专题讲座 高中数学课堂教学研究
专题讲座
高中数学课堂教学研究
刘美伦（北京教科院基教研中心中学数学教研室原主任）
一、对提高课堂教学实效性的思考
（一）实施体现新课程理念的课堂教学
当前，课程改革正在深入进行，需要认真研究新课程下的课堂教学，研究什么是一节好课，怎样上好每一节课。要提高课堂教学的质量和效益，真正进行有效的数学教学，树立正确的教学观念是十分重要的。
在课堂教学中应该体现的新课程理念主要有以下几个方面：
1．关注学生的学习——要以学生的发展为着眼点
从总体教学目标来看，就是要有一切为学生的意识，教学要有利于学生的发展。“构建共同基础，提供发展平台”，这是高中数学新课程基本理念的第一条，在义务教育课程标准中基本理念的第一条说：“应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现不同的人在数学上得到不同的发展”。
下面谈谈课堂教学目标
课堂教学目标是依据课程标准、教材和学生实际，制定的通过一节课的教学在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面应达到的目标。它是一节课的整体性目标，既要全面，又要准确，还要适度。要特别指出的是，制定课堂教学目标要关注学生的学习，适合班级特点以及学生学习现状和发展潜能。
从当前课堂教学情况来看，教学目标还不同程度的存在一些问题，从目标内容、呈现方式、语言表述、行为动词等方面多有不当之处。有的教学目标笼统空泛、形式主义，这样的课堂教学效果很难落实。
还应该注意，即使同一个教学内容，对不同学校班级的学生要求就应有所不同。要重视和加强教学目标的制定，这也是课堂教学评价中需要特别关注的。
2．揭示数学的本质——充分体现数学学科的特点和作用
从教学过程来说，就是要讲出数学味，体现深刻性。要重视打好基础，它是提高能力的保证。对于基础知识——强调联系；对于基本技能——强调熟练；对于基本思想方法——强调策略。
对于体现数学学科特点：课堂教学要关注以下3个方面
（1）数学思维活动的设计
课堂设问有思维价值
留给学生足够的思维时空
设问的语言准确富于启发性
注重教学过程的质疑与反思
（2）数学思想方法的教学
对知识的来龙去脉把握清楚
数学思想方法提炼到位
数学思想方法揭示深刻
数学思想方法应用落实
（3）数学应用意识的培养
数学史料运用得当
数学中的应用深刻灵活
生活中的应用广泛深入
数学建模的教学恰当有效
3．运用启发式教学——恰当地选用教学方式，促进学生的自主学习
从教学方式来看，课堂教学方式要有利于学生的学习，看一节课有没有改革意识，很重要的方面就是要看课堂上教师是如何引导学生学习的。
我们提倡启发式教学，启发一词，出自中国伟大的教育家孔丘，他指出在教学过程中应该“不愤不启，不悱不发”。
中国有史以来的第一部教学论《学记》中指出了“君子之教喻也：道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和、易以思，可谓善喻也。”讲解其意为：高水平的教学在于诱导：引导学生，但不牵着他们走；严格要求学生，但不对他们施加压力；为学生提个开端，但不全部讲给他们。：引导而不牵着走，就能调和教与学的矛盾；严格要求而不施加压力，就能使学生不把学习视为畏途；提个开端而不全部讲出，就能使学生独立思考。做到调和教与学的矛盾，使学生不把学习视为畏途，还能使学生独立思考，就可以说是善于诱导了。
4．注重信息技术与数学教学的整合（在后面信息技术整合学习中详述）
（二）课堂教学实效性要关注的几个问题
在日常的教学中，老师们可以多方面思考提高课堂教学实效性的问题：包括，是否关注了学生的学习状态和学习效果？教学过程是否有利于学生自主学习？是否能够选择有效的方法和手段收集信息、提出解决问题的思路？是否既能独立思考，又能够与他人很好地交流与合作？等等。
如何提高课堂教学的实效性，这里主要谈三个方面的内容：一是氛围，二是问题，三是实际。
1．营造课堂氛围
好的课堂氛围是一节好课的基本条件。有了和谐、宽松、平等的课堂氛围，才能调动学生的学习兴趣，进行有效的教学，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，体验数学活动充满着探索与创造，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
能否自觉地关注学生是教师是否成熟的一个重要标志，要关注学生的学习过程，不仅要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。
过去我们把情感、态度等主要是作为非智力因素，想法调动学生的非智力因素，激发学生的学习兴趣’调动学生学习的积极性。现在要特别指出的是，新课程强调，要以人的发展为本，“情感、态度、价值观”不仅是学习的动力，而且人格培养本身就是素质教育的目的。
2．创设问题情境
有效的教学特别强调问题在学习活动中的重要性。好的问题可以激发学生的学习兴趣和主动学习，使学生在发现、解决问题中学习探索，学会学习。
有效的教学常常把课程内容转化为探究的主题，并使它成为教学过程的主线。通过教师与学生共同探究，平等讨论，互相沟通，互相启发，师生积极互动，在问题解决中共同发展。
在课堂上，教师要把握学生是怎样思考的，对学生的思维特点了解越多，就越有利于及时调整自己的教学，使教学更有针对性。
课堂提问不能流于形式，提出的问题要能够激发学生探究的欲望，启发学生的思维与联想，并使学生“跳一跳够得着”。在此基础上，还应该研究如何使学生自己提出问题，提出一个有价值的问题既是思维的深化，又是创新的开始。
3．关注学生实际
关注学生的实际，包括基础和现状。在教学中，教师要研究学生对教学内容理解的程度和反映，具体探究环节上的困难是什么。在提问时，由于一个问题对某些学生来说可能很简单，但对其他人则不一定，因此不应该催促学生回答，应该把握节奏，留给学生足够的思维时空，使所有学生都有机会思考。在学生答出结果后，也不应简单地肯定或否定，而应着眼于使回答问题的学生与其他学生都受益。对课堂练习中暴露的问题，教师应了解学生是缺少概念的支撑还是运算技能出现问题，从而进行有针对性的矫正。
要关注学生的差异，把握课堂反馈。
以上仅从三个方面阐述了如何才能进行有效的教学。要关注课堂上学生的学习氛围、学习状态、学习效果，关注教学过程是否有利于学生自主学习。课堂上师生互动充满活力，才能够培养创新精神和实践能力。
二、加强教学方式研究，提升课堂教学质量
新课程理念中的一个重要内容，或者说一个亮点，就是学生学习方式的变革。看一节课有没有改革意识，就是要看课堂上教师是如何引导学生学习的。
（一）重视课堂教学方式的研究
1．新课程理念与数学课程标准的要求
（1）从新课程理念看
这次基础教育课程改革是一次从教育理念到教育实践的全面改革与创新，新课程理念、新的教育观念不仅要在课程教材中体现，还要在课堂教学中落实。也就是说，有了好的课程和教材，还必须实施与之相配套的教学方法和教学模式的改革。所以，加强教学研究，变革教学方式，对深化课堂教学改革有着重要的意义。
