专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)
专题函数常见题型归纳
三个不等式关系：
（1）a ，b ∈R ，a 2
＋b 2
≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋
，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，
a 2＋
b 2
2
≤(
a ＋b
2
)2
，当且仅当a ＝b 时取等号．
上述三个不等关系揭示了a 2
＋b 2
，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．
其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋
，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(
a ＋b
2
)2
)，当且仅当a
＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系
【典例1】（市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则
1
12
-+b a 的最小值为 . 【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +
=，解得1
log 2
a b =或
log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =
，即2a b =．211
1111
a a
b a +=-++--
13≥=． 练习：1．（市、市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且
，则的最小值为 ．
,x y 0x y >>22log log 1x y +=22
x y x y
+-
解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==
（x －y ）+
≥
2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．
2.（北四市（、、、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足1
33(0)2
xy x x +=<<，则
313
x y +-的最小值为 ． 3.（市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则
2ac c c b ab +-+
的最小值为 . 【典例2】（市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y
x ＋y 的最
大值为 ．
解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =)
)(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=222
2
5484y xy x y
xy x ++++ =1+
22543y xy x xy ++=1+345x y y x ?++≤1+5
423
+?x
y y x =43，
当且仅当4
y x =x
y
，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得2
23(
),()4()1202
a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).
y x y x -+22y
x xy
y x -+-2)(2y x -4y x y x -?-4)(y
x -4
33
y
x y x -+2
2
变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.
解析：因为,a b R +∈,所以由22
2
2
2
()2
a b a b a b a b a b ++=+?+=+≥,2
()a b +-
2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等
号).
2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 4
3.设R y x ∈,，142
2=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________
105
2
4.（北四市（、宿迁、、）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足19
5a b
+-，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法
【典例4】（市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1
1
24++
+y x 的最小值为
练习1．（省市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+y
x ，则1914-+-y y
x x 的最小值为 .
解析：对于正数x ，y ，由于
x 1+y 1
=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +1
4-y y ）（1+1－
x 1－y 1
）=（14-x x +14-y y ）（x
x 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-?-+y
y y y 1
14-?
-）2
=25，当且仅当
14-x x ·y y 1-=14-y y ·x
x 1
-时等号成立．
2.（2013~2014学年度锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，
,x y 22x y +=
则
的最小值为 ． 解析：
，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)x
y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则
41
1a b
+-的最小值为 .
解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么
14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=2
1（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-?-a b b a +5）=2
9，当且仅当b a 1-=14-a b
时等号成立． 4．（省北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．
【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有
=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·
=（2a+3b ）（+）=++13≥
2+13=25，当且仅当
=，即a=b 时等号成立． 8x y
xy
+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ??++??=+=+?=+++≥+= ? ?????82x y
y x
=
60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a
3
-b b ab b a 23+b 3a
2b a 6a b
6a b b a 66?b a 6a
b
6
5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝
16，a x ＋2b
y ＝12
.若x ＋2y 的最小值为64，则a b
＝________.
答案：64；(考查基本不等式的应用).
6.已知正实数,a b 满足
()()12
122a b b b a a
+=++，则ab 的最大值为 ．
答案：【题型三】代入消元法
【典例5】（市2016届高三调研测试·14）已知14
ab =，,(0,1)a b ∈，则
1211a
b
+
--的最小
值为 ．
解析：由1
4
ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+
---+--+- 令71b t -= 则
2271494911141845142718427
b t b b t t t t
-+
=+=-≥+
-+--+-+-当且仅当2t =
即2
14
等号成立．
2
练习1．（省市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2
＋2xy －1＝0，则x 2
＋y 2
的最小值是 ．
解析：由x 2
＋2xy －1＝0可得y=212x x -，那么x 2＋y 2= x 2＋222(1)4x x -=54x 2+2
14x －12
≥2
12=212，当且仅当54
x 2=214x ，即x 4=15时等号成立．
2．（市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小
值为 ．
解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+
==（x+1）+﹣3
，当且仅当
时取等号．∴x+y 的最小值为
．故答案为：
．
3．（市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．