期末复习 期末复 期末复习专题——解三角形 一、填空题
1.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin A sin B +b cos 2 A =2a ,
则b
a
=________. 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a sin A +b sin B -c sin C =3a sin
B ,则角
C 等于________. 3.在△ABC 中,sin(A +B )·sin(A -B )=sin 2C ,则此三角形的形状是________三角形. 4.在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =23,则△ABC 的面积等于________.
5.在△ABC 中,BC =1,B =π
3
,△ABC 的面积S =3,则sin C =________.
6.在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C .则A 的取值范围是________.
7.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b -c =1
4
a,2sin B =3sin C ,
则cos A 的值为________.
8.在△ABC 中,AD 为BC 边上的高线,AD =BC ,角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ,则b
c
+
c
b
的取值范围是________. 二、解答题
9.已知函数f (x )=sin ????π4+x ·
sin ????
π4-x +3sin x cos x (x ∈R ). (1)求f ????π6的值;(2)在△ABC 中,若f ???
?A 2=1,求sin B +sin C 的最大值.
10.如图,在△ABC 中,∠B =π3,AB =8,点D 在BC 边上,且CD =2,cos ∠ADC =1
7.
(1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长.
11.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,B =2π
3
,b =3,求a +c
的范围.
12.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步
行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min
后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速
直线运行的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,cos A =1213,cos C =3
5
.
(1)求索道AB 的长;
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短 (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙
步行的速度应控制在什么范围内
13.如图所示,在四边形ABCD 中, AB DA ⊥,7CE =
,23
ADC π
∠=
;E 为AD 边上一点,1DE =,2EA =,3
BEC π
∠=.
(Ⅰ)求sin ∠CED 的值;
(Ⅱ)求BE 的长.
14.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin sin tan cos cos A B C A B
+=+.
(1)求角C 的大小;
(2)若△ABC 的外接圆直径为1,求22a b +的取值范围. 15.在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =. (1)求cos ADB ∠;(2)若22DC =,求BC .
16.在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知2
2
2a c b -=,且
sin 4cos sin B A C =,求b .
17. 在△ ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量(2sin ,,m B =
2cos 2,2cos 12B n B ?
?=- ??
?,且//m n 。
(1)求锐角B 的大小;
(2)如果b =2,求△ ABC 面积的最大值。
期末复习——解三角形专题(参考答案) 一、填空题1.答案 2
2. 解析 由正弦定理,得a 2+b 2-c 2=3ab ,
所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =32,又0<C <π,所以C =π6.答案 π
6
3.解析 因为sin(A +B )sin(A -B )=sin 2 C ,所以sin (A -B )=sin C ,又因为A ,B ,C
为△ABC 的内角,所以A -B =C ,所以A =90°,所以△ABC 为直角三角形. 4. 解析 由余弦定理得,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A ,
∴12=AB 2+16-2×AB ×4×cos 60°,解得AB =2,
∴S △ABC =12·AB ·AC ·sin A =1
2
×2×4×sin 60°=2 3.答案 2 3
5. 解析:因为在△ABC 中,BC =1,B =π3,△ABC 的面积S =3,所以S △ABC =1
2
BC ×BA sin
B =3,即12×1×BA ×3
2
=3,解得BA =4.又由余弦定理,得AC 2=BC 2+BA 2-
2BC ·BA cos B ,即得AC =13,由正弦定理,得BA sin C =AC sin B ,解得sin C =239
13
.
6.解析 由题意结合正弦定理,得a 2≤b 2+c 2-bc ?b 2+c 2-a 2
≥bc ?b 2+c 2-a 2
bc
≥1?
cos A ≥12,A 为△ABC 内角?0<A ≤π
3
.答案 ????0,π3 7. 解析 ∵2sin B =3sin C ,由正弦定理得2b =3c ,∴b =3
2c ,
又b -c =14a ,∴a =4(b -c ),∴a =2c .∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =9
4c 2
+c 2
-4c 2
2·32c
2=-1
4
. 8.解析 因为AD =BC =a ,由12a 2=1
2
bc sin A ,
解得sin A =a 2
bc ,再由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =12????b c +c b -a 2bc =12????b c +c b -sin A ,
得b c +c b =2cos A +sin A ,又A ∈(0,π),所以由基本不等式和辅助角公式得b c +c
b 的取值范围是[2,5].
二、解答题9. 解 (1) f ????π6=1.
(2)由f ????A 2=1,有f ????A 2=sin ????A +π6=1,因为0<A <π,所以A +π6=π2,即A =π3
. sin B +sin C =sin B +sin ????2π3-B =32sin B +3
2
cos B =3sin ????B +π3. 因为0<B <2π3,所以π3<B +π
3
<π,0<sin ????B +π3≤1,
所以sin B +sin C 的最大值为 3.
10. 解 (1)在△ADC 中,因为cos ∠ADC =1
7
,
所以sin ∠ADC =43
7
.所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠B )
=sin ∠ADC cos ∠B -cos ∠ADC sin ∠B =437×12-17×32=33
14.
