(完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
二次函数专题训练（含答案）
一、
填空题
1.把抛物线2
2
1x y -
=向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个 单位，得抛物线.
2.函数x x y +-=2
2图象的对称轴是，最大值是.
3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是.
4.二次函数6822
-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2
)(的形为. 5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是.
6.抛物线c bx ax y ++=2
当b=0时，对称轴是，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴侧.
7.抛物线3)1(22
-+-=x y 开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是.
8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第象限；当x >4
a
-时，函数值随x 的增大而.
9.二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口，顶点坐标是. 10.抛物线2)(2
1
h x y --
=，开口，顶点坐标是，对称轴是. 11.二次函数)(
)(32
+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.
12.已知2)1(3
1
2-+=
x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=2
5交点的横坐标为2，则k=，交点坐标为. 14.用配方法将二次函数x x y 3
2
2
+
=化成k h x a y +-=2)(的形式是. 15.如果二次函数m x x y +-=62
的最小值是1，那么m 的值是. 二、选择题：
16.在抛物线1322
+-=x x y 上的点是（ ）
A.（0，-1）
B.??
? ??0,21 C.（-1，5） D.（3，4）
17.直线225-=
x y 与抛物线x x y 2
1
2-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个
18.关于抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当
a <0时，情况相反.
② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③ 只要解读式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.
④ 一元二次方程02
=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴
交点的横坐标.
A.①②③④
B.①②③
C.①②
D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）
A.x=1
B.x=-2
C.x=3
D.x=-3
20.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2
ax y
bx -3的大致图象是（ ）
图代13-2-12
21.若抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是,2-=x 则=b
a
（ ） A.2 B.21 C.4 D.4
1 22.若函数x
a y =
的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ） A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交
23.二次函数c bx x y ++=2
中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1） 24.函数2
ax y =与x
a
y =
（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
图代13-3-13
25.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2
与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）
A.b=5
B.b=-5
C.b=±5
D.b=4
图代13-3-14
26.二次函数2
ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）
A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >0
27.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解读式为 （ ）
A.6)4(22
+-=x y B.2)4(22
+-=x y C.2)2(22
+-=x y D.2)3(32
+-=x y 28.二次函数2
2
9k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ） A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：x
y x y x y 1,1,-
=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a >0，Δ>0 B.a >0,Δ<0 C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0 三、解答题
31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(2
2-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.
32.已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为
2
1
，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132
22
1=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解读式，若不存在，请说明理由.
33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解读式；（2）抛物线的解读式.
图代13-3-15
图代13-3-16
34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32
交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方 向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）
设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明. 35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8M ，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5M 的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15M ，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.
求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解读式及CC ＇的长；
（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4M ，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4M ，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7M ，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.
图代13-3-17
36.已知：抛物线2)4(2
+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a
37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；
（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解读式；
（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.
图代13-3-18
（1） 若AE=2，求AD 的长.
（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有
FH
ED
AH AD =
？试证明你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 39.已知二次函数)2
94(2)2
54(2
2
2
+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. （1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值； （2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值； （3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.
图代13-3-19
（1） 求⊙C 的圆心坐标. （2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解读式. （3） 抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解读式. 41.已知直线x y 2
1
=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）
若M 恰在直线x y 2
1
=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，
二次函数q px x y ++=2
的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. （2）
在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数
q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.
图代13-3-20
（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2
的图象与y 轴交于点C ，与x
同
的左交点为A ，试在直线x y 2
1
=
上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2
与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解读式；
（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.
参 考 答 案
动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得
)10100)(2(x x y -+=
.
360)4(1020080102
2+--=++-=x x x
∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432
+??
?
??+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432
≠=+??? ??+
-m x m mx 时m
m m 34
,321=
=. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），??
?
??0,34m B . （1）
当AC=BC 时，
9
4
,334-=-=m m . ∴49
42
+-=x y （2）
当AC=AB 时，
5,4,3===AC OC AO .
∴534
3=-
m
. ∴32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ；
当32-=m 时，43
2
322++-=x x y .
