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第1讲 数与式

第1讲 数与式
第1讲 数与式

6

数与式

【四则混合运算】

1. ()2

21222

-+---1(-) 2. |-1|-12

8-(5-π)0+4cos45°

3. (

)1

01-3cos30 1.2π-?

??+-- ?

??

4. 0022sin30)π--

5.(2011山东泰安)下列运算正确的是( )

A.25=±5

B.43-27=1

C.18÷2=9

D.24·32

=6

【代数式】

6.(2011山东滨州)在实数π.

1

3

,无理数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

8.(2014?毕节市)若﹣2a m b 4

与5a n+2b

2m+n

可以合并成一项,则m n

的值是( )

A . 2

B . 0

C . ﹣1

D . 1

9.(2014?淄博)当x=1时,代数式ax 3

﹣3bx+4的值是7,则当x=﹣1时,这个代数式的值是( ) A . 7 B . 3 C . 1 D . ﹣7

10.(2006?连云港)a.b 两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子:①a ﹣b <0;②a+b <0;③ab <0;④ab+a+b+1<0中一定成立的是 _________ .(只填序号,答案格式如:“①②③④”).

11.在多项式73

5

-++cx bx ax 中,已知当2=x 时,它的值为5,那么当2-=

x 时,它的值是多少?

【分式.根式和绝对值有意义】

12.(2011山东济宁)若0)3(12=++-+y y x ,则y x -的值为 ( ) A .1 B .-1 C .7 D .-7

13.()0201112

=-++y x ,则y

x =.

14.若033=+--a a ,则a 的取值范围是 .

15.(2013?永州)已知+

=0,则

的值为 .

16.已知有理数a .

b 满足21

b a -+2

1-b =0,则3a -7b 的值是 .

17.若x .y 为实数,且,则2011

?

??

?

??y x 的值为.

18.(2013?德阳)若

,则= .

19.已知a .b .c 都是有理数,且满足a a ||+b b ||+c c |

|=1,则|

|abc abc 的值是 .

20.已知非零实数a .b 满足a b a b a 24)3(2422

=+-+++-,则a +b 的值是 .

21.△ABC 的三边为a .b .c ,则2

222)()()()(a b c c a b c b a c b a --?---+--+++的值是 .

22.若x .y 均为实数,且y x y x a y x y x --?+-=

-++-+19919942253,则a 的值是 .

23.已知3322212=------++c b a c b a ,则a .b .c 的值是 .

0x y +=

24.求值:=++

+++

+100

99991001

3

22312

121 .

【整式运算】

25.(2011浙江绍兴)先化简,再求值:2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++,其中1,12

a b =-=.

26.(2011贵州安顺)先化简,再求值:???

??-÷??? ??-+-+--142244122a

a a a a a a ,其中a =2-3

27.已知4362311

+

--+-m m m x x x 是关于x 的三次四项式,求当2

1

-=x 时,该多项式的值。

28.已知21+=m ,21-=n ,则代数式mn n m 322-+的值为_________

29.先化简再计算:22121x x x x x x --??÷- ?+??

,其中x 是一元二次方程2

220x x --=的正数根

30.先化简,再求值:(x -1x -x -2x +1)÷2x 2-x

x 2+2x +1,其中x 满足x 2-x -1=0.

31.(2013?南京)计算(1﹣)(

)﹣(1﹣

﹣)(

的结果是 .

【分式运算】

32.(2013?潍坊二模)式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为

,这里的符号“

”是求

和的符号,如“1+3+5+7+…+99”即从1开始的100以内的连续奇数的和,可表示为.通过对

以上材料的阅读,请计算:= _________ (填写最后的计算结果).

33.(2011浙江杭州)已知分式23

5x x x a

--+,当x =2时,分式无意义,则a =,当a <6时,使分式无意义的

x 的值共有个.

34.(2012?镇江)若,则

的值为 _________ .

35.(2012?资阳)观察分析下列方程:①

,②,③;请利用它们所蕴含的规律,求关

于x 的方程(n 为正整数)的根,你的答案是: _________ .

36.(2012?巴中)若关于x 的方程+=2有增根,则m 的值是 _________ .

37.已知,,

,则= _________ .

38.若关于x 的方程无解,则m 的值为

_________ .

【规律探索】

40.(2014?六盘水)如图是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为81,则第2014次输出的结果为()

A.3B.27 C.9D.1

41.(2011山东聊城)如图,用围棋子按下面的规律摆图形,则摆第n个图形需要围棋子的枚数是()

A.5n B.5n-1 C.6n-1 D.2n2+1

42.(2011广东肇庆)如图5所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是.