(2)在△ABD 中,由正弦定理得
BD =AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB
=8×33
14437=3.
在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B
=82+52-2×8×5×1
2=49.所以AC =7.
11、解 法一 由B =2π3,得A +C =π
3
.
所以sin A +sin C =sin A +sin ????π3-A =sin A +????sin π3cos A -cos π3sin A =12sin A +32
cos A =sin ????A +π3.又0<A <π3,所以π3<A +π3<2π3
. 所以32<sin ????A +π3≤1.所以sin A +sin C ∈???
?3
2,1. 由正弦定理,得a sin A =c sin C =b sin B =3
sin
2π
3
=2,
所以a +c =2sin A +2sin C =2(sin A +sin C ).所以a +c ∈(3,2].
法二 由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos 2π
3
=(a +c )2-2ac +ac =(a +c )2-ac ≥(a
+c )2
-
????a +c 22=3(a +c )24,当且仅当a =c 时,取等号.
所以(a +c )2≤4,故a +c ≤2.
又a +c >b =3,所以3<a +c ≤2,即a +c ∈(3,2].
12. 解 (1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =3
5
,
所以sin A =513,sin C =4
5
.从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )
=sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=63
65
.
由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得 AB =AC sin B ·sin C =×4
5
=1 040(m).
所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)设乙出发t min 后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m ,乙距离
A 处130t m ,
所以由余弦定理得
d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×12
13
=200(37t 2-70t +50),
因0≤t ≤1 040130,即0≤t ≤8,故当t =35
37
(min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理BC sin A =AC sin B ,得BC =AC sin B ·sin A =1 2606365
×5
13
=500(m).
乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C .
设乙步行的速度为v m/min ,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得1 25043≤v ≤625
14
,所以
为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在????1 25043
,62514(单位:m/min)范围内.
13.
14.解:(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+,
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+, 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-,
得 sin()sin()C A B C -=-. ………………………………4分 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).
即 2C A B =+, 得 3
C π=. ………………………………7分
(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333
A B α<<<<知-.
因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, ……………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22
A B a b A B --+=+=+
=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332?
?-++-=+????
ααα.………………11分 ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos212α-<≤,故223342
a b <+≤.……14分
15解:(1)在ABD △中,由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠.
由题设知,
52sin 45sin ADB
=
?∠,所以sin ADB ∠=.
由题设知,90ADB ∠,所以cos ADB ∠==
(2)由题设及(1)知,cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中,由余弦定理得
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠
25825=+-??25=.所以5BC =.
16.解:由余弦定理得A bc b c a cos 22
22-=-,∵0,22
2
≠=-b b c a ,
∴b A bc b 2cos 22
=-,即2cos 2+=A c b 。 由正弦定理及sin 4cos sin B A C =得
c
b C B A 2sin 2sin cos 2=
=,∴22+=
b
b
,即4=b
17.解:(1) 由题意得:22sin (2cos 1)22
B B B -=,
整理得:2sin cos 2B B B =,即sin 22B B =,
所以tan 2B =又B 为锐角,故02B π<<,所以223B π=,于是3
B π
=。
(2) 由三角形面积公式得:1sin 2ABC S ac B ?=,由(1)得3B π=或者56
B π
=。
当3
B π=时,由b =2及余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得:22
4a c ac +-=,
由均值不等式得22
424ac a c ac =+-≥-,即4ac ≤当且仅当a c =时取等号;
此时11sin 222
ABC S ac B ac ?==?
?≤
当56
B π
=时,由b =2及余弦定理222cos 2a c b B ac +-=, 得:
224a c +-=,
由均值不等式得22
424a c ac =+-≥-,
即4(2
ac ≤
=-,当且仅当a c =时取等号;
此时111
sin 2222
ABC S ac B ac ?==??≤-2-<
综上所述,△ ABC
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2).
1.(10分) 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC ∥AD ,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=600 ,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决 定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450 时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? 2. 如图,山顶建有一座铁塔,塔高CD =20m ,某人在点A 处,测得塔底C 的仰角为45o ,塔顶D 的仰角为60o ,求山高BC (精确到1m ,参考数据:2 1.41,3 1.73≈≈) 3.(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4.(8分)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ,后考虑到安全因素,将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处,使0 30=∠ADC (如图所示). (1)求调整后楼梯AD 的长; (2)求BD 的长. (结果保留根号) 5.(8分)为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ,∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位) 6.(8分)(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D 在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B 处,测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:, ).
解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义:设 P(x,y),记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式: 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式: 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式: si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式:① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R,证明:sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明:cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ,求cos( )的值. 2 ?若(0,—), tan 2,求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 , sin() 2,求芽的值.
3 5 6
1 2?若sin2 2,求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型:①知三个条件 (知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等 ② 知两个条件,求某个特定元素或范围; ③ 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中,若acosA bcosB ,试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形: b c a a c cosA ,其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系:在 △ ABC 中, ②若a b c ,则a b c ;③等边对等角,大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形:a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R ( R 是厶ABC 外接圆的半径). 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式: S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程:① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式:① a b si nA sin B cosA cosB .
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1