近世代数
第一章：基本概念
重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。
第二章：群
重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。难点：置换群、变换群、陪集。
第三章：正规子群和群的同态与同构
重点：正规子群、商群、同态基本定理
难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。
第四章：环与域
重点：环、域、理想
难点：环的同态、同构，极大理想、商域。
第五章：唯一分解整环
重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。
难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。
近世代数练习题（A）
一、填空题（每题3分，共30分）：
1、设
是集合
到
的满射，则
.
2、设群
中元素
的阶为
，如果
，那么
与
存在整除关系为.
3、写出三次对称群
的子群
的一切左陪集，，.
4、设
是一个
阶交换群，
是
的一个
（
）阶元，则商群
的阶等于.
5、设
=
是循环群，则
与整数加群同构的充要条件是.
6、若环
的元素(对加法)有最大阶
, 则称
为环
的.
7、若环
满足左消去律，那么
必定(有或没有)左零因子.
8、若
是一个有单位元的交换环，
是
的一个理想，那么
是一个域当且仅当
是环
的.
9、若域
，则称
是一个素域.
10、设
是域
的一个扩域,
. 如果存在
上非零多项式
使
, 则称
为
上的一个.
二、选择题（每题4分，共20分）：
1、指出下列哪些运算是代数运算（）.
A.在整数集
上，
B.在有理数集
上，
C.在正实数集
上，
D.在集合
上，
2、设
是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）.
A.
的单位元的象是
的单位元 B.
的元素
的逆元的象是
的象的逆元
C.
的子群的象是
的子群 D.
的正规子群的象是
的正规子群
3、下列正确的命题是（）.
A主理想整环必是欧氏环 B. 欧氏环一定是唯一分解整环
C.唯一分解整环必是主理想整环
D.唯一分解整环必是欧氏环
4、若
是域
的有限扩域，
是
的有限扩域，那么（）
A.
B.
C.
D.
5、下列不是循环环
的单位（可逆元）的是（）.
A.
B.5
C. 7
D. 2
三、证明题（每题10分,共50分）：
1、设
为实数且
，并规定
证明：
对此运算作成一个群.
2、证明: 9在有单位元的整环
中不能惟一分解.
3、设
是偶数环. 证明:
1)
;
2)
是否成立? 为什么?
是由哪个偶数生成的主理想?
4、设
是群
到群
的一个同态满射,又
,
,证明:
.
5、设6阶群G不是循环群，证明：G
.
（A）参考答案
一、填空题（每题3分，共30分）:
1、
2、
3、
或
,
或
,
或
4、
5、
或
6、特征(或特征数)
7、没有
8、一个极大理想 9、不含真子域 10、代数元
二、选择题（每题4分，共20分）:
1、D
2、 D
3、B
4、D
5、D
三、证明题（每题5分,共50分）:
1、证明:显然
是非空集合
上的代数运算.
, 则有
即
,
对此运算满足结合律.
又
, 即
是
的左单位元; 又
, 有
且
, 即
是
在
中的左逆元. 因此,
对此运算作成一个群.
2、证明: 首先易知,
中的单位是
.
其次, 若
, 则
必是环
的不可约元.
事实上, 若
是
的任一因子, 则有
, 使
, 故
或
.但
不可能, 故只有
或
.
当
时,
是可逆元; 当
时,
与
相伴. 因此,
只有平凡因子, 即
是不可约元.
故,
是
的不可约元.但
, 而且
又不与
中的任一个相伴,即9不能惟一分解.
3、证明:1)
, 则
, 于是
.
再任取
, 由
知,
. 故
.
2)
不成立.
因为, 例如
, 但
.事实上,
. 即
是由8生成的主理想.
4、证明：方法(一):
因为
,
是满同态，故
.令
.
下证
是商群
到
的一个同构映射. 1)
是映射: 设
, 则
.因
是同态满射,故
.
从而
, 即
是商群
到
的一个映射. 2)
是满射:
, 因
是同态满射, 故有
使
. 从而在
之下
有逆象
, 即
是满射. 3)
是单射: 设
, 则
.