43.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2011应标在()

(A)第502个正方形的左下角(B)第502个正方形的右下角

(C)第503个正方形的左上角(D)第503个正方形的右下角

44.观察下面一列数:﹣1,2,﹣3,4,﹣5,6,﹣7,…将这列数排成下列形式:

按照上述规律排下去,那么第10行从左边数第9个数是_________;数﹣201是第_________行从左边数第_________个数.

45.一动点P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动,第一次先向左移动1个单位,再向右移动2个单位到达点A2;第二次从点A2向左移动3个单位,再向右移动4个单位到达点A3;第三次从点A3向左移动5个单位,

再向右移动6个单位到达点A 4,…,点P 按此规律移动,那么: (1)第一次移动后这个点P 在数轴上表示的数是 _________ ; (2)第二次移动后这个点P 在数轴上表示的数是 _________ ;

(3)这个点P 移动到点A n 时,点A n 在数轴上表示的数是 _________ .

46.(2011广东湛江)已知:2

3326A =?=,35

54360A =??=,255432120A =???=,366543360A =???=,…… ,观察前面的计算过程,寻找计算规律计算2

7A =(直接写出计算结果)

47.

结果中找出规律,并利用这一规律计算:=

+?++

+++

+)12011()2010

20111

2

311

21( ________.

48.(2011四川凉山州)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例。如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了()n

a b +(n 为正整数)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律。例如,在三角形中第三行的三个数1,

2,1,恰好对应()2

22

2a b a ab b +=++展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着

()

3

322233a b a a b ab b +=+++展开式中的系数等等。

(1)根据上面的规律,写出()5

a b +的展开式。

(2)利用上面的规律计算:5

4

3

2

252102102521-?+?-?+?-

【特殊整式运算】

===1 1

1 2

1 1

3 3 1

1 …………………………(a +b )1 …………………………(a +b )

2 …………………………(a +b )3

…………………

49.(2011?乐山)若m为正实数,且,则=_________.

50.(2012?株洲)若(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2,则(4,5)?(6,8)=_________.

51.若a+x2=2008,b+x2=2009,c+x2=2010,且abc=24,则++﹣﹣﹣的值为_________.52.(2011?安徽)定义运算a?b=a(1﹣b),下列给出了关于这种运算的几个结论:

①2?(﹣2)=6;

②a?b=b?a;

③若a+b=0,则(a?a)+(b?b)=2ab;

④若a?b=0,则a=0.

其中正确结论的序号是_________.(把在横线上填上你认为所有正确结论的序号)

53.(2012?菏泽)将4个数a,b,c,d排成2行.2列,两边各加一条竖直线记成,定义=ad﹣bc,上述记号就叫做2阶行列式.若,则x=_________.

54.阅读理解:符号称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad﹣bc,例如=3×6﹣4×5=﹣2.问:若,则=_________.

222222

.B.C.D.

56.已知a.b为有理数且a+b.a﹣b.ab.中恰有三个数相等,求(2a)b的值.

(完整版)初高数学衔接第一讲数与式的运算

第一讲 数与式的运算 在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容. 一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明:2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++= ∴等式成立 【例1】计算:2 2 )3 12(+-x x 解:原式=2 2 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x 说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式2】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算:))((2 2 b ab a b a ++- 解:原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到: 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式. 【例3】计算:

第一章 数与式典型例题讲解

第一单元《数与式》 一、实数的有关概念 1、相反数:只有符号不同的两个数叫相反数,即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数和为0. 2、倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为a 1.注意:0没有倒数. 3、绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=???≤-≥) 0()0(a a a a 4、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 5、实数大小比较:正数大于负数,0大于负数,两个负数绝对值大的反而小 6、无理数:无限不循环小数 7、实数分类:实数?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 8、科学记数法:把一个数写成a ×n 10的形式(其中1≤ a<10,n 是整数) 9、近似数和有效数字:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。 经典例题解析: 1、下列判断中,你认为正确的是( ) A 、0的绝对值是0 B 、是无理数 C 、4的平方根是2 D 、1的倒数是﹣1 2、如图,数轴上的点A 表示的数为a ,则等于( )

A、﹣ B、 C、﹣2 D、2 3、在:1,﹣2,,0,π五个数中最小的数是_________. 4、如图,若A是实数a在数轴上对应的点,则关于a,﹣a,1的大小关系表示正确的是() A、a<1<﹣a B、a<﹣a<1 C、1<﹣a<a D、﹣a<a<1 5、如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是() A、a+b>0 B、ab>0 C、a﹣b>0 D、|a|﹣|b|>0 6、如图所示,数轴上表示2,5的对应点分别为C,B,点C是AB的中点,则点A表示的数是() A.- 5 B.2- 5 C.4- 5 D.5-2 7. 如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简||() -++2的结果等于__________ a b a b b a A. 2a B. 2b C. -2a D. -2b 8、下列各数:,0,,0.2,cos60°,,0.3000333…,1﹣中无理数个数为() A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 9、2010年上海世博会开园第一个月共售出门票664万张,664万用科学记数法表示为() A、664×104 B、66.4×105 C、6.64×106 D、0.664×107 10、在显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm,2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是()

