一些基本的数学建模示例

1.3 一些基本的数学建模示例

1.3.1椅子的摆放问题

1.3.2 双层玻璃的功效问题

1.3.3 搭积木问题

1.3.4 四足动物的身长和体重关系问题

1.3.5 圆杆堆垛问题

1.3.6 公平的席位分配问题

1.3.7 中国人重姓名问题

1.3.8实物交换问题

椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。

模型准备

仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：

模型假设

1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）

2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。（对地面的假设）

3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）

根据上述假设做本问题的模型构成：

模型构成Array用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐

标系如图1-1。图中A、B、C、D为椅子的四只脚，

坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四

只脚的对角线。于是由假设2，椅子的移动位置

可以由正方形沿坐标原点旋转的角度θ来唯一表

示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为θ的函

数。注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的

相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两

个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可

以描述椅子两个脚是否着地情况。本题引入两个

函数即可以描述椅子四图

1-1

个脚是否着地情况。记函数f(θ)为椅脚A和C与地面的垂直距离之和。函数g(θ)为椅脚B 和D与地面的垂直距离之和。则显然有f(θ)≥0、 g(θ)≥0，且它们都是θ的连续函数（假设2）。由假设3，对任意的θ，有f(θ)、 g(θ)至少有一个为0，不妨设当θ=0时，f(0)>0、 g(0)=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：

数学命题（问题1的数学模型）

已知f(θ)、 g(θ)都是θ的非负连续函数，对任意的θ，有f(θ) g(θ)=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则

有存在θ

0，使f(θ

)= g(θ

)=0。

模型求解

证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由f(0)>0、 g(0)=0 变为f(π/2) =0、 g(π/2) >0

构造函数 h(θ)=f(θ) - g(θ), 则有h(0) >0和h(π/2) <0且h(θ)也是连续函数，显然，它在闭区间[0，π/2]上连续。由连续函数的零点定理，必存在一个θ0∈（0，π/2），使h(θ0)=0，即存在θ0∈（0，π/2），

使f(θ

0)= g(θ

)。由于对任意的θ，有f(θ) g(θ)=0，特别有f(θ

) g(θ

)=0。于是有f(θ

)、 g(θ

)至少有

一个为0，从而有f(θ

0)= g(θ

)=0。证毕。

简评：问题1初看起来是乎与数学没有什么关系，不好用数学建模来解决，但通过如上处理把问题变为一个数学定理的证明从而使其可以用数学建模来解决，从中可以看到数学建模威力。本题给出的启示是对于一些表面上与数学没有什么关系的实际问题也可以用数学建模的方法来解决，此类问题建模的着眼点是寻找和分析问题中出现的主要对象及其隐含的数量关系，通过适当简化和联想来将其变为数学问题。

1.3.2 双层玻璃的功效问题

北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。

模型准备

本问题与热量的传播形式、温度有关。检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是热传导物理定律:

厚度为d的均匀介质,两侧温度差为?T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与?T成正比,与d成反比,即:

Q=k ?T/d

k为热传导系数。

模型假设(根据上定律做假设)

1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)

2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数)

3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)

模型构成

引入图1-2，其中的符号表示:

d:玻璃厚度 T 1:室内温度, T 2:室外温度

T a :靠近内层玻璃温度, T 2:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 k 1:玻璃热传导系数 k 2:空气热传导系数

图1-2 对中间有缝隙的双层玻璃，由热量守恒定律有

穿过内层玻璃的热量=穿过中间空气层的热量=穿过外层玻璃的热量 根据热传导物理定律，得

d k L k d k Q 2

b 1b a 2a 11

T -T T -T T -T ===

消去不方便测量的T a ,T b ,有

d

h k h s s d k Q L ,k ,

)

2(T -T 2

12

11

=

=+=

对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d 的单层玻璃,根据热传导物理定律，有

d k Q 2T -T 211

='

而

Q Q s Q '

2

2Q

此式说明双层玻璃比单层玻璃保温。

为得定量结果,考虑的s 的值,查资料有常用玻璃: k 1=4?10-3

~

8?10-3 (焦耳/厘米.秒.度)

静止的干燥空气: k 2=2.5?10 - 4 (焦耳/厘米.秒.度)

若取最保守的估计,有

d

L h h Q k k =

+='

=,1

81Q ,162

1

由于 Q '

Q

可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效, 在最保守的估计下，它是h 的函数。下面从图形考察它的取值情况。

从图1-3中可知此函数无极小值,且当h 从0变大时,Q/Q ' 迅速下降,但h 超过4后下降变慢。从节约材料方面考虑，h 不易选择过大,以免浪费材料。如果取h ≈4,有 图1-3

Q '

Q

≈3%

此说明在最保守的估计下，玻璃之间的距离约为玻璃厚度4倍时，双层玻璃比单层玻璃避免热量损失达97%。 简评: 问题2给出的启示是：对于不太熟悉的问题，可以用根据实际问题涉及的概念着手去搜索有利于进行数学建模的结论来建模，此时建模中的假设要以相应有用结论成立的条件给出。此外，本题对减少热量损失功效的处理给我指出了怎样处理没有极值的求极值问题的一个解决方法。 1.3.3 搭积木问题