学习方式的转变是本次课程改革的显著特征和核心任务。新课程理念的一个重要内容，就是变革学生的学习方式，促进学生积极主动学习。课堂教学应由学科知识本位走向学生发展本位，由侧重认知层面走向关注整体素质。课堂教学要关注学生的学习状态和学习效果，关注教师的教学过程是否有利于学生自主学习。
（2）从新课程标准看
①义教
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
②高中
高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程，对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。
2．中学数学课堂教学现状分析
在课堂教学中，老师们普遍重视研究怎样去教，在多年的教学工作中积累了丰富的经验。但是，对于怎样教才有助于学生主动学习，一些教师还缺乏深入的思考。事实上，能否真正体现学生的主体地位，使学生充分参与教学活动，让课堂充分“活”起来，学生真正“动”起来，关键在于更新观念，变革自己惯用的教学方式。
（1）问题分析
当前，中学数学课堂教学中还存在着一些问题，例如：教师照本宣科，重结论轻过程，机械重复的训练，学生紧张拘束，课堂气氛压抑沉闷；教师满堂灌，注入式的教学使学生被动地接受式学习，没有个性和创造；教师的提问缺乏思维价值，学生的参与流于形式，“填空式”的问答时有所见，等等。
一些课堂教学的效率还不高，主要反映在主体性缺失、有效性缺失、创造性缺失、情感性缺失等方面，这是全面推进课程改革中需要研究并急待解决的问题。
（2）案例与思考
案例与思考一：更新观念,重新审视教学过程：介绍一节高三数学归纳法的复习课
一位教师进行高三《数学归纳法》复习课教学时，给学生指出了使用数学归纳法证明问题时应该注意的4个问题：
）时命题的形式，还要重视研究n=k+1与n=k时（1）要重视研究问题中n＝1（或n=n
命题两种形式的差异与联系；
（2）在证明中要突出n=k+1时命题成立对n=k时命题成立的“依赖性”；
（3）用数学归纳法证明一类几何问题时，一定要重视n=k+1时的结论与n=k时的结论变化（例如增加或减少）的来由；
（4）解题的困难还往往在于要事先发现结论，而发现结论的方法有多种，常用的有归纳法、特殊值法、讨论法等。
教师对以上4点，每一点都配有一个例题（解答题），边讲解边有比较详细的板书，每个例题讲完后，都安排学生完成一个相应的练习题（解答题），在学生做练习题时，教师催促学生快速完成。一节课，边讲、边写、边练，共完成了8个大题，教师和学生都一直处在紧张状态中。
由于这位教师有很好的数学业务功底和熟练的教学基本功，这节课才得以完成。这样的教学过程是以教师为中心、学生听讲被动接受的学习方式设计的。事实上，重新审视教学过程，教师归纳的每一点，都可以化为学生的自主学习活动。如果转变观念，由教师如何讲转变为学生如何自主学习去设计，教学过程就会有新的思路。如：
[设计1]可以给出一组题目，先让学生自己去做，自主探索发现解题过程中的问题，然后组织学生充分讨论，最后总结概括出应用数学归纳法时应该注意的问题。这样教学，课堂气氛就会变沉闷为活跃，变紧张为宽松，变被动为主动，学生的思维活动也会更加充分。
[设计2]可以把这节课的复习内容设计成研究性学习。在课前提出“应用数学归纳法时应注意哪些问题？”让学生自己去寻找材料、概括总结。可以个人完成，也可以分小组进行，得出初步结论。在此基础上，课堂上组织学生广泛交流，谈个人的认识或小组的结果，最后
概括出结论。这样教学，不仅能使学生获取深刻的知识，提高学习能力，而且能使学生在合作交流、解决问题的过程中获得良好的情感体验。
案例与思考二：介绍三角函数公式教学的对比案例
一位教师进行《二倍角的正弦、余弦、正切》公式的教学时，先说：“上一节课我们讲了两角和与差的6个三角函数公式，下面做一个练习题看看大家学习的怎么样”，接着板书
题目：已知，求sin2α、con2α、tan2α的值。然后让一个学生板演，其他学生在下面做。这样的引入设计想法是好的，想让学生通过应用已有的知识去解决问题，引入新知识。可惜的是，还没有等学生动手做，教师就用彩色粉笔在题目旁边写了“2α=α＋α”，这样做的结果，使这道题目的练习失去了思维价值，反映了教师对如何引导学生主动学习、自主探索缺乏思考，造成教师牵着学生走，这是不可取的。后来，他在讲公式的应用时，先板书：“1．公式正用：，；2．公
式逆用：，．所有这些内容都铺垫好，才让学生动手做课堂练习。其结果，学生题目做的比较顺利，可能发生的错误没有出现。但是，由于学生没有自主体验应用公式的过程，知识技能掌握的就不会牢固，就不能很好地形成能力。
事实上，可以重新设计教学过程，选编几个题组，让学生分别进行正用、逆用、变形应用公式的练习，然后结合出现的问题，自己讨论总结规律，这样教学就有利于学生学习。
反思：
（1）从观念上看，在教学中，教师不要怕学生跟自己的想法不一致，一帆风顺的课不一定是一节好课，不能把学生限制在教师预先铺设好的思维轨道上，要启发引导学生积极思维。
（2）从认识上看，好的课堂教学特别强调问题在学习活动中的这样性。
再看一位教师进行公式教学的案例。他在进行《三角函数的积化和差公式》的教学时，不是直接把公式端出来，然后讲证明与应用，而是这样设计的（片段）：
先创设情境：由物理中振动质子的位移与时间的关系式入手，提出问题：如何求位移的最大值呢？当学生产生认知矛盾时，教师又提出有关的数学问题：不查表求值（1）sin52.5°×cos7.5°；（2）cos52.5°×sin7.5°。经学生讨论，生疑时，教师给出提示：52.5°+7.5°=60°，52.5°－7.5°=45°。学生茅塞顿开，课堂气氛十分活跃，学生们应用已有的知识和经验继续探究。这样设计教学过程，体现了新课程的理念，师生角色处理的非常好，使学生自主学习，有利于学生的发展。
（二）开展教学方式多样化的研究
充分发挥学生的主体性，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习，是这次新一轮基础教育课程改革的显著特征，也是课堂教学改革的核心任务。教师在教学过程中应与学生积极互动，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革。
1．丰富学生的学习方式，倡导主动学习
提倡学生数学学习方式的多样化，让学生在自主探索的活动中学会解决数学问题。允许不同学生从不同的角度认识问题，采用不同的方法表达自己的想法，鼓励学生解决问题策略
的多样化，这是因材施教、促进每个学生充分发展的有效途径。教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要。
下面介绍一些常用的教学方式：
2．探究学习，体验学习，合作学习，研究性学习方式
在课改实践中，许多教师立足课堂教学，遵循校本教学研究的规律和方法，通过做各种类型的研究课，反复研究，反复实践，体现新课程理念，对提升课堂教学的水平和质量发挥了积极的作用。探究学习、合作学习、研究性学习方式的引入，使课堂教学出现了新的气象。学生自主探索、合作交流、问题解决，使学习更加有效。