中考数学专题复习—数与式

中考数学专题复习 专题一 数与式 [基础训练] 1.如果a 与2-的和为O ,那么a 是( ) B.12 C.12- D.2- 2.234 ()m m 等于( ) A.9m B .10m C .12m D .14m 3. 若4x =,则5x -的值是( ) A .1 B .-1 C .9 D .-9 4、5-的相反数是 ,9的算术平方根是 ,-3倒数是 . 4.已知(a-b)2=4,ab=21,则(a+b)2= 5.在函数1-= x y 中,自变量6.若分式1 2--x x 的值为零,则x 7.因式分解:=+-2232xy y x x 9.(第9题

则输出y 的值为 10.计算或化简: (1)0 3260tan 33??? ??-+?+ (2)24 22---m m m 11.已知12+=x ,求代数式x x x x x x x 1 12122÷??? ??+---+的值. [精选例题] 例题1(1)1:2的倒数是( ) A21 B-21 C ±21 D2 (2)写出一个比-1大的负有理数是________,写出一个比-1大的负无理数是_________. (3)若()的值为则n m n m 2,0)3(32+=++- A -4 B -1 C 0 D4

说明:本题考查对数与式基本概念的理解 (1)倒数的概念(2)有理数与无理数的概念和大小比较(3)绝对值和完全平方的非负性 例题2(1)如图,在数轴上表示15 4 A 点P B 点Q C 点M D 点N (2)当x=_____时,分式33 --x x 无意义. (3)已知a a a a -=-112,则a 的取值范围是( ) A a 0≤ B a<0 C 00 说明:本题考查对数与式有关性质的掌握 (1)实数的大小和数轴上的表示(2)分式在什么时候无意义和绝对值的意义 (3)平方根的意义和性质 例题3(1)下列运算正确的是( ) A 22a a a =? B 2a a a =+ C 236a a a =÷ D ()623a a =

(完整版)第1讲数与式中考第一轮复习教案(含答案)(可编辑修改word版)

数学辅导教案 知识点梳理 【实数】 1.实数的有关概念及分类: ①实数的分类 ②数轴:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴,实数与数轴上的点一一对应; ③相反数:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数; ④倒数:如果两个数的乘积为 1,那么这两个数互为倒数; ?a(a ≥ 0) ⑤绝对值:一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值;去绝对值:a =?-a(a < 0) ? 绝对值的几何意义:在数轴上,a -b 表示 a 对应的点到 b 对应的点的距离。 ⑥非负数:a2,a,a 2.科学计数法和近似数:①科学计数法:a ?10n,1 ≤a < 10 ;②近似数:与实际接近的数称为近似数。 精确度:一个近似数的精确度可用四舍五入法表述,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 3.实数的大小比较:数轴法,绝对值法。 实数的运算:实数的运算顺序,运算律。 【整式】 1、代数式:由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。单独一个数或者一个字母也称代数式。 ①列代数式;②求代数式的值。 2、整式:单项式和多项式统称为整式 ①单项式:由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独一个数或一个字母也叫单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 ②多项式:由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项,次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 ③同类项:多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。所有的常数项也看做同类项。把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。

最新第一章数与式知识点归纳资料

第一章 数与式 一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中:有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数;无理数即无限不循环小数。 二、 数轴 (1)三要素:原点、正方向、单位长度。 (2)实数???→←一一对应 数轴上的点。 (3)利用数轴可比较数的大小,理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 (1)几何定义:数轴上,表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记做a 。 (2)代数定义:a =?? ???<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 (1)a 、b 互为相反数?a +b =0(或a =-b ); (2)a 、b 互为倒数?a ·b =1(或a = b 1)。 五、几个非负数 (1)a ≥0; (2)a 2≥0;

(3)a ≥0(a ≥0)。 (4)若几个非负数之和为0,则这几个非负数也分别为0. 六、 (1)a n 叫做a 的n 次幂,其中,a 叫底数,n 叫指数。 (2)若x 2=a (a ≥0),则x 叫做a 的平方根,记做±a ;算术平方根记做a 。 (3)若x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记做3a 。因此33)(a =a (4)算术平方根性质: ①(a )2=a (a ≥0); ②2a =a ; ③b a ab =(a ≥0,b ≥0); ④b a b a =(a ≥0,b >0)。 七、运算顺序: 1. 同 级:左→右 2. 不同级:高→低(先乘方和开方,再乘除,最后加减) 3. 有括号:里→外(先去小括号、再去中括号、最后去大括号) 八、运算律:

中考数学专题复习(数与式的计算)

20XX 年中考数学专题复习 (数与式的计算) 试题特点:通过学习孝感市07年——14年的本类考题,参考湖北省其他地市的命题,作以下预测: 1.继续保持原来的命题模式,一个6分的考题。 2.一个实数计算题,再加一个分式化简求值(或解分式方程)。20XX 年黄石、宜昌、咸宁等市是这样命题的。3.解不等式组及在数轴上表示解集。 1.题型①分式化简求值②将多项式变形为x+y ,xy ,x-y 的形式计算 ③解分式方程④实数计算 考查学生的数感、式感、符号感、计算能力,灵活运用知识能力。 .知识点:负指数,平方根,立方根,绝对值,分式四则运算,因式分解,解分式方程。 常见错误: ① 00 =a (a ≠0)② p p a a -=- (a ≠0,p 为正整数) ③ 2323-=- ④ () 52522 -=- ⑤漏掉负号 ⑥解分式方程漏乘,移项不变号,无检验。 ⑦解分式方程与分式化简混为一谈。 应对措施: 1.牢固记忆及正确使用概念,公式,性质. 幂米的运算法则特殊角的三角函数值. 分式的基本性质,等式性质及其区别。 2.在易错处讲清来龙去脉,说透缘由;作业及时纠错。 3.按法则计算,按步骤计算,不跳步,慎用口算,确保准确无误,立足一次成功。 4.回头看:教师将错题整理,让学生再做一遍。 5.将 含计算技巧的题目总结规律,提炼方法。 19.(2010湖北孝感,19,6分)解方程:21 133x x x -+=--. 19、(2011?孝感)解关于的方程:1 2 13-+ =+x x x . 19.(2012?孝感6分)先化简,再求值:??? ? ? ?--÷-a b ab a a b a 2 2,其中13+=a ,13-=b .

小升初数学课程:第一讲 数与式的认识

第一讲数与式 一、知识梳理 第一部分数的意义、分类与性质 一、数的意义和分类 1、数的意义 (1)自然数:0、1、2、3、4……都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数。 (2)0:一个物体也没有,用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法,在写数记数中,可以用0来占位;在测量活动中,用0表示起点;在相反意义量的记录中,用0作分界点。 负数:比0小的数是负数,比0大的数是正数。0既不是正数,也不是负数。 (4)小数:分母是10、100、1000……的分数可以写成小数。 (5)分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商可以用分数表示。 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份的数叫做分数单位。 (6)百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特殊的分数。 二、数的联系

1、整数与小数:整数和小数在计数方法上是一致的,都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的基本性质改写成小数。 2、小数与分数:小数就是分母是10、100、1000……的十进分数,小数是特殊的分数。 3、分数与百分数:百分数虽然在形式上与分数是类似的,但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几,所以也叫做百分比(百分率),而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几,也可以用来表示一个具体的数量。 4、正数与负数:以0为分界点,比0大的数就是正数,比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数;负数可以有负整数、负分数。0既不是正数,也不是负数。 三、数的性质 1、整除 (1)整除与除尽 整除:整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。 除尽:数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽. 整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除. (2)因数和倍数 如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数. 倍数:一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数. 因数:一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身. 因数和倍数是相互依存的 (3)能被2.3.5整除的数的特征 能被2整除的数的特征:个位上是0,2,4,6,8,: 能被3整除的数的特征:个位上是0或5 能被5整除的数的特征:各个位上的数字的和能被3整除 能同时被2、5整除的数的特征:个位是0 能同时被2、3、5整除的数的特征:个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除. (4)偶数和奇数 一个自然数,不是奇数就是偶数 偶数:能被2整除的数。最小的偶数是0 奇数:不能被2整除的数.最小的奇数是1.

(完整版)中考数与式的计算题

中考数学计算题训练 姓名 学号 分数 1.下列运算正确的是( ) A. B. C . D . 2.若代数式 有意义,则的取值范围是( ) A . B . C . D . 3.下列根式中属最简二次根式的是( ) A . B . C .2)1(-a D . 4.下列式子中是完全平方式的是( ) A . B . C . D . 5.分解因式: x 3-6x 2+9x= ; 4-4(x+y)+ (x+y)2= ;x 4-16= 6.若x y 3=4,9=7 ,则x 2y 3-的值为 ; 7.若关于x 方程23 32+-=--x m x x 无解,则m 的值是 ; 8.分式 的值为0,则x= ;分式 有意义, 则x ,若分式的值等于零,则x= ; 9.许多人由于粗心,经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断.根据测定,一般情况下一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉3.5千克水.若1年按365天计算,这个水龙头1年可以流掉 千克水.(用科学计数法表示,保留3个有效数字) 10.计算:(1)-22+(tan60o -1)×3+(- 2 1)-2+(-π)o -|1-3| (2)