将一块积木作为基础，在它上面叠放其他积木，问上下积木之间的“向右前伸”可以达到多少？ 模型准备

这个问题涉计到重心的概念。关于重心的结果有：

设xoy 平面上有n 个质点，它们的坐标分别为 (x 1 ,y 1)，(x 2,y 2)，…, (x n ,y n )，对应的质量分别为m 1,m 2,…,

m n , 则该质点系的重心坐标),(y x 满足关系式

∑∑∑∑====?=

?=

n

i i

n

i i

i n

i i

n

i i

i m y m y m x m x 1

11

1

,

此外，每个刚性的物体都有重心。重心的意义在于：当物体A 被物体B 支撑时，只要它的重心位于物体B 的正上方，A 就会获得很好的平衡；如果A 的重心超出了B 的边缘，A 就会落下来。对于均匀密度的物体，其实际重心就是几何中心。

因为本题主要与重心的水平位置（重心的x 坐标）有关，与垂直位置（重心的y 坐标）无关，因此只要研究重心的水平坐标即可。 模型假设

1． 所有积木的长度和重量均为一个单位 2． 参与叠放的积木有足够多

3． 每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同 4． 最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上 模型构成

1．考虑两块积木的叠放情况。

对只有两块积木的叠放，注意到，此时使叠放后的积木平衡主要取决于上面的积木，而下面的积木只起到支撑作用。假设在叠放平衡的前提下，上面的积木超过下面积木右端的最大前伸距离为x 。选择下面积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图1-4）。

因为积木是均匀的，因此它的重心在其中心位置，且其 质量可以认为是集中在重心的。于是每个积木可以认为是

质量为1且其坐标在重心位置的质点。因为下面的积木总 是稳定的，于是要想上面的积木与下面的积木离开最大的

位移且不掉下来，则上面的积木中心应该恰好在底下积木 图1-4

的右边最顶端位置。因此，可以得到上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积木的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为1/2。 2．考虑n 块积木的叠放情况

两块积木的情况解决了，如果再加一块积木的叠放情况如何呢？如果增加的积木放在原来两块积木的上边，那么此积木是不能再向右前伸了（为什么），除非再移动底下的积木，但这样会使问题复杂化，因为，这里讨论的是建模问题，不是怎样搭积木的问题。为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个整体且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插入在最底下的积木下方。于是，我们的问题又归

结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：即假设已经叠放好n （n>1）块积木后，再加一块积木的怎样叠放问题。

下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。

假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木

的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图1-5）。考虑上面的n 块 图1-5 积木的重心关系。我们把上面的n 块积木分成两部分：

1） 从最高层开始的前n-1块积木，记它们的水平重心为x1,总质量为n-1 2） 与最底层积木相连的第n 块积木, 记它的水平重心为x2,质量为1

此外，我们也把上面的n 块积木看作一个整体，并记它的重心水平坐标x ，显然n 块积木的质量为n 。那么，在保证平衡的前提下，上面的n 块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的右端，即有x =0；假设第n 块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n-1块积

木的总重心的水平坐标为z ，即有 x1=z ，而第n 块积木的水平重心在距第n 块积木左端的21

处，于是在图

1-5的坐标系下，有第n 块积木的水平重心坐标为x2= 21

z 。由重心的关系，有

)2

1()1(1

2)1(1=-+-?=

?+-?=

n

z n z n

x n x x

n z z n z 210)2

1()1(=

?=-+-?

于是有，对三块积木n=2, 第3块积木的右端到第1块积木的右端距离最远可以前伸

412

1+

对四块积木n=3, 第4块积木的右端到第1块积木的右端距离最远可以前伸

614

12

1+

+

设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为1+n d ，则有

n d n 214

12

11+

++=

+

当∞→n 时，有∞→n d 。这说明，随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方。 简评: 本题给出的启示是：当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行解决，往往会使问题变得清晰。此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能。 1.3.4 四足动物的身长和体重关系问题

四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义。比如，生猪收购站的人员或养猪专业户，如果能从生猪的身长估计它的重量可以给他们带来很大方便。 模型准备

四足动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学对复杂的生理结构的研究，将很难得到什么有价值的模型。为此我们可以在较粗浅的假设的基础上，建立动物的身长和体重的比例关系。本问题与体积和力学有关，搜集与此有关的资料得到弹性力学中两端固定的弹性梁的一个结果：

长度为L 的圆柱型弹性梁在自身重力f 作用下, 弹性梁的最大弯曲v 与重力f 和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积s 和梁的直径d 平方成反比，即

2

3

L f sd

v ?∝

利用这个结果，我们采用类比的方法给出假设。 模型假设

1.设四足动物的躯干（不包括头尾）为长度为L 、断面直径为d 的圆柱体，体积为m 。

2.四足动物的躯干（不包括头尾）重量与其体重相同，记为f 。

3.四足动物可看做一根支撑在四肢上的弹性梁,其腰部的最大下垂对应弹性梁的最大弯曲，记为v 。 模型构成

根据弹性理论结果及重量与体积成正比关系， 有：

L s m m f ?∝∝,

由正比关系的传递性，得

2

32

42

4

L s d

L L

v d

L sd

v ∝

?

