习题8
8-1.沿一平面简谐波的波线上,有相距2.0m 的两质点A 与B ,B 点振动相位
比A 点落后
6
π
,已知振动周期为2.0s ,求波长和波速。 解:根据题意,对于A 、B 两点,m x 26
12=?=-=?,π
???,
而m 242=??=
?λλ
π
?x ,m/s 12==
T
u λ
8-2.已知一平面波沿x 轴正向传播,距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为
)cos(?ω+=t A y ,波速为u ,求:
(1)平面波的波动式;
(2)若波沿x 轴负向传播,波动式又如何?
解:(1)设平面波的波动式为0cos[]x
y A t u
ω?=-+(),则P 点的振动式为:
1
0cos[]P x y A t u
ω?=-
+(),与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较, 有:10x u
ω??=+,∴平面波的波动式为:1
cos[()]x x y A t u ω?-=-+;
(2)若波沿x 轴负向传播,同理,设平面波的波动式为:
0cos[]x
y A t u ω?=++(),则P 点的振动式为:
10cos[]P x
y A t u ω?=++(),与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较,
有:10x u
ω??=-+,∴平面波的波动式为:1
cos[()]x x y A t u ω?-=++。
8-3.一平面简谐波在空间传播,如图所示,已知A 点的振动规律为cos(2)y A t πν?=+,试写出: (1)该平面简谐波的表达式;
(2)B 点的振动表达式(B 点位于A 点右方d 处)。 解:(1)仿照上题的思路,根据题意,设以O 点为原点平面简谐波的表达式为:
0cos[2]x
y A t u
πν?=++(),则A 点的振动式:
0cos[2]A l
y A t u
πν?-=+
+() 题设A 点的振动式cos(2)y A t πν?=+比较,有:02l
u
πν??=+, ∴该平面简谐波的表达式为:]2cos[?πν+++
=)(u
x u l t A y (2)B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-,代入波动方程:
]2cos[]2cos[?πν?πν++=+-++
=)()(u
d t A u l d u l t A y
8-4.已知一沿x 正方向传播的平面余弦波,s 3
1
=
t 时的波形如图所示,且周期T 为s 2。
(1)写出O 点的振动表达式; (2)写出该波的波动表达式; (3)写出A 点的振动表达式; (4)写出A 点离O 点的距离。
解:由图可知:0.1A m =,0.4m λ=,而2T s =,则:/0.2/u T m s λ==,
2T πωπ=
=,25k ππλ
==,∴波动方程为:00.1cos(5)y t x ππ?=-+ O 点的振动方程可写成:00.1cos()O y t π?=+
由图形可知:s 31=t 时:0.05O y =,有:00.050.1cos()3π
?=+
考虑到此时0O d y d t <,∴03π?=,53
π
(舍去) 那么:(1)O 点的振动表达式:0.1cos()3
O y t π
π=+
;
(2)波动方程为:0.1cos(5)3
y t x π
ππ=-+
;
(3)设A 点的振动表达式为:0.1cos()A A y t π?=+
由图形可知:s 31=t 时:0A y =,有:cos()03A π
?+=
考虑到此时0A d y d t >,∴56A π?=-(或76
A π
?=)
∴A 点的振动表达式:50.1cos()6A y t ππ=-
,或70.1cos()6
A y t ππ=+; (4)将A 点的坐标代入波动方程,可得到A 的振动方程为:
0.1cos(5)3
A A y t x π
ππ=-+,与(3)求得的A 点的振动表达式比较,有:
5563A t t x πππππ-=-+,所以:m x A 233.030
7== 。
8-5.一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出:
(1)原点的振动表达式; (2)波动表达式;
(3)同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 解:这是一个振动图像!