11.先化简,再求值: ,请你为x 选择一个合适的整数. 12.先化简,在求值:,其中满足. 13.先化简,再求代数式的值.222()111a a a a a ++÷++-,其中2012(1)tan 60a ?=-+ 14.解方程:(1) 22331+-=--y y y (2) 141710352212+-=+--x x x (3) 21124x x x -=-- (4) 1 2112-=-x x 15.解方程组:(1)???=+=-8 312034y x y x (2)?????=+-+=-++2433)(2632y x y x y x y x

第一章 数与式 知识点

第一章 数与式 知识点 一、实数的有关概念 1、 相反数:只有符号不同的两个数叫相反数,即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两 个相反数和为0. 2、 倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为a 1.注意:0没有倒数. 3、 绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=? ??≤-≥)0()0(a a a a 4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 5、 实数大小比较:正数大于负数,0大于负数,两个负数绝对值大的反而小 6、 无理数:无限不循环小数 7、 实数分类:实数????????数) 无理数(无限不循环小小数)(有限小数或无限循环分数 整数有理数 8、 科学记数法:把一个数写成a ×n 10的形式(其中1≤ a<10,n 是整数) 9、 近似数和有效数字:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位. 一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。 10、 非负数:指 a ≥0,非负数有|a|,2a ,a .注意:几个非负数的和为0,则每一个非 负数为0. 二、实数的有关计算 1、 六种基本运算:加、减、乘、除、乘方、开方 2、 运算顺序:先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减。如果有括号,就先算括号; 同级运算应从左到右;如果符合运算律,可以变更运算顺序,简便计算。 3、 运算律: (1) 加法交换律:a+b=b+a (2) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) (3) 乘法交换律:ab=ba (4) 乘法结合律:(ab)c=a(bc) (5) 乘法对于加法的分配律:(a+b)c=ac+bc 三、代数式有关概念 1、 代数式:用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意:单独一个数 或字母也是代数式 2、 代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫代数式的值。

1.数与式教案

第一讲 数与式 在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容. 一、乘法公式 【公式1】平方差公式:2 2 ()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式:2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+ 【公式3】完全立方公式:3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b ±=±+± 【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(22 2 2 +++++=++(完全平方公式) 证明:2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=. ∴等式成立 【例1】计算:2 2 )3 12(+-x x 解:原式=22 ]31)2([+-+x x 222222432111 ()()()2(22() 33381 . 339 x x x x x x x =++++?+??=-+-+ 说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式5】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3 322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 证明:2 2 2 2 3 3 3 3 ()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-. 【例2】计算: (1))416)(4(2 m m m +-+ (2))4 1 101251)(2151(22n mn m n m ++- (3))164)(2)(2(24++-+a a a a (4)2 2222))(2(y xy x y xy x +-++ 解:(1)原式=3 33644m m +=+. (2)原式=3 333811251)21()51(n m n m -= -. (3)原式=644)()44)(4(6 3322242-=-=++-a a a a a . (4)原式=2 2 2 222 2 )])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+ 6 33 62332)(y y x x y x ++=+=. 说明:在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. 【例3】已知2 310x x -+=,求33 1 x x + 的值.

中考数学第一轮复习第一章数与式

第一章 数与式 _________年________月_________日 姓名_____________ 课时1.实数的有关概念(1) 【课前热身】 1.3的倒数是 . 2.若向南走2m 记作2m -,则向北走3m 记作 m . 3.2的相反数是 . 4.3-的绝对值是( ) A .3- B .3 C .13 - D . 13 5.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大 约只占0.000 000 7(毫米2 ),这个数用科学记数法表示为( ) A.7×10-6 B. 0.7×10-6 C. 7×10-7 D. 70×10 -8 【考点链接】 一、实数的分类 1、按实数的定义来分: 2、无理数常见的类型:①根号型(开方开不尽) ②三角函数型 ③构造型 ④π型 例1.在实数0,10.1235,0.. 123. 7 ,1.010010001…,3064.0-, 3π, 7 22 ,0,2)5(-,0)3(,?60sin 中,无理数有