=

?∝

上式多一个变量v ，为替代变量v ，注意到L v

是动物躯干的相对下垂度，从生物进化观点，讨论相对下垂度有：

L v

太大，四肢将无法支撑，此种动物必被淘汰； L v

太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯体的需要，无疑是一种浪费，也不符合进化理论。

因此从生物学的角度可以确定，对于每一种生存下来的动物，经过长期进化后，相对下垂度L v

已经达到其最合适的数值，应该接近一个常数（当然，不同种类的动物，常数值不同）。于是可以得出 d 2 ∝ L 3, 再由f ∝ sL 和s ∝ d 2 得f ∝ L 4，由此得到四足动物体重与躯干长度的关系

4

kL

f =

它就是本问题的数学模型。 模型应用

如果对于某一种四足动物，比如生猪，可以根据统计数据确定公式中的比例常数k 而得到用该类动物的躯体长度估计它体重公式。

简评: 发挥想象力，利用类比方法，对问题进行大胆的假设和简化是数学建模的一个重要方法。不过，使用此方法时要注意对所得数学模型进行检验。此外，从一系列的比例关系着手推导模型可以使推导问题大为简化。

1.3.5 圆杆堆垛问题

把若干不同半径的圆柱形钢杆水平地堆放在一个长方体箱子里，若已知每根杆的半径和最底层各杆的中心坐标，怎样求出其它杆的中心坐标？ 模型准备

本问题是一个解析几何问题，利用解析几何的有关结论既可。 模型假设

1. 箱中最底层的杆接触箱底或紧靠箱壁

2. 除最底层之外的箱中每一根圆杆都恰有两根杆支撑

3. 箱中的钢杆至少有两层以上 模型构成

本问题如果把箱中所有钢杆一起考虑会带来不便。现把本问题分解为已知三个圆杆的半径和两根支撑杆的坐标来求另一个被支撑杆坐标的三杆堆垛问题。如果三杆堆垛问题解决了，则我们可以利用它依次求得箱中其它所有圆杆的坐标了。虽说涉及的是空间物体，但可以用其堆垛的横截面图化为平面问题来解决。 设三个圆杆中两根支撑杆的半径分别为R l , R r ，对应坐标为(x l ,y l ),(x r ,y r ),被支撑杆的半径和坐标为R t 和（x t ,y t ）。连接三根圆杆的中心获得一个三角形，用a,b,c 表示对应的三条边。另用两个支撑圆杆的中心做一个直角三角形，如图1-6 由几何知识和三角公式有：

x t =x l +acos(α+β)=x l +a(cos αcos β-sin αsin β) y t =y l +asin(α+β)=y l +a(sin αcos β+cos αsin β)

这里计算公式中涉及的数据由如下公式获得：

a=R l + R t b=R r + R t d=x r - x l e=y r - y l c=(d 2+e 2)1/2

cos β=d/c ; sin β=e/c

cos α=(a 2+c 2-b 2) /2ac 图 1-6 三杆横截面图及辅助三角形 sin α=(1-cos 2α)1/2

在编程计算支撑钢杆的坐标时，为了能快速求出（xt,yt ），可以按如下顺序编程计算求解：

a=R l + R t b=R r + R t d=x r - x l e=y r - y l c=(d 2+e 2)1/2 csb=d/c

snb=e/c

csa=(a2+c2-b2) /2ac sna=(1-csa2)1/2

x t =x

l

+a (csa?csb-sna?snb)

y t =y

l

+a (sna?csb+csa?snb)

有了如上三杆问题的求解，对多于三杆的问题可以按支撑关系和先后顺序依次求出所有其它杆的坐标。例如，如果长方体箱子中有6根圆杆，已知1，2，3号的圆杆在箱底，4号杆由1，2号杆支撑，5号杆由2，3号杆支撑，6号杆由4，5号杆支撑，则可以调用如上三杆问题的算法先由1，2号杆算出4号杆坐标，接着再用2，3号杆算出5号杆坐标，最后用4，5号杆算出6号杆坐标。

简评：本题建立计算模型的关键是把原题分解为一组等价的子问题从而是问题得以简化，研究者可以通过讨论子问题的求解获得原问题的解决。这种处理问题的方法可以使复杂问题变得简单有效，它是处理一些有规律复杂问题的常用方法。

1.3.6 公平的席位分配问题

席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：

某单位席位分配数 = 某单位总人数比例?总席位

如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：

某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为

系名甲乙丙总数

学生数 100 60 40 200

学生人数比例 100/200 60/200 40/200

席位分配 10 6 4 20

后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为

系名甲乙丙总数

学生数 103 63 34 200

学生人数比例 103/200 63/200 34/200

按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20

按惯例席位分配 10 6 4 20

由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200

按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21

这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成

先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设

单位 人数 席位数 每席代表人数

单位A p 1 n 1 11

n

p

单位B p 2 n 2

2

2

n p

要公平，应该有11n p =22

n

p ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有

若 11

n p >22

n

p ，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 )

若11

n p <22

n

p ，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 )

因此可以考虑用算式 2

21

1n p n p p -

=

来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特

点），如：

某两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =120， p 2=100， 算得 p =2 另两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =1020，p 2=1000, 算得 p =2

虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。

下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：

若 11n p >22

n

p ，定义

2

22

21

1

21),(n p n p n p n n r A -=

为对A 的相对不公平值；

若 11n p < 22

n

p ，定义

1

11

12

2

21),(n p n p n p n n r B -=

为对B 的相对不公平值

由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 确定分配方案：

使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11n p >22

n

p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11

n p ,22

n

p 的关系可能有

1. 111

+n p >22

n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;

2. 111

+n p <22

n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为

1)1(1

1

),1(2

12111112

2

21-?+=

++-

=

+n p p n n p n p n p n n r B

3.

