高中数学三角函数习题及
答案
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第一章 三角函数
一、选择题
1.已知 α 为第三象限角,则2
α
所在的象限是( ). A .第一或第二象限 B .第二或第三
象限
C .第一或第三象限
D .第二或第四
象限
2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A .第一、二象限 B .第
一、三象限
C .第一、四象限
D .第
二、四象限
3.sin
3π4cos 6π5tan ??? ??3π4-=( ). A .-4
3
3
B .
4
3
3 C .-
4
3 D .
4
3 4.已知tan θ+θ
tan 1
=2,则sin θ+cos θ等于( ). A .2 B .2 C .-2
D .±2
5.已知sin x +cos x =5
1(0≤x <π),则tan x 的值等于( ).
A .-4
3 B .-3
4
C .4
3
D .3
4
6.已知sin α >sin β,那么下列命题成立的是( ). A .若α,β 是第一象限角,则cos α >cos β B .若α,β 是第二象限角,则tan α >tan β C .若α,β 是第三象限角,则cos α >cos β D .若α,β 是第四象限角,则tan α >tan β 7.已知集合A ={α|α=2k π±3π2,k ∈Z },B ={β|β=4k π±3
π
2,k ∈Z },C = {γ|γ=k π±
3
π
2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为( ). A .A ?B ?C
B .B ?A ?C
C .C ?A ?B
D .B ?C ?A
8.已知cos (α+β)=1,sin α=3
1,则sin β 的值是( ). A .3
1
B .-3
1
C .
3
22
D .-
3
2
2 9.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ).
A .??
? ??2π ,
4
π∪??
? ?
?4π5 ,π B .??? ??π ,
4
π C .??
?
??4π5 ,
4π
D .??? ??π ,
4π∪??
? ??23π ,4π5 10.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2
1
倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ).
A .y =sin ??
?
?
?3π - 2x ,x ∈R
B .y =
sin ??
? ??6π + 2
x ,x ∈R C .y =sin ??
?
?
?3π + 2x ,x ∈R
D .y =sin ??
?
??32π
+ 2x ,x ∈R
二、填空题
11.函数f (x )=sin 2 x +3tan x 在区间???
???3π
4π ,上的最大值是 . 12.已知sin α=
552,2
π
≤α≤π,则tan α= . 13.若sin ??? ??α + 2π=53,则sin ??
?
??α - 2π= .
14.若将函数y =tan ??? ?
?4π + x ω(ω>0)的图象向右平移6π
个单位长度后,与
函数y =tan ???
?
?6π + x ω的图象重合,则ω的最小值为 .
15.已知函数f (x )=21(sin x +cos x )-2
1
|sin x -cos x |,则f (x )的值域是 .
16.关于函数f (x )=4sin ??
?
?
?3π + 2x ,x ∈R ,有下列命题:
①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ??
? ?
?6π - 2x ;
②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数; ③函数y =f (x )的图象关于点(-
6
π
,0)对称; ④函数y =f (x )的图象关于直线x =-6
π
对称. 其中正确的是______________.
三、解答题
17.求函数f (x )=lgsin x +1cos 2-x 的定义域.
18.化简:
(1)
)-()+(-)++()
+()-(-)++(-αααααα????180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ;
(2))
-()+()-()++(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα(n ∈Z ).
19.求函数y =sin ??
?
?
?6π - 2x 的图象的对称中心和对称轴方程.
20.(1)设函数f (x )=
x
a
x sin sin +(0<x <π),如果 a >0,函数f (x )是否存在最大值和最小值,如果存在请写出最大(小)值;
(2)已知k <0,求函数y =sin 2 x +k (cos x -1)的最小值.
参考答案
一、选择题 1.D
解析:2k π+π<α<2k π+2
3
π,k ∈Z ?k π+2π<2
α<k π+43
π,k ∈Z .
2.B
解析:∵ sin θcos θ>0,∴ sin θ,cos θ同号.
当sin θ>0,cos θ>0时,θ在第一象限;当sin θ<0,cos θ<0时,θ在第三象限.
3.A
解析:原式=??
? ??-??? ??-??? ??
-3πtan 6πcos 3πsin =-433.
4.D 解析:tan θ+
θtan 1=θθcos sin +θ
θsin cos =θθcos sin 1=2,sin θ cos θ=21
. (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2.sin θ+cos θ=±2. 5.B
解析:由
得25cos 2
x -5cos x -12=0. 解得cos x =54或-5
3. 又 0≤x <π,∴ sin x >0. 若cos x =5
4,则sin x +cos x ≠5
1,
∴ cos x =-5
3
,sin x =5
4,∴ tan x =-3
4. 6.D
???1=cos +sin 5
1
=
cos +sin 22
x x x x (第6题`)
解析:若 α,β 是第四象限角,且sin α>sin β,如图,利用单位圆中的三角函数线确定α,β 的终边,故选D .