（3）
当AB=BC 时，
2
2344343??
?
??+=-m m ，
∴7
8
-
=m . ∴421
44
782++
-=x x y . 可求抛物线解读式为：43
2
32,461161,494222+--=+-=+-
=x x y x x y x y 或
421
44782++-=x x y .
3.（1）∵)62(4)]5([2
2
2
+---=?m m
)1(122
2
22φ+=++=m m m
图代13-3-21 ∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(2
2
2
=+++-m x m x
0)3)(2(2=---m x x ，
∴3,22
21+==m x x .
∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.
（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2
+3,0）.
12322+=-+=m m d ，
∵m 2
+10>0，∴d=m 2
+1.
（3）①当d=10时，得m 2
=9.
∴ A （2，0），B （12，0）.
25)7(241422--=+-=x x x y .
该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,52
1
a ME
b PM AB PE -====
， ∴2
2
2
5)7(=+-b a .① ∵点PD 在抛物线上， ∴25)7(2
--=a b .②
解①②联合方程组，得0,121=-=b b .
当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0. 同步题库
一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-
=x y x y ； 2.8
1
,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；
8.四，增大； 9.向上，向下，a b
x a b ac a b 2,44,22-=???? ??--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312
-??? ?
?
+=x y ； 15.10.
二、选择题
16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题
31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2
+2ax-2b+1=0 的两个实数根，
∴a x x 221-=+，1x ·122+-=b x .
∵x 1，x 2又是方程01)3(2
2
=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2. ∴??
?-=+--=-.
112,322
b b a a
解得 ??
?==;0,1b a 或?
??==.2,
1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，
∴a=1，b=0舍去.
当a=1；b=2时，二次函数322
-+=x x y 和322
+--=x x y 符合题意. ∴a=1，b=2.
解法二：∵二次函数1222
+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，
二次函数1)3(22
-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为2
3
-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.
∴2
3
-=
-a a . 解得 1=a .
∴两个二次函数分别为1222
+-+=b x x y 和122
2
-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得
01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .
①+②得
022=-b b .
解得 2,021==b b . ∴??
?==;0,1b a 或???==.
2,
1b a
当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.
当a=1，b=2时，二次函数为322
-+=x x y 和322
+--=x x y 符合题意. ∴a=1，b=2.
32.解：∵c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴a
c
x x a b x x =?-
=+2121,. 又∵132
22
1=+x x 即132)(212
21=-+x x x x ， ∴132)(2
=?
--a
c
a
b
.① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为
2
1
，则有 4a+2b+c=4， ②
2
1
2=-
a b .③ 解由①②③组成的方程组得
a=-1,b=1,c=6.
∴y=-x 2
+x+6.
与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）. 与y 轴交点D 坐标为（0，6）.
设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有 （1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有
6,3,2,====OD OC OB OD
OP
OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.
当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解读式为
y=kx+4.
有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或
3,6,2,====OC OD OB OC
OP
OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.
当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解读式为
y=kx+1.
有 0=-2k+1. 得 2
1=k . ∴12
1
+-
=x y . 当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解读式为
y=kx-1，
有 0=-2k-1， 得 2
1-=k . ∴12
1
--=x y . （2）
当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得
y=-3x+9，
或 y=3x-9，
或 131
+-=x y ， 或 13
1
-=x y .
33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.
∴A 点坐标为（4，0）. ∴∠ABC=90°. ∵△CBD ∽△BAO ， ∴
OB
OA OC OB =，即OB 2
=OA ·OC. 又∵ CO=1，OA=4，
∴ OB 2
=1×4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.
将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得2
1-=k . ∴直线的解读式为：22
1
+-
=x y . （2）解法一：设抛物线的解读式为h x a y ++=2
)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得
??
?=+=+.
2,
025h a h a 解得 .12
25,121=-
=h a ∴抛物线的解读式为：12
25)1(1212
++-=x y .
解法二：设抛物线的解读式为：c bx ax y ++=2
，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.
∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得
??
?
??=+-==++.0636,
2,
0416c b a c c b a 解得 2,61
,121=-=-
=c b a . ∴抛物线的解读式为：26
1
1212+--=x x y .
34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032
=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.
又∵y 轴与⊙O 相切，
∴ OA ·OB=OC 2
.
∴x 1·x 2=c 2
.
又由方程032
=+-c x ax 知
a
c x x =
?21， ∴a
c
c =
2
，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，
图代13-3-22
∴AB AE 2
1
=
. α=∠=∠=
∠ADE ADB ACB 2
1
. ∵a >0,x 2>x 1， ∴a
a ac x x AB 5
4912=-=
-=. a
AE 25
=
. 又 ED=OC=c ， ∴2
5
==
DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为??
?
??-a a 45,23
，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，a
PE 45=
. ∴2
5
==
AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.
∵∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解读式为
c ax y +=2，
由题意得G （0，8），D （15，5.5）.
∴???+==.255.5,8c a c 解得???
??
=-=.
8,901c a
∴DGD ＇所在的抛物线的解读式为890
12
+-=x y . ∵
4
1
=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(M). ∴2215(2)(22+?=+?=='AC OA OC c c ） =74（M ）. 答：cc ＇的长为74M. （2）∵
4,4
1
==BE BC EB ， ∴ BC=16.
∴ AB=AC-BC=22-16=6（M ）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6M.
（3）
在890
12
+-
=x y 中，当x=4时， 45
377816901=+?-=y .
∵45
19)4.07(45377=
+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过. 36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，
∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2
=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.
（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221
a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121
b S Q O PO =
四边形（或22
1
a 或1）. （3）∵4)2()2(4)4(2
2
++=+-+=?m m m >0 ∴方程02)4(2
=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵m >-2， ∴?
?
?+=+=+.02,
04φφm ab m b a
∴a >0，b >0.
∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，
∴x 1x 2<0，即-（m+1）<0，
解得 m >-1. ∵)1()1(4)]1(2[2
+?-?--=?m m
7
)2
1(48
442
2+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.
（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），
则 x 1=3k ，x 2=-k ，
∴?
??+-=-?-=-).1()(3),1(23m k k m k k
解得 3
1,221==m m . ∵31=m 时，3
4
21-=+x x （不合题意，舍去）， ∴m=2
∴抛物线的解读式是32
++-=x x y .
（3）易求抛物线322
++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）. 设直线BM 的解读式为q px y +=，
则 ?
??+-?=+?=.)1(0,14q p q p
解得 ??
?==.
2,
2q p
∴直线BM 的解读式是y=2x+2.
设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴MNC BCN BCM S S S ???+=
.11
12
1
1121=??+??=
设P 点坐标是（x,y ）， ∵BCM ABP S S ??=8， ∴
182
1
?=??y AB .
即 842
1
=??y . ∴4=y .∴4±=y .
当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），
当y=-4时，-4=-x 2
+2x+3，
解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.
P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，
∴ AD 2
=AE ·AB=2×（2+6）=16. ∴ AD=4.
图代13-2-23
（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FH
ED
AH AD =
. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线， ∴∠HDB=∠DEB.
又∵BH ⊥AH ，BE 为直径， ∴∠BDE=90°
有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，
DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴△DFB ∽△DHB.
∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴
FH
ED
AH AD =.
图代13-3-24
证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线， ∴∠HDB=∠DEF.
又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ， ∴∠EDF=∠DBH.
以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.
∴ ED ∥FH. ∴
FH
ED
AH AD =
. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高， ∴△DFE ∽△BDE ，
∴
EB
ED ED EF =
，即EB EF ED ?=2
. ∴)6(62
y x -=，即66
12+-=x y .
∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.
A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.
又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，
4,=?==PO
PB
OD BH PB PO BH OD ， ∴246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2
=EF ·EB 得
12622=?=x ，
∵x >0，∴32=x .