1

1

n p >1

22

+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为

1)1(1

1

)1,(1

21222221

1

21-?+=

++-

=

+n p p n n p n p n p n n r A

4.11n p <122

+n p ,不可能

上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有

r B (n 1+1,n 2)

则增加的一席应给A ，反之应给B 。对不等式 r B (n 1+1,n 2)

1

121

2

222

)1()1(n n p

n n p

+<

+

引入公式

k

k k

k n n p

Q )1(2+=

于是知道增加的席位分配可以由Q k 的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Q k 的最大值决定席位分配的方法称为Q 值法。

对多个组（m 个组）的席位分配Q 值法可以描述为： 1．先计算每个组的Q 值：

Q k , k =1,2,…,m

2．求出其中最大的Q 值Q i （若有多个最大值任选其中一个即可） 3．将席位分配给最大Q 值Q i 对应的第i 组。 这种分配方法很容易编程处理。 模型求解

先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q 值分配。 本问题的整数名额共分配了１９席，具体为： 甲 10.815 n 1 =10 乙 6.615 n 2 =6 丙 3.570 n 3 =3 对第２０席的分配，计算Q 值

Q 1=1032/(10?11) = 96.45 ; Q 2=632/(6?7)= 94.5; Q 3 =342/(3?4)=96.33

因为Q 1最大，因此第２０席应该给甲系; 对第２１席的分配，计算Q 值

Q 1=1032/(11?12)=80.37 ; Q 2 =632/(6?7)=94.5; Q 3 =342/(3?4)=96.33

因为Q3最大，因此第２1席应该给丙系

最后的席位分配为：

甲１１席乙６席丙４席

注：若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3 =1逐次增加一席，也可以得到同样的结果。

简评：本题给出的启示是对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般的规律，这也是科学研究的常用方法。请对一般情况编程。

1.3.7 中国人重姓名问题

由于中国人口的增加和中国姓名结构的局限性，中国人姓名相重的现象日渐增多，特别是单名的出现，使重姓名问题更加突出，其引出的矛盾也日益突出。例如有时在一个60人的集体里，重姓名竟有两对！若在更大范围里调查，重姓名的严重情况将会更多。重姓名现象引起的误会与带来的弊端是众所周知的，伴随着我国经济文化的高速发展和对外交往的扩大，重姓名引起的问题将更加突出，可以说有效地克服重姓名问题也即中国人姓名改革是迫在眉睫！因此，用合理的方法对中国人姓名进行改革是非常必要的。请尝试提出一个合理且可以有效解决此问题的中国人取名方案。

模型准备

先来看一下中国姓名的结构和取名习惯，中国的姓名是由姓和名来组成的。姓在前名在后，目前姓大约有5730个但常用姓只有2077个左右。名通常由两个字组成，较早时名的第一个字体现辈份，由一个家族的族谱决定，后一个字可任选。近来随着家族概念的淡化，名子中已经无辈份之意，人们为图好记，只有一个字的单字名在增多。

组合数学中的乘法原理和鸽笼原理可以非常简单地解释拥有十几亿人口的中国重名现象。姓名是由汉字排列而成，构成姓名的汉字多，则姓名总数就多。要想有效地克服重姓名问题，就该增加姓名的汉字数。因此，本问题可以用排列组合理论来解决。

模型假设

1．中国的所有姓名共有N个,其中姓有S个；

2．取名的方法和习惯不改变，即姓名中应该父亲姓氏在姓名首位

模型构成

靠机械地增加名字的个数解决重姓名问题或完全改变现有的姓名是不明智和不可取的。应该采用兼顾现有姓名习惯来做这件事。为扩大姓名集合并考虑到中国姓名的特色和兼顾原有取名习惯，利用排列组合的理论，这里提出如下体现父母姓的复姓名方式来解决重姓名问题。引入的中国姓名取名方法称为FM取名方法, 这里 F和M分别是中文父(fù)母(mǔ)二字的拼音首字母，同时也是英语父(father)母(mother)二词的首字母，它表示父母之意，“FM姓名”是与父母有关的姓名。一个FM姓名的结构为：

主姓名. 辅姓名

这里主姓名就是现在的人们所用的姓名，而辅姓名可以只是母亲的姓，也可以是用母亲姓起的另一个姓名，

不过这个姓名要名在前姓在后以区别于主姓名，中间的 "." 是间隔号，如果用？和?分别表示父母姓，* 和*表示对应的两个名字，则FM姓名可表示为

？* .*?或？* . ?

FM姓名的结构的取名方法为：

给一个人取一个FM名是很简单的，只要按以前的习惯用父母姓各取一个姓名，然后按FM姓名结构的要求就得到FM姓名。例如：父亲姓王，母亲姓孙，给孩子取的名字是中华和靖，则孩子的FM姓名为：

王中华·靖孙

如果只取一个名字，则孩子的FM姓名为：

王中华·孙

显见，这种“FM姓名”对原姓名改动较小，也无须重新翻字典去找新的名字，易于在人口普查时对全国公民的姓名做统一改动。

在一般场合或不易引起混淆的情况下，直接使用主姓名或原来的姓名即可，但是在正式场合，如译写著作，论文及发明创造，申请专利等署名是应写完整的“FM姓名”，这有利于中国姓名朝正规化、合理化的多字姓名过渡。