（1）探究学习
探究学习是学生从问题或任务出发，通过各种形式的探究活动实现学习目标的学习方式。探究学习鼓励学生以类似科学研究的模式主动进行探索活动，通过学生“做数学”的主动探究过程培养创新精神、动手能力和解决问题的能力。选好问题，让学生通过观察、猜测、实验，自主探索与合作交流，经历数学知识的形成与应用过程。
“问题”是探究学习的核心，选择的问题要有思维价值，提出的问题能够激发学生探究的欲望。（后面将有视频案例展示）
（2）体验学习
体验学习既是方式也是效果。通过教师创造性地使用教材，对学习资源的充分准备，对教学内容的挖掘和处理，精心地设计学生的学习过程，使学生在主动学习数学的过程和活动中，在积极反思的过程中，获得良好的学习体验和情感体验。就数学学习而言，包括数学思想方法的体验，数学美的体验，数学文化的体验，数学价值的体验，学习策略的体验；以及情感、态度、价值观的体验，有助于形成健全的人格。
体验学习课例：《多面体欧拉定理的发现（一）》
“多面体欧拉定理的发现”是新教材中的一个研究性学习课题，也是国家高中数学课程标准中列入的选修内容。本节课是第一课时，主要是让学生经历发现多面体欧拉公式的过程，初步了解这个规律，并了解相关的数学文化。课前让学生通过网络，查阅资料，了解欧拉的生平和伟大贡献，课上广泛交流，教师也积极参与。这节课的教学设计始终关注学生的学习体验和情感体验，不仅有利于学生学会学习，而且有利于学生的人格培养。
（3）合作学习
合作学习是指在教学过程中，以学习小组为教学基本组织形式，教师与学生之间、学生与学生之间，彼此通过协调的活动，共同完成学习任务的一种教学策略。合作学习要求，学生在几个人组成的异质小组中一起从事学习活动，共同完成教师分配的学习任务。合作学习强调班级教学和小组学习相结合，充分发挥学生的主体性。合作学习不仅关注学生认知目标的实现，同时关注学生情感目标的实现，特别是在培养和形成学生的互助精神、合作意识、集体观念，以及思维的深度和广度等方面有明显作用。
（4）研究性学习方式
课堂教学中的研究性学习方式，主要是围绕问题的提出和解决来组织学生的学习活动，把学生置于一种动态、开放、主动、多元的学习环境中，通过自主探究的过程，使学生获得亲身参与研究探索的体验，学会分享与合作，培养发现问题和解决问题的能力，收集、分析和利用信息的能力，培养科学态度和科学道德，以及对社会的责任心和使命感。研究性学习方式是培养学生创新精神和实践能力的一种新的尝试和实践。
例如，一位数学教师上高一年级的《函数复习课》，采用研究性学习方式，先引入一个
新函数教师在引入和提出问题后，紧紧围绕着怎样研究一个函数的问题，以问题为主线，组织学生分组研究。教学过程突现了学生的学习过程，体现了教师作为组织者、引导者、合作者的角色。
在研究过程中，对于初次尝试不会研究的学生，进行具体研究方法的指导；对于研究不够全面深入的学生，指出继续思考的方向；对于思维受阻的学生，进行启发引导，促进学生自主探究。师生、生生之间交互活动自然充分，改变了以往师生间单一的“一对一”的问答形式，体现了学生参与的广泛性、深刻性，使学生在开放的学习环境中，自主探究，合作学习，充分发展。
3．信息技术整合学习
从教学手段来看，新课程理念十分强调现代信息技术的重要性。在教学中，计算机、多媒体技术和网络技术正在逐步普及并得到越来越广泛的应用。大家切实感受到，仅靠一支粉笔、一块黑板的教学已不能适应教学改革发展的要求。要在理论上研究、实践中探索信息技术与学科教学的整合，全面推进素质教育。许多教师利用现代信息技术引导学生发现、猜想、验证，引导学生自主探索、合作学习，探讨基于网络环境下的研究性学习方式，收到了很好的效果。
对于“整合”，它是把信息技术既作为意识，又作为内容、工具、方法和手段，融于课程及教学之中。关于信息技术与数学教学的整合，应该关注三个方面的问题。
（1）整合的目的是什么？
主要有两个方面：一是有利于学生的数学学习。利用信息技术可以呈现以往教学中难以呈现的课程内容，动态演示、测算测试，有利于学生对数学本质的理解，有助于培养学生的理性思维，有利于学生学好数学。二是培养学生的信息素养。信息社会要求人们具有收集信息、分析处理信息、运用信息的能力，信息技术整合有利于培养学生的信息素养。
（2）整合的关键是改变学生的学习方式
可分为3个层面：第一个层面，计算机辅助教学，这是在教学中普遍采用的、重要的整合体现方式。许多时候教师的演示是必要的，有利于学生学习，但必须是有效的，不能是“黑板搬家”；第二个层面，对计算机、计算器的应用，从教具变为学具，运用信息技术，动手操作，观察发现，自主探索；第三个层面，基于网络环境下的学生自主探究，有十分广阔的研究空间。
例如，一位教师进行的题为“从抛物线定义引出的不变性问题”的教学，这节课是在解析几何圆锥曲线内容结束以后设计的一节专题研究课，采用了局域网环境下的探究式教学方式。在教学过程中，一方面，先让学生3人一小组利用计算机研究讨论；另一方面，又分阶段地组织小组之间的交流、质疑与讨论。通过在图形上填加条件，观察可能得到的一些有关“不变性”的结论，让学生充分思维放开猜想，鼓励学生积极探索不同的结论。与此同时，引导学生利用几何画板，验证自己的猜想。教师在巡视过程中，切实掌握学生的学习状况，既及时地给予个别指导，又根据学生学习的反馈信息，恰当地组织小组学生在全班的交流，并指出带有普遍性的问题。
这节课，教师在网页上为学生提供了“几何画板基本操作”“探究抛物线用图”“检验数据方法”3个栏目，为学生提供了必要的计算机操作技术与学习工具，而不是提供探究的过程、方法和结论，使学生真正能够集中精力和时间去充分思维与探究。在网页上还为学生
提供了“椭圆推广”“双曲线推广”2个栏目，供学生课后继续拓展探究时使用。提供这样的学习资源是非常恰当的。
局域网环境下的数学课堂教学，应该十分注意学生之间的交流，以及在学生学习过程中教师作用的体现。
（3）应用现代信息技术应该注意的问题
①克服形式主义
要结合教学内容恰当地使用现代信息技术，克服为用而用的现象。
曾去听一位数学教师的课，他将授课地点安排在计算机教室，但一节课中，仅仅是教师自己用计算机演示与呈现静止的图形和让学生做的练习题，无一字板书，同时让学生在昏暗的灯光下记笔记、看着大屏幕回答问题，这样的教学值得反思。
②防止“人机共灌”
不能把现代信息技术作为教师在课堂上加快教学节奏、提高灌输速度的工具，有的教师利用计算机满堂灌还拖堂，不利于学生的发展。
③综合处理，整体优化
要从教学实际出发，发挥现代信息技术与传统技术手段各自的作用，以提高教学质量和效益为目的，综合处理，整体优化。
4.开展对同一教学内容不同教学方式的研究
由于教学对象的差异，学生的学习基础、学习能力、学习水平的不同，所以，
对于同样一个教学内容，对于不同的学校，不同的班级，面对不同的学生，可能需要采用不同的教学方式，教学设计也会有所不同。
对“同一教学内容不同教学方式”的研究与探索，是研究新课程下课堂教学方式的进一步深化，是教学方式研究的一个重要内容。许多学校的数学教师已经进行了有益的探索，充分调动学生学习的积极性，力求使每个学生都能在自己原有水平基础上有所提高。
