信号处理 习题与解答
数字信号处理习题解答
第二章 数据采集技术基础
2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中
??
???≥Ω<Ω=Ωππ
3032
1
)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。
解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得
因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ
π32621=<
=Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ
π32
652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率；
（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○
1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即
f s ≥2f m
○
2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s
===
解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是
f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz
∴信号的最高频率f m =6000Hz
由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号
?
??
?
????? ??-???? ????? ??=?
???
????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=?
???
????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=?
??
?
????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=???
?
??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s
522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ
说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即
kHz
f f f kHz
f f f s
s 25000200052150001000512211======，，
若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号
()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=
可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足
采样定理的要求，而产生混叠的结果。
第三章 傅里叶分析
I. 傅里叶变换概述
3.1 [习题3.2]设序列x (n )=δ(n-m )，求其频谱X (e j ω
)，并讨论其幅频和相频响应 分析：求解序列的频谱有两种方法：
○
1先求序列的z 变换X (z )，再求频谱ωω
j e z j z X e X ==)()(，即X (e j ω)为单位圆上的z 变换；
○
2直接求序列的傅里叶变换 ∑∞
-∞
=-=
n n
j j e
n x e X ωω
)()(
解：对序列x (n )先进行z 变换，再求频谱，得
m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ
则ωω
ωjm e z j e z X e
X j -===)()(
若系统的单位采样响应h (n )=x (n )，则系统的频率响应
)}(exp{)(1)()(ω?ωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--?
故其幅频和相频响应（如图）分别为
幅频响应 1)(=ω
j e H
相频响应 ωω?m -=)(
由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω
)表示下列序列的傅里叶变换：
（1） )1()1()(1n x n x n x --+-=
（2） )]()([2
1
)(2n x n x n x -+=
* 分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即
)()(ωj e X n x ?，)()(ωj e X n x -?-
)()(ωωj m j e X e n m x --?-
解：（1）由于)()]([ωj e X n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则
)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--
故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= （2）由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-
故)](Re[2
)
()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=
* 3.3 设X (e j ω
)是如图所示的信号x (n )的傅里叶变换，不必求出X (e j ω
)，试完成下列计算：
（1） )(0j e X （2） ?-
π
π
ωωd e X j )( （3）
ωπ
π
ωd e X j ?-
2
)(
分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。 （1） 序列的傅里叶变换公式为：
正变换 ∑∞
-∞
=-=
n n
j j e n x e
X ωω
)()(
反变换 ?-
=
π
πωω
ωπ
d e e
X n x n j j )(21
)(
（2） 帕塞瓦定理
?∑-
∞
-∞
==
π
π
ωωπ
d e X n x j n 2
2
)(21)(
解：（1）由傅里叶正变换公式可知ω=0，则
6)()()(00
==
=
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=?-n n n
j j n x e
n x e X
（2）由于e j0=1，则由傅里叶反变换公式可知n=0，故
πππωωπ
π
ωπ
π
ω422)(2)()(00====?=--
??n j j j n x d e e X d e X
（3） 由帕塞瓦定理，得
ππ
ωπ
π
ω
28)
(2)(2
2
==∑?∞
-∞
=-
n j n x d e X
II. 周期序列的离散傅里叶级数（DFS ）
3.4 如图所示，序列x (n )是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。
分析：利用DFS 的定义求解，即
∑-===1
)(~)](~[)(~N n kn N
W n x n x DFS k X ，其中k = 0 ~ (N-1) 解：已知N = 6，则由DFS 的定义得
k j k j k j k j k j n nk j n kn e
e e e e e n x W n x k X 56
246
236
226
26
250
6
250
61068101214)(~)(~)(~πππππ
π
-----=-=+++++===∑∑
对上式依次取k = 0 ~ 5，计算求得
3
39)5(~
33)4(~
0)3(~3
3)2(~
339)1(~
60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==，
，，， 3.5 设??