模型分析

由假设1，按排序原则，在“FM姓名体系”下，“FM姓名”集合中姓名总数变成为

N*S+N*N=N*（S+N）

其中N*S为辅姓名只是一个母亲姓氏FM姓名总数，N*N是辅姓名不是母亲姓氏的FM姓名总数。这表明“FM 体系”将原来的姓名集合增加了S+N倍。注意到其中N是很大的，这种扩充是很显著的。再者，原来的重姓名（主姓名重名）个数在“FM姓名”体系中会减少，而FM姓名样本空间又扩大了S+N被，由概率论知识可知，重姓名的概率将变得比原来的1/（S+N）还小。笔者在对本校的500名学生采用“FM姓名体系”（方案一只取母姓）做验证，重姓名概率由原来的2%变为零！可见“FM姓名体系”对姓名集合样本的扩充，对解决重姓名问题是非常有效的。

模型的优点

把“FM姓名”结构和其使用规定称为“FM姓名体系”，它有如下几大优点：

1.可以有效地解决中国重姓名问题

2.使姓名表示更加合理

按遗传学的观点，一个人最直接的血缘关系是父母，但现在的姓名中没有体现母亲这一部分，姓名中含有父母姓才是最科学的，FM姓名正好体现了这点。

FM姓名把辅姓名采用姓和名颠倒的方法，这样可以不被误认为是两个人的姓名或两个名字生硬搭配，从而巧妙地把主辅姓名合成了一个名字。虽说辅姓名不象传统的中国姓名，但它和西方的名在前，姓在后的姓名表示相一致，还是可以自成一体的。

另外，FM姓名采用了父姓母姓，使得姓名不能轻易改动而被别有用心的人利用。因为原姓名是开放型的，只要在名字后面加或减去一个字就得到另一个姓名。而“FM姓名”是紧凑型的，任何改动都会留下痕迹。

3.能有效地缓解家庭矛盾

长期以来，家庭中孩子的姓名只反映出父姓，而对孩子做出巨大无私的爱的母亲情况则没有反映。虽说姓只是一个符号而已，但近来人们总把它与自己对孩子的爱联系在一起。当前做父母的都想把自己的姓反映在孩子姓名中，为争孩子的姓选择引起夫妻不和导致家庭破裂的案例也较常见，它比较多的出现在母亲是独苗的家庭里，由中国目前的国情，至少下一代中国的家庭里父母基本都是独苗，这种矛盾必然会增大，不及时解决会演变成一个社会问题。FM姓名体系有效地解决了这一矛盾，使家庭关系更加巩固，它也对提高妇女的地位起到积极作用。

4.能有效地破除重男轻女的封建思想

一直以来，孩子的姓都是沿用父姓，姓名的这样选取客观上支持了这种重男轻女的不良思想。“FM姓名体系”用了父母双姓，彻底地解决了孩子姓的确定问题，使男女受到平等的对待，这对于从根源上消除重男轻女的思想，可以起着积极的作用。

5.是可行的最佳方案

要想在中国最有效地消除重姓名现象，首先要扩展足够大的姓名集合，其次新姓名要实施方便，再次就是人们愿意接受，这正是“FM姓名体系”所具有的优点。因为“FM姓名”不改变现在姓名称呼习惯，又具有母亲姓，将会得到广大家庭的支持和拥护，从而使它可行。再者，一个现有的姓名该成“FM姓名”，修改工作量达到最小，不论把现有的姓名变成为一个“FM姓名”，还是给新生儿取个“FM姓名”都是很简单方便的，这是因为在现有姓名后面再增加一个辅姓名就构成了“FM姓名”。任何其它对姓名矛盾的解决都没有这样好的综合效果。

简评:“FM姓名”模型虽然简单且在建模中只使用了较简单的重复排列和组合的数学方法，但作者对模型的说明解释非常到位，且模型很有特点。本题给出的启示是完成一个数学建模问题时，要遵循在保证解决问题的前提下尽量使用简单的数学方法建模。此外，对所得模型的令人信服的科学解释也是非常必要的。

1.3.8实物交换问题

甲有玉米若干千克，乙有山羊若干只。因为各自的需要，甲乙想交换彼此的东西，问怎样做才能完成交换活动？

模型准备

实物交换问题在个人之间或国家之间的各类贸易中经常遇到。通常，交换的结果取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。由于偏爱程度是一个模糊概念，较难给出一个确切的定量关系，此时，可以采用图形法建模的方式来描述双方如何交换物品才能完成交换活动。

模型假设

1．交换不涉及其他因素，只与交换双方对所交换物品的偏爱程度有关

2．交换按等价交换原则进行

模型构成

设交换前甲有玉米为X千克，乙有山羊Y只，交换后甲有玉米为x千克、山羊y只。则在交换后乙有玉米为X - x千克、山羊Y - y只，于是可以用一个平面坐标中的二维点坐标（x, y）描述一种交换方案，而这些坐标点满足0≤ x≤ X, 0≤ y≤ Y，即交换只在这个平面矩形区域内发生。引入二维点坐标后，我们就把所考虑的范围限制在一个有限的平面区域中，从而使问题得到简化。但这还不够，因为交换只是在其中的一个点发生。为找到这个点，由假设1，引入如下衡量偏爱程度的无差别曲线概念。

注意到对甲方来说，交换后其占有不同数量的玉米和山羊具有的满意度是不同的，显然其满意度是x, y的函数f(x,y)。由于交换后某方认为同样满意的情况一般不是一种，如对甲方来说，占有x1数量的玉米、y1数量的山羊与占有x2数量的玉米、y2数量的山羊可以达到同样的满足感c1，因此有

f(x1,y1)=f(x2,y2)=c1，这说明对甲方来说交换结果在点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)是没有差别的，而所有与点P1(x1,y1)具有同样满意度的点组成一条对甲无差别的曲线f(x, y) = c1。类似地，如果把甲在交换后的满足感c1修改为c2，就可以得到另一条对甲无差别的曲线f(x, y) = c2。因此，甲有无数条无差别曲线，将所有这些无差别曲线表示为f(x, y) = c，式中c称为在点(x, y)的满意度。