由图可知A =0.5cm ,设原点处的振动方程为:3
0510cos()O y t ω?-=?+。
(1)当0t =时,30
2.510O t y -==?,考虑到:
0O t d y d t
=>,有:03
π?=-
,
当1t =时,10O
t y ==,考虑到:10O t d y d t
=<,有:3
2
π
π
ω-
=
,56
πω=
, ∴原点的振动表达式:3
5510cos(
)63
O y t ππ-=?-; (2)沿x 轴负方向传播,设波动表达式:3
5510cos(
)63
y t k x ππ
-=?+- 而512460.825k u ωππ==?=,∴3
524510cos()6253
y t x πππ-=?+-;
(3)位相差:25
2 3.2724
x k x rad ?ππλ??==?== 。
8-6.一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进,波的平均强度为
39.010-?/()J s m ?,频率为Hz 300,波速为m/s 300。问波中的平均能量密度
和最大能量密度各是多少?每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量? 解:(1)已知波的平均强度为:3
9.010
I -=?/()J s m ?,由I w u =? 有:
3539.010310/300
I w J m u --?===?
53max 2610/w w J m -==?;
(2)由W w V =?,∴2
2
114
4
u
W w d w d
πλπν
=?=
5327310/(0.14)1 4.62104
J m m m J π
--=??
??=? 。
8-7.一弹性波在媒质中传播的速度310/u m s =,振幅4
1.010A m -=?,频率
310Hz ν=。若该媒质的密度为3800/kg m ,求:(1)该波的平均能流密度;(2)
1分钟内垂直通过面积2
4
m 100.4-?=S 的总能量。 解:(1)由:221
2
I u A ρω=
,有: 34232
110800102102
I π-=????()()
521.5810/W m =?; (2)1分钟为60秒,通过面积2
4m 100.4-?=S 的总能量为:
W I S t =5431.581041060 3.7910J -=????=? 。
8-8.1S 与2S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源,它们的间距为4/5λ=d ,
2S 质点的振动比1S 超前2π,设1S 的振动方程为t T
A y π
2cos
10=,且媒质无吸收,(1)写出1S 与2S 之间的合成波动方程;(2)分别写出1S 与2S 左、右侧的合成波动方程。 解:(1)如图,以1S 为原点,有振动方程:
t T
A y π
2cos
10=, 则波源1S 在右侧产生的行波方程为:122cos(
)y A t x T ππλ
=-, 由于2S 质点的振动比1S 超前2π,∴2S 的振动方程为202cos(
)2
y A t T ππ
=+, 设以1S 为原点,波源2S 在其左侧产生的行波方程为:
222cos(
)y A t x T ππ
?λ=++,由于波源2S 的坐标为5/4λ,代入可得振动方程: 20225cos()4y A t T ππλ?λ=+?+,与202cos()2
y A t T ππ
=+比较,有:2?π=-。
??1
S x
2
S
∴22222cos(
2)cos()y A t x A t x T T πππππλλ
=+-=+。 可见,在1S 与2S 之间的任一点x 处,相当于两列沿相反方向传播的波的叠加,
合成波为:t T
x A y y y π
λπ2cos 2cos 221=+=,为驻波;
(2)∵波源1S 在左侧产生的行波方程为:122'cos()y A t x T ππλ
=+, 与222cos()y A t x T ππλ=+叠加,有:1222'2cos y y y A t x T ππ
λ
=+=+左()
; (3)设波源2S 在其右侧产生的行波方程为:222'cos(')y A t x T ππ?λ=-+, 代入波源2S 的坐标为5/4λ,可得振动方程:20225'cos(')4
y A t T ππλ
?λ=-?+,
与20202'cos()2y y A t T ππ
==+比较,有:'3?π=。
∴22222'cos(3)cos()y A t x A t x T T ππππππλλ=-+=-+。 与122cos()y A t x T ππλ
=-叠加,有:12'0y y y =+=右。 表明两列波正好是完全反相的状态,所以合成之后为0。
8-9.设1S 与2S 为两个相干波源,相距41波长,1S 比2S 的位相超前2
π
。若两波在在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化,问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何?又在2S 外侧各点的强度如何? 解:(1)如图,1S 、2S 连线上在1S 外侧, ∵212122()24
r r πππλ???πλλ?=--
-=--?=-, ∴两波反相,合成波强度为0;
(2)如图,1S 、2S 连线上在2S 外侧, ∵212122('')()02
4
r r π
π
π
λ
???λ
λ?=--
-=-
-
-=, ∴两波同相,合成波的振幅为2A ,
1r ??S 2S o 2r ?
?1
S 2
S 2'r 1'
r o