?≤≤+=n n n n x 其他，
，04
01)(，)2()(4-=n R n h
令6))(()(~n x n x =，6))(()(~n h n h =，试求)(~
n x 与)(~
n h 的周期卷积。 分析：可以利用列表法求解，直观方便。由于
)(~)(~n x n y =○*∑
-=-=1
)(~)(~)(~N m m n h m x n h
只要将列表中对应于某个n 的一行中的)(~
m n h -值和第一行中与之对应的)(~m x 值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n 的)(~n y 值 解：
注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序列循环移位的概念。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
在一个周期（N =6）内的计算卷积值
)(~)(~n x n y =○*∑
-=-=1
)(~)(~)(~N m m n h m x n h 则)(~n x 与)(~
n h 的周期卷积)(~n y 值（n =0~5）如下表所示：
III. 离散傅里叶变换（DFT ）
3.6 已知x (n )如图所示，为{1，1，3，2}，试画出序列x ((-n ))5，x ((-n ))6 R 6(n)，x ((n ))3 R 3(n)，x ((n ))6， x ((n-3))5R 5(n) 和x ((n ))7 R 7(n)的略图。
分析：
此题需注意周期延拓的数值，也就是x ((n ))N 中N 的数值。如果N 比序列的点数多，则需补零；如果N 比序列的点数少，则需将序列按N 为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。 解：
各序列的略图如图所示。
3.7 试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）： （1） )()(n R a n x N n =
（2） N n n n n x <<-=000)()(，δ （3） )()(n nR n x N = （4） )()(2n R n n x N =
分析：利用有限长序列的DFT 的定义，即
10)()(1
0-≤≤=∑-=N k W n x k X N n kn
N ，
解：（1）因为)()(n R a n x N n =，所以
k N
j N N n nk N
j
n
N n kn
N
n
ae
a e
a W
a k X ππ21
21
11)(--=--=--=
==∑∑
（2）因为N n n n n x <<-=000)()(，δ，所以
k n N
j n n kn
N
N n kn
N
e
W W n n k X 00
21
00)()(πδ-=-===-=∑
（3）由)()(n nR n x N =，得
∑-==1
)(N n kn
N
nW k X 注意：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n ．。．
∑-=+=1
)
1()(N n n k N
k
N
nW k X W N
W W N W
N W N W N W W W N W W W nW nW
W k X k
N
k N N n kn
N
kN
N N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn N
k N
-=--+--=+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑-=---=+-=11
)1()1(]
)1()2(2[]
)1(32[)1)((1
1
)1(32)
1(321
)
1(1
则
所以
k
N
W N
k X --=
1)( （4）注意：本题可利用上题的结论来进行化简。．．．．．．．．．．．．．．．．
由)()(2n R n n x N =，则
∑-==1
02)(N n kn
N
W n k X 根据第（3）小题的结论：若)()(1n nR n x N = 则
k
N
N n kn
N W N
nW k X --=
=∑-=1)(1
01 与上题同理，得
k
N
N n kn
N
N n kn
N
kN
N N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn N
k N
W N
N N k X N N nW N N W n N W N W N W W W N W W W W n W
n W k X --
--=+--=+--=-+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑∑-=-=---=+-=12)2()(2)2(2)2()12()1(])1()2(4[]
)1(94[)1)((1111
1
2
2)1(232)
1(2321
)
1(21
2
所以
10)
1()2()(2
2
-≤≤---=N k W N W N N k X k N k
N ， 3.8 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即：
有限长序列x (n )左移m （m 为正整数）位的循环移位定义为
)())(()(n R m n x n x N N m +=
且移位时，在主值区间（n =0~N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。 解：由循环卷积的定义，可知
)()(1n x n y =○6612))(([)(n x n x =○*)(]))((6
62n R n x 61))(([n x =○*)(]))3((36
6n R n -δ )())3((3661n R n x -=
则根据循环移位的概念，将序列x 1(n )循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列（n =0~5）
即可，其结果如图所示。
3.9 如图所示的5点序列x(n)，试画出： （1） x (n )*x (n )
（2） x (n )○5x (n ) （3） x (n )○
10x (n
)
分析：本题可由图解法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件：
设两个有限长序列x (n )、h (n )的点数分别为N 和M ，其循环卷积的长度为L ，则要用循
环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度L 必须不小于线性卷积的长度N +M-1，即
L ≥N +M-1
否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。
解：由于x (n )是5点序列，所以x (n )* x (n )是5+5-1=9点序列，因此，x (n )○
10 x (n )的前9个点（n =0，1，…，8）就是x (n )* x (n )值，后一个点（n =9）为零，因为L 点循环卷积等于线性卷积结果的L 点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列（L 可以是任意整数值）。其运算结果分别如图（a ）、（b ）、（c ）所示。
3.10 已知两个有限长序列为
??
?
≤≤≤≤-=??
?≤≤≤≤+=651401)(6403
01)(n n n y n n n n x ，
，，
，
试作图表示x (n )，y (n )以及f (n ) =x (n )○
7y (n )。 分析：直接利用循环卷积公式或图解法求解。 解：其结果如图所示。
3.11 [习题3.10]已知x (n )是N 点有限长序列，且X (k ) = DFT[x (n )]。现将它补零扩展成长度为rN 点的有限长序列y (n )，即
??
?-≤≤-≤≤=101
0)()(rN n N N n n x n y ，
， 试求rN 点DFT[y (n )]与X (k )的关系。
分析：
利用DFT 定义求解。y(n)是rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解：由
10)()]([)(1
2-≤≤==∑-=-N k e
n x n x DFT k X N n nk N
j
，π
可得
1
10)()()()]([)(1
021
1
-==??
?
??====
=∑∑∑-=--=-=N l lr k r k X e
n x W n x W
n y n y DFT k Y N n r
k n N j nk
rN N n rN n nk rN
，，，，， π
所以在一个周期内，Y (k )的采样点数是X (k )的r 倍（Y (k )的周期为rN ），相当于在X (k )的每两个值之间插入r-1个其它的数值（不一定为零），而当k 为r 的整数l 倍时，Y (k )与??
?