二、数轴 1、定义:三要素?? ? ??正方向单位长度原点 2、数轴上的点和实数是一一对应关系 3、数轴上两点间的距离AB=21x x - 4、数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 例2:和数轴上的点一一对应的数是( ) A.整数 B.有理数 C.无理数 D 、实数 例3:数轴上一动点A 向左移2个单位长度到达B ,再向右移动5个单位长度到达C ,若点C 表示数1,则点A 表示数为 例4:在数轴上,表示32与-的两点之间的距离是 三、相反数 1、定义:只有符号不同的两个数互为相反数,即a 与a -互为相反数,0的相反数还是0 2、几何意义:?? ? ??到原点的距离相等在原点的两旁符号相反 3、性质:①a 的相反数是a -(求相反数的方法) ②互为相反数?两个数和为0 ③互为相反数的两个数绝对值相等,偶次幂也相等,奇次幂互为相反数; ④相反数等于本身的数为0 例5:下列各组数中,互为相反数的是 ( )

2018中考数学专题突破导练案第一讲数与式试题

第一讲数与式 【专题知识结构】 π????????????????????????定义:有理数和无理数统称实数.有理数:整数与分数分类无理数:常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数)法则:加、减、乘、除、乘方、开方实数实数运算运算定律:交换律、结合律、分配律数轴(比较大小)、相反数、倒数(负倒数)科学记数法相关概念:单项式:系数与次数分类多项式整式数与式()01;;(),();();1;m m n m n m n m n m n mn m m m m p m p a a a a a a a a a a ab a b a a b b a +--??????=÷====== ? ???????? ?÷÷??:次数与项数加减法则:加减法、去括号(添括号)法则、合并同类项幂的运算:单项式单项式;单项式多项式;多项式多项式乘法运算:单项式单项式;多项式单项式混合运算:先乘方开方,再乘除,最后算加减;同级运算自左至右顺序计算;括号优先22222()()()2;(a b a b a b a b a ab b a a m a a m b b m b b m ???????????????+-=-???±=±+????????÷??== ??÷??平方差公式:乘法公式完全平方公式:分式的定义:分母中含可变字母分式分式有意义的条件:分母不为零分式值为零的条件:分子为零,分母不为零分式分式的性质:通分与约分的根据)通分、约分,加、减、乘、除分式的运算先化简再求值(整式与分式 化简求值20).0.(0)(0)a a a a a a ??????????????????????≥??=???-≤????????的通分、符号变化)整体代换求值≥叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于二次根式的性质:最简二次根式(分解质因数法化简)二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化(“单项式与多项式”型)加减法:先化最简,再合并同类二次 二次根式的运算222222()()2()()()()a b a b a b a ab b a b x a b x ab x a x b ????????????????==???????-=+-???±+=±???+++=++??根式定义:(与整式乘法过程相反,分解要彻底)提取公因式法:(注意系数与相同字母,要提彻底)平方差公式:分解因式公式法方法完全平方公式:十字相乘法:分组分解法:(对称分组与不对称分组)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

专题一:数与式的运算

★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: .即 ||a = . [2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义:a b -表示 的距离. [4] 两 个 绝 对 值 不 等 式: ||(0)x a a <>? ; ||(0)x a a >>? . 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: ; [2]完全平方和公式: ; [3]完全平方差公式: . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3] 33a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1]0)a ≥叫做二次根式,其性质如下: (1) 2 = ;(2) = ;(3) = ; (4) = . [2]平方根与算术平方根的概念: 叫做a 的平方根,记作 0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根. [3]立方根的概念: 叫做a 的立方根,记为 x =4.分式 [1]分式的意义 形如 A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,则称A B 为分式.当M ≠0

时,分式 A B 具有下列性质: (1) ; (2) . [2]繁分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A B 就叫做繁分式,如2m n p m n p +++, 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例1 解下列不等式:(1)21x -< (2)13x x -+->4. 例2 计算: (1 )2 2 1 ()3 x + (2)2211111 ()()5225104 m n m mn n - ++ (3)4 2 (2)(2)(416)a a a a +-++ (4)2 2 2 22 (2)()x xy y x xy y ++-+ 例3 已知2 310x x -==,求3 31 x x + 的值. 例4 已知0a b c ++=,求111111 ()()()a b c b c c a a b +++++的值. 例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1) (2) 1)x ≥ (3) (4) 例6 设x y = = 33 x y +的值. 例7 化简:(1)11x x x x x -+ - (2)222 396127962x x x x x x x x ++-+---+ (1)解法一:原式

数与式的运算、因式分解(教师版)