∴ 0 （或由BH=4=y ，代入6612 +- =x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为66 12 +-=x y （0 39.解：∵]294)[2(29422542 22 ?? ? ? ?+--+=??? ??+--??? ??+ --=m m x x m m x m m x y , ∴可得????????? ? ? +--??? ? ? + --2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC ?=2 ， 即??? ? ? +-?=??? ??+-2294229442 2m m m m ， 化得0)2(2 =-m .∴m=2. （2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22 9 42 =+ -m m . ∴429422 =?? ? ? ?+ -=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ， ∴ AB ·OC=BC ·AD. ∴5 8= AD . ∴5 4525 8 sin === ∠AC AD ACB . 图代13-3-25 （3）CO AB S ABC ?= ?2 1 . 1)1()2(294222942122 2-+=+=??? ? ?+-???? ??++-= u u u m m m m ∵2 1 2942 ≥+-=m m u ， ∴当21= u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为4 5. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为?? ? ??0,532，B 点坐标为??? ??524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为??? ? ?512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF. ∵ CO=CA=CB ， ∴∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO. ∴ OB OC AB OF OA OC AB OE = =,. ∴3 20 ,5==OF OE . E 点坐标为（5，0）， F 点坐标为?? ? ?? 320,0， ∴切线EF 解读式为3 20 34+ - =x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为?? ? ??+4512,516，可得 ???????==-=????? ?????==-=-. 524,1,325. 52453244,516 22 c b a c a b ac a b ∴5 24 3252+ +- =x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为?? ? ??-4512,516，得 ???????=-==????? ?????=-=-=-. 524,4,85. 524,5844,516 22 c b a c a b ac a b ∴5 24 4852+ -- =x x y . 综合上述，抛物线解读式为5243252+ +-=x x y 或5 24 4852+-=x x y . 41.（1）证明：由 ???? ? +-==, , 21m x y x y 有 m x x +-=2 1 ， ∴ m y m x m x 3 1,32,23===. ∴交点)3 1 ,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322 +??? ?? -= m m mx x 3 1 943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+?? ? ??--m m x m x . ??? ??--????????? ??--=?m m m 3294 413 422 .0138 91613891622>=+-+-= m m m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2 的图象与直线m x y +-=总有两个 不同的交点. 图代13-3-26 （2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ， 初中数学函数三大专题复习 目录 专题一一次函数和反比例函数 (1) 一、一次函数及其基本性质 (1) 1、正比例函数 (1) 2、一次函数 (1) 3、待定系数法求解函数的解析式 (2) 4、一次函数与方程、不等式结合 (3) 5、一次函数的基本应用问题 (5) 二、反比例函数及其基本性质 (7) 1、反比例函数的基本形式 (7) 2、反比例函数中比例系数k的几何意义 (8) 3、反比例函数的图像问题 (9) 4、反比例函数的基本应用 (11) 专题二二次函数 (13) 一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 (13) 1、二次函数的解析式及其求解 (13) 2、二次函数的基本图像 (14) 3、二次函数的增减性及其最值 (16) 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 (16) 5、二次函数和不等式、方程的结合 (18) 二、二次函数的基本应用 (19) 1、二次函数求解最值问题 (19) 2、二次函数中的面积问题 (21) 3、涵洞桥梁隧道问题 (24) 4、二次函数和圆相结合 (26) 三、二次函数中的运动性问题 (27) 1、动点问题 (27) 2、折叠、旋转、平移问题 (33) 专题三锐角三角函数以及解直角三角形 (36) 1、锐角三角函数的基本定义及其计算 (36) 2、锐角三角函数的基本应用 (37) 专题一 一次函数和反比例函数 一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数 形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。 （1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。 2、一次函数 形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。 随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。 例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 初三数学解答题专项训练 2015.5.22 19．化简求值：5 3 3 2 (3)(1)x x x x +÷-+， 20．解方程： 33201x x x x +--=+ 其中1 2 x =- ． 