??r k X 相等。
3.12 [习题3.12]频谱分析的模拟信号以8kHz 被采样，计算了512个采样点的DFT ，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。 分析：
利用频域采样间隔F 0和时域采样频率f s 以及采样点数N 的关系f s =N F 0。 证：由
π
π2200Ω=Ω=
F f s s ， 得
0ΩΩ=s
s F f 其中Ωs 是以角频率为变量的频谱周期，Ω0是频谱采样之间的频谱间隔。
又
N F f s
s =ΩΩ=0
0 则
N
f F s
=
对于本题有f s =8kHz ，N =512 所以 Hz F 625.15512
8000
0==
3.13 [习题3.20]设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz ，如果采用的采样时间间隔为0.1ms ，试确定：
（1） 最小记录长度；
（2） 所允许处理信号的最高频率； （3） 在一个记录中的最小点数。 分析：
采样间隔T 和采样频率f s 满足f s =1/T ，记录长度T 0和频域分辨力F 0的关系为T 0=1/ F 0，采样定理为f s ≥2f h （f h 为信号最高频率分量），一个记录中最少的采样总数N 满足
002F f F f T T N h
s ≥==
解：
（1）因为T 0=1/ F 0，而F 0≤10Hz ，所以
s T 10
10≥
即最小记录长度为0.1s 。 （2）因为kHz T f s 10101
.0113=?==，而f s ≥2f h 所以
kHz f f s h 52
1
=≤
即允许处理信号的最高频率为5kHz 。 （3）1000101
.01.030=?≥=
T T N 又因N 必须为2的整数幂
所以一个记录中的最少点数为N =210=1024。 IV. 快速傅里叶变换（FFT ）
3.14 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5μs ，每次复加0.5μs ，用它来计算512点的DFT[x (n )]，问直接计算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间？ 分析：
○
1直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2
，复加次数为N (N-1)； ○
2利用FFT 计算：复乘次数为N N
2log 2
，复加次数为N N 2log ； 解：
（1）直接计算
复乘所需时间s N T 31072.151********
6
2
6
1=??=??=--
复加所需时间s N N T 130816.0)1512(512105.0)1(105.06
6
2=-???=-???=--
所以
s T T T 441536.121=+=
（2）用FFT 计算
复乘所需时间s N N T 01152.0512log 2
512105log 21052626
1=??=?
?=-- 复加所需时间s N N T 002304.0512log 512105.0log 105.026262=??=??=-- 所以
s T T T 013824.021=+=
3.15 已知X (k )，Y (k )是两个N 点实序列x (n )，y (n )的DFT 值，今需要从X (k )，Y (k )求x (n )，
y (n )的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。 分析：
我们来组成一个新的序列X (k )+j Y (k )序列，则有
)()()]([)]([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+
它的实部即为实序列x (n )，虚部即为实序列y (n )。 解：
依据题意，可知
)()()()(k Y n y k X n x ??，
取序列
)()()(k jY k X k Z +=
对Z (k )作N 点IFFT 可得序列z (n )。
又根据DFT 线性性质
)()()]([)]([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+
由原题意可知，x (n )，y (n )都是实序列。 再根据z (n ) = x (n )+j y (n )，可得
)]
(Im[)()]
(Re[)(n z n y n z n x ==
3.16 [习题3.22, 3.23]N =16时，画出基-2按时间抽取法（DIT ）及按频率抽取法（DIF ）的FFT 流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。 分析：
○
1DIF 法与DIT 法的异同： 不同点：DIT 与DIF 的基本蝶形图不同，DIF 的复数乘法出现在减法之后，DIT 的复数乘法出现在减法之前；
相同点：DIT 与DIF 的运算量是相同的；
○2DIF 法与DIT 法的关系：它们的基本蝶形是互为转置的。 解：
（1）按时间抽取（DIT ）如图所示
（2）按频率抽取（DIF ）如图所示
3.17 [课堂思考题]若)(),(21n x n x 是因果稳定序列，求证：
???-
-
-
=π
π
ωπ
π
ωπ
π
ωωωπ
ωπ
ωπ
})(21}{
)(21{
)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j
证：设)()()(21n x n x n y *= 则由时域卷积定理，得
)()()(21ωωωj j j e X e X e Y =
即
??-
-
=
=
=*π
π
ωωωπ
π
ωωω
π
ω
π
d e e X e X d e e Y n y n x n x n j j j n j j )()(21)(21)()()(2121
令上式的左右两边n=0，得
)
0()0()()()()()()(212100210
2121
x x k n x k x n x n x d e X e X
n n k n j j ?=??????-=*====-
∑?π
πω
ωωπ
又傅里叶反变换公式，得
?-
=
π
π
ωωωπ
d e e X n x n j j )(21
)(11，?-
=
π
π
ωωωπd e e X n x n j j )(21)(22
则
?-
=
π
π
ωωπ
d e X x j )(21)0(11，?-
=
π
πωωπ
d e X
x j )(21)0(2
2
所以
???-
-
-
=π
π
ωπ
π
ωπ
π
ωωωπ
ωπ
ωπ
})(21}{
)(21{
)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j
3.18 [课堂思考题]在N =16时按时间抽取的基-2FFT 算法中，若输入序列x (n )采用倒位序，输出序列X (k )采用自然数顺序，试写出输入序列x (n )的排列顺序，并简述理由。
答：N =16的基-2FFT 算法中，输入序列x (n )倒位序排列顺序为x (0)、x (8)、x (4)、x (12)、x (2)、x (10)、x (6)、x (14)、x (1)、x (9)、x (5)、x (13)、x (3)、x (11)、x (7)、x (15)。
其倒位序排序规则如表所示：
第五章 时域分析
5.1 随机相位正弦波
)sin()(0?ω+=t x t x
式中，x 0,ω均为常数，φ在0~2π内随机取值，试求其自相关函数并作图。 分析：
利用自相关函数的定义求解，即
?