无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线或可以看成二元函数f(x, y)的等高线，虽然f(x, y)没有具体的表达式，但我们可以讨论这族无差别曲线的特点。

无差别的曲f(x, y) = c的特点:

1．无差别曲线是彼此不相交的

因为若两条无差别曲线相交，则在交点处具有两个不同的满意度，这与无差别曲线定义矛盾。

2．无差别取曲线是单调递减的

由交换常识可知在满意度一定的前提下，交换的两种物品成反比关系。

3．满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方

因为对甲来说，用同样的玉米换取更多的山羊会更满意。

4．无差别曲线是下凸的

因为交换的特点是物以稀为贵。当某人拥有较少的物品时，他愿意用其较少部分物品换取较多的另一种物品，反之当其拥有较多的物品时，他愿意用其较多部分物品换取较少的另一种物品。这在数学上可以描述为当x较小时，交换是用较少的?x换取较多的?y、当x较大时，交换是用较多的?x换取较少的?y。具有这种特点的曲线是下凸的（见图1-7），

于是可以画出对甲的无差别曲线族图形（见图1-8）

图1-7 下凸曲线的特点图1-8对甲无差别曲线族

类似地，可以得到对乙无差别曲线

g(x,y) = d

由于交换是在甲乙双方进行的，甲方的物品减少对应乙方物品的增加，反之亦然。将双方的无差别曲线画在一起可以观察到交换的发生特点。具体画法见图1-9: X

图1-9 在同一坐标系甲与乙的无差别曲线及交换路径

于是在交换区域中，任何一点都有甲和乙各一条无差别曲线通过。甲乙两条无差别曲线的交点表示甲乙交换发生。两族无差别曲线中的曲线彼此发生相交的情况只有相切于一点、或者相交于两点的可能。如果交点不是切点，则过此点的甲乙两无差别曲线还在另一点相交，由无差别曲线的定义有在这两条曲线上甲乙双方具有同样的满意度，而这是不可能的。因为这两条曲线一条是下凸另一条是上凸的，过所围区域内任一点的无差别曲线具有与这两条无差别曲线不同的满意度且一定与其中的一条相交，这就导致在同一交点处对某方来说有两种满意度的情况，因此交点不是切点时是不发生实际交换。简单分析可知相切于一点的点都可以发生实际交换。这些相切于一点的点构成交换区域的一条曲线，记为MN，我们称其为交换路径。这样，借助无差别曲线概念将交换方案从矩形区域缩小为其中的一条交换路径曲线MN上。

关于实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生，要借助交换的原则。由假设2，交换按等价交换的原则。设玉米的价格为每千克p元，山羊的价格为每只q元，则有交换前甲方拥有玉米的价值为pX, 乙方拥有山羊的价值为qY。若交换前甲乙拥有物品的价值相同，即pX=qY，则交换发生后，甲方拥有玉米和山羊的价值为px+qy, 乙方拥有玉米和山羊的价值为p(X-x)+q(Y-y)，按按等价交换的原则应该有

px+qy=p(X-x)+q(Y-y)。利用关系pX=qY，可以得出实际交换的点（x,y）满足关系式：

x/X+y/Y = 1

此曲线是一条直线，在交换路径坐标系中画出此曲线就得到实际交换发生的点（见图1-10）。至此，我们找到了实际交换的方案。

图1-10

简评:

一种方法。

x

数学建模典型例题

一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij

数学建模1例题解析

1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，

(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：

数学建模范例

前两页空白且不编页码

从该页开始编页码摘要 本文在依照电力市场交易原则和输电阻塞管理原则的前提下，通过多元线性回归分析、目标规划等方法，对电力市场的输电阻塞管理问题进行了研究。 问题1中，通过对散点图进行分析，可以得到所有机组出力值都与各线路的有功潮流值存在线性关系。于是，我们利用多元线性回归分析模型，分别得到6条线路的有功潮流与8个机组出力的带有常数项的线性表达式，其中，模型中的参数用最小二乘法估计，并进行了检验，证明函数关系可行。 问题2中，通过分析可知，阻塞费用主要是包括两部分，分别是序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。“公平对待”就理解为电网公司赔偿两者在交易中所有的收入损失，从而制定出了阻塞费用的计算规则和公式。 针对问题3，为了下一个时段各机组的出力分配预案，我们按照电力市场规则，以在各机组出力存在上下极限（受爬坡速率影响）和机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以购电费用最少为目标函数，建立线性规划模型。最终各机组的出力分配预案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 150 79 180 99.5 125 140 95 113.5 按照此出力分配预案，清算价为303元/兆瓦小时，购电费用为74416.8元。 问题4中，把问题3的计算数据代入问题4，通过问题1所得函数关系的计算易知部分线路出现阻塞，需调整出力方案。于是，我们以在各条线路上的有功潮流的绝对值不超出限值，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以阻塞费用最低为目标函数，建立非线性目标规划模型，得到调整之后的出力分配方案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 150.1 88 228 82.3 152 95 70.1 117 此时，清算价为303元/兆瓦小时，购电费用为74416.8元，阻塞费用为4619元。 针对问题5，重复问题3、4的工作。但因其预报负荷较大，无法输电阻塞消除，需将安全裕度纳入考虑范围之内。于是，根据安全且经济的原则的原则，以各条线路上的有功潮流的绝对值不超出安全裕度上限，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比最小和阻塞费用最低为目标函数，建立双目标规划模型，并利用加权法进行求解。调整之后的方案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 153 88 188.2 99.5 150 155 102.1 117 此时，清算价为356元/兆瓦小时，购电费用为93699.2元，阻塞费用为1310.2元。 关键词：多元线性回归分析；最优解；非线性规划；多目标规划