21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，M 为AB 边上中点， 将Rt △ABC 绕点M 旋转，使点C 与点A 重合得到△DEA ， 设AE 交CB 于点N ． (1) 若∠B =25°,求∠BAE 的度数；（2）若AC =2，BC =3，求CN 的长． 23．已知一次函数m x y +=43 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（如图），且与反比例函数 x y 24= 的图像在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D 。 （1）求m 、n 的值； （2）如果点P 在x 轴上，并在点A 与点D 之间，点Q 在线段且AP =CQ ,那么当△APQ 与△ADC 相似时，求点Q 的坐标． x 24．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，CD ⊥BC ，已知AB =5，BC =6，cos B = 3 5 ．点O 为BC 边上的动点，联结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，联结MN ． （1） 当BO =AD 时，求BP 的长； （2） 点O 运动的过程中，是否存在BP =MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP =MN ；若 不存在，请说明理由； A B C D O P M N 初三数学解答题专项训练 2015.5.23 19．解不等式组：?????≥-+->-x x x 3)1(3141 ；并将解集在数轴上表示出来． 20．1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”．某中学为了解全校1000名学生平均每天阅读课外书报的时间，随机调查了该校50名学生一周内平均每天阅读课外书报的时间，结果如下表： 根据上述信息完成下列各题： （1）在统计表（上表）中，众数是 分，中位数是 分； （2）请估计该学校平均每天阅读课外书报的时间不少于35分钟的学生大约有 人；（ 小明同学根据上述信息制作了如下频数分布表和频数分布直方图，请你完成下列问题： （3）频数分布表中=m ，=n ；（4）补全频数分布直方图． 21．迎接“2010年上海世博会”，甲、乙两个施工队共同完成“阳光”小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程比甲队单独完成此项工程少用5天，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 22．如图，在△ABC 中，BC AD ⊥，垂足为D ，4==DC AD ， 3 4tan =B ． 求：(1) ABC ?的面积； (2) BAC ∠sin 的值． A B C D 频数分布表 分) 2018 初三数学中考复习平面直角坐标系与函数专题复习训练题1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为( ) A．(3，－2) B．(－2，3) C．(－3，2) D．(2，－3) 2. 下列各曲线中表示y是x的函数的是( ) 3. 在平面直角坐标系中，点P(2，－3)所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于x轴对称的点的坐标为( ) A．(－2，－3) B．(2，－3) C．(－3，－2) D．(3，－2) 5．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(4，3)，(－2，1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为( ) A．(－3，3) B．(3，2) C．(0，3) D．(1，3) 6．若将点A(1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B 的坐标为( ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(－1，－1) D．(－2，0) 7．函数y＝x＋2 x 的自变量x的取值范围是( ) A．x≥－2 B．x≥－2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠－2 8．下列曲线中，不能表示y是x的函数的是( ) 9．对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 11．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是( ) 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 2018年初中数学中考大题 一．解答题（共25小题） 1．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由． （参考数据：，） 2．2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由； （2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732） 3．如图，某生在旗杆EF与实验楼CD之间的A处，测得∠EAF=60°，然后向左移动12米到B处，测得∠EBF=30°，∠CBD=45°，sin∠CAD=． （1）求旗杆EF的高； （2）求旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长． 4．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： （1）坡顶A到地面PQ的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01） 二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元 （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件． （1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元 ( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少 （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^ 2019年初三中考数学专题复习函数的图像综合练习题 1.下列函数中,图象经过原点的是 ( ) A.y=1 x D.y=3-x 2.函数 ,自变量x的取值范围是 ( ) A.x≥0 B.x≥0,且x≠1; C.x>0,且x≠1 D.x≠±1 3.函数y=3x+1的图象一定经过 ( ) A.