总之，课堂教学方式要有利于学生的学习，要根据教学内容和教学对象恰当地选择与确定教学方式。
5.课堂教学方式研究要注意的几个问题
（1）重视启发式讲授法教学
新课程下的课堂教学，教师的讲授法教学仍然是重要的教学方式，关键是教师讲什么和怎么讲，教师的讲授要有利于学生的学习。
从形式上看，讲授是指教师个人对全体学生讲述某个教学主题，但经常伴随着学生的讨论、思考，以及合作学习。
采用启发式的讲授要求教师精心地设计学习素材、学习内容的呈现过程与形式，准确地把握全体学生的思维水平和特征，教师的语言既要准确清晰，又要形象生动，还要逻辑性强。注重启发，力求深刻。要能够激发学生的学习兴趣，传递系统的知识和方法，帮助学生理解知识的含义和联系，还要提供恰当类型和数量的练习题以检验学生的学习效果。
（2）恰当地选择与运用教学方式
研究中学数学课堂教学中的：讲授法教学、探究学习、合作学习、体验学习、信息技术与数学教学整合学习等多种教学方式及其综合应用，并探求各种教学方式的适用性。
一节课往往不是实施单一的教学方式，要注意教学方式的恰当选择与综合运用，优化课堂教学。
（3）教学有法，教无定法，因材施教，注重实效
我们知道，创新教育不存在某种固定的教学模式，它本身就是一个开放的、创造的过程。但是，模式作为“一种重要的科学操作与科学思维的方法”，又无时不在影响着我们的教学。“教学有法，教无定法，因材施教，注重实效”，在研究教学方式上应当遵循这个原则。
三、注重以课例为载体的行动研究
（一）研究的形式与方法
如何开展课堂教学研究呢？
通常以校本教学研究为主，校本教学研究常用行动研究的方法研究课程与教学的问题，是结合教学中的实际问题，在教学设计——教学行动——教学反思……的过程中开展研究的。可以采用集体研究和个人研究相结合，定期研究和教学实践活动相结合的研究方式。同时，把研究工作与地区、学校的教研活动结合起来。
在研究方法上，主要采用行动研究法，即边学习、边研讨、边实践、边改进、边形成成果。以自然条件下的研究为主，人工控制下的研究为辅，注重多种方法的结合使用。
以课例为载体，突出教学中的个案研究，即典型课例的研究。通过研究课、观摩课、微格教学等，建立数学教研组研究的氛围和研究课的计划和制度，总结经验，互相学习。
（二）课堂教学案例研究
1．注重教学反思的案例
主动反思是积极的研究。在校本教学研究中，教师主动地、持续不断地反思，有利于在教学实践中总结经验，探索规律。首先，要注重教学“反思”，包括教学前、教学中、教学后的反思。反思是对教学实践的积极回顾与思考，是确定研究的方向、研究的问题的依据，也是探索和解决教学过程中存在问题的必要条件，具有明确的研究性质。反思能够对自己和他人的行为与观念有更深刻的认识，是数学校本教研中最经常、最普遍的活动形式。
一位老师的教学反思非常到位，不仅有对“教学整体设计”上的反思，同时有对“教学过程”的反思，还有对“个别教学环节”具体细致的反思。在每一点反思中都有深入的思考和改进的措施，详实具体，体现了教师科学的态度、深入的研究和敬业精神。这样做，既展现了校本教研的丰硕成果，也有利于教师的专业发展。例如，对教学过程的反思，老师谈到：“在课堂教学实施过程中，我的确感受到了学生在学习过程中的差异，有部分学生的学习还是比较被动，真正涉及到问题的自主探究，实施起来还是比较茫然，必须要有及时的引导才能跟上其他人的节拍。通过这节课我更加关注学生的差异，认识到课堂教学不应只面对一部分学生，‘面向全体’是对我们教师的一个基本要求。”
2．从一节研究课谈课改教学实践的体会（后播放课例片段）
一位老师做了《用二分法求方程的近似解》的研究课以后，以“潜心体会新课程的教学理念”谈了自己的心得体会。她说到（摘录如下）：
“新课程已经实施了一个学期，作为一线的一名年轻的数学教师，我以积极的态度面对课程改革带来的机遇和挑战，半年来收获很大。
在教学实践中体现新课程的教学理念需要克服诸多实际困难，时间紧张是摆在我们面前的第一个大问题！如何高效利用课时，有效节省课时是一个严峻的挑战。
首先，恰当整合必修和选修课程是有效节省课时的重要途径。其次，吃透教材，抓住重点是有效节省课时的有力保障。
我在暑假接到任务，要在全区做一节研讨课，内容是必修1中的新增内容：《用二分法求方程的近似解》。由于谁也没有讲过这部分内容，没有任何经验可以借鉴！一切需要从头开始。
用问题引导学习是数学教学的核心。为什么新课程教材要引入这部分内容？它在教材中的地位和作用是什么？它对学生的数学思维发展有什么好处？它希望学生能够体会学习到什么数学思想方法？学生在学习这部分内容时可能遇到的难点什么？我应该如何去解决？制定什么样的教学目标，选择什么样的教学方式，怎样实施教学过程会让课堂更有效？如何创设教学情景，提出问题，合理地使用信息技术？带着这些问题我研究教材，查阅相关资料，拿出初步的教学设计在备课组中进行讨论。
创设一个好的问题情境是进行探究的前提。这节课的开始，在问题的提出上我们有不同的方案，是用学生熟悉的一元二次方程引入，还是用一个一元高次方程或者超越方程引入？用一元二次方程引入会让学生觉得非常亲切，解决问题的切入点也会多一些，更容易深入问题本质的探讨，但是一元二次方程是不需要用二分法来求其近似解的，它有求根公式可以得到精确解；二分法在实际应用中主要是用来解决没有公式解的方程近似解的问题，课本上是用超越方程引入的。最后我们制定了两套方案，利用试讲来积累经验，找到最优方案。最后我选择了不同于课本上的方案，问题的提出让学生很有兴趣，跃跃欲试，探究的气氛浓厚，教学效果很好。
新课程的一些内容也是基于这样的想法引入的，本节课就是其一。如何合理地使用计算器，是一个值得探究的话题，因为原来的教学并不重视计算器的使用，我们的学生也没有这样的意识，高考也不许带计算器。在这节课中，我设计了这样的环节：两三个人一组，分组合作，引入竞赛机制来进行，这样组内成员一人使用计算器计算，一人进行记录，不仅提高了课堂效率，也锻炼了他们合作的意识，通过竞赛的方式让学生们的积极性非常高。而比赛胜出的规则恰恰给他们操作的规范性提出了具体要求。”
下面播放课例《用二分法求方程的近似解》的片段（节选并整合）。
3.探究学习的教学案例（播放课例片段与评析）
下面给大家介绍一个探究学习的教学案例，课题是：椭圆上的点对两焦点张角的探究。
这节课，是在学完圆锥曲线以后的一节解析几何专题课。教师为学生创设了有利于探究的学习情境，为学生探究数学问题提供了一个互动的平台，引导学生通过直接参与探究过程，在亲身体验中获得对探究目标的深刻认识。教师的点拨也深刻到位。
下面请大家观看这节课的四个教学片段，配有字幕，并穿插有介绍和评析。
高三数学复习专题讲座
