三角形的边和角练习题
6题图
7题图
5题图
D D F D
E B C C B B C 三角形的边和角练习题
1、下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A 、3,4,8 B 、5,6,11 C 、1,2,3 D 、5,6,10
4、等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( ) A 、13 B 、17 C 、13或17 D 、不能确定
5、如图，BD=DE=EF=FC ，那么，AE 是 _____ 的中线。
6、如图，BD=1
2
BC ，则BC 边上的中线为 ______，ABD S ?=__________。
7、如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S ?= 42cm ，则S 阴影等于( )。
A ．22cm B. 12cm C.
122cm D. 1
4
2cm 8、△ABC 中，如果AB=8cm ，BC=5cm ，那么AC 的取值范围是________________. 9、等腰三角形的一边长为3cm,周长为19cm,则该三角形的腰长为( )cm. A 、3 B 、8 C 、3或8 D 、以上答案均不对
10、若三角形两边长分别为6cm,2cm,第三边长为偶数，则第三边长为( ) A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm
11、在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD ∶DC=2∶1，ACD S ?=12，那么ABC S ?等于( ). A ．30 B. 36 C. 72 D. 24
12、若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、钝角三角形 13、在△ABC 中，∠A=2(∠B+∠C)，则∠A 的度数为( ) A 、100° B 、120° C 、140° D 、160°
14、已知△ABC 中，∠A=20°，∠B=∠C ，那么△ABC 是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等边三角形
12题图
11题图D C
B
A
D B C
4
题图
B
D
C
8题图
150?
50?
3
21
7题图
140?
80?
1
6题图
15、一个三角形至少有( )
A 、一个锐角
B 、两个锐角
C 、一个钝角
D 、一个直角
16、如右图，已知∠1=20°, ∠2=25°, ∠A=35°,则∠BDC 的度数为______. 17、如右图，在△ABC 中，∠B=∠C ， FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD=158°， 则∠EDF=______
18、如右图，下列说法错误的是( ) A 、∠B >∠ACD
B 、∠B+∠ACB =180°－∠A
C 、∠B+∠ACB <180°
D 、∠HEC >∠B
19、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
20、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为( ). A. 90° B. 110° C. 100° D. 120°
21、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ). A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 22、如图，若∠A=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于( ) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° 23、如图，∠1=______.
24、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,
25、在△ABC 中，∠A=12∠C=1
2
∠ABC ，
D
A E
B
10题图
C
B D
14题图
x ?
100?
C
B
A
4
32
1BD 是∠ABC 的平分线，求∠A 及∠BDC 的度数. 26、如图,△ABC 中,BD 是∠ABC 的角平分线, DE ∥BC,交AB 于E,∠A=60°,∠BDC=95°, 求△BDE 各内角的度数.
27、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4. (1)若∠A=100°，求x 的值； (2)若∠A=n °,求x 的值.
28、如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4, ∠BAC=63°,求∠DAC 的度数.
29.如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的 南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向， 求∠ACB 。（12分）
30、如图3，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=13cm ，BC=12cm ，AC=5cm ， 求①△ABC 的面积；②CD 的长。
31、如图，△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是△ABC 的角平分线，它们相交于点O ，∠BAC=500， ∠C=600，求∠DAC 及∠BOA 。（
10分）
D
C
A
B
E B
32、探索发现:
如图所示,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.
