2018南通一模(四)数学高三

2018届高三年级第一次模拟考试(四)

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若B ?A ，则实数a 的值为________．

2. 已知复数z ＝1＋4i 1－i

，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________． 3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的

身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．

4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．

5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择

2个，则数学建模社团被选中的概率为________．

6. 若实数x ，y 满足?????y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，

则2x —y 的最大值为________．

7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2

＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________．

8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．

9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ????2x ＋π3的图象向右平移φ?

???0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．

10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．

11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为93cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)

(第11题) (第12题)

12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝

45°，则AP →·AQ →的最小值为________．

13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．

14. 已知函数f(x)＝?

????x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N

在棱PC 上，D 是BN 的中点．

求证：(1) MD ∥平面PAC ；

(2) 平面ABN ⊥平面PMC.

16. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝

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b. (1) 求sin B 的值；

(2) 求cos ???

?C ＋π12的值．