2015高中物理 第一章 碰撞与动量守恒 章末总结 学案(教科版选修3-5)

章末总结

一、子弹打木块模型及拓展应用

动量守恒定律应用中有一类典型的物理模型——子弹打木块模型．此类模型的特点： 1．由于子弹和木块组成的系统所受合外力为零(水平面光滑)，或者内力远大于外力，故系统动量守恒．

2．由于打击过程中，子弹与木块间有摩擦力的作用，故通常伴随着机械能与内能之间的相互转化，故系统机械能不守恒．系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即：ΔE ＝fx 相对． 例1 一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以初速度v 0水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为f .求： (1)子弹、木块相对静止时的速度v 为多少？ (2)系统损失的机械能、系统增加的内能分别为多少？ (3)子弹打进木块的深度l 深为多少？

解析 (1)由动量守恒得：m v 0＝(M ＋m )v ，子弹与木块相对静止时的共同速度为：v ＝m

M ＋m v 0.

(2)系统损失的机械能 ΔE k ＝12m v 20－12

(M ＋m )v 2

得：ΔE k ＝Mm v 20

2(M ＋m )

由能量守恒定律得

系统增加的内能Q ＝ΔE k ＝Mm v 20

2(M ＋m )

(3)方法一：对子弹利用动能定理得 －fx 1＝12m v 2－12m v 2

所以x 1＝Mm (M ＋2m )v 20

2f (M ＋m )2 同理对木块有：fx 2＝12M v 2

故木块发生的位移为

x 2＝Mm 2v 2

2f (M ＋m )2

.

子弹打进木块的深度为：

l 深＝x 1－x 2＝Mm v 2

2f (M ＋m )

方法二：对系统根据能量守恒定律，得： f ·l 深＝12m v 20－12

(M ＋m )v 2

得：l 深＝Mm v 2

2f (M ＋m )

l 深即是子弹打进木块的深度．

答案 (1)m

M ＋m v 0 (2)Mm v 202(M ＋m ) Mm v 2

02(M ＋m )

(3)Mm v 20

2f (M ＋m )

例2 如图1所示，有一质量为M 的木板(足够长)静止在光滑的水平面上，一质量为m 的小铁块以初速度v 0水平滑上木板的左端，小铁块与木板之间的动摩擦因数为μ，试求小铁块在木板上相对木板滑动的过程中，若小铁块恰好没有滑离木板，则木板的长度至少为多少？

图1

解析 此题为另类的“子弹打木块”的模型，即把小铁块类似于有初动量的“子弹”，以小铁块和木板为一个系统，系统动量守恒．在达到共同速度的过程中，m 给M 一个向右的滑动摩擦力f ＝μmg ，M 向右做匀加速运动；M 给m 一个向左的滑动摩擦力f ′＝μmg ，m 向右做匀减速直线运动，m 相对M 向右运动，最后两者达到共同速度．

由动量守恒得：

m v 0＝(M ＋m )v ，得v ＝m v 0

M ＋m .

设木板长至少为l ， 由能量守恒定律得

Q ＝μmgl ＝ΔE k ＝12m v 20－1

2(M ＋m )v 2

所以l ＝M v 20

2μg (M ＋m ).

答案 M v 20

2μg (M ＋m )

二、动量和能量综合问题分析

动量和能量综合问题往往涉及的物体多、过程多、题目综合性强，解题时要认真分析物体间相互作用的过程，将过程合理分段，明确在每一个子过程中哪些物体组成的系统动量守恒，哪些物体组成的系统机械能守恒，然后针对不同的过程和系统，选择动量守恒定律或机械能守恒定律或能量守恒定律列方程求解．

例3 如图2所示，A 为一具有光滑曲面的固定轨道，轨道底端是水平的，质量M ＝40 kg 的小车B 静止于轨道右侧，其板与轨道底端靠近且在同一水平面上，一个质量m ＝20 kg 的物体C 以2.0 m/s 的初速度从轨道顶端滑下，冲上小车B 后经一段时间与小车相对静止并继续一起运动．若轨道顶端与底端水平面的高度差h 为0.8 m ，物体与小车板面间的动摩擦因数μ为0.40，小车与水平面间的摩擦忽略不计，(取g ＝10 m/s 2)求：

图2

(1)物体与小车保持相对静止时的速度； (2)物体冲上小车后相对于小车板面滑动的距离．

解析 (1)物体下滑过程机械能守恒，但动量不守恒，即有：mgh ＝12m v 22－12m v 21，

得v 2＝v 21＋2gh ＝2 5 m/s

在物体C 冲上小车B 到与小车相对静止的过程中，两者组成的系统动量守恒， 即有：m v 2＝(m ＋M )v ，

得：v ＝m v 2m ＋M ＝20×2520＋40 m/s ＝2

3 5 m/s

(2)由功能关系有： μmgx ＝12m v 22

－1

2

(m ＋M )v 2

代入数据解得：x ＝5

3 m

答案 (1)23 5 m/s (2)5

3 m

三、碰撞中的临界问题分析

相互作用的两个物体在很多情况下皆可当作碰撞处理，那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题，求解的关键都是“速度相等”．

1．涉及弹簧类的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短或拉伸到最长时，弹簧两端的两个物体的速度必然相等．

