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高中数学应用题2

高中数学应用题之函数的处理与不等式的应用

1、如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB ,其中O 为扇形所在圆的圆心,60AOB

? ,广场管理部门欲

在绿地上修建观光小路:在 AB 上选一点C ,过C 修建与OB 平行的小路CD ,与OA 平行的小路CE ,问C 应选在何处,才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大,并说明理由.

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2、如图,两座建筑物,AB CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9cm 和15cm ,从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角45CAD ? .

⑴求BC 的长度;

⑵在线段BC 上取一点P (点P 与点,B C 不重合),从点P 看这两座建筑物的视角分别为

,A P B D P C a b ??,问点P 在何处时,a b +最小?

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3、将边长为1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记

2

(S

梯形的周长)

梯形的面积

,则S 的最小值是____ ___。

4、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2

)最大,试问x 应取何值?

(2)若广告商要求包装盒容积V (cm 3

)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

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一个圆柱形圆木的底面半径为1m ,长为10m ,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD (如图所示,其中O 为圆心,,C D 在半圆上),设BOC

q ?,木梁的体积为V (单位:m 3).

(1)求V 关于θ的函数表达式;(2)求q 的值,使体积V 最大;

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米,圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式;

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(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最大值?

θ

D C

B

A

O

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A A 2

某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处,已知AB=AC=6km ,现计划在BC 边的高A O 上一点P 处建造一个变电站。记P 到三个村庄的距离之和为y , (Ⅰ)若∠PBO=α,把y 表示成α的函数关系式; (Ⅱ)变电站建于何处时,它到三个村庄的距离之和最小?

如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m ,圆心为O ,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为2m ,在圆环上设置三个等分点A 1,A 2,A 3。点C 为上一点(不包含端点O 、B ),同时点C 与点A 1,A 2,A 3,B 均用细绳相连接,且细绳CA 1,CA 2,CA 3的长度相等。设细绳的总长为

(1)设∠CA 1O = (rad ),将y 表示成θ的函数关系式;

(2)请你设计,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y 最小,并指明此时 BC 应为多长。

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)(OB 即OB y θθ

某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖(如图),其中直四棱柱的高1AA =10m ,两底面1111,ABCD A BC D 是高为2m ,面积为2

10m 的等腰梯形,且02ADC p q q 骣琪?琪

。若储水窖顶盖每平方米的造价为100元,侧面每平方米的造价为400元,底部每平方米的造价为500元。 (1)试将储水窖的造价y 表示为θ的函数;

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(2 1.73=)。

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17.如图,在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l 上设立了A 、B 两个报名点,满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作:先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于A 、B 两点),然后乘同一艘游轮前往C 岛。据统计,每批游客A 处需发车2辆,B 处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元。设∠α=CDA ,每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元。

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(1)写出S 关于α的函数表达式,并指出α的取值范围; (2)问中转点D 距离A 处多远时,S 最小?

已知 A 、B 两地相距2R ,以AB 为直径作一个半圆,在半圆上取一点C ,连接AC 、BC ,在三角形ABC 内种草坪(如图),M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点,在三角形AMC 、三角形BNC 上种花,其余是空地.设花坛的面积为1S ,草坪的面积为2S ,取ABC q ?.

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(1) 用 及R 表示1S 和2S ; (2) 求

1

2

S S 的最小值.