(1)
P
C
B
A
(2)
P
C
B
A
(3)
P
C
B
A
2．如图1，1234+++=∠∠∠∠______．
3．ABC △中，6a =，8b =，则周长P 的取值范围是______．
4．a b c ，，是ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边，若4a λ=，3b λ=，14c =，则λ的取值范围是______．
5．若a b
c ，，为ABC △的三边，则a b c
a b c
---+______0（填“＞，＝，＜”）．
二、精心选一选，慧眼识金！（每小题6分，共30分） 1．如图2，以BC 为公共边的三角形的个数是（ ） Ａ．2 Ｂ．3
Ｃ．4
Ｄ．5
2．若三条线段中3a =，5b =，c 为奇数，那么由a b c ，，为边组成的三角形共有（ ） Ａ．1个
Ｂ．3个
Ｃ．无数多个
Ｄ．无法确定
3．如果线段a b
c ，，能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ） Ａ．1:2:4
Ｂ．1:3:4
Ｃ．3:4:7
Ｄ．2:3:4
4．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ） Ａ．3，7，5
Ｂ．3x ，4x ，()50x x > Ｃ．5，5，()010a a <<
Ｄ．2
a ，2
b ，()2
0c
a b c >>>
5．已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（ ） Ａ．5
Ｂ．7
Ｃ．8
Ｄ．10
三、用心做一做，马到成功！（本大题共40分）
1．（本题13分）已知：如图3，AB CD ∥，45B =o
∠，78BED =o
∠，求D ∠的度数． 2．（本题13分）已知，如图4，AB CD ∥，EH AB ⊥，垂足为H ， 若150=o
∠，则E ∠为多少度
3．（本题14分）已知，如图5，在ABC △中，O 是高AD 和BE 的交点， 观察图形，试猜想C ∠和DOE ∠之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．
一、选择题
1．下面四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是（ ）。
A ．图（1）
B ．图（2）
C ．图（3）
D ．图（4）
2．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于（ ）。
A ．90°
B ．135°
C ．270°
D ．315°
二、填空题
4．已知，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，且∠1：∠2：∠3=2：3：4，则∠ACB=________。
5．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D，若∠D=20°，则∠A 的度数为______。
6．如图，CD、BD分别为∠ACB、∠ABC的平分线，∠BDC=115°，则∠A=________。
7．如图，已知△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠DAE=________。
8．若等腰三角形的一个外角为110°，则顶角为________。
9．已知，在△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长为________________。
10．已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，则∠DBC=________________。
11．已知，如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F，则∠C+∠1+∠2+∠3=________。
12．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4=________________。
三、解答题
13．如图，在锐角三角形ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，
且CD，BE交于点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数。
14．已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF
分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。
三角形中的边角关系
三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0 1 第一课：三角形“边角边”面积公式 1、借助“单位菱形面积”探索正弦定义； 2、运用正弦定义探索三角形的“边角边”面积公式； 3、运用“正弦定义、三角形的“边角边”面积公式”解决简单问题. 问题引入：求下面两个三角形的面积： 提问：已知“边角边”，你会求三角形的面积吗？ 一、认识单位菱形的面积 基本概念： 1、四边都等于1的正方形叫单位正方形； 2、四边都等于1的菱形叫单位菱形 二、探索平行四边形的面积 1、如何计算长方形的面积； 2、如何计算平行四边形的面积 归纳： 三、核心概念：正弦定义 观察：单位菱形的面积与一个角的大小关系。 归纳：单位菱形的面积由其中一个角决定。 定义：设∠A 是单位菱形ABCD 的一个内角，单位菱形ABCD 的面积叫做∠A 的 ,记作： 。 即：._________________________________________====单位菱形 S A C DA= 60.0° B 3DA= 90.0°☆学习流程 ☆学习目标 D 11 2 练习1：问题解决：计算平行四边形的面积 A C DA= 60.0° 四、等角（或补角）的正弦 结论：等角（或补角）的正弦值 . [练习]1.填空: sin120sin( )°=° ，sin 45sin()°=°； 如图1，sin 1sin D= . 五、三角形边角边面积公式 1. 平行四边形的面积公式： 结论：平行四边形的面积= 一组邻边和它们夹角的 的乘积. 2．三角形“边角边”面积公式： 结论：三角形的面积=两边和它们夹角的 的乘积的 . 用“边角边”面积公式表示下面三个三角形的面积： A C [练习]2.三角形的两条边分别为3和6，这两条边的夹角为150°，三角形的面积为______. 3.如图2，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边作正方形ABDE 、ACFG ，△AEG 、△ABC 的面积分别为1S ,2S .求证：12=S S . 与三角形有关的角练习题 一、选择题： 1．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（ ） A.45 B.60 C.30 D.1 2．下列命题中，不正确的为（ ） A ．钝角三角形是斜三角形 B ．在一个三角形中至多有一个内角不小于60 C ．三角形的没有公共顶点的两个外角的和大于平角 D ．三角形的外角中，最小的一个是钝角，那它一定是锐角三角形 《 3．