圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理

1．圆锥曲线的定义：

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .

圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时

要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22

22b x a y +＝1

（0a b >>）。

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时

22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

椭圆：由x 2

,y

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

双曲线：由x 2,y 2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，2

2

2

a b c =+，在双曲线中，c 最大，2

2

2

c a b =+。

3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±

b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可．

4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．

解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标．

(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式．

(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋1

k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法，通

常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.

6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系

(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：

①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程．

②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式． ③应用斜率公式及中点坐标公式求解．

特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！

6．求曲线方程的基本方法有：

(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题；

(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；

(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先写出关于x 1，y 1的方程，再根据x 1，y 1与x ，y 的关系求出P (x ，y )的轨迹方程；

(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法； (5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；

(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.

7.常见类型转化：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”

?OA OB ⊥ ?121K K ?=-（提醒：需讨论K 是否存在）?0OA OB ?= ? 12120x x y y +=

②“点在圆内、圆上、圆外问题”?“钝角、直角、锐角问题”?“向量的数量积小于、等于、大于0问题”?1212x x y y +<0；1212x x y y +=0; 1212x x y y +>0 ③“等角、角平分、角互补问题”?斜率关系（120K K +=或12K K =）；

例如： EF 平分AEB ∠?0AE BE K K +=

一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用

例1. (1)如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任

意一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P,则点P 的轨迹方程（ ）

A.x 225 +y

2

16 =1 B. x 225 －y 2

16 =1 C.(x+3)225 + y 2

16 =1

D. (x+3)225 - y 2

16 =1

解：由于

P

为

AM

的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以

|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为x 2

25

+y 2

16

=1.所以选A (2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →

＝0，则|F A →|＋|FB

→|＋|FC →|＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，

抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由已知得x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 而|F A |＝x 1－(－1)＝x 1＋1， |FB |＝x 2－(－1)＝x 2＋1， |FC |＝x 3－(－1)＝x 3＋1，

∴|F A|＋|FB|＋|FC|

＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝(x1＋x2＋x3)＋3＝3＋3＝6.

例2.(1)若双曲线

x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值

范围为()

A．(1,2) B．(1,2] C．(1，5) D．(1，5]

(2)函数y＝3－

3

4x

2的图象上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数

列，则公比的取值范围是________．

（3）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线

的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

（A

（B（C（D

（4）椭圆

22

22

1()

x y

a b

a b

+

=>>0的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆

上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）

（A）

?

??

（B）1

0,

2

??

?

??

（C）)1,1（D）1,1

2

??

?

???

222

22

22

51(0,0)-,0)(0)

9

1

,(),

2

x y a

a b F c c x y

a b

E FE

OE OF OP

-=>>>+=

∈

=+

（）过双曲线的左焦点（作圆

的切线，

切点为直线交双曲线右支于点P，若则双曲线的离心率为（）

(6)一只双曲线

22

12

22

1(0,0),.

x y

a b F F

a b

-=>

>的左右焦点分别为O为双曲线的中心，

P是双曲线右支上的点，

12

PF F

?的内切圆的圆心为I,且圆I与x 轴相切与点A,过

2

F

作直线PI的垂线，垂足为B，若双曲线的离心率则

( )

A.OB OA

= B.OA= C.OA OB

= D.OA OB

与关系不确定

[解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±

b

a x，要使直线y＝3x与双曲线无交

点，则直线y＝3x，应在两渐近线之间，所以有

b

a≤3，即b≤3a，所以b

2≤3a2，

c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1

(2)函数y＝3－

3

4x

2可变为

x2

4＋

y2

3＝1(y≥0)，(1,0)为椭圆的右焦点，上半椭圆

上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；要使等比数

列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为3，要使等比数列

公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为

3

3.

