高中数学-函数综合测试题
高中数学-函数综合测试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．已知全集U R =，集合{}Z x x x A ∈≤=,1|, {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为(B )
A.{}1-
B.{}2
C.{}2,1
D. {}2,0
2. 函数)13lg(13)(2++-=x x
x x f 的定义域为
（B ）
A.),31(+∞-
B. )1,31(-
C. )31,31(-
D. )3
1,(--∞ 3．下列各式正确的是（C ）
A ． 3334<
B . 6log 4log 5.05.0<
C . 33) 2
1 () 21 (>- D . 4.1lg 6.1lg <
4.已知函数()1
,1,,1,2,32
f x x αα??
=∈-???
?
,若()f x 是区间(),-∞+∞上的增函
数,则α的所有可能取值为( A )
(A){}1,3 (B)1
,1,2,32
??????
(C){}1,2,3 (D)11,,1,22
??
-???
?
5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是(A )
A ．f (a ＋1)>f (2)
B ．f (a ＋1) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定 解：由y ＝f (x )的图象及已知可得0f (2)． 6．如果一个函数)(x f 满足：①定义域为R ； ②任意12,x x R ∈，若120x x +=，则12()()0f x f x +=； ③任意x R ∈，若0t >，)()(x f t x f >+。则)(x f 可以是（ C ） A ．y x =- B ．x y 3= C ．3x y = D ．3log y x = 7.设函数()f x =c x b ax ++2 的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是 （B ） 11 -1 -1 O x y A.a ＞b ＞c B.a ＞c ＞b C.b ＞a ＞c D.c ＞a ＞ b 解：f （0）=c b =0，∴b =0.f （1）=1，∴ c a +1=1. ∴a =c +1. 由图象看出x ＞0时，f （x ）＞0，即x ＞0时，有c x ax +2 ＞0，∴a ＞0 .又f （x ）= x c x a + ，当x ＞0时，要使f （x ）在x =1时取最大值1， 需x +x c ≥2 c ， 当且仅当x =c =1 时.∴c =1，此时应有f （x ）=2 a =1.∴a =2. 8. 函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a =- 对称。据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程 []2 ()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（D ） A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64 解：∵f （x ）=ax 2+bx+c 的对称轴为x=，方程m[f （x ）]2+nf （x ） +p=0的解为y 1，y 2 则必有y 1=ax 2+bx+c ，y 2=ax 2+bx+c 那么从图象上看，y=y 1，y=y 2是一条平行于x 轴的直线，它们与f （x ）有交点 则方程y 1=ax 2+bx+c 的两个解x 1，x 2要关于直线x=对称，即2 （x 1+x 2）= 同理方程y 2=ax 2+bx+c 的两个解x 3，x 4也要关于直线x=对称，即2（x 3+x 4）= ， 在C 中，可以找到对称轴直线x=2.5，也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解 所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4} 而在D 中，{1， 4，16，64}，找不到对称轴，故选D ． 二、填空题（每小题5分） 9.幂函数()f x x a =（a 为实常数）的图象过点(4,2)，那么(16)f 的值 为 . 4 10.函数()1(1)3(01)m f x og x m 且=-+>?恒过定点 .(2,3) 11.已知x y x 62322=+，则22y x +的最大值为 . 4 解：由 x y x 6232 2=+得2233.2 y x x =-+2230,30,0 2.2 y x x x ≥∴-+≥∴≤≤Q 又,2 9)3(21323 22222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.42 9 )32(212=+-- 12..已知函数 |lg |,010()113 ,103 3x x f x x x <≤?? =?-+>??.若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==若c N ∈，则abc = . 11,12 解：画图知01,110,10a b c <<<<>，且：()()()|lg ||lg ||lg |(0,1)f a f b f c a b c ==?==∈，∴1 113lg lg (0,1)10133 3 ab a b c c =?-==-+∈?? < ，故(10,13)abc c =∈，. 三、解答题（共3个小题，满分40分） 13.（本小题满分13分）下列各式的值 （1）( )( 2 02 41 33 3 22210283-????-??-+-+-?? ??????? （2 ）3 12 1log 24lg 539-??-- ? ?? (1)88 （6分） (2)13 6 - （7分） 14．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝2log a (2x ＋t )(t ∈R )，其中x ∈[0，15]，a ＞0，且a ≠1. (1)若1是关于x 的方程f (x )－g (x )＝0的一个解，求t 的值； (2)当0＜a ＜1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)由题意得f (1)－g (1)＝0，即log a 2＝2log a (2＋t )， 解得t ＝－2＋2或t ＝－2－2(舍去)，∴t ＝－2＋ 2. (2)不等式f (x )≥g (x )恒成立，即1 2log a (x ＋1)≥log a (2x ＋t )(x ∈[0，15])恒成立， 它等价于x ＋1≤2x ＋t (x ∈[0，15])，即t ≥x ＋1－2x (x ∈[0，15])恒成立． 令x ＋1＝u (x ∈[0，15])，则u ∈[1，4]，x ＝u 2－1， x ＋1－2x ＝－2(u 2 －1)＋u ＝－2? ? ? ??u －142＋178， 当u ＝1时，x ＋1－2x 的最大值为1. 15．（本小题14分）已知函数x x f 11)(-=(x >0)． （I ）0,()()a b f a f b <<=当且时，求11a b +的值； （II ）是否存在实数a ，b （a 都是[a ，b ]？若存在，请求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由． 15．解：（I ） ∵x>0，∴1 1,x 1,x (x)11,0x 1.x f ?-≥??=??-<