以下命题正确的是（ ） A.三角形三个外角的和是360 B ．三角形一个外角大于它的两个内角的和 C.三角形的外角都不大于90 D ．三角形中的内角没有大于120的 4．下列说法正确的是（ ） A.一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形 C.一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形 （ 5．三角形的三个外角中，钝角的个数最少是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．如图，ABC ?中，AD 是BC 边上中线，AE 是BD 边的中线，AF 是DC 边的中线，且AB 与三角形有关的角习题 一、填空题 1．等腰三角形的一个内角是30°，那么这个三角形另两角的度数是_______． 2．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为40°和20°两个角，?那么∠A，∠B中较大的角的度数是_______． 3．一个三角形中，最多有_____个锐角，最少有_____个锐角，最多有_____钝角． 4．如图1，∠1=31°，∠2=52°，∠3=60°，则∠4的度数为______． 5．如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是_______． 6．如图3，△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，?BD?的延长线交AC于E，则∠ADE的度数是________． 7．如图4，五角星的五个角∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之和等于________． 8．一个非直角三角形ABC的∠A=55°，三条高所在直线交于点H，则∠BHC?的度数是________． 二、选择题 9．三角形的三个内角中（） A．至少有一个是钝角B．至少有一个是直角 C．至少有两个是锐角D．至多有两个是锐角 10．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C=1 2 ∠A C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90° 11．在锐角三角形中，∠A>∠B>∠C，则下列结论中错误的是（） A．∠A>60°B．∠B>45°C．∠C<60°D．∠B+∠C<90° 12．如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A．30°B．36°C．45°D．70° 13．如图6，∠A=50°，BD，CD分别是∠B，∠C的平分线，则∠BDC等于（） A．65°B．100°C．115°D．130° 14．如果三角形三个内角度数的比是1：2：3，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案：1．75°，75°或0°，120°2．70°3．3214．37°5．360?°?6．45°7．180°8．55°或125°9．C10．D11．D12．B13．C14．B 三角形的边与角 一、选择题 1. （2016·湖北咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①BC DE =21 ； ② S S COB DOE △△=21； ③AB AD =OB OE ； ④ S S ADE ODE △△=31. 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 （第1题） 【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质． 【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定． 【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=21 BC ，即BC DE =21 ； 故①正确； ②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB ∴ S S COB DOE △△=（BC DE ）2=(21）2=41 , 故②错误； ③∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD =BC DE △DOE ∽△COB ∴OB OE =BC DE ∴AB AD =OB OE ， 故③正确； ④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。 ∴点O 是△ABC 的重心， 根据重心性质，BO=2OE ，△ABC 的高=3△BOC 的高， 且△ABC 与△BOC 同底（BC ） ∴S △ABC =3S △BOC ， 由②和③知， S △ODE =41 S △COB ，S △ADE =41 S △BOC ， ∴ S S ADE ODE △△=31. 故④正确. 综上，①③④正确. 故选C. 【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2. （2016·四川广安·3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定． 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外． 与三角形有关的角测试题 一、选择题 1、一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（） A．115°B．120° C．125°D．130° 2、如图，已知∠1=20°，∠2=25°∠A=35°，则∠BDC的度数为（） A．50°B．80° C．70°D．60° 3、已知如下图所示，△ABC， （1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则 （2）如图（2），若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A；（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则 上述说法正确的个数是（） A．0个B．1个 C．2个D．3个 4、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（） A．100°B．200° C．280°D．300° 5、下列语句中，正确的是（） A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的一个外角等于它的两个内角 C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D．三角形的外角和为180° 6、如图所示，住宅小区呈三角形ABC形状，且周长为2000m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积（精确到1m）是（） A ．6000m 2 B ．