北师大高中数学选修21培优新方案同步课时跟踪检测十二 距离的计算 含解析
课时跟踪检测（十二） 距离的计算
一、基本能力达标
1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )
A ．10
B ．3 C.8
3
D.103
解析：选C PA ―→
＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ―→·n |n
＝|－2＋8＋2|3＝8
3.
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1―→上且AM ―→＝12MC 1―→
，N 为B 1B 的中
点，则|MN ―→
|为( )
A.
216a B.66a C.156a D.153
a 解析：选A 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ????a ，a ，a
2. 设M (x ，y ，z )．
∵点M 在AC 1―→上且AM ―→＝12MC 1―→
.
∴(x －a ，y ，z )＝1
2(－x ，a －y ，a －z )，
∴x ＝2
3a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ????2a 3，a 3，a 3. ∴|MN ―→|＝ ????a －23a 2＋????a －a 32＋???
?a 2－a 32 ＝
216
a . 3.如图，P －ABCD 是正四棱锥，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )
A ．6 B.355 C.655
D.322
解析：选C 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直
角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由题意知，B 1(2,0,0)，A (0,0,2)，D (0,2,2)，P (1,1,4)．AD ―→＝(0,2,0)，AP ―→
＝(1,1,2)，
∴AD ―→·n ＝0，且AP ―→·n ＝0.
∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．
∵B 1A ―→
＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|B 1A ―→
·n ||n |
＝655.
4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.3
4 解析：选C 如图，建立空间直角坐标系，
则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2，4)，D 1(0,0,4)． ∴D 1B 1―→
＝(2,2,0)，
D 1A ―→＝(2,0，－4)，AA 1―→
＝(0,0,4)，
设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，
则n ⊥D 1B 1―→，n ⊥D 1A ―→
，∴?????
n ·D 1B 1―→＝0，n ·
D 1A ―→＝0，即?????
2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.
令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．
∴由AA 1―→
在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1―→
·n ||n |
＝43.
5．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ???
?32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，
则C 1A ―→＝????32，12，－1，C 1B 1―→＝(0,1,0)，C 1B 1―→＝(0,1，－1)，设平面
ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，
则有?????
C 1A ―→·n ＝0 C 1B 1―→·n ＝0，解得n ＝
????33，1，1，
则d ＝|C 1B 1―→
·n |n |
|＝
1
1
3＋1＋1＝217.
答案：
217
6．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱AD ，AB ，CD ，BC 的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ????12，0，1，F ????1，12，1，D 1(0,0,0)，M ????0，12，1，N ???
?1
2，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.
∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·D 1B 1―→＝0，且n ·B 1N ―→＝0.
即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·???
?－12，0，1＝0.
∴x ＋y ＝0，且－1
2x ＋z ＝0，
令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1. ∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝????23，－23，13. ∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1―→
·n 0|
＝????(0，1，0)·????23
，－23，13＝23. 答案：23
7.如图，已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别是AB 和BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．
解：由题意知直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的
距离，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，P (0,0,1)，E ????1，12，0，F ???
?1
2，1，0， ∴PE ―→＝????1，12，－1，PE ―→＝????1
2，1，－1. 设n ＝(x ，y ，z )是平面PEF 的一个法向量， 则由?????
n ·PE ―→＝0，
n ·PE ―→＝0，得???
x ＋y
2－z ＝0，x 2＋y －z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝32
，
∴n ＝????1，1，32.又∵AP ―→
＝(－1,0,1)， ∴d ＝|AP ―→·n ||n |
＝－1×1＋0×1＋1×321＋1＋
94
＝1717.
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.求点C 到平面AEC 1F 的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．
设n 为平面AEC 1F 的法向量，
显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)． 由?????
n ·AE ―→＝0，n ·
EC 1―→＝0，得?????
0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0，
即?
????
4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0， ∴?????
x ＝1，
y ＝－14
.n ＝????1，－14，1. 又A 1D ―→
＝(0,0,3)．
∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|CC 1―→·n ||n |
＝
31＋116
＋1＝43311
.
二、综合能力提升
1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与对角线BC 1所在的直线间的距离为( )
A.
6
2
a B ．a C.2a
D.a 2
解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )．
∴A 1B ―→＝(0，a ，－a )，BC 1―→
＝(－a,0，a )． ∴|A 1B ―→|＝2a ，|BC 1―→
|＝2a .
∴点A 1到BC 1的距离d ＝
|A 1B ―→|2－????????A 1B ―→·BC 1―→|BC 1―
→|2 ＝
2a 2－12a 2＝62
a .
2．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD ＝AD ＝1，则C 到平面PAB 的距离d ＝( ) A ．1 B.2 C.
22 D.3
2
解析：选C 以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)， ∴AP ―→＝(－1,0,1)，AB ―→＝(0,1,0)，AC ―→
＝(－1,1,0)， 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴?????
n AP ―→＝0，n ·
AB ―→＝0，即?????
－x ＋z ＝0，y ＝0，
令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)． ∴d ＝|AC ―→·n ||n |
＝|－1|2＝22.
3.四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．
(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．
解：(1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0，1,1)． FP ―→
＝(－1,0,2)， FB ―→＝(1,2,0)，DE ―→
＝(0,1,1)， ∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，
∴DE ―→
∥平面PFB .
又∵DE ?平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，
∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则?????
n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0
??????
x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，
令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.
∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→
＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n ||n |＝26＝63.
∴点E 到平面PFB 的距离为
63
.
4.如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD
＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.
(1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D -PC -A 的余弦值为
5
5
，求点A 到平面PBC 的距离． 解：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ?平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，
∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .
(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又PA ⊥底面ABCD ，
∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C
????32，12，0，D ????32
，－12，0，B (0,2,0)，
PC ―→＝????32，12，－h ，DC ―→
＝(0,1,0)，
设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则?????
n 1·PC ―→＝0，n 1·DC ―→＝0，即???
??
32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，
取x 1＝h ，∴n 1＝?
?
?
?h ，0，
32. 由(1)知平面PAC 的一个法向量为BC ―→＝????32，－32，0，
∴|cos 〈n 1，BC ―→
〉|＝
32h h 2
＋34
×3
＝5
5，解得h ＝3， 同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ―→·n 2||n 2|＝234＝32.