+=∞→T
T xx dt t x t x T
R 0
)()(1
lim
)(ττ
解：由自相关函数的定义式，得
[]()
ωτα
ωτααωταπτπ
ωαω
α?ω?τω?ωττ?π?πcos 2
sin cos sin cos sin 2lim )(21
)(sin )sin(1lim )()(1lim
)(20
2
2
02/2
/2
00
x d x R T d dt t dt t t x T dt
t x t x T R T xx T T T T
T xx =+===
=++++=+=???++-∞→-∞→∞→故且则令，
可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关，而不含相位信息．．．．．．，这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。
其自相关函数图形如图所示。
5.2 两个随机相位正弦波
)
sin()()sin()(00?θωθω-+=+=t B t y t A t x
式中，A 0, B 0,ω, φ均为常数，θ在0~2π内的取值概率相同，即满足
????
?≤≤=其它，
，02021)(π
θπθp 试求其互相关函数并作图。
分析：
利用互相关函数的定义求解，即
?
+=∞→T
T xy dt t y t x T
R 0
)()(1
lim
)(ττ
解：由互相关函数的定义式，得
R xx (τ) τ x 02
/2
[])cos(2
1
)(sin )sin(21)()(1lim
)(0020000?ωτθ?θτωθωπττπ-=-+++=+=??∞→B A d t t B A dt t y t x T R T
T xy 可见，两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数，其最大峰值出现在τ=φ/ω处。
其互相关函数图形如图所示。
第六章 数字滤波器设计
6.1 已知模拟滤波器的模方函数
)
16)(9()4(20)(222
22
Ω+Ω+Ω-=
Ωj H 求模拟滤波器的传递函数。
分析：利用模拟滤波器的模方函数|H (j Ω)|2与其传递函数H (s)之间的关系式求解，即
Ω=Ω
=-==Ωj s j s s H s H s H j H )()()
()(22
解：将s=j Ω，即Ω2 = -s 2代入|H (j Ω)|2，得
()
)4)(4)(3)(3()2()2(52)
16)(9()4(20)()()(2
22
2
2222
-+-+-+=--+=-=s s s s j s j s s s s s H s H s H 可见，系统有四个极点s 1, 2=±3，s 3, 4=±4和两对零点z 1, 2=±j2。
为了得到一个稳定的滤波系统，则将左半平面的极点分配给H (s)；并取虚轴上的一对共轭零点作为H (s)的零点，以保证H (s)收敛，故模拟滤波器的传递函数为
)
4)(3()
2)(2(52)(++-+=
s s j s j s s H
6.2 试设计一个巴特沃思（BW ）低通模拟滤波器，使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s 处的衰减不大于3 dB ，在阻带截止频率4×105 rad/s 处的衰减不小于35 dB 。 分析：按照§6.2中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现。
○
1先确定滤波器的阶数N 由于[公式1]
()(
)()()()
()
λλααγααγλγ
，
求解令令???
?
??
+ΩΩ+=Ω=+ΩΩ+=Ω=ΩΩ=ΩΩ=2
22
21lg 10]1lg[10)(1lg 10]1lg[10)(N
N
c
s
c
p N c s s s N c p p p
τ
则滤波器的阶数[公式2]
()()
s p N Ω≥
lg /lg λγ[注意：N 为正整数] 且截止频率[公式3]
s N c p
N c Ω=ΩΩ=Ω--/1/1λγ或
○
2求解位于左半S 平面上的极点[公式4] ()N k e
s N
N k j c k 2,,2,1212 =Ω=-+，π
○
3确定N 阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数[公式5] ()
()()()
N N c
N
k k
N
c
s s s s s s s s s H ---Ω=
-Ω=
∏= 211
)( 解：○
1先确定滤波器的阶数N 由题意可知，Ωp =105rad/s 时，通带最大衰减αp =3 dB
Ωs =4×105rad/s 时，阻带最小衰减αs =35 dB
则代入[公式1]，求得参数γ和λ
()()
(
)
(
)
???==??????+=+=??????+=Ω=+=Ω=2.5611lg 10351lg 1031lg 10)(1lg 10)(22
22λγλγ
λ
ααγααs s p p 将参数γ、λ、Ωp 和Ωs 代入[公式2]，则滤波器的阶数
()()
39.2lg /lg =?=ΩΩ≥
N N s p 取λγ 将参数N 、γ和Ωp 代入[公式3]，可得截止频率
s rad p p N c /105/1=Ω=Ω=Ω-γ
○
2求解位于左半S 平面上的极点 将参数Ωc 和N 代入[公式4]，得极点
()3
,2,13
/)1(212=Ω=Ω=+-+k e
e s k j c N
N k j c k ，ππ
即
2
/)31(2/)31(3/4323/21c j c c
j c c j c j e s e s j e s Ω--=Ω=Ω-=Ω=Ω+-=Ω=πππ
○
3确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H (s) 将参数N 、Ωc 和s k 代入[公式5]，得巴特沃斯低通滤波器的传递函数（式中Ωc =105rad/s ）
()
()()()3
223332131
22)(c
c c c
c N
k k
N
c
s s s s s s s s s s s s H Ω+Ω+Ω+Ω=---Ω=-Ω=
∏=
分析：本题利用模方函数求出其左半S 平面极点，而求得系统函数。
N 阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为
()
N
c j j j H 22
11)(ΩΩ+=
Ω
在上式中代入j Ω= s ，可得
()N c j s s H s H 211)()(Ω+=
-
而H (s )H (-s )在左半S 平面的极点即为H (s )的极点，因此
()
