
?
cos 21cos 2212
221212
22
1r r r r r r r r R ++++=010744.0150cos 073826.0159664.02073826.0159664.01150cos 073826.0159664.02073826.0159664.02222=?
???+?+????++= （3）?==?==88.155866025.030cos 22cos 22110
111πλπ
θλ
π?h n h n
?
?cos 21cos 2212
221212
221r r r r r r r r R ++++=009632.088.155cos 073826.0159664.02073826.0159664.0188.155cos 073826.0159664.02073826.0159664.02222=?
???+?+????++= （4）?=?=?==94.129866025.06.05
.030cos 22cos 221100111πλπλλθλπ?h n h n ?
?
cos 21cos 2212
221212
22
1r r r r r r r r R ++++=
016050.094.129cos 073826.0159664.02073826.0159664.0194.129cos 073826.0159664.02073826.0159664.02222=?
???+?+????++= 2-21. 解：在讨论双缝实验的相干性时，我们得到视见度公式：
λ
βπb I I I I V m M m
M c sin =+-=
，
其中b 是光源线度，D
d
=β是双缝距离对光源面的张角。 在
πλ
πλβπ==D bd
b 时
视
见
度
V
为
零
，
解
得
：
θλ2=
d mm 059.0m 10591802301055.066=?=?
?'??=--π
双缝的距离超过这个数值将得不到干涉现象。