6016m 2 C ．6028m 2 D ．6036m 2 7、在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，且AD 将∠BAC 分成的两个小角度分别为20°和50°，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对 8、如图∠2＋α=180°，则下列式子中值为180°的是（ ） A ．α＋β＋γ B ．α＋β－γ C ．β＋γ－α D ．α－β＋γ 9、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=（ ） A ．150° B ．180° 一、填空题。 1. 三角形按角分类分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。 2. 锐角三角形的三个角都是（）角；直角三角形中必定有一个是（）角；钝角三角形中也必定有一个角是（）角。 3. 在三角形中，已知∠1＝55°，∠2＝48°，∠3＝（）。 4. 等腰三角的顶角是60°，它的一个底角是（），它又叫（）三角形。如果底角是70°，顶角是（）；如果底角是45°，它的顶角是（），它又叫（）三角形。 5. 任何一个三角形都具有（）特性，都有（）条高。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 等边三角形一定是锐角三角形。（） 2. 等腰三角形一定是锐角三角形。（） 3. 钝角三角形只有一条高。（） 4. 三角形的三个内角的和的大小与三角形的大小无关，都是180°。（） 5. 任何一个三角形至少有两个锐角。（） 三、根据要求做题。 1. 画出下面每个三角形指定底边上的高。 2. 根据条件画三角形。 ①两条边分别是2厘米和5厘米，它们的夹角是60°。 ②两条边都是3厘米，它们的夹角是90°。 四、∠1、∠2、∠3分别是三角形中的三个内角。 ①∠1＝140°，∠2＝25°，求∠3。 小学四年级三角形复习课练习题 （1）一个三角形中至少有（）个锐角，最多有（）个钝角。（2）用两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（）度。 （3）等腰三角形的一个底角是40度，它的顶角是（）度。（4）一根90厘米长的铁丝，围一个腰长为40厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长（）厘米。 （5）直角三角形有（）条高。 A 、1 B、2 C、3 （6）当三角形中的两个内角之和等于第三个角时，这是一个（）三角形。 A、锐角 B、直角 C、钝角 （7）一个三角形中，有一个角是65°，另外两个角可能是（）。 A、95°20° B、45°80° C、55°70° （8）一个三角形的两条边长分别是4厘米，6厘米，第三条边一定比（）厘米短。第三条边一定比（）厘米长。 A、2 B、6 C、10 （9）羊村有一个等腰三角形花坛，周长是32米,已知一条边为6米,另外两条边各长多少米？（10）如果直角三角形的一个锐角是20度，那么另一个锐角是多少度？ （11）懒羊羊有两根木条，一根是8厘米，另一根是12厘米，它想搭一个三角形，再拿一根几厘米长的木条就可以搭成一个三角形呢？这根木条最长是（）厘米，最短是（）厘米。 （12）美羊羊用一根20厘米长的铁丝围成了一个三角形，三角形的边 第十一章三角形 第一节：与三角形有关的角 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°， ∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形． 【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角． 八上《与三角形有关的角》练习题 1．△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________． 2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ） （1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°． A ．（1）、（2）、（3）、（4） B ．（1）、（3）、（4）、（5） C ．（2）、（3）、（4）、（5） D ．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度． 6．三角形中最大的内角不能小于_______度， 最小的内角不能大于______度． 7．△ABC 中，∠A 是最小的角，∠B 是最大的角，且∠B=4∠A ，求∠B 的取值范围． 8．如图2，在△ABC 中，∠BAC=4∠ABC=4∠C ，BD ⊥AC 于D ， 求∠ABD 的度数． 综合创新作业 9．（综合题）如图3，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 10．（应用题）如图是一个大型模板，设计要求∠ADC=130°,现在 已测得∠A=40°，∠B=60°，∠C=100°。该模板是否合格？ 11．（创新题）如图，△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数． B A C D 第三讲三角形的角与边 一、基础知识 本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系. 1.边与边的关系 (1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）； (2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.角与角的关系 (1)三角形的内角和为180?； (2)直角三角形中两锐角互余; (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和. 3.边和角的关系 (1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边; (2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大. 4.不等式变形时常用的性质 (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d; (2)若a>b,c>d,则a-d>b-c; (3)若a>b,c>0,则ac>bc; 若a>b,c<0,则ac 例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形 例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( ) A.3 1 4 k << B. 1 1 3 k << C.12 k << D. 1 1 2 k << 例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( ) A.17cm B.5cm C.17cm或5cm D.无法确定 例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点, 求证: 1 () 2 AB AC BC PA PB PC AB AC BC ++<++<++. 