（3）【解析】选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)

F c B b

一条渐近线斜率为：

b

a

，直线FB的斜率为：

b

c

-，()1

b b

a c

∴?-

=-，2b ac

∴=

220

c

a ac

--=，即e2-e-1=0,所以e=或e=（舍去）

（4）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，

即F点到P点与A点的距离相等

而|F A|＝

22

a b

c

c c

-=

|PF|∈[a－c,a＋c]

于是

2

b

c

∈[a－c,a＋c]

即ac－c2≤b2≤ac＋c2

（5）答案：B (6) 答案：C

解析：依题意设内切圆与1212PF ,PF ,FF 的切点分别为M,N,A.

122,PF PF a -=

且1122,,,PM PN FM F A F N F A ===12122PF PF F A F A a ∴-=-=。 设A 的横坐标为x ，可得c+x-(c -x )=2a,即x=a,所以OA a =；

延长21,F B PF Q 交于则B 为2F Q 中点，O 为12F F 的中点，又因为

121

2,PF PF FQ a -==,OB a OA OB ∴=∴= 三、直线与圆锥曲线的位置关系

例3 .过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )

A.22

B. 2

C.32

2 D ．2 2

变式题 过抛物线y 2＝2px 焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．不确定

D ．钝角三角形 例3[答案] C

[解析] 如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)．易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以

y 0＝－22，故点A (2，－22)．则直线AB 的斜率为k ＝－22－0

2－1

＝－22，直线

AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立???

y ＝－22x ＋22，

y 2＝4x ，

消去y 得2x 2－5x ＋2

＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为1

2.再由抛物线

的定义得||BF ＝12－()－1＝32，||AB ＝||AF ＋||BF ＝3＋32＝9

2.

又因为点O 到直线AB 的距离为d ＝22

3，

所以S △AOB ＝12×92×223＝32

2. 变式题 [答案] D

[解析] 设点A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则OA →·OB →＝(x 1，y 1)·

(x 2，y 2)＝x 1x

2

＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3

4p 2<0，所以∠AOB 为钝角，故△OAB 一定为钝角三角形．

五、圆锥曲线背景下的定点问题

[例5](2012年·福建卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点

为F 2，离心率e ＝1

2.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；

(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

[解析] (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8. 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2.

又因为e ＝12，即c a ＝1

2，所以c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝ 3.

故椭圆E 的方程是x 24＋y 2

3＝1.

(2)由????

?y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23

＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.

因为动直线l

与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，

化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*) 所以P (－4k m ，3

m )．

由???x ＝4，y ＝kx ＋m ，

得Q (4，4k ＋m ) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．

设M (x 1，0)，则0MP MQ ?=对满足(*)式的m ，k 恒成立．

因为MP =(－4k m －x 1，3

m )，MQ =(4－x 1，4k ＋m )， 由0MP MQ ?=，得 －16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21

＋12k m ＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)k

m ＋x 21－4x 1＋3＝0.

(* *) 由于(* *)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，

所以???4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，

解得x 1＝1.

故存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 跟踪练习

22221(0)(10),-12

17

QB 16

x y C a b F a b l x QA +=>>?=-已知椭圆：的右焦点，且点（，（）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线过点F,且与椭圆C 交于A,B 两点，试问轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由

解析：（1）由题意知，c=1

根据椭圆定义得，2a a ==即所以2

211b =-=，所以椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=

（2）假设在x 轴上存在定点Q （m,0）,使得7

16

QA QB ?=-

恒成立。

当直线70(,0)(,0)16

l A B m m ?=-的斜率为时， 解得5

4

m =±

当直线(122

l B -的斜率不存在时，A(1,

，

由于5575

1+1+,44164

m ?≠-≠-（（，所以

当直线(1)l l y k x =-的斜率存在且不为0时，设直线的方程为 与椭圆方程联立得2222(12)4220k x k x k +-+-=

2122

2212k x x k -=+ 2122412k x x k +=+ 2

12212k y y k -=+ 2242257

121616

k QA QB k --∴?=+=-+

法二：

假设存在，设Q (t,0)则1122()()QA QB x ty x ty ?=-?-

2222

1212122

(14)27

()1216

t t k t x x t x x t y y k -++-=-+++==-+ 221425214

t t t t -+∴=?=-

六、圆锥曲线背景下的定值问题

例6：(2012·湖南卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2

＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．

(1)求曲线C 1的方程； (2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．

解：(1)方法1：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得 |x ＋2|＝(x －5)2＋y 2－3，

易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧， 于是x ＋2>0，所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5. 化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .

方法2：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离，因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线，故其方程为y 2＝20x .

(2)证明：当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.

于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1

＝3.整理得

72k 2＋18y 0k ＋y 2

0－9＝0. ①

设过P 所作的两条切线P A ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故

k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 0

4. ② 由???

k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x ，

得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0. ③ 设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以

y 1·y 2＝20(y 0＋4k 1)k 1

. ④

同理可得 y 3·y 4＝20(y 0＋4k 2)

k 2

. ⑤

于是由②，④，⑤三式得

y 1y 2y 3y 4＝400(y 0＋4k 1)(y 0＋4k 2)

k 1k

2

＝

400[y 2

0＋4(k 1＋k 2)y 0＋16k 1k 2]

k 1k 2

＝400[y 20－y 2

0＋16k 1k 2]k 1k 2

＝6 400.

所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400. 跟踪训练

已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双

曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．

证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝±2. 当x ＝2时，代入双曲线方程，得y ＝±2， 即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°. 同理当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.

当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则

|b |1＋k 2＝2，即b 2＝2(1＋k 2

)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0，

由于直线l 与双曲线交于A ，B 两点，故2－k 2≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2kb

2－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋2)2－k 2

，

y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2

x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2

＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 2

2－k 2

＝

2b 2－2k 2

2－k 2

， 故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－2(1＋k 2)

2－k 2.

由于b 2＝2(1＋k 2)，

故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →

＝0，∠AOB ＝90°.

综上可知，若l 交双曲线A ，B 两点，∠AOB 的大小为定值． 七、圆锥曲线背景下的最值问题

例7 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (2,4)作圆C 的两条切线，切点分别

为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆T ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点.

(1)求椭圆T 的方程;

(2)若直线l 与椭圆T 相交于P ，Q 两不同点，直线l 方程为y ＝kx ＋3(k >0)，O 为坐标原点，求△OPQ 面积的最大值.

解：(1)由题意：一条切线方程为x ＝2，设另一条切线方程为y －4＝k (x －2)， 则|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时切线方程为y ＝34x ＋52，切线方程与圆方程联立

得：x ＝－65，y ＝8

5，则直线AB 的方程为x ＋2y ＝2.

令x ＝0，解得y ＝1，∴b ＝1；令y ＝0，得x ＝2，∴a ＝2.

故所求椭圆方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)联立????

?

y ＝kx ＋3，x 24

＋y 2＝1.整理得(1＋4k 2)x 2＋83kx ＋8＝0，

Δ＝(83k )2－32(1＋4k 2)>0，即2k 2－1>0.

令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－83k 1＋4k 2，x 1x 2

＝8

1＋4k 2

， 原点到直线l 的距离为d ＝31＋k

2，|PQ |＝1＋k 2

|x 1－x 2|， ∴S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝32|x 1－x 2|＝3

2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2

＝26·2k 2－1(1＋4k 2)2＝26·2k 2－1

4(2k 2－1)2＋12(2k 2－1)＋9

＝26·

1

4(2k 2

－1)＋12＋92k 2

－1≤1. 当且仅当k ＝

5

2

时取等号，则△OPQ 面积的最大值为1. 变式：在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相 交于A ，B 两点．

(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；

(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由．

(1)设直线AB的斜率为k，A(x1，y1)B(x2，y2)，由题意知：C(0，p)，N(0，－p)，则l的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立消去y得，x2－2pkx－2p2＝0.