2010届高三数学复习专题讲座 数列复习建议 江苏省睢宁高级中学北校袁保金 数列是高中数学的重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点．而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，所以数列一直是高考考查的重点和热点．纵观江苏省近几年高考数学试卷，数列都占有相当重要的地位，一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题．具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力． 一、考纲解读 2、考纲解读（1）考纲中对数列的有关概念要求为A级，也就是说只要了解数列概念的基本含义，并能解决相关的简单问题．（2）等差数列和等比数列要求都为C级，2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点，等差数列、等比数列占了其中两个，说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要．具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识，能够
系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现．（3）由于数列这一章含有两个C级要求的知识点，可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题，也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题，以及数列应用问题，着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题，解决实际问题的能力． 二、考题启示1、考题分布 自2004年江苏省单独命题以来，对数列知识的考查一直是命题的重 2、考题启示（1）数列在高考试卷中占的比重较大，分值约为13%左右，呈一大一小趋势，对等差数列和等比数列都有考查，纵观近几年江苏省高考试题，我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别，具有十分明显的特色，对数列的考查不与其他知识综合，同时也回避了递推数列和不等式，主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识，形成江苏卷的一大特色．因此复习中在递推数列方面，特别是利用递推数列求通项，要大胆取舍，不要深挖．（2）客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．主观题年年都考，且以中等和难度较大的综合题出现，常放在压轴题的位置．回顾江苏省单独命题以来，对数列的考查可以称得上到了极致．如2007年、2008年在倒数第二题，2005年、2006年在最后一题，2009年数列题前移到第17题，以中等题形式出现，这一显著地变化似乎一种信号，具有一定的导向作用．
高中数学公式大全(简化)
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学新课程创新教学设计案例等比数列
高中数学新课程创新教学设计案例等比数列 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
47 等比数列 教学内容分析 这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用． 教学目标 1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用． 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力． 3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感． 任务分析 这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较． 教学设计 一、问题情景 在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列： 1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型． 细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，… 2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1，20，202，203，…
（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是 本利和＝本金×（1＋利率）存期 例如，现在存入银行10000元钱，年利率是%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）： 表47-1 时间年初本金（元）年末本利和（元） 第1年10000 10000× 第2年10000×10000× 第3年10000×10000× 第4年10000×10000× 第5年10000×10000× 各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列： １００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５． 问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究 二、建立模型 结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即 ［问题］ 1. ｑ可以为0吗有没有既是等差，又是等比的数列 2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗如果能得出，试用以上例子加以检验． 对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式． 3. 你如何论证上述公式的正确性．
高中数学复习专题讲座(第42讲)应用性问题
题目高中数学复习专题讲座应用性问题 高考要求 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题 高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求 重难点归纳 1 解应用题的一般思路可表示如下： 数学解答 数学问题结论 问题解决数学问题实际问题 2 解应用题的一般程序 （1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础 （2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关 （3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程 （4）答 将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型 （1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 （2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 （3）最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值 （4）等量关系问题 建立“方程模型”解决 （5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 典型题例示范讲解 例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经 沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米， 已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反 比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时， 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的 面积忽略不计）？ B A
高中数学公式史上最全大全
高中数学公式大全 （最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
高中数学课堂教学的有效性初探
高中数学课堂教学的有效性初探 [摘要]高中数学有效课堂教学也是教学目标，新课程背景下有效教学的重要性不言而喻。教师通过有效性课堂教学来达到教与学的最优化。 [关键词] 高中数学；教学有效性；方法策略 课堂教学的有效性是高中数学教学活动的生命，是对教学活动的基本要求。它要求教师要有时间与效益的观念。如何充分有效地利用课堂上的宝贵时间优化课堂教学环节，高效地达到教学目的是摆在高中教学前的难题。只要我们更加重视数学思想方法，有效反思，重视学习方式的结合，发挥好信息技术的作用，更加注意“学案”的使用等环节，就能在高中数学教学中实施有效教学。 一、激发学生的数学学习兴趣，提高有效教学效果 俗话说，兴趣是最好的老师。学生对学习有了兴趣，学习积极性也就有所提高。学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。随着时代的发展，无论是在自然科学、技术科学等方面，还是在人文科学、社会科学等方面，都需要一些具有较高数学素养的学生，这对于社会、科学技术的发展都具有重要的作用。 二、数学教学过程中有效性处理策略 （一）教师要学会反思，尊重学生差异。教师应学会反思，尊重差异，消除学生的情感障碍。学生最尊重富有教学激情的教师，学生最爱听富有情感的教学语言。反思性语言已经成为促进教师自我发展和提升教师情感素质的有效途径。高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。 （二）让学生成为数学课堂的主体。数学新课程标准下的新型数学课堂教学应该有其独特的思想、理念、模式和令讲授者和学习者都满意的教学效果。所以新型的数学课堂教学应更注重学生的自主学习和师生之间相互的合作、探究与创新。实施合作教学，教师要转变在教学中的角色，不仅仅是知识的传授者，还应该成为学生学习的促进者、指导者、组织者、帮助者、参与者和合作者。教学的过程中教师要有意识地引导学生发展自主学习的能力，使学生真正成为学习的主体。 比如在分析2010年江苏高考数学试题第13题时，我是这样处理的：（2010
高中数学课堂教学有效性评价的研究
《高中数学课堂教学有效性评价的研究》 结题报告 课题组组长：蔡炳良 课题组组员：蔡炳良张来祥李桢赵宝琴 王进赵宏强李艳
《高中数学课堂教学有效性评价的研究》 结题报告 课题组组长：蔡炳良 课题组组员：蔡炳良张来祥李桢赵宝琴王进赵宏强李艳 一、课题的提出 1．问题的由来 新课程课堂教学层面遭遇到的最大挑战就是无效和低效问题，更主要的是对于课堂教学有效性的评价体系出现缺失，课堂教学的有效性的评价没有能得到应有的重视。 这些状况导致了课堂教学评价的混乱，也造成了教师教学的混乱，严重妨碍了新课程的实施和课堂有效性的提高。这种状况只有得到根本改变，方能促进教师的加速成长、提高课堂教学的有效性。为提高课堂教学的有效性，迫切需要对课堂教学的有效性评价作研究。探讨和制定科学有效而又符合实际的课堂教学评价体系，全面反映师生间教与学互动的各个层面，不仅可以更好的渗透新课标所倡导的先进教学思想，而且也可以使传统的课堂教学成为真正实施素质教育的平台。 公正客观的课堂教学有效性评价体系，能打破课堂教学的传统习惯。在科学的评价体系指导下，以培养学习者创新能力为指导核心，通过科学的教学设计将新思维和新理念渗透于课堂教学之中，那么这将成为新的突破。有助于教师的教学能力的提高，有助于学生学习能力的提高。 2．本课题试图解决的问题及其意义 对于教师，需要一个公正、客观的评价标准来评价自己的课堂教学，更重要的是老师自觉养成经常反思与总结的好习惯，做到天天反思、堂堂反思，对照有效性教学的评价表，不断地追向“自己的教学有效吗”、“有没有比我更有效的教学”，能借助这个标准，达到提高自己课堂教学能力的目标，让评价成为促进教师教学行为转变的有效机制。对于学生，需要通过教师有效的课堂教学，提高学习数学的能力，同时减少课外因无效或低效教学而被占用的学习时间，把时间还给学生，真正做到减轻学生学习负担，实现素质教育。从学校角度来看，优化教学资源，提升教学质量，促进整体教学能力的提高。对构建创新课堂搭建良好的平台，使学校的教育教学与管理呈现出多元化、立体化与可持续化发挥作用。
高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计
《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
高中数学：等比数列教学实录
新修订高中阶段原创精品配套教材 等比数列教学实录教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Proportional Teaching Record 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育
等比数列教学实录 师：上节课我们对等差数列进行了复习，在数列中另一类重要的数列是什么？ 生：等比数列. 师：我们这节课复习等比数列.(点课题并板书)通过课前预习，请同学们思考下列几个问题： 1.等比数列的定义. 2.等比数列通项公式、前n项和公式. 3.等比中项的概念. 4.等比数列最基本性质. 学生A：回答问题1，如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的商是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做这个等比数列的公比，记为q. 师：在这个定义中需要强调的有哪些？ 学生A： 1.数列从第二项起. 2.“商”字，即数列中每一项都不为0. 3.同一个常数.