数学建模论文示例精选版

数学建模论文示例 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

“空瓶换汽水”问题探讨 摘要：“空瓶换汽水”问题是一个比较经典的趣味数学问题，曾以“空瓶换啤酒”“废电池换新电池”“费电珠换新电珠”等形式出现在前苏联、德国和中国各种数学竞赛题目中。这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生活中如何使开支与效益达到最优化等问题，具有一定的指导意义。 关键词：瓶数空瓶不含瓶单价推论 日常生活中，我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么以下这几道数学题你应该似曾相识。 【问题一】 某品牌汽水可以用3个空瓶再换回1瓶汽水，某人买回10瓶汽水，则他最多可以喝到多少瓶汽水 【解析一】 “用3个空瓶再换回1瓶汽水”，假设汽水一瓶3元，则空瓶相应的1元，而真正的汽水就只值2元，“某人买回10瓶汽水”意味着花去人民币 3*10=30元， 故而“最多可以喝到?30/2=15瓶。 【问题二】 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ 【解析二】 同理“5个空瓶可以换1瓶汽水”由题意，假设1瓶汽水5元，空瓶则1元，真正的汽水只值4元，“某班同学喝了161瓶汽水”则一共真正汽水的钱是：161*4元； 而买整个汽水（真正的汽水加空瓶）需要5元，所以“他们至少要买汽水多少瓶”则等于( 161*4)/5=(161/5)*4=(32*4)...余1，此时就可算出32*4+1=129瓶。 笔者对类似的题目的思考与研究，得到以下推论： 1，汽水的瓶数=总共的钱/汽水（不含瓶）的钱； 2，至少要买汽水多少瓶=总花去的钱/汽水的单价+余数。 这些推论是否正确呢是否可以解决此类问题呢我们不妨拿类似的问题验证一下。 【问题三】 超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水A.4瓶B.5瓶C.6瓶D.7瓶 【解答三】 由题意可知，空汽水瓶的价钱是1元，汽水加瓶是3元，所以“小李有12个空汽水瓶”等于小李有12元钱，问题是“最多可以换几瓶汽水”，就是小李

数学建模典型例题(二)

6 小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定 系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵

数学建模小实例

1、司乘人员配备问题 某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机与乘务人员如下: 设司机与乘务人员分别在各时间区段一开始上班,并连续工作八小时,问该公交线路至少配备多少名司机与乘务人员？ 解: 设i x 为第i 班应报到的人员 )6,,2,1( i ,建立线性模型如下: 6 1min i i x Z

,...,,3020 506070 60..62 1655 4433221 61x x x x x x x x x x x x x x x t s LINGO 程序如下: MODEL: min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; END 得到的解为: x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0; 配备的司机与乘务人员最少为150人。

2、铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺下图所示形状的地面,但当时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖,试着铺地面,结果无法铺好。试问就是这人的功夫不到家还就是这个问题根本无解呢？ 3、棋子颜色问题 在任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个,随机排成一个圆圈。然

后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子,再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？ 分析与求解: 由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子,两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子,故可将黑色棋子用1表示,白色棋子用-1表示。这就是因为-1×(-1)=1,1×1=1,这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子;1×(-1)= -1,这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。 设棋子数为n ,12,,,n a a a L 为初始状态。 当n=3时 步数 状态(舍掉偶次项) 0 1a 2a 3a 1 21a a 32a a 13a a 2 31a a 21a a 32a a 3 32a a 31a a 21a a 4 12a a 23a a 31a a 说明当n=3时,经过3步进入初始状态。 当n=4时 步数 状态(舍掉偶次项) 0 1a 2a 3a 4a 1 21a a 32a a 43a a 14a a 2 31a a 42a a 31a a 42a a 3 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a 4 24232221a a a a 24232221a a a a 24232221a a a a 2 4232221a a a a

数学建模常用的十种解题方法

数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，

()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；

数学建模典型例题

一、人体重变化 某人得食量就是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中得503８焦/天。每天得体育运动消耗热量大约就是６9焦/（千克?天)乘以她得体重(千克)。假设以脂肪形式贮存得热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量４１868焦。试研究此人体重随时间变化得规律. 一、问题分析 人体重W（t)随时间t变化就是由于消耗量与吸收量得差值所引起得,假设人体重随时间得变化就是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W得变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存得热量１０0%有效 2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重得变化就是一个连续函数 4、初始体重为Ｗ0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重得变化量为W（t＋△ｔ）—W(t); 身体一天内得热量得剩余为（1０4６7—50３8-６9*W（t)） 将其乘以△ｔ即为一小段时间内剩下得热量； 转换成微分方程为:ｄ[W(t+△t）-Ｗ（t）］=(１0467—５038－6９*W（ｔ))ｄt; 四、模型求解 d（５42９—6９W)/（54２9-69W)＝-６9ｄt/416８6 W(0）=W0 解得： ５4２9-６９W=（54２９－69W0)ｅ（－6９t/４1686) 即：

