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立体几何平行与垂直经典证明题

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形

(2) 若

BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

证明:在ABD ?中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1

//,2

EH BD EH BD = 同理,1

//,2

FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °

考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角

2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE;

(2)平面CDE ⊥平面ABC 。

证明:(1)BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?

同理,

AD BD DE AB AE BE =?

?⊥?=?

又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE

(2)由(1)有AB ⊥平面CDE

又∵AB ?平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定

A

H

G

F

E

D

C

B A

E

D

B

C

3、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面

BDE 。 证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC

又EO 在平面BDE 内,1AC 在平面

BDE 外 ∴1//AC 平面

BDE 。 考点:线面平行的判定

4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥

BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥?=

AD ∴⊥面SBC

考点:线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABCD A BC D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11AC ,设

11111AC B D O ?=,连结1

AO

∵ 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O

C AO = 11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴?∥面11AB D ,1

C O ?面11AB

D ∴C 1O ∥面11AB D

(2)1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 又1111AC B D ⊥∵, 1111B D A C C ∴⊥面 111A C B D ⊥即

同理可证1

1AC AD ⊥, 又1111D B AD D ?=

∴1

AC ⊥面11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定 A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D

C

B

A

D 1O D B A C 1

B 1

A 1

C

N M P

C B

A

.7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD . 证明:(1)由B 1B ∥DD 1,得四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD , 又BD ?平面B 1D 1C ,B 1D 1?平面B 1D 1C , ∴BD ∥平面B 1D 1C . 同理A 1D ∥平面B 1D 1C .

而A 1D ∩BD =D ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD .

(2)由BD ∥B 1D 1,得BD ∥平面EB 1D 1.取BB 1中点G ,∴AE ∥B 1G .

从而得B 1E ∥AG ,同理GF ∥AD .∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF .∴DF ∥平面EB 1D 1.∴平面EB 1D 1∥平面FBD .

考点:线面平行的判定(利用平行四边形)

8、四面体ABCD 中,,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点,

且2

EF AC =

, 90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD

证明:取CD 的中点G ,连结,EG FG ,∵,E F 分别为,AD BC 的中点,∴EG

12

//AC = 12//FG BD =

,又,AC BD =∴12FG AC =,∴在EFG ?中,222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥,∴BD AC ⊥,又90BDC ∠=,即BD CD ⊥,AC CD C ?= ∴BD ⊥平面ACD

考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形

9、如图P 是ABC ?所在平面外一点,,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N 是AB 上的点,

3AN NB =

(1)求证:MN AB ⊥;(2)当90APB ∠=,24AB BC ==时,求MN 的长。 证明:(1)取PA 的中点Q ,连结,MQ NQ ,∵M 是PB 的中点, ∴//MQ BC ,∵ CB ⊥平面PAB ,∴ MQ ⊥平面PAB

∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ,取 AB 的中点D ,连结 PD ,∵,P A P B =∴PD AB ⊥,又3AN NB =,∴BN ND =

∴//QN PD ,∴QN AB ⊥,由三垂线定理得MN AB ⊥ (2)∵90APB ∠=,,PA PB =∴1

22

PD AB ==,∴1QN =,∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥,且

1

12

MQ BC ==

,∴MN =考点:三垂线定理

10、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,

E 、

F 、

G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证:平面1D EF ∥平面BDG .

证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,∴EF ∥BD 又EF ?平面BDG ,BD ?平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D

G

EB ∴四边形1

DGBE 为平行四边形,1D E ∥GB 又1D E ?平面BDG ,GB ?平面BDG ∴1D E ∥平面BDG

1EF D E E ?=,∴平面D EF ∥平面BDG

A

1

11、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是1AA 的中点. (1)求证:1//AC 平面

BDE ; (2)求证:平面1A AC ⊥平面BDE . 证明:(1)设AC BD O ?=,

∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点,∴1AC ∥EO

又1

AC ?平面BDE ,EO ?平面BDE ,∴1AC ∥平面BDE (2)∵1AA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥,

1AC AA A ?=,∴BD ⊥平面1A AC ,BD ?平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面1

A AC

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定

12、已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,4PA AD ==,E

为BC 的中点.

(1)求证:DE ⊥平面PAE ;(2)求直线DP 与平面PAE 所成的角.

证明:在ADE ?中,222

AD AE DE =+,∴AE DE ⊥

∵PA ⊥平面ABCD ,DE ?平面ABCD ,∴PA DE ⊥ 又PA AE A ?=,∴DE ⊥平面PAE (2)DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角

在Rt PAD ?,PD =Rt DCE ?中,DE =在Rt DEP ?中,2PD DE =,∴0

30DPE ∠= 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是0

60DAB ∠=且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD .

(1)若G 为AD 的中点,求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD PB ⊥;

(3)求二面角A BC P --的大小. 证明:(1)ABD ?为等边三角形且G 为AD 的中点,∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ,∴BG ⊥平面PAD

(2)PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点,∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥,PG BG G ?=,∴AD ⊥平面PBG ,

PB ?平面PBG ,∴AD PB ⊥

(3)由AD PB ⊥,AD ∥BC ,∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥,AD ∥BC ,∴BG BC ⊥

∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角

在Rt PBG ?中,PG BG =,∴0

45PBG ∠=

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

14、如图1,在正方体1111ABCD A BC D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1

AO ⊥平面MBD . 证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥1A A ,DB ⊥AC ,

1A A AC A ?=,

∴DB ⊥平面11A ACC ,而1

AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1AO . 设正方体棱长为a ,则2

2132A O a =

,223

4

MO a =. 在Rt △11AC M 中,

22194

A M a =.∵22211AO MO AM +=,∴1A O O M ⊥

∵OM ∩DB =O ,∴ 1AO ⊥平面MBD .

考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD ,

作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC BC =,∴CF AB ⊥.

∵AD BD =,∴DF AB ⊥.

又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B ?=, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥.

∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E ?=,

∴ AH ⊥平面BCD . 考点:线面垂直的判定

16、证明:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1C ⊥平面BC 1D

证明:连结AC

B D A

C ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影

∴⊥⊥?

???⊥BD A C

A C BC A C BC D

11111同理可证平面

考点:线面垂直的判定,三垂线定理

17、如图,过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°, 求证:平面ABC ⊥平面BSC .

证明∵SB=SA=SC ,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ,连AO 、SO ,则AO ⊥BC ,SO ⊥BC ,

∴∠AOS 为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a ,又∠BSC=90°,∴BC=2a ,SO=22

a ,

AO 2=AC 2-OC 2=a 2-21a 2=21

a 2,∴SA 2=AO 2+OS 2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC ⊥

平面BSC .

考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)

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