7.B
解析:这三个集合可以看作是由角±3
π
2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合.
8.B
解析:∵ cos (α+β)=1, ∴ α+β=2k π,k ∈Z . ∴ β=2k π-α.
∴ sin β=sin (2k π-α)=sin (-α)=-sin α=-3
1. 9.C
解析:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标
4π
和4
5π,由图象可得答案.本题也可用单位圆来解. 10.C
解析:第一步得到函数y =sin ??? ??
+3πx 的图象,第二步得到函数y =
sin ??
?
?
?
+3π2x 的图象. 二、填空题 11.
4
15.
解析:f (x )=sin 2 x +3tan x 在??
????3π4π ,上是增函数,f (x )≤sin 2
3π+3tan 3π
=
4
15. 12.-2. 解析:由sin α=552,2
π
≤α≤π?cos α=-55,所以tan α=-2. 13.5
3
.
解析:sin ??
? ??α + 2
π
=53,即cos α=53,∴ sin ??
? ??α - 2
π=cos
α=5
3.
14.2
1
.
解析:函数y =tan ??
? ?
?4π+x ω (ω>0)的图象向右平移6
π
个单位长度后得到函
数
y =tan ???
??????
??
4π+6π-x ω=tan ??? ??ωω6π-4π+x 的图象,则6π=4π-6π
ω+k π(k ∈Z ),
ω=6k +
21,又ω>0,所以当k =0时,ωmin =2
1. 15.???
??
?221 ,-. 解析:f (x )=
21(sin x +cos x )-21|sin x -cos x |=???)<()
(x x x x x x cos sin
sin cos ≥sin cos 即 f (x )等价于min {sin x ,cos x },如图可知, f (x )max =f ??
? ??4π=
2
2
,f (x )min =f (π) =-1.
16.①③.
(第15题)
解析:① f (x )=4sin ??? ?
?+3π2x =4cos ??
? ??--3π22
π
x =4cos ???
??+-6π2x
=4cos ??
?
?
?-6π2x .
② T =
2
2π
=π,最小正周期为π. ③ 令 2x +3
π=k π,则当 k =0时,x =-
6
π, ∴ 函数f (x )关于点??
?
??0 6π-,对称. ④ 令 2x +3π
=k π+2
π,当 x =-6π
时,k =-2
1,与k ∈Z 矛盾. ∴ ①③正确. 三、解答题
17.{x |2k π<x ≤2k π+
4
π
,k ∈Z }. 解析:为使函数有意义必须且只需????
?-② 0 ≥
1 cos 2① >0 sin x x
先在[0,2π)内考虑x 的取值,在单位圆中,做出三角函数线. 由①得x ∈(0,π),
由②得x ∈[0,
4π]∪[4
7
π,2π]. 二者的公共部分为x ∈??
?
??4π0,.
所以,函数f (x )的定义域为{x |2k π<x ≤2k π+4
π
,k ∈Z }. 18.(1)-1;(2) ±
α
cos 2
. 解析:(1)原式=
αααααα cos cos tan tan sin sin -+--=-α
α
tan tan =-1.
(2)①当n =2k ,k ∈Z 时,原式=)-()+()-()++(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα=α
cos 2
.
(第17题)
②当n =2k +1,k ∈Z 时,原式=
]
)+-([])++([]
)+-([]+)++([π12 cos π12sin π12sin π12sin k k k k αααα=-
α
cos 2
. 19.对称中心坐标为???
??0 ,12π + 2
πk ;对称轴方程为x =
2πk +3π(k ∈Z ). 解析:∵ y =sin x 的对称中心是(k π,0),k ∈Z ,
∴ 令2x -
6π
=k π,得x =2πk +12
π. ∴ 所求的对称中心坐标为???
??0 ,
12π + 2
πk ,k ∈Z . 又 y =sin x 的图象的对称轴是x =k π+2
π
, ∴ 令2x -
6π=k π+2π,得x =2
πk +3π
. ∴ 所求的对称轴方程为x =
2
πk +3π
(k ∈Z ). 20.(1)有最小值无最大值,且最小值为1+a ; (2)0. 解析:(1) f (x )=
x a x sin sin +=1+x
a
sin ,由0<x <π,得0<sin x ≤1,又a >0,所以当sin x =1时,f (x )取最小值1+a ;此函数没有最大值.
(2)∵-1≤cos x ≤1,k <0, ∴ k (cos x -1)≥0, 又 sin 2 x ≥0,
∴ 当 cos x =1,即x =2k π(k ∈Z )时,f (x )=sin 2 x +k (cos x -1)有最小值f (x )min =0.