(2,7) B.(4,10) C.(3,5) D.(-2,3) 4.下列各点中,在函数y=2x-6的图象上的是( ) A.(-2,3) B.(3,-2) C.(1,4) D.(4,2) 5.一枝蜡烛长20cm,若点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩余的长度h(cm)与燃烧时间t(时)之间的函数关系的图象大致为(如图所示) ( ) 6.一辆客车从甲站开放乙站,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示客车行驶的路程s,如图所示,下列四个图象能较好地反映s与t之间的函数关系的是( ) 7.已知函数y=kx的图象经过点A(-2,2),则k=_________. 8.已知函数y=mx+n的图象经过点A(-1,3),B(1,-1),那么m=_____,n=_____. 9.函数y= 2 1 x-中,自变量x的取值范围是________. 10.若点P(a,-7 5) 在函数y=- 1 5x的图象上,则a=_______. 11. 如图所示的是某地区某一天的气温随时间变化的图象, 请根据图象填空:_____时,气温最低,最低气温为_______℃,当天最高气温为_______℃,这一天的温差为℃_____,从______时至________时,气温低于0℃,从______时至 _____时, 气温随时间的推移而上升. 12.当x=2时，函数y=kx-2和y=2x-k的函数值相等，则k=。 13. 如图所示的是某水库的水位高度随月份变化的图象,请根据图象回答下列问题: (1)5月份、10月份的水位各是多少米? (2)最高水位和最低水位各是多少米?在几月份? (3)水位是100米时,是几月份? 14. 求下列函数自变量x的取值范围 ① y=3x+1 ②1 y =x 22+ 15.已知等腰三角形的顶角为x°,底角为y°. (1)请写出y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围; (2)画出这个函数的图象. 16. 若函数y=2x -4中，x的取值范围是1 九年级利润问题专题训练 1、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与 每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x。 (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利 润为多少？ 2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设降价价格为x元： （1）设平均每天销售量为y件，请写出y与x的函数关系式. （2）设平均每天获利为Q元，请写出Q与x的函数关系式. （3）若想商场的盈利最多，则每件衬衫应降价多少元? （4）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利在1200元以上? 3、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场 调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 4、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 二次函数压轴题 1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0 ∴OB ＝2， ∵OP ＝m ， ∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△P AN ， ∴OB OA ＝PN P A ，即24＝PN 4－m ， ∴PN ＝1 2(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋3 2m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4， ∴－12m 2＋32m ＋2＝4×1 2(4－m )， 解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3； (3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2 ＝3 2， 第1题解图 由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2， ∴OP 2OB ＝3 2，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2 ＝OP 2OB ＝32， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝3 2BP 2， ∴AP 2＋3 2BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，9 2)， ∴AQ ＝ 42 ＋（92）2＝1452， 即AP 2＋32BP 2的最小值为145 2. 2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于 初三数学函数专项练习题及答案 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．函数y ＝x ＋2中，自变量x 的取值范围是 (A ) A ．x ≥－2 B ．x <－2 C ．x ≥0 D ．x ≠－2 2．已知函数y ＝?????2x ＋1（x≥0）， 4x （x ＜0）， 当x ＝2时，函数值y 为(A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点A (2，y 1)，B (4，y 2)都在反比例函数y ＝k x (k <0)的图象上，则y 1，y 2的大小关系为(B ) A ．y 1>y 2 B ．y 1 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线 h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 A B C D E F G 初三数学简答题专项训练1 班级 学号 姓名 得分 1、如图，△ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC 于D ，CE 平分∠ACB ，FG//AC 交BC 于G . 求证：(1)△EBD ∽△GCD ；(2)ED ⊥DG . 2、如图，在△ABC 中，AB =8，BC =16，AC =12，AD//BC ，点E 在AC 边上，∠DEA =∠B ，DE 的延长线交BC 边于F ． (1)求DF 的长；(2) 设DE =x ，BF=y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域． 