W（t）=５4２９／６9—（5429－６9Ｗ０)/５４29e(-6９t/41686） 当t趋于无穷时，ｗ=８１; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间得最佳方案。５年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i得开始买进汽车并在年j得开始卖出汽车,将有净成本ａｉj（购入价减去折旧加上运营与维修成本).以千元计数ａiｊ得由下面得表给出： 请寻找什么时间买进与卖出汽车得最便宜得策略。 二、问题分析 本问题就是寻找成本最低得投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本得投资策略。 三、条件假设 除购入价折旧以及运营与维护成本外无其她费用; 四、模型建立 二 5 11 7 三６ 4

2003全国大学生数学建模竞赛B题优秀论文(出题人亲作)

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题参考答案 注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 问题分析： 本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。 运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现； 第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从1207 10 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。 对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。 调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。 这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。 合理的假设主要有： 1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况； 2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即 可，不进行排时讨论； 3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量； 4. 卡车可提前退出系统。 符号：x ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的石料运量 单位 吨； c ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的距离 公里； T ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上运行一个周期平均所需时间 分； A ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点最多能同时运行的卡车数 辆； B ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数 次； p i ~ i 号铲位的矿石铁含量。 % p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) q j ~ j 号卸点任务需求 吨 q =(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000

数学建模例题及解析

。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由

（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对

最新数学建模小实例

精品文档 1、司乘人员配备问题 某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下： 班次时间最少需要人数 1 6:00—10:00 60 2 10:00—14:00 70

3 14:00—18:00 60418:022:050 522:02:020 62:06:030 设司机和乘务人员分别在各时间区 段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机 和乘务人员？ x i班应报到第的人员解: 设为 i(i?1,2,?,6)，建立线性模型如下： 6?x min Z?i1i?精品文档． 精品文档 x?x?60?61?x?x?70?12?x?x?6032?s.t.x?x?50?43?x ?x?2045?x?x?30?65?x,x,...,x?0?162LINGO程序如下： MODEL: min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; END 得到的解为: x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5= 30,x6=0; 配备的司机和乘务人员最少为150人。 精品文档． 精品文档 2、铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺下图所示形状 的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果无法铺好。试问是这人的功夫不

到家还是这个问题根本无解呢？ 解答: 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 精品文档． 精品文档

数学建模知识竞赛题库

数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩

11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）

全国数学建模大赛题目

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针

数学建模各类参考文献条目的编排格式及示例

2010年高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文的格式规范 ?本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。 ?论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ?论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ?论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。 ?论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ?论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ?论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ?论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ?提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ?论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ?引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ?在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ?本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。

数学建模优化问题经典练习

1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000

数学建模试题

2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩：

一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123min 3w x x x =-++ 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， [][]1 2 32011T x x x -?= 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。

二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab求解（20分） 某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A, B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1, A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： x ; 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 1 x; 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 2 x; 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 3 x; 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 4 x; 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 5

数学模型经典例题

一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。（15分） 解：一、模型假设： 1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。 3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 （3分） 二、建立模型： 以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定： ()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和 由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。 由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。 （3分） 问题归结为： 已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ， ()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立 若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。 （3分） 由f g 和的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 ()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。 最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。 （3分） 图 5

数学建模习题及问题详解

第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。

matlab数学建模实例

第四周 3. 中的三个根。 ，在求8] [0,041.76938.7911.1-)(2 3=-+=x x x x f function y=mj() for x0=0:0.01:8 x1=x0^3-11.1*x0^2+38.79*x0-41.769; if (abs(x1)<1.0e-8) x0 end end 4.分别用简单迭代法、埃特金法、牛顿法求解方程，并比较收敛性与收敛速度（ε分别取10-3、10-5、10-8）。 简单迭代法： function y=jddd(x0) x1=(20+10*x0-2*x0^2-x0^3)/20; k=1; while (abs(x1-x0)>=1.0e-3) x0=x1; x1=(20+10*x0-2*x0^2-x0^3)/20;k=k+1; end x1 k 埃特金法： function y=etj(x0) x1=(20-2*x0^2-x0^3)/10; x2=(20-2*x1^2-x1^3)/10; x3=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+x0); k=1; while (abs(x3-x0)>=1.0e-3) x0=x3; x1=(20-2*x0^2-x0^3)/10; x2=(20-2*x1^2-x1^3)/10; x3=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+x0);k=k+1; end 2 ,020102)(023==-++=x x x x x f

x3 k 牛顿法： function y=newton(x0) x1=x0-fc(x0)/df(x0); k=1; while (abs(x1-x0)>=1.0e-3) x0=x1; x1=x0-fc(x0)/df(x0);k=k+1; end x1 k function y=fc(x) y=x^3+2*x^2+10*x-20; function y=df(x) y=3*x^2+4*x+10; 第六周 1.解例6-4（p77)的方程组，分别采用消去法（矩阵分解）、Jacobi迭代法、Seidel迭代法、松弛法求解，并比较收敛速度。 消去法： x=a\d 或 [L,U]=lu(a); x=inv(U)inv(L)d Jacobi迭代法： function s=jacobi(a,d,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1); C=inv(D); B=C*(L+U); G=C*d; s=B*x0+G; n=1; while norm(s-x0)>=1.0e-8 x0=s; s=B*x0+G;