∏=-=
N
k k
s s k s H 1
)(
其中()N k e
s N
N k j c k ,,2,1212 =Ω=-+，π
，k 0由1)(0==s s H 来确定。
注意：可以证明，系数k 0=Ωc N 。
解：对于二阶（N =2）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为
()
()
4
22
1111)(c N
c j j j j j H ΩΩ+=
ΩΩ+=
Ω
令j Ω= s ，则有
()
4
11)()(c j s s H s H Ω+=
-
各极点满足
()()4,3,2,14
12212=Ω=Ω=+-+k e
e
s k j c N
N k j c k ，π
π
则k =1, 2时，所得的s k 位于左半S 平面，即为H (s )的极点
2
2322322
32234
52431j
e
s j e s j c j c --=Ω=+-
=Ω=ππ 由以上两个极点构成的系统函数为
()()9
23)(2
210++=--=
s s k s s s s k s H 代入条件1)(0==s s H ，可得k 0 =9 [注：k 0 =Ωc 2]，故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数
9
239)(2
++=
s s s H
分析：与习题6. 3同理，利用模方函数求出其左半S 平面极点，而求得系统函数。 解：对于三阶（N =3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为
()
()
6
22
1111)(c N
c j j j j j H ΩΩ+=
ΩΩ+=
Ω
令j Ω= s ，则有
()
6
11)()(c j s s H s H Ω+=
-
各极点满足
()()6,,2,123
1212 ==Ω=+-+k e
e
s k j N
N k j c k ，π
π
不难得知，当k =1, 2, 3时，相应的极点s k 均位于左半S 平面。
则滤波器的系统函数H (s )的极点
3
12223
123
4323
21j e
s e s j e
s j j j --==-==+-==πππ
因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为
()()()8
848)(2
3
3213+++=---Ω=s s s s s s s s s s H c
6.5 设模拟滤波器的系统函数为
2
2)()(b
a s a
s s H +++=
试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字低通滤波器。
解：将H (s)展开成部分分式，得
jb a s jb a s b
a s a s s H -++++=+++=
2
/12/1)()(2
2 对H (s)取拉氏反变换，得
t
jb a t jb a e e t h )()(2
121)(--+-+=
对h (t )作周期为T 的等间隔采样，得
[]
nT jb a nT
jb a nT t e e t h n h )()(2
1)()(--+-=+=
= 对h (n )取Z 变换，得IIR 数字低通滤波器的系统函数为
2
211
1)(1
)(0
)cos 2(1)cos (1111121)()(----------+-∞
=-+--=
???
???-+-=
=∑z e z bT e z
bT e z e z e z n h z H aT aT aT
T jb a T jb a n n
6.6 设有一模拟滤波器
()
11)(2++=s s s H
采样周期T =2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H (z )。
分析：双线性变换法是模拟系统函数的S 平面和数字系统函数的Z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，其变换关系为
1
1112--+-=z
z T s 解：将T =2代入变换公式，可得
1
111--+-=z z s
则数字系统函数
()1
2
111
2
11
1131111111
)()(1
------+-=++=
+???
? ??+-+???? ??+-=
=-z z z z z z s H z H z z s
6.7 用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，采样频率f s = 1.2kHz ，截止频率f c = 400Hz 。
分析：按照§6.3中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现。
○
1利用关系式ω=T Ω将给定的模拟域频率指标转化为数字域频率指标 ○2利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补偿后的．．．．
模拟域频率指标 ??
?
??=
Ω'2tan 2ωT ○3按补偿后的．．．．模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器H (s )[参见例6.2.4] ○
4利用双线性变换公式，将模拟滤波器H (s )变换为数字滤波器H (z )，即 1
1112)()(--+-==z z T s s H z H （T ．为采样周期．．．．．
） 解：此数字滤波器的截止频率
3
212001400212π
ππω=
??==Ω=s c
c c f f T 由预畸变补偿，得相应的模拟滤波器的截止频率
智慧树知道网课《数字信号处理》课后章节测试满分答案
绪论单元测试 1 【单选题】(2分) 确定性信号和随机信号的区别是什么？ A. 能否用计算机处理 B. 能否用有限个参量进行唯一描述 2 【单选题】(3分) 如何由连续时间信号获得离散时间信号？ A. 在信号幅度上进行量化 B. 在时域上对连续时间信号进行采样 第一章测试 1 【单选题】(2分) 以下那个说法是正确的？ A.
在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，只要实现了等间隔采样，采样间隔T怎样选择都不会影响采样后离散时间信号的频谱特征。 B. 在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，采样间隔T的选择非常关键，如果选择不当，采样后的离散时间信号将存在频域混叠失真现象。 2 【单选题】(2分) A. B. C. D.
