勾股定理五种证明方法.docx
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勾股定理五种证明方法
【证法 1】
a b b a
a a c a a c b
a b
c
b cb b b c
c a
a b a b
做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 .即
a 2b241
ab c24
1
ab
，整理得 a 2b2c2. 22
【证法 2】（邹元治证明）
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1
ab
形的面积等于 2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上， B、F、C三点在一条直线上， C、G、 D 三点在一条直线上 .
∵ Rt HAE ≌ Rt EBF,
C
DbGa
∴ ∠ AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o ,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90 o .
∴ ∠HEF = 180o ― 90o = 90 o . ∴四边形 EFGH是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c2.
∵ Rt GDH≌ Rt HAE,a c
c
b H
F b
c
c a A a E b B
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o ,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o .
又∵ ∠GHE = 90o ,
∴ ∠DHA = 90o + 90 o = 180 o .
∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于
a b
2
.
a b 2
4
1
ab c 2
b 2
c 2 .
∴
2
.∴ a 2
【证法 3】（ 梅文鼎证明 ）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a 、
b ，斜边长为
c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D 、E 、F 在一条直线上 .
过 C 作 AC
的延长线交 DF 于点 P.
∵ D 、E 、F 在一条直线上 , 且 Rt GEF ≌ Rt
EBD,
∴ ∠EGF = ∠BED ，
∵ ∠EGF + ∠ GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
F
b
a
∴ ∠BEG =180o ―90o = 90 o .
G
c
E
又∵ AB = BE = EG = GA = c ，
P
∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形 .
b
C
b
c
c
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o .
a
H D
b
a
∵ Rt ABC ≌ Rt EBD,
a
A
c
B
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o .
即
∠CBD= 90o .
又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ，
BC = BD = a .
∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形 .
同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 .
设多边形 GHCBE 的面积为 S ，则
a
2
b
2
S 2
1
ab,
c
2
S 2 1
ab
2
2 ,
∴
a 2
b 2
c 2 .
【 证法 4
1876 年美国总统 Garfield
证明
）
】（
以 a 、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1
ab
C
形的面积等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，
使 A 、E 、B 三点在
一条直线上 .
D
∵ Rt EAD ≌ Rt CBE,
a c c
b
∴ ∠ADE = ∠BEC.
A
b
E
a
B
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o ,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90o .
∴ ∠DEC = 180o ― 90o = 90 o .
∴
DEC 是一个等腰直角三角形，
1 c 2
它的面积等于 2 .
又∵ ∠DAE = 90o , ∠EBC = 90o ,
∴ AD ∥ BC.
1 a
b 2
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2
.
1 a b 2
2
1
ab 1 c 2
∴ 2
2
2 .
∴ a
2
b
2
c 2 .
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【证法 5辛卜松证明
）
】（
A b a D A b a D
11
a a
b a 2a a2 ab c2 ab b
c
c 2
b b2ab b b
c c
1
ab1ab a
22
B b a
C B a b C
设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为 c.作边长是 a+b 的正
方形 ABCD.把正方形 ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的
面积为a b 2a2 b 22ab
；把正方形 ABCD划分成上方右图所示的几个部
a b 24
1
ab c 2
= 2ab c2 .
分，则正方形 ABCD的面积为2
∴ a 2b22ab 2ab c2,
∴ a 2b2 c 2.
初二（1）