例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长. 第2讲与三角形有关的角 一、知识重点 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法： (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° . 答案：B (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形． 【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． ． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角． (2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带． ②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示． 破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意． 【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________. 4.三角形外角性质 (1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或 三角形三大专题 知识互联网 题型一：整数边三角形 思路导航 1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形． 2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则 ⑴ 三角形的最小的边a 满足：03 a b c a ++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立； ⑵ 三角形的最大的边c 满足：32 a b c a b c c ++++< ≤，当且仅当a b c ==时，等号成立． 方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验． 例题精讲 【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？ 典题精练 【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围. ⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长 的三角形共有多少个？ 【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的 三角形. ⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． ⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． 题型二：多边形及其内、外角和 思路导航 多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线 内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠ 对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD . n 边形对角线条数： (3) 2 n n -条 ② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图） 图（a ）为凸多边形 图（b ）为凹多边形 （ a ） （b ） ③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -?° ① 多边形内角和公式推理方法一： 过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 边形分成 (2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内角和． 将n 边形分成()2n -个三角形 ② 多边形内角和公式推理方法二： 在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这 (1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -?-=-?°°° 将n 边形分成()1n -个三角形 F E D C B A 与三角形有关的角课时练第一课时7.2.1与三角形有关的内角 1.在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片， 把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写 出这一定理的结论：三角形的三个内角和等于° 1 ∠C，则∠C 等于（）2.在△ABC 中，若∠A= ∠B= 2 A.45 ° B.60° C.90° D.120°第1题 图 3.一个三角形的内角中，至少有（） A 一个内角 B. 两个内角 C.一内钝角 D.一个直角 4.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为（） A100 ° B.180° C.360° D.无法确定 5.如图所示，AB ∥CD，AD ，BC 交于O，∠A=35 °，∠BOD=76 °，则∠C 的度数是（） A.31 ° B.35° C.41° D.76 ° 6.在△ABC 中：（1）若∠A=80 °，∠B=60 °，则∠C= （2）若∠A=50 °，∠B=∠C，则∠C= （3）若∠A ∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A= ∠B= ∠C= ；（4）若∠A=80 °，∠B-∠C=40°，则∠C= 7.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为. 第4题 图第5题 图第8题 图 第7题图 8.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则 2 中 a 的度数为（） A.75 ° B.60° C.65° D.55° 9.如图所示，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，若∠B=5 0°，∠C=70°， 求∠DAC 的度数. 第9题 图 第一课时答案 ： 1.180； 2.C，提示：依据三角形内角和定理得，1 2 ∠C+ 1 2 ∠C+∠C=180°，解得∠C=90°； 与三角形有关的角 一、本节学习指导 本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题． 二、知识要点 １、三角形内角 （１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°． 