数与式的运算 一、乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: ⑴平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; ⑵完全平方公式 2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: ⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-; ⑶三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; ⑷两数和完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b +=+++; ⑸两数差完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算: ⑴)749)(7(2 x x x +-+ ⑵)1)(1)(1)(1(2 2+-+++-a a a a a a (3)+ (4)2222 [(2)][(2)]x y x y -+++ 答案:(1)3343x + (2)6 1a - (3) a c b +-- (4)422422 28816x x y y x y ++-++ 例题的设计意图 (1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 (3)(4)利用整体代换思想简化运算。 二、根式 0)a ≥叫做二次根式,其性质如下: (1) 2(0)a a =≥ (2) (0)||0(0)(0)a a a a a a >?? ===??-≥ 三、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A B 就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. 【例2】化简 (1 (2)11x x x x x -+ -

中考总复习数与式专项练习(含解析)

第1讲数与式微课有理数(绝对值、科学记数法) 题一:实数a、b、 c 在数轴上的对应点如图所示,化简|a-b|-|c-a|+|b-c|-|a|. 题二:已知a、b、c 在数轴上的位置如图所示,化简:|2a|-|a+c|-|1-b|+|-a-b|. 题三:国家游泳中心——“水立方”是北京2008 年奥运会场馆之一,它的外层膜的展开面积约为260000 平方米,将260000 用科学记数法表示应为______________ . 题四:一天有8.64 ×104秒,一年按365 天计算,一年有多少秒?(用科学记数法表示) 教育选轻轻·家长更放心页1

第2讲数与式微课有理数(数轴) 题一:有理数m,n 在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是( ) A.m+n>m B . m+n<0 C.m+n0 题二:有理数 a , b 在数轴上的对应点的位置如图所示, a+b 的值 ( A .大于0 B . 小于0 C.小于b D .大于a 第3讲数与式微课有理数(相反数、倒数) 题一:已知a,b互为倒数,c,d互为相反数,且x 是绝对值最小的有理数,求2x2 3(a×b+c+d) +|a×b+3|的值. a,b 互为倒数,x 绝对值等于2,求2x (1+ m+n ab)x ab 的值.题二:已知m,n 互为相反数, 教育选轻轻·家长更放心页2

教育选轻轻·家长更放心 页 3 第 4讲 数与式微课 有理数(绝对值的非负性 ) 题一:若 |a-2|+( b+1) 2=0,求 (a+b)2013的值. 题二:已知 |a+3|+|b-2|=0,求: (a+b)1001 的值 第 5讲 数与式微课 有理数(计算) 题一:计算: 1 2 1 1 2)[(1 13)2 ( 132)(÷ 118)](× 112)3 1 题二:计 2×(- 5) +22- 3÷ 2 1)( 3)2 53[3( 32)2 14][ 8 (21)(2 12 )3 1];

第一章数与式测试卷

第一章 数与式测试卷 一、选择题(每小题2分,共38分) 1. (2019·河南)-1 2 的绝对值是(B ) A .-12 B .1 2 C .2 D .-2 2. 81 的平方根是(C ) A. 3 B. -3 C. ±3 D. ±9 3. 下列各数中,是无理数的是(D ) A. 3 8 B. 3.14 C. 4 D. 2 4. (2018·滨州)若数轴上点A 、B 分别表示数2、-2,则A 、B 两点之间的距离可表示为(B ) A. 2+(-2) B. 2-(-2) C. (-2)+2 D. (-2)-2 5. (2019·成都)2019年4月10日,人类首张黑洞照片面世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心,距离地球约5500万光年.将数据5500万用科学记数法表示为(C ) A .5500×104 B .55×106 C .5.5×107 D .5.5×108 6. (2018·福建)在实数|-3|,-2,0,π中,最小的数是(B ) A. |-3| B. -2 C. 0 D. π 7. (2017·温州)下列选项中的整数,与17 最接近的是(B ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. (2019·滨州)若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式,则(m +n )3的平方根为(D ) A .4 B .8 C .±4 D .±8 9.(2019·长沙)下列各数中,比-3小的数是(A ) A .-5 B .-1 C .0 D .1 10. (2019·益阳)下列运算正确的是(D ) A .(-2)2 =-2 B .(2 3 )2=6 C . 2 + 3 = 5 D .2 ×3 =6 11. (2019·福建)下列运算正确的是(D ) A .a ?a 3=a 3 B .(2a )3=6a 3 C .a 6÷a 3=a 2 D .(a 2)3-(-a 3)2=0 12. (2019·攀枝花)用四舍五入法将130542精确到千位,正确的是(C )