所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2………………………………2分

又因为S

△ANB ＝S

△ANC

＋S

△BNC

，CN＝2p.

所以S

△ANB ＝

1

2×2p|x1－x2|＝p(x1＋x2)

2－4x

1

x2＝2p2k2＋2.…………4分

所以，当k＝0时，(S

△ABN

)min＝22p2.…………………………6分

(2)易得以AC为直径的圆的方程为(x－0)(x－x1)＋(y－p).(y－y1)＝0 (8)

分

假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，代入圆的方程，整理得

x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0. 设直线l与圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)．由弦长公式并结合根与系数的关系，得PQ＝|x3－x4|＝4(a－

p

2)y1＋4a(p－a)＝2(a－

p

2)y1＋a(p－a).……………………………12分

由此知，当a＝

p

2时，PQ＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝p

2.

九．与圆的综合应用

已知直线l1:4x:-3y+6=0和直线l2x=-p/2:.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1

和直线l

2

的距离之和的最小值为2.

(I )求抛物线C的方程；

(II)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

解:（Ⅰ）由定义知

2

l为抛物线的准线，抛物线焦点坐标)0,

2

(

p

F

由抛物线定义知抛物线上点到直线

2

l的距离等于其到焦点F的距离.

所以抛物线上的点到直线

1

l和直线

2

l的距离之和的最小值为焦点F到直线

1

l的距离.……2分

所以

5

6

2

2

+

=

p

，则p=2,所以，抛物线方程为x

y4

2=.………………4分

（Ⅱ）设M)

,

(

y

x，由题意知直线l斜率存在，设为k,且0

k≠,所以直线l方程为

)x -(-00x k y y =,

代入x y 42=消x 得：.0-44-2

002=+ky y y ky 由2

000

2

16-4(4-)0,.k y ky k y ?===

得………………6分 所以直线l 方程为)x -(2-000x y y y =，令x=-1,又由02

04x y =得)24-,1(0

20y y N -

设)0,1x Q （则)24

-,-1(-),,-(0

20

1010y y x QN y x x QM ==由题意知0,QM QN ?=……8分

20011-4-)(-1-)02

y x x x +=即（，把02

04x y =代入左式,

得：02-x x )x -112

101=++x （，……………10分

因为对任意的0x 等式恒成立， 所以12

111-0,

x x -20.

x =??

+=? 所以11=x 即在x 轴上存在定点Q （1,0）在以MN 为直径的圆上.……………12分

跟踪训练：设圆F 以抛物线P ：24y x =的焦点F 为圆心，且与抛物线P 有且只有一个公共点． （I ）求圆F 的方程；

（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F 的两条切线与抛物线P 分别交于点A ，B 和C ，D ，求经过

A ，

B ，

C ，

D 四点的圆

E 的方程．

解：（Ⅰ）设圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2（r ＞0）．

将y 2＝4x 代入圆方程，得(x ＋1)2＝r 2，所以x ＝－1－r （舍去），或x ＝－1＋r ． 圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r ＝0，即r ＝1． 故所求圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝1． …4分 （Ⅱ）设过点M (－1，0)与圆F 相切的斜率为正的一条切线的切点为T ．

连结TF ，则TF ⊥MT ，且TF ＝1，MF ＝2，所以∠TMF ＝30°． …6分 直线MT 的方程为x ＝3y －1，与y 2＝4x 联立，得y 2－43y ＋4＝0． 记直线与抛物线的两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝4，x 1＋x 2＝3(y 1＋y 2)－2＝10． …8分 从而AB 的垂直平分线的方程为y －23＝－3(x －5)．

令y ＝0得，x ＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E 的圆心为E (7，0)．…10分

|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝(1＋3)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝82．

又点E 到直线AB 的距离d ＝7－0＋1

2＝4，所以圆E 的半径R ＝(42)2＋42＝43．

因此圆E 的方程为(x －7)2＋y 2＝48．