3、如图，矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，E 在边CD 上(与点C 、D 不重合)，AF ⊥AE 交边CB 的延长线于F ，联结EF ，交边AB 于点G ．设DE = x ，BF = y ． (1)求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果AD = BF ，求证：△AEF ∽△DEA ； (3)当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能否成为等腰三角形?若能,求出DE 的长；若不能，说明理由． 初三数学简答题专项训练2 G C B E A F E F D C B A 班级 学号 姓名 得分 4、如图，△ABC 中，AB =6，BC =4，D 、E 分别在边BC 、BA 的延长线上，∠ADC =∠BAC ，∠E =∠DAC ． (1)设AC =x ，DE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； (2)△AED 能否与△ABC 相似？如果能够，请求出cos B 的值；如果不能，请说明理由． 5、已知A (6，0)，B (0，8)，C (－4，0). M 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2个单位的速度运动，点N 从点A 出发，沿AB 方向以每秒5个单位的速度运动. MN 交y 轴于P . 两点同时开始出发，当M 到达点A 时，运动停止. 设运动时间为t 秒. O 为原点. (1)当t 为何值时，MN ⊥AB ； (2)在点M 从点C 到点O 的运动过程中(不包括O 点)，PN MP 是否为定值，若是，请求出这个定值；反之，请说明理由；(3)在整个运动过程中，△BPN 是否可能为等腰三角形？若能，求出相应的t 的值；反之，请说明理由. 6、如图1，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC . CE 平分∠ACD ，交BI 延长线于E ，联结CI . 设∠BAC =2α。 (1)用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC =_______ ，∠E =_______； (2)若AB =1，且△ABC 与△ICE 相似，求AC 长； (3)如图2，延长AI 交EC 延长线于F . 当△ABC 形状、大小变化时，写出并证明图中始终与△ABI 相似的三角形. 初三数学简答题专项训练3 班级 学号 姓名 得分 A B D C E I 图1 F A B D C E I 图2 A B C D E 二次函数专题训练(含答案) 一、 填空题 1 2 1. 把抛物线V X 向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移 3个 2 单位，得抛物线 2. 函数V 二-2X 2 ? x 图象的对称轴是 _____________ ，最大值是 3. 正方形边长为3,如果边长增加x 面积就增加V ，那么V 与x 之间的函数关系是 . 4. 二次函数V = _2x 2 ? 8x -6，通过配方化为V = a(x - h)2 ? k 的形为 _— 5. 二次函数V = ax 2 c ( c 不为零)，当x 取x i , X 2 (X I M X 2)时，函数值相等，贝U X i 与X 2的关系是 _______ . ____ 6. 抛物线V = ax 2 bx c 当b=0时，对称轴是 _________________ ，当a , b 同号时，对称轴在 V 轴 ______________ 侧，当a , b 异号时，对称轴在 y 轴 ________________ 侧. 7. 抛物线V - -2(x 1)2 -3开口 _______________ ,对称轴是 __________ ,顶点坐标是 . 如果V 随x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 8. 若a ：：0，则函数y=2x 2，ax-5图象的顶点在第 ________________ 象限；当时，函 4 数值随x 的增大而 ________ . _____ 9. 二次函数 V 二ax 2 bx c ( a 丰0)当a 0时，图象的开口 a ：：：0时，图象的开 口 ___________ ，顶点坐标是 ________ . ____ 1 2 10. 抛物线y (x -h)2，开口 ______________________ ，顶点坐标是 ______________ ，对称轴 是 ______ . _____ 2 11. 二次函数y 二-3(x )( )的图象的顶点坐标是(1, -2 ). 1 2 12.已知 y (x 1)2 -2，当 X 3 13.已知直线V =2x -1与抛物线V =5x 2 ? k 交点的横坐标为2,则k= ___________________ ,交 点坐标为 _______ . ____ ^x 2 2 x 化成V 二a(x - h)2 k 的形式是 3 15.如果二次函数 V =x 2 -6x m 的最小值是1,那么m 的值是 、选择题: _____________ 时，函数值随x 的增大而减小 14.用配方法将二次函数 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 初中数学二次函数解析 一、选择题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 9 2 t=； ③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1， ∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误， ∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确， ∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确， ∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B． 2．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（） A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2?2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3?t＝0的实数根看做是y＝－x2?2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1， ∴b＝?2， ∴y＝－x2?2x＋3，初中数学函数三大专题复习
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