数与式知识点总结学习资料

一、实数、二次根式的有关概念 1. 为了表示具有 的量我们引进负数。 2. 和分数统称为有理数, 叫无理数,有理数和无理数统称为 。 3. 整数可分为 和负整数。分数可分为 。有理数也可分为:正有理数、 和 。0既不是 ,也不是 。 4. 规定了 、 和 的直线叫做数轴。 5. 只有 不同的两个数称为相反数。绝对值最小的数是 ,互为相反数的两数的和为 ,在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的 ,且到 的距离 。 6. 在数轴上,表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。 ︱a ︱= _____________________________ 7. 等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,记作 ,其中a 是 。正数a 的正的平方根叫做a 的 ;一个正数的平方根有 个,它们是 ,0的平方根和算术平方根都是 ,负数 。求 的运算叫做开平方。(a>0)。 8. 如果一个数的 等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,求 的运算叫做开立方。 9、二次根式的概念:形如a (a ≥0)的式子,叫做二次根式。 10、二次根式的性质: (1)2)(a = (a 0) (2)2a =a = _____________________________ (3)ab = · (a ≥0,b ≥0); (4)b a = (a ≥0,b ≥0). 11、最简二次根式要满足以下两个条件:(1)被开方数的因数是 数,因式是 式;(2)被开方数中不含能开得尽方的 数或 式。 12、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数 ,这几个二次根式叫做同类二次根式。 二、实数、二次根式的运算 1、有理数的加减乘除、乘方、开方的法则分别是什么? ①有理数的加法:同号两数相加,取与 相同的符号,并把 相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值 的加法的符号,并用 的绝对值减去 的绝对值,互为相反数的两个数相加得 ;一个数同0相加,仍得 。 ②有理数的减法:减去一个数等于加上这个数的 。 ③有理数的乘法:两数相乘,同号得 ,异号得 ,并把 相乘;任何数与0相乘都得 。 ④有理数的除法:除以一个数等于乘以这个数的 ;注意: 不能做除法。 ⑤有理数的乘方:求n 个 的因数的积的运算叫做乘方,即4434421Λ个 n a a a a =a n . 其中负数的 次方是负数,负数的 次方是正数;0a = (a ≠0);n a = (a ≠0,n 是正整数)。 ⑥有理数的开方:如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,这个数叫做a 的 ;即若a x n =,则x 叫做a 的 。求一个数的方根的运算叫做开方。

第一讲:数与式的运算

初高中数学衔接教材第一讲 数与式的运算教师版 导语:高中数学五本必修教材(必修一~必修五),选修教材因文理不同,高一上期一般学必修一、四;下期学必修五、 三、二的直线和圆部分;高二上期学必修二,下期学习选修系列。高一以代数为主,高二以几何为主,但高中数学有四大思想方法,做题始终贯穿:①数形结合;②分类讨论;③转化与化归;④函数与方程。必修一共两章:集合和函数。集合很抽象,而函数又需要用到初中许多基础知识,所以需要先复习2课时的初中知识,13课时预计上到函数中高一的特殊函数:指数函数 一、绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-,则a b > ③若a b <,则a b <④若a b =,则a b =± /*命题:可以判断对错的陈述句。对的命题称为:真命题;错的命题称为:假命题。*/ 例2 解不等式:13x x -+->4. 练习2化简:|x -5|-|2x -13|(x >5). 二、二次根式 10)a ≥的代数式叫做二次根式.其中,根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无 理式. 例如32a b . 212 x ++,22x y +等是有理式. 2、分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念. 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式, 等等. 一般地, b 与b 互为有理化因式. 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公 式0,0)a b =≥≥;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程.比如, =-512 ; =-+11n n ;=++12x x . 3 a ==,0,,0.a a a a ≥??-

第一章数与式知识点归纳

第一章数与式知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一章 数与式 一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中:有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数;无理数即无限不循环小 数。 二、 数轴 (1)三要素:原点、正方向、单位长度。 (2)实数???→←一一对应 数轴上的点。 (3)利用数轴可比较数的大小,理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 (1)几何定义:数轴上,表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记做a 。 (2)代数定义:a =?????<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 (1)a 、b 互为相反数?a +b =0(或a =-b ); (2)a 、b 互为倒数?a ·b =1(或a = b 1)。 五、几个非负数 (1)a ≥0; (2)a 2≥0; (3)a ≥0(a ≥0)。 (4)若几个非负数之和为0,则这几个非负数也分别为0. 六、 (1)a n 叫做a 的n 次幂,其中,a 叫底数,n 叫指数。

(2)若x 2=a (a ≥0),则x 叫做a 的平方根,记做±a ;算术平方根记做a 。 (3)若x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记做3a 。因此33)(a =a (4)算术平方根性质: ①(a )2=a (a ≥0); ②2a =a ; ③b a ab =(a ≥0,b ≥0); ④b a b a =(a ≥0,b >0)。 七、运算顺序: 1. 同 级:左→右 2. 不同级:高→低(先乘方和开方,再乘除,最后加减) 3. 有括号:里→外(先去小括号、再去中括号、最后去大括号) ④除法法则:a ÷b = a × 或

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