3 【判断题】(2分) A. 错 B. 对 4 【单选题】(2分) 下面哪段语句不会报错？ A. x=ones(1,5); n h=0:2; h=(nh+1).*ones(1,3); n=0:6; y=conv(x,h); stem(n,y); B. x=[123]; h=ones(1,5); n=0:7; y=conv(x,h); stem(n,y); C.
x=ones(1,4); n h=0:2; h=(nh+1)*ones(1,3); n=0:5; y=conv(x,h); stem(n,y); 5 【单选题】(2分) A. B. C. D.
6 【单选题】(2分) 请问以下哪个说法是正确的？ A. 连续时间正弦信号采样后不一定为周期序列。 B. 连续时间正弦信号采样后一定为周期序列。 7 【单选题】(2分) A. B. C.
数字信号处理填空题库
填空题(每空2分，共20分) 信号与系统的时域分析与处理 1.序列x(n)的能量定义为__________。 2.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__________。 3.设两个有限长序列的长度分别为N 和M ，则它们线性卷积的结果序列长度为__________。 4.线性系统同时满足_____和_____两个性质。 5.某线性移不变系统当输入x(n) =δ(n-1)时输出y(n) =δ(n -2) + δ(n -3)，则该系统的单位冲激响应h(n) =__________。 6.序列x(n) = cos (3πn)的周期等于__________。 7.线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 8. 已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是__________。 9.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是________。 10．序列x(n) = nR 4(n -1)，则其能量等于 _______ 。 11.两序列间的卷积运算满足_______，_______与分配率。 12信号处理有两种形式;其中一种是（ASP 模拟信号处理）;另一种是（DSP ：数字信号处理）。 13数字信号处理可以分为两类：信号(分析)和信号 (过滤) . 14数字信号是指 (时间) 和 (幅度)都离散的信号. 15．一个离散LTI 系统稳定的充要条件是系统的脉冲响应 h(n)满足关系式: ( ()h n ∞-∞<∞∑).LTI 离散系 统因果的充要条件是当且仅当 (h(n)=0,n<0). 16．互相关 ryx(l) 可以用卷积运算表示为（ryx(l)=y(l)*x(-l)）, 自相关 rxx(l)可写为 (rxx(l)=x(l)*x(-l) ) 17．若 LTI 系统的脉冲响应是有限长的,则该系统可称为(FIR:有限长脉冲响应) 滤波器, 否则称为 (IIR ：无 限长脉冲响应) 滤波器. 18．2n u(n)*δ(n-1)=( ). 0.8 n u(n)* 0.8 n u(n)=( ) 离散时间傅里叶变换（DTFT ） 1. 输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x(n)cos(4 πn)中包含的频率为__________。 2．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x 2(n)中包含的频率为__________。 3．系统差分方程为y(n)=x(n)-x(n-1) 的系统被称为 (数字微分器). 4．实序列的DTFT 有两个重要属性:(周期性)和 (对称性), 根据这两个性质,我们只需要考虑[0,π]频率范围上的X(ejw) . 5．若DTFT[x(n)]= X(ejw), 则 DTFT[x*(n)]=(X*(e-jw)), DTFT[x(-n)]=( X(e-jw)); DTFT[x(n-k)]=( X(ejw) e-jwk). 6．DTFT[ (0.5)n u(n)]=（1 10.5jw e --）; 7．x(n)={ 1,2,3,4},DTFT[x(n)]=(1+2 e-jw+3 e-j2w+4 e-j3w ) .
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
数字信号处理习题及答案1
数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)
数字信号处理完整试题库
1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分
信号处理-习题(答案)
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )， y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 621 =< =Ωh ， 所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652 => =Ωh ， 所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频
率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=? ?? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分， 即 kHz f f f kHz f f f s s 25000200052150001000512211 ======，， 若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号
数字信号处理》试题库答案
1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。
随机信号处理考题答案.doc
填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（ x）则 F（ -∞） =0, F（ +∞） =1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程 X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称 X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程 X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称 X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声 ,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布 ,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布 ,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ） =25+4/ （1+6τ），则其均值为 5 或 -5,方差为 4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声 ,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声 ,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________ 。 5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程， 离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性 ,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意 n 维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越 慢 ,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快 , 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下
数字信号处理习题库选择题附加答案