由三角形内角和定理可得： ①直角三角形的两个锐角互余. ②有两个角互余是三角形是直角三角形. （２）作用： 在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用． 三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来． 如几种常见的证明思路： 思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）， 三角形中边与角之间的不等关系 《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过 实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。教学重点：三角形中边与角之间的不等关 系及其探究过程。教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几 何证明的表达。教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同 一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究 “等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示， 请写出证明过程。（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。思考：是否还 有不同的方法来证明这个结论？ 实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。 形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边 人教版第11章《三角形》 同步练习 （§11.2 与三角形有关的角） 班级学号姓名得分 1．填空： (1)三角形的内角和性质是____________________________________________________. (2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的 推理过程如下： 已知：△ABC， 求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______． 证明：过A点作______∥______， 则∠EAB＝______，∠F AC＝______． (___________，___________) ∵∠EAF是平角， ∴∠EAB＋______＋______＝180°．( ) ∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．( ) 即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______． 2．填空： (1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角． 因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______． (2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质? 如图，∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD与∠ACB互为______， 即∠ACD＝180°－∠ACB．① 又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______， ∴∠A＋∠B＝______．② 由①、②，得∠ACD＝______＋______． ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下： 三角形的一个外角等于____________________________________________________. 三角形的一个外角大于____________________________________________________. 3．(1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角， 与三角形有关的角课时练 第一课时721与三角形有关的内角 4. 如图所示，/ 1 + / 2+ / 3+ / 4的度数为( ) A100 ° B.180 ° C.360 ° 5. 如图所示，AB // CD, AD , BC 交于 0, / A=35 ° , / BOD=76 A. 31 ° B.35 ° C.41 ° D.76. 6. ______________________________________________________ 在△ ABC 中：(1)若/ A=80 °，/ B=60 °，则/ C= _________________________________ (2) 若/ A=50 °，/ B= / C ,则/ C= ____________ (3) 若/ A :/ B :/ C=1 : 2 : 3，则/ A= ____________ / B= ________ / C= _________ (4) 若/ A=80 °，/ B-/ C=40°，则/ C= ____________ 2.在△ ABC 亠卄 1 中，若 Z A= Z B=- 2 Z C ,则Z C 等于（ ) A.45 ° B.60 ° C.90° D.120 ° 3.一个三角形的内角中，至少有（ ) A 一个内角 B.两个内角 C. 一内钝角 D. 一个直角 D.无法确定 ，则/ C 的度数是（ A.75 ° B.60° C.65° D.55° 9.如图所示，AD 、AE 分别是△ ABC 的角平分线和高，若/ 求/ DAC 的度数. 第一课时答案: 1?在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸 片, 把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你 写 出这一定理的结论：三角形的三个内角和等于 _____________ ° B=5 0 ° 三角形的边与角 三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用． 解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类． 熟悉以下基本图形、并证明基本结论： (1) ∠l ＋∠2=∠3+∠4； (2) 若BD 、CO 分别为∠ABC 、∠ACB 的平分线，则∠BOC=90°+ 21∠A ； (3) 若BO 、CO 分别为∠DBC 、∠ECB 的平分线，则∠BOC=90°－ 21∠A ； (4) 若BE 、CE 分别为∠ABC 、∠ACD 的平分线，则∠E= 2 1∠A ． 注： 中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部． 代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)． 