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一次函数与方程不等式知识点

一、一次函数与一元一次方程的关系

直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b

kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b

就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系

一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

一、一次函数与一元一次方程综合

【例1】若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，

，则m 的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0

【例2】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（）

A ．2-

B ．2

C ．1-

D ．0

【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，

，则a b +=______．

例题精讲

知识点睛

一次函数与方程、不等式综合

二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25

y x

=-+．

（1）画出它的图象；

（2）求出当

x=时，y的值；

（3）求出当3

y=-时，x的值；

（4）观察图象，求出当x为何值时，0

y>，0

y=，0

【例4】当自变量x满足什么条件时，函数23

y x

=-+的图象在：

（1）x轴下方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．【巩固】当自变量x满足什么条件时，函数41

y x

=-+的图象在：

（1）x轴上方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．

【例5】如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，

，则0y >时，x 的取值范围是（） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <

【巩固】一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（）

A ．0x >

B ．0x <

C ．2x >

D ．2x <

【例6】已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：

（1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？

（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．

【巩固】已知一次函数23y x =-+

（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?

（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?

【例7】一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（）

A ．2x >-

B ．0x >

C ．2x <-

D ．0x <

【巩固】如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．

【例8】如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式1

x kx b >+>-的解集为______．

【巩固】直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式

21k x k x b >+的解集为______．

三、一次函数与二元一次方程（组）综合

【例9】把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组

（） A.无解 B.有唯一解 C.有无数个解 D.以上都有可能

【例10】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30

220

x y x y --=??-+=?的解是________．

【巩固】如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b y

mx n y +=??+=?

的解关于原点对称的点的

坐标是________．

【例11】已知方程组y ax c y kx b -=??-=?（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为2

3x y =-??

，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．

【巩固】已知24x y =??=?，是方程组732

28x y x y -=??+=?

的解，那么一次函数y =________和y =________的交点是

________．

【例12】阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；

我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图①．

观察图①可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(1，3)就是方程组1

210x x y =??-+=?

的

解，所以这个方程组的解为1

x =??；

在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图②； 21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．

(1)

y=2x+1x=1

x=1

(2)

(3)

回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组1

22x y x =-??=-+?的解；

y 1=2x+1

(4)

⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示220y x y ?

≤-+??≥?

所围成的区域．

⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .

1. 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程

3kx b +=的解是x =______．

2. 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．

已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（）课后作业

已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（）

A ．5x >

B ．1

x < C ．6x <- D ．6x >-

一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．

6. b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？

已知一次函数6y kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．

方程与不等式组知识点总结

方程与不等式组知识点总结方程与方程组一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。四、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

高中不等式知识点总结

1．不等式的解法（1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解；（2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；（3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)?()()()11当时，a f x g x >>； ()()()201当时，<<?（1）当a >1时， g x f x g x ()()()>>?? ???0；（2）当01<在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式