第1章选择题 1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．数字信号的特征是（ B ） A ．时间离散、幅值连续 B ．时间离散、幅值量化 C ．时间连续、幅值量化 D ．时间连续、幅值连续 3．下列序列中属周期序列的为（ D ） A ．x(n) = δ(n) B ．x(n) = u(n) C ．x(n) = R 4(n) D ．x(n) = 1 4．序列x(n)=sin ??? ??n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞ 5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π )的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期 6．以下序列中（ D ）的周期为5。 A ．)853cos( )(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j e n x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。 A ．sin100n B. n j e 2 C. n n ππ30sin cos + D. n j n j e e 5431 π - 8．以下序列中 D 的周期为5。 A.)853cos( )(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852 ()(π +=n j e n x D.)852 ()(ππ+ =n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ??? ??+353ππ n 的周期是( C ) A.5 B.10/3 C.10 D.非周期 10.离散时间序列x(n)=sin （ 5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6 C.6π D.非周期 11.序列x (n )=cos ? ?? ??n 5π3的周期为( C ) A.3 B.5 C.10 D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ） A ．u(n)=∑=n k 0 δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=n k δ (n) D ．u(n)=∞-∞=k δ (n)
数字信号处理习题集
一、单项选择题 1．数字信号的特征是( ) A.时间离散、幅值连续 B.时间离散、幅值量化 C.时间连续、幅值量化 D.时间连续、幅值连续 2．若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时，输出为y(n)=R 2(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时，输出为( ) A.R 2(n)-R 2(n-2) B.R 2(n)+R 2(n-2) C.R 2(n)-R 2(n-1) D.R 2(n)+R 2(n-1) 3．下列序列中z 变换收敛域包括|z|=∞的是( ) A.u(n+1)-u(n) B.u(n)-u(n-1) C.u(n)-u(n+1) D.u(n)+u(n+1) 4．下列对离散傅里叶变换（DFT ）的性质论述中错误的是( ) A.DFT 是一种线性变换 B.DFT 具有隐含周期性 C.DFT 可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样 D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析 5．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( ) A.N ≥M B.N ≤M C.N ≥M/2 D.N ≤M/2 6．基-2 FFT 算法的基本运算单元为( ) A.蝶形运算 B.卷积运算 C.相关运算 D.延时运算 7．以下对有限长单位冲激响应（FIR ）滤波器特点的论述中错误的是( ) A.FIR 滤波器容易设计成线性相位特性 B.FIR 滤波器的单位冲激抽样响应h(n)在有限个n 值处不为零 C.系统函数H(z)的极点都在z=0处 D.实现结构只能是非递归结构 8．下列结构中不属于IIR 滤波器基本结构的是( ) A.直接型 B.级联型 C.并联型 D.频率抽样型 9．下列关于用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的说法中错误的是( ) A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 B.能将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器 C.使用的变换是s 平面到z 平面的多值映射 D.可以用于设计低通、高通和带阻等各类滤波器 10．离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8 π)的周期是( ) A.7 B.14/3 C.14 D.非周期 11．下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中______属于线性系统。( ) A.y (n )=x 2(n ) B.y (n )=4x (n )+6 C.y (n )=x (n -n 0) D.y (n )=e x (n )
数字信号处理习题及答案
==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)???? ??-= （2）)81 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以3 14π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第四章习题讲解
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωω πτττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)] ()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==????? 时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ
()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞ ∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = = =??= ? ? ?? ??? ??P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-===P 交直流分量为平均功率：流
(完整word版)数字信号处理题库(附答案)
数字信号处理复习题 一、选择题 1、某系统)(),()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）。 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不稳定 D. 非因果不稳定 2、一个离散系统（ D ）。 A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C.因果与稳定有关 D.因果与稳定无关 3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）。 A.线性时变 B. 线性非时变 C. 非线性非时变 D. 非线性时变 4.因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是（ D ）。 A.9.0 数字信号处理习题集 第一章习题 1、已知一个5点有限长序列，如图所示，h (n )=R 5(n )。（1）用写出的 ()n δ()x n 函数表达式；（2）求线性卷积*。 ()y n =()x n ()h n 2、已知x (n )=(2n +1)[u (n +2)-u (n -4)],画出x (n )的波形，并画出x (-n )和x (2n )的波形。 3、判断信号是否为周期信号，若是求它的周期。3()sin 7 3x n n π π??=+ ???4、判断下列系统是否为线性的，时不变的，因果的，稳定的？ （1），（2）2()(3)y n x n =-0()()cos() y n x n n ω=5、已知连续信号。()2sin(2),3002 a x t ft f Hz π π=+=（1）求信号的周期。 ()a x t （2）用采样间隔T=0.001s 对进行采样，写出采样信号的表达式。()a x t ?()a x t （3）写出对应于的时域离散信号的表达式，并求周期。?()a x t ()x n 6、画出模拟信号数字处理的框图，并说明其中滤波器的作用。 第二章习题 1、求下列序列的傅立叶变换。 （1）， （2）11()333n x n n ?? =-≤ ? ?? [] 2()()()n x n a u n u n N =--2、已知理想低通滤波器的频率响应函数为：为整数，000(),0j n j e H e n ωωωωωωπ-?≤≤?=? <≤?? c c 求所对应的单位脉冲响应h (n )。 3、已知理想高通滤波器的频率响应函数为：，求所对应 0()1j H e ω ωωωωπ ?≤≤?=? <≤?? c c 的单位脉冲响应h (n )。 4、已知周期信号的周期为5,主值区间的函数值=,求该周期信号的 ()(1)n n δδ+-离散傅里叶级数和傅里叶变换. 