2000年第四十一届IMO试题(不含答案)

第四十一届（2000年）

韩国大田（Taejon，Republic of Korea）

1. AB是圆CAMN和NMBD的切线。M在直线CD上，位于C和D之间，CD平行于AB。弦NA和CM交于点P；弦NB和MD交于点Q。射线CA和DB交于点E。求证：PE=QE。（俄罗斯）

2. A、B、C是满足三者积为1的正实数。证明

111

(1)(1)(1)1

A B C

B C A

-+-+-+≤。

（美国）

3. k是一个正实数。N是一个大于1的整数。N个点在同一直线上，但没有全部重合。一个移动按如下步骤实施：选择两个不重合的点A和B。假设A在B右侧。将B用B’点代替，B’点在A点右边且使得AB’=kBA。k取何值时我们可以通过重复移动把点往右移动到任意远处？（白俄罗斯）

4. 100张卡片被写上1至100的数（每张卡片都不同）并放在3个盒子中（每个盒子至少一张）。如果选择两个盒子，并从中各取出一张卡片，单单知道这两个数的和就总能找出第三个盒子，那么能做到这一点的放法有几种？（匈牙利）

5. 我们能不能找到一个数N恰好被2000个不同质数整除，且N能整除2N+1？【N可能可以被一个素数幂整除。】（俄罗斯）

6. A1A2A3是锐角三角形。从A i引出的高线的垂足为K i，内切圆切A i的对边于L i。直线K1K2关于L1L2作轴反射。相似地，直线K2K3关于L2L3作轴反射，直线K3K1关于L3L1作轴反射。说明这三条新的直线组成了一个顶点在内切圆上的三角形。（俄罗斯）