师：常数列是等比数列，这句话对吗？ 学生A：不对，非零常数列是等比数列，也是等差数列；零常数列是等差数列但不是等比数列. 学生B：回答问题2，等比数列通项公式为：. 推广为：.其中m，n∈N*. 等比数列前n项和公式为： 师：在应用等比数列前n项和公式时一定要注意公比得1与不得1两种情况. 学生C：回答问题3，若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，且. 师：两个数的等比中项有两个，这与两个数的等差中项不同. 学生D：回答问题4，等比数列有如下性质： 1.若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则am·an=ap·aq. 2.若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 3.下标成等差数列的项构成等比数列. 师：以上几位同学回答得很好，下面我们做几道练习题. 教师在黑板上出几道小练习题，学生在课上迅速完成，然后口答. 1.在等比数列中， A. B. C.或 D.-或- 2.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题
竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 高中数学课堂进行有效教学管理初探 美国学者布罗菲给课堂管理下了一个精致而周到的定义：出色的课堂管理不仅意味着，教师已经使不良行为降到最低程度，促进了学生之间的合作，并能在不良行为发生时采取有效的干预措施；而且意味着课堂总是持续着有意义的学习活动，整个课堂管理制度（包括但不限于教师维持纪律的措施），都是为了使学生参加有意义的学习活动达到最高程度，而不只是为了将不良行为降到最低程度。“三分教学，七分管理”这句话的意思是说在一线教学活动中，有效的课堂管理是实施有效教学的关键。在教学中，经验丰富的教师首先关注的是如何更有效的进行教学管理，从而实现事半功倍的效果。怎样才能有效实施课堂管理呢？ （一）精心设计教学内容，使课堂教学井然有序。用好课吸引学生，让有趣、有用、有价值的课堂教学活动占领学生在教室里的时间。 首先，精彩的课堂教学的导入，是整个教学过程的序幕。 良好的开端是成功的一半，一个好的课堂导入，应该是自然的，能迅速让学生进入学习状态的。如语文课上可以有“问题导入”“课题导入”“故事导入”等等。同时，开课引导语设计的好坏也直接关系到能否在开始上课时建立一个良好的授课氛围，从而影响到一节课的教学效果，因此我们一定注意导入的科学性、时间性，一定要简明、实用，不要哗众取宠，更不能喧宾夺主，要紧扣教学目标，这样才能充分发挥导入的作用。 其次，精心设计教学过程，有利于促进学生的学习兴趣。 在教学过程中，教师要从教学效果出发，结合教学目标，精心设计教学内容，将最新的教学理念融入到每节课的教学过程中，激发学生的求知欲和兴趣。在教学过程中教师都要做到心中有数，要有充分的准备，要有时间的分配和控制，切不可前紧后松。如果还没到下课，学生就没事干了，那学生只能说话。相反，在课堂教学中的拖堂也是不可取的。因为学生最讨厌老师拖堂。其实，只要下课铃声一响，学生的心就早已飞到教室外面去了，这时的讲课只能是徒劳，还会引起学生的反感。 （二）对学生严格要求，有良好的课堂纪律 对学生严格要求，是对学生的最大尊重。课堂教学中只有对学生严格要求，才能保证良好的课堂纪律。如果没有良好的课堂纪律，就不可能有良好的课堂秩序。教师在提出课堂行为规范，进行外部控制时，要注意培养学生遵守纪律的自觉性，帮助学生自觉遵守课堂纪律。研究发现，一个学生的不良课堂行为不只是影响他自己的学习，同时也可以破坏课堂上其他学生的学习。在一般情况下，一个学生的问题行为可能简单地诱发另一个学生不听课，也可能把问题蔓延开来，诱发许多学生产生类似的问题行为，从而破坏课堂秩序，影响教学活动的正常进 龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/6d5627715.html, 基于核心素养的高中数学课堂教学研究 作者：黄海英 来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第04期 【摘要】高中数学教学中，对学生核心素养的培养，需要结合新课改提出的要求，注重学生“四基”和“四能”的提升。本文就基于核心素养的高中数学课堂教学展开研究。 【关键词】核心素养;高中数学;教学 【中图分类号】G633.6; 【文献标识码】A; 【文章编号】1671-8437（2019）22-0121-02 教师在教学环节中始终以新课改理念为指导，结合高中数学的特色，在核心素养教学中，不仅要做到潜移默化，而且还要做到润物细无声，尤其是要结合当代高中生的特点，确保教学的针对性、有效性。 1; ;高中数学核心素养新要求 目前的高中生大都是“00”后，而高中数学教材，则是基于当前的信息化时代，对教学内容进行了优化和完善，不仅与学生的年龄特点和时代特点相符，站在学生的视角来思考问题，并将学生学习的难点作为突破口，条理清晰、思路明确地解决了诸多问题。特别是在学生思维转变过程方面有着较大的突破，严格按照国家新课标和国家教育大纲，注重学生学习技巧的提升，有着严谨的教学理念，要求学生学会应用所学的知识促进学以致用，达到学以致用的目的。 在高中数学核心素养教学方面，也对学生提出了新的要求：要求学生在学习知识和技能的同时，还要对各种繁杂的局面处理具有一定的能力，对传统认知能力的外延，在综合认知与情感以及技能方面的多元化发展，具有综合性、习得性、抽象性、生成性、阶段性、持续性。要求学生学会基于数学的视角去观察世界，并学会基于数学语言来表达世界，树立敢质疑、勤思考、科学严谨的求实精神，实现学生的可持续发展。这就要求教师在教学中切实注重核心素养的教学，采取多元化的方式促进学生核心素养的提升[1]。 2; ;对策分析 2.1; 明确核心素养的教学思路，提高核心素养教学的针对性 第一，引导学生借助数学思想促进数学问题和实际问题的处理。由于生活中的数学随处可见，在处理现实的问题时，需要应用数学思想，如抽象、化归、空间、演绎推理等数学思想，才能促进实际问题的处理，从根本上促进学生数学素养的培养。第二，引导学生结合所学知识 高 中 数 学 公 式 （苏教版） 使用说明：本资料需要有经验老师讲解每一个公式，然后根据公式出一个题来运用、理解公式，天天坚持直到高考。这样效果极佳；另外术业教育每天出一份高考数学挑战题卡（上传到学优高考网），保证你的学生数学成绩能够从20分迅速提高到100分，这项成果经过我们十几年的教学实践总结，效果绝对好。 一、集合 1. 集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2. 非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3. 空集的符号为? 二、函数 1. 定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2. 偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3. 单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减 单调减函数：与增函数相反 4. 指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数； 当10<a 时，x a y log =为增函数 高中数学复习专题讲座 综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题 高考要求* 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容么一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样》木节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进-步深化综合运用知识的能力，掌握基木解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力? 重难点归纳？ 