5、已知信号的傅立叶变换为，求下列信号的傅立叶变换。 ()x n ()j X e ω（1） （2）(3)x n -*() x n -6、已知实因果信号如图所示，求和。 ()x n ()e x n ()o x n 7、已知实因果信号的偶分量为{-2,-3,3,4,1,4,3,-3,-2},求信号。 ()x n ()x n 8、已知信号,对信号采样,得到时域采样信号和时()cos(2100),300a s x t t f Hz π==?()a x t 域离散信号x(n),求: (1)写出信号的傅里叶变换. ()a x t 1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图 解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n －1)+2δ(n －2)+4δ(n －3)+0.5δ(n －4)+2δ(n －6) 2． 给定信号： ?? ? ??≤≤-≤≤-+=其它04 061 452)(n n n n x (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； (3) 令x 1(n)=2x(n －2)，试画出x 1(n)波形； (4) 令x 2(n)=2x(n+2)，试画出x 2(n)波形； (5) 令x 3(n)=x(2－n)，试画出x 3(n)波形。 解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n －1)+6δ(n －2)+6δ(n －3)+6δ(n －4) （3）x 1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x 2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x 3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移 2位， x 3(n)波形如题2解图（四）所示。 3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)是常数 A n A n x 8π73 cos )(??? ??-=π (2))8 1 (j e )(π-= n n x 解：（1） 因为ω=7 3 π, 所以314 π 2= ω , 这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。 （2） 因为ω=81 , 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 4． 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(－n)的波形； (2) 计算x e (n)=1/2［x(n)+x(－n)］， 并画出x e (n)波形； (3) 计算x o (n)=1/2［x(n)－x(－n)］， 并画出x o (n)波形; (4) 令x 1(n)=x e (n)+x o (n), 将x 1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？ 解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到x e (n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。x e (n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出x o (n)的波形如题4解图（三）所示。 (4) 很容易证明：x(n)=x 1(n)=x e (n)+x o (n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 第一章 第二章 11-=--m/2 m=-m -/2 12 m=--/2 -/21 2 m=-m=-()121.7DTFT[x(2n)]=(2n)e m=2n DTFT[x(2n)]=(m)e =[()(1) ()]e [()e e ()e ] [()()] j n n j m j m j m j m j m j j x x x m x m x m x m X e X e ωωωωπ ωωωπ∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞-+-=+ =+∑∑ ∑∑∑，为偶数 求下列序列的傅里叶变换（）x(2n) 令，于是 -n 1 1 121 z (1) 2u(n)()2 ()2 1,|(2)|11(2),||n n n n n n X z u n z z z z z z z +∞ --=-∞+∞ --=-∞ --=== <-=>-∑∑14.求出下列序列的变换及收敛域 3.3(1).()cos(),781() 8 (2).()5.25n 640() (5)()x n A n A j n x n e x n y n e πππω=--==判断下面的序列是否周期的是常数 试判断系统是否为线性时不变的（）y(n)=x (n)(7) y(n)=x(n)sin() .试判断系统是否为因果稳定系统（）y(n)=x(n-n ) -1 -1-2 -1 -1112 1-317.X(z)=,2-5+2105< | z | < 2x(n)(2) | z | > 2x(n) 11 X(z)= -1-z 1-2z 05< | z | < 2(n)=2(-n-1)+()(n) | z | > 2(n)=()(n)-2(n)n n n n z z z u u u u 已知分别求：（）收敛域.对应的原序列收敛域对应的原序列解：收敛域.时： x 收敛域时： x -1-1 -1 -1-1 -1 21.(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)h(n)(2)H(e )1+0.9(1)H(z)=,|z|>0.91-0.91+0.9F(z)=H(z)z =z 1-0.9n 1z=0.9(n j n n z z z z h ω≥已知线性因果网络用下面差分方程表示： y 求网络的系统函数及单位脉冲响应写出网络频率响应函数的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解： 令当时，有极点-1-1=0.9-112-1-1-1-1=0=0.9-1-1)=Res[F(z),0.9]1+0.9=z (z-0.9)|1-0.9=20.9(n)=0,n<0 n=0z =0,=0.9(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.91+0.9=z z|+z (z-0.9)|1-0.91-0.9=-1+2=1 h(n)=n z n z z z z z h z z z z ?∴因为系统是因果系统，所以有h 当时，有极点00000000=0n-m =0n -m =0 n n 20.9(n-1)+(n)+0.9 (2)H(e )=-0.9 (3)y(n)=h(n)*x(n) =(m)x(n-m) =(m)e =(m)e e =e H(e )+0.9=e -0.9 n j j j m j m j j m j j j j j u e e h h h e e ωω ω ωωωωωωωωδ∞ ∞ ∞ ?∑∑∑（ ） 精心整理《随机信号处理》上机实验仿真报告 学院：电子工程与光电技术学院 指导老师：顾红 日期：2014年11月10日 B=543e6;%带宽（这里设置带宽为学号后三位），程序段①从这行开始 fs=10*B;%采样频率 ts=1/fs; T=10e-6;%脉宽10μs N=T/ts;%采样点数 t=linspace(-T/2,T/2,N); K=B/T; a=1;%这里调频信号幅值假设为1 %%线性调频信号 si=a*exp(j*pi*K*t.^2); figure(1) plot(t*1e6,si); xlabel('t/μs');ylabel('si');title('线性调频信号时域波形图');gridon; sfft=fft(si); f=(0:length(sfft)-1)*fs/length(sfft)-fs/2;%f=linspace(-fs/2,fs/2,N); figure(2) plot(f*1e-6,fftshift(abs(sfft))); xlabel('f/MHz');ylabel('sfft');title('线性调频信号频域波形图');gridon; axis([-300,300,-inf,inf]);%程序段①到这行结束 %%叠加高斯白噪声 disp(' %% %% n2=conv(ht,ni);%噪声 n22=abs(n2); s2=conv(ht,si);%信号 s22=abs(s2); SNRo=(max(s22)^2)/(var(n2))/2; disp('输出信噪比为：'); SNRo=10*log10(SNRo) disp('信噪比增益为：');disp(SNRo-SNRi) %%匹配滤波器的幅频特性 hw=fft(ht);数字信号处理习题集
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