例题求解 【例1】 在△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C ，4∠C ＝7∠A ，则∠B 的度数为 ．(北京市竞赛题) 思路点拨 设∠C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A 、∠B 用x 的代数式表示，建立关于x 的不等式组． 【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有( ) A ．4个 B ．7个 C ．13个 D ．60个 (河南省竞赛题) 思路点拨 1995=3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应满足的 八年级数学上 与三角形有关的角说课稿 尊敬的各位评委、老师： 你们好！ 今天我说课的课题是《与三角形有关的角》，下面我将从六个方面进行说课。 一、说教材 1、教材分析 本节课是在学生学习了“与三角形有关的线段”之后，由线至面进一步研究三角形的角。本节知识不仅是对前面“角”知识的升华与综合运用，也是研究多边形中角的问题的基础。 2、教学目标分析 根据新课标的要求及八年级学生的认知水平，我确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标： 发现并证明三角形内角和定理，使学生体验合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，进一步体会证明的必要性。 （2）过程与方法目标： 经历“猜想验证—逻辑证明—应用拓广—归纳概括”的探究过程，使学生体会命题研究的一般方法，进而提升学生的数学推理能力和推理意识。 （3）情感、态度与价值观目标：引导学生通过小组合作学习，培养动手实践、合作交流和语言表达的能力，丰富与人交往的经历和体验。 3、教学重难点分析 重点：三角形内角和定理； 难点：三角形内角和定理的证明； 二、说教法 本节课结合七年级学生的理解能力、思维特征和依赖直观图形学习数学的年龄特征，采用多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化、具体化。在教学中采用启发式、师生互动式等方法，充分发挥学生的主动性、积极性，特别是用拼图法探索三角形内角和是180°的证明方法，教师采用点拨的方法，启发学生主动思考，尝试用多种方法来证明这个结论，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养了学生观察问题、发现问题、归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，使课本知识成为学生自己的知识。 三、说学法 课堂中逐步设置疑问，让学生动手、动脑、动口，积极参与知识学习的全过程，渗透多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研的研讨式学习方法，培养学生学习数学的兴趣，给学生提供更多的活动机会和空间，使学生在参与的过程中得到充足的体验和发展。 四、说教学过程 【环节一】复习回顾，导入新课 1、在本上画一个任意三角形。 2、和同桌交流你前面学习了哪些三角形中的线段？三角形的角有怎样的性质？ 设计意图：设计操作活动回顾旧知识，并将操作活动与学生的思维活动、语言表达有机结合，实现数学思考的内化，避免了传统的问答式回顾、参与人数少、顾及不到各层面学生、用时较多等问题。 【环节二】猜想发现Array 1、三角形内角和是多少度？ 2、你能用实验的方法来验证 你的猜想吗？ 拼图实验，分两步完成。 第一步：我先示范图（1）的拼法，分析拼图，发现三角形内角和； 第二步：每个学生把课前准备好的三角形纸片的两个内角剪下， 和第三个内角拼在一起。学生展示自己的拼法。 1、 如图,BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 、CF 相交于点G,∠BDC=140°, ∠BGC=110°。求∠A 的度数. 2、如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP,PB,PC 求证:（1）PA+PB+PC > 2 1(AB+AC+BC) （2）PA+PB+PC < AB+AC+BC 3、如图1,△ABC 中,点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点． （1）求∠P 与∠A 有怎样的大小关系？ （2）如图2,点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系. （3）如图3,点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系. 4、如图1,在△ABC 中,AD ⊥BC,AE 是角平分线, （1）求∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系; （2）如图2,AE 是∠BAC 的角平分线,FD 垂直于BC 于D,求∠DFE 与∠B 、∠C 之间的关系. （3）如图3，当点F 在AE 延长线上时，FD 仍垂直于BC 于D ，继续探讨∠DFE 与∠B 、∠C 的关系 E G A B D C F 十一章经典例题 图1 图2 F 图3 5、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE的大小. 6、△ABC中,AD、BE、CF是角平分线,交点是点G,GH⊥BC 求证：∠BGD=∠CGH. 7、如图,∠xOy＝90°,点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动,BF是∠ABP的平分线,BF的反向延 长线与∠OAB的平分线交于点C,求证∠ACB的度数是定值. 8、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限， 点B是x正半轴上一点。过点O做OD∥AB，∠BAO的平分线与 ∠MOD的平分线相交于点Q， 求 AQO AON ∠ ∠ 的值 9、直角坐标系中，OP平分∠XOY，B为Y轴正半轴上一点，D为第四象限内一点，BD交x轴 于C，过D作DE∥OP交x轴于点E，CA平分∠BCE交OP于A，∠BDE的平分线交OP 于G，交直线AC于M，如图 求证2OGD OED OAC ∠-∠ ∠ 为定值 E D C B A F G A B C D E F H M D B A Q N y x O三角形边角边面积公式
与三角形有关的角练习题
练习-与三角形有关的角习题
三角形的边与角试题与答案
与三角形有关的角测试题及答案
(完整版)三角形边的关系练习题
人教版初二数学与三角形有关的角教案
八上数学《与三角形有关的角》练习题
三角形边角关系-第3讲的角与边学
与三角形有关的角
三角形的边与角的认识
初一数学人教版(下册)与三角形有关的角练习题一(含答案)
八年级上册数学《三角形》与三角形有关的角-知识点整
三角形中边与角之间的不等关系
与三角形有关的角检测试卷试题
(完整版)初一数学人教版(下册)与三角形有关的角练习题一(含答案)
初中奥数讲义_三角形的边与角附答案
八年级数学上册 《与三角形有关的角》说课稿
八年级三角形边角关系 经典例题