在解决函数综合问题时，耍认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用，综合问题的求解往往需要应川多种知识和技能，因此，必须全而掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题口的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件，学法指导*怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题*准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识（一）准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的慕础，而函数是数学中最主要的概念之一，苗数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数，近十年來，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线， （二）揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容，在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此牛动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式， 所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑，高考试题涉及5个方血* （1）原始意义上的函数问题；（2）方程、不等式作为函数性质解决；（3）数列作为特殊的函数成为高考热点:（4）辅助函数法；（5）集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中，（三）把握数形结合的特征和方法 函数图象的儿何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方而精确地观察图形、绘制图形，乂要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换， （四）认识函数思想的实质，强化应用意识 函数思想的实质就是用联系与变化的观点捉出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决，纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识， 典型题例示范讲解 例1设几r）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线*1对称，对任意［0,1］, 都有f（x}+X2）=fi X［）? /（兀2）,且几1）=0>0? （1）求/（*）、几扌）； ⑵证明/⑴是周期函数； 高中数学课堂有效教学策略研究 摘要: 随着高中课程改革的不断深入，如何提高高中数学课堂教学有效性是高中数学教育急需解决的问题之一，本文结合自己的课堂教学实践，在高中数学课堂通过师生互动策略创设促进自主学习的问题情境策略、设置能启发学生创新思维的题型策略、现代教学技术与高中数学整合策略等几方面实施有效教学策略，从而更好地推动高中数学课堂教学改革。 关健词: 高中数学课堂教学有效教学策略 随着教育改革的不断深入，高中数学课堂教学出现了空前的繁荣，并大有方兴未艾之势。从表面上看似乎走进了新课改的最佳状态，但认真的品味也折射出另人深思的问题，主要表现在没有真正的激发学生学习数学的兴趣，没有充分地挖掘学生的数学潜能。因此，研究高中数学课堂有效教学策略就显得十分迫切与必要了。 一、师生互动策略 现代教育学认为，学生是学习的主体，教师是组织者、引导者，因此课堂活动应树立民主平等的师生关系，要积极营造一种活泼生动的课堂氛围，促进学生主动地进入最佳的学习状态。在传统的课堂活动中，信息的传输不是双向，只有老师一个人在唱独角戏，没有互动。结果整堂课死气沉沉，效率低下。要改变这种状况，教师在采用以讲授为主的教学方式时，也要关注学生的主体参与，采取策略，实现师生互动。要注重课堂教学方式创新，为学生提供充分从事数学活动的时间与空间。教师在问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等过程中，尽可能要让所有学生主动参与，让他们成为学习的主人，形成一种宽松和谐的教育环境。然后有意识地进行合作教学，使教师、学生的角色处于随时互换的动态变化中，通过设计集体讨论、查缺互补、分组操作等内容，锻炼学生的合作能力；特别对一些不易解决的问题，让学生在班集体中开展讨论；学生在这样的轻松环境下，畅所欲言，敢于发表独立的见解，充分发挥自己的聪明才智和创造想象的能力。 二、创设促进自主学习的问题情境策略 把数学学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学生合作解决真正的问题，掌握解决问题的技能，并形成自主学习的能力。创设促进自主学习的问题情境，首先教师要精心设计问题，鼓励学生质疑，培养学生善于观察，认真分析、发现问题的能力。其次，积极开展合作探讨、交流得出很多结论。当学生所得的结论不够全面时，可以给学生留下课后再思考、讨论的余地，这样就有利于激发学生探索的动机，培养他们自主动脑、力求创新的能力。如在讲解等比数列的通项公式时，采取实例设疑导入法。先提出一个通俗而有趣的问题：用一张报纸(厚0.1毫米)对折30次，想一想，这叠纸大概有多厚?如果对折100次呢?在学生 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan=2tanA/(1-tan) ctg=(ctg-1)/2ctga cos=cos-sin=2cos-1=1-2sin 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) co s(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 专题讲座 高中数学课堂教学研究 刘美伦（北京教科院基教研中心中学数学教研室原主任） 一、对提高课堂教学实效性的思考 （一）实施体现新课程理念的课堂教学 当前，课程改革正在深入进行，需要认真研究新课程下的课堂教学，研究什么是一节好课，怎样上好每一节课。要提高课堂教学的质量和效益，真正进行有效的数学教学，树立正确的教学观念是十分重要的。 在课堂教学中应该体现的新课程理念主要有以下几个方面： 1．关注学生的学习——要以学生的发展为着眼点 从总体教学目标来看，就是要有一切为学生的意识，教学要有利于学生的发展。“构建共同基础，提供发展平台”，这是高中数学新课程基本理念的第一条，在义务教育课程标准中基本理念的第一条说：“应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现不同的人在数学上得到不同的发展”。 下面谈谈课堂教学目标 课堂教学目标是依据课程标准、教材和学生实际，制定的通过一节课的教学在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面应达到的目标。它是一节课的整体性目标，既要全面，又要准确，还要适度。要特别指出的是，制定课堂教学目标要关注学生的学习，适合班级特点以及学生学习现状和发展潜能。 从当前课堂教学情况来看，教学目标还不同程度的存在一些问题，从目标内容、呈现方式、语言表述、行为动词等方面多有不当之处。有的教学目标笼统空泛、形式主义，这样的课堂教学效果很难落实。 还应该注意，即使同一个教学内容，对不同学校班级的学生要求就应有所不同。要重视和加强教学目标的制定，这也是课堂教学评价中需要特别关注的。 2．揭示数学的本质——充分体现数学学科的特点和作用 从教学过程来说，就是要讲出数学味，体现深刻性。要重视打好基础，它是提高能力的保证。对于基础知识——强调联系；对于基本技能——强调熟练；对于基本思想方法——强调策略。 对于体现数学学科特点：课堂教学要关注以下3个方面 （1）数学思维活动的设计 课堂设问有思维价值 留给学生足够的思维时空 设问的语言准确富于启发性 注重教学过程的质疑与反思 （2）数学思想方法的教学 对知识的来龙去脉把握清楚 数学思想方法提炼到位 数学思想方法揭示深刻 数学思想方法应用落实 （3）数学应用意识的培养 数学史料运用得当 高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算 高考要求 极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳 1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim ,0)1(lim <==-∞→∞→a a n n n n n ???? ? ????><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 0 1 1 10110 典型题例示范讲解 例1已知lim ∞ →x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值 命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律， 既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力 知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法 错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理 解 b ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞ →∞ →1)()1(lim )1(lim 2 2 22 b ax x x b x ab x a x +++--++--=∞ →1) 1()21()1(lim 2 222 要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，高中数学课堂进行有效教学管理初探
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