2．涉及相互作用最大限度类的临界问题：在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于物体间弹力的作用，斜面在水平方向上将做加速运动，物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向上的分速度等于零．

3．子弹打木块类的临界问题：子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同．

4．滑块—木板模型的临界问题：滑块在光滑木板上滑行的距离最远时，滑块和木板的速度相同．

例4 一轻质弹簧，两端各连质量均为m 的滑块A 和B ，静放在光滑水平面上，滑块A 被水平飞来的质量为m

4

、速度为v 0的子弹击中且没有穿出(如图3所示)，求：

图3

(1)子弹击中滑块A 的瞬间，A 和B 的速度各多大； (2)以后运动过程中弹簧的最大弹性势能．

解析 (1)子弹击中滑块A 的瞬间，时间极短，弹簧还未来得及发生形变，因此v B ＝0.子弹和滑块A 组成的系统动量守恒，机械能不守恒(因子弹和滑块A 间有摩擦阻力)．根据动量守恒定律得：

m 4v 0＝(m 4＋m )v A ，即v A ＝15

v 0. (2)子弹射入滑块A 后，滑块A 以获得的速度向右运动，弹簧被压缩，A 、B 分别受到方向相反的弹力作用，A 做减速运动，B 做加速运动，在两者速度达到相等前，弹簧一直被压缩，在两者速度相等时，弹簧弹性势能最大． m 4v 0＝(m ＋m

4＋m )v ， 则v ＝1

9

v 0，

E p ＝12(m ＋m 4)v 2A －12(m ＋m 4＋m )v 2＝190m v 20. 答案 见解析

1．一炮艇总质量为M ，以速度v 0匀速行驶，从艇上以相对海岸的水平速度v 沿前进方向射出一质量为m 的炮弹，发射炮弹后艇的速度为v ′，若不计水的阻力，则下列各关系式中正确的是______．(填选项前的编号) ①M v 0＝(M －m )v ′＋m v

②M v 0＝(M －m )v ′＋m (v ＋v 0) ③M v 0＝(M －m )v ′＋m (v ＋v ′)

④M v 0＝M v ′＋m v

答案 ①

解析 动量守恒定律中的速度都是相对于同一参照物的，题目中所给炮弹的速度v 是相对于海岸的，即相对于地面的，所以有：M v 0＝(M －m )v ′＋m v ，故①正确．

2.如图4所示，光滑水平面上有三个木块A 、B 、C ，质量分别为m A ＝m C ＝2m ，m B ＝m ，A 、B 用细绳连接，中间有一压缩的弹簧(弹簧与滑块不栓接)．开始时A 、B 以共同速度v 0运动，C 静止．某时刻细绳突然断开，A 、B 被弹开，然后B 又与C 发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同，求B 与C 碰撞前B 的速度．

图4

答案 95

v 0

解析 A 、B 在弹力的作用下，A 减速运动，B 加速运动，最终三者以共同的速度向右运动，设共同速度为v ，A 和B 分开后，B 的速度为v B ，对三个木块组成的系统，整个过程总动量守恒，则有(m A ＋m B )v 0＝(m A ＋m B ＋m C )v

对A 、B 两个木块，分开过程满足动量守恒，则有 (m A ＋m B )v 0＝m A v ＋m B v B

联立以上两式可得：B 和C 碰撞前B 的速度为 v B ＝95

v 0.

3．如图5所示，质量为m 1＝16 kg 的平板车B 原来静止在光滑的水平面上，另一质量m 2＝4 kg 的小物体A 以5 m/s 的水平速度滑向平板车的另一端，假设平板车与物体间的动摩擦因数为0.5，g 取10 m/s 2，求：

图5

(1)如果A 不会从B 的另一端滑下，则A 、B 的最终速度为多大； (2)要保证A 不滑下平板车，平板车至少要有多长． 答案 (1)1 m/s (2)2 m

解析 (1)设A 、B 共同运动的速度为v ，A 的初速度为v 0，则对A 、B 组成的系统，由动量守恒定律可得m 2v 0＝(m 1＋m 2)v ，解得：v ＝4×5

16＋4

m/s ＝1 m/s

(2)设A 在B 上滑行的距离为l ，取A 、B 系统为研究对象，由于系统内能的增加等于系统动能的减少，根据能量守恒定律有 μm 2gl ＝12m 2v 20－12(m 1＋m 2)v 2

代入数据解得l ＝2 m

4．如图6所示，在水平地面上放置一质量为M 的木块，一质量为m 的子弹以水平速度v 射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：

图6

(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离； (2)射入的过程中，系统损失的机械能． 答案 (1)m 2v 22(M ＋m )2μg (2)Mm v 22(M ＋m )

解析 因子弹未射出 ，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．

(1)设子弹射入木块时，二者的共同速度为v ′，取子弹的初速度方向为正方向，则有：m v ＝(M ＋m )v ′，①

二者一起沿地面滑动，前进的距离为s ，由动能定理得： －μ(M ＋m )gs ＝0－1

2(M ＋m )v ′2，②

由①②两式解得： s ＝m 2v 2

2(M ＋m )2μg

(2)射入过程中损失的机械能 ΔE ＝12m v 2－1

2(M ＋m )v ′2，③

解得：ΔE ＝Mm v 2

2(M ＋m )

.