因
是满射, 故有
使
,
其中
是
的单位元. 于是
故
. 从而
, 即
是单射.
又显然在
之下有
,
故
是商群
到
的一个同构映射. 因此
.
方法(二):利用群同态基本定理
因为
,
是满同态，故
.
设
是群
到商群
的映射. 因为
又
是满射(因
是满射),故
是群
到商群
的满同态映射.
又
, 据群同态基本定理,
.
5、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.
除
外G中元素不能都是2阶元：若不然，G为交换群.于是在G中任取互异的2阶元
，则易知
.
这与Lagrange定理矛盾.
又除
外G中元素不能都是3阶元：若不然，则在G中任取3阶元
，可知G有子群
，
且
.于是
,
这与
矛盾.
因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：
，
且易知
是G到
的一个同构映射，故G
.
世代数练习题（B）
一、填空题（每题3分，共30分）：
1、设
是实数集，规定
的一个代数运算
（右边的乘法是普通乘法），则
（适合或不适合）结合律.
2、设
=
是6阶循环群，则
的所有生成元是.
3、给出一个5-循环置换
，那么
.
4、设
是有单位元的交换环，
是
的由
生成的主理想，那么
中的元素可以表达为
.
5、设
是群
的子群，且
有左陪集分类
. 如果
，那么
.
6、群
的任意个正规子群的交(是或不是)群
的正规子群.
7、设
是一个4阶群，则
的真子群的可能的阶数是.
8、设
是一个有单位元的整环. 如果
的每一个理想都是一个主理想，则称
是一个.
9、模8的剩余类环的全部零因子
是.
10、若域
是域E的一个子域, 则称E为子域
多所高校近世代数期末考试题库[]
多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法
近世代数学习系列一 学习方法
近世代数学习方法 “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。 当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法： 例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。 对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知
近世代数期末考试试卷
近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近世代数之我见
一对课程的看法： 1作用与意义 近世代数的理论和方法不仅在数学理论本身中占有及其重要的地位，而且在其他学科中也有着广泛的应用，如理论物理、计算机科学等。其研究的方法和观点，对这些学科产生了越来越大的影响。 本课程旨在使学生对近世代数的基础理论和基本的思想、方法有一个初步的了解，为学生进一步的学习打下必要的基础。要求学生能熟练掌握群、环、域的基本理论，包括其定义和基本的性质，并对模的概念有所理解。要求学生对数学中的公理化思想有初步认识。 2.本课程的主要内容 本课程讲授四类典型的代数系统：集合与运算、群、环和域。其内容包括： 群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，子群与陪集，Lagrange定理，不变子群的定义及其性质，群同态和同构基本定理，能够计算群元素的阶； 环、域、理想、唯一分解环的定义，环中的可逆元，零因子、素元的定义，判别唯一分解环的方法。 3.教学重点与难点 重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。 难点：商群、商环。 二、对教法的看法： “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法：
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
代数表示论简介
代数表示论简介 在数学研究中，我们随处可见表示的思想。例如，复数可以用实平面上的点（或数对）表示；有限维复向量空间上的线性变换可以用它的Jordan标准形表达。狭义的表示是指一个代数系统（如群，结合环，李代数等）在某个向量空间上的作用，这些作用常常自然地出现在数学和物理的研究中。比如，分子的对称性可以用某个群刻画，利用这个群的表示理论可以大大简化分子振动微分方程的求解问题。20世纪30年代，德国女数学家Noether系统地发挥了表示的思想，她把表示解释为模，由此奠定了现代表示论的基础。 有限维(结合)代数是抽象代数中的一个古老的分支。它的起点是Hamilton在1843年发现的有名的四元数代数。此后，历经许多大数学家之手，终于由Wedderburn在20世纪初建立了半单代数的表示理论。目前人们研究的主要是各种各样的非半单代数的表示理论。代数表示论的主要目标是研究有限维代数上的不可分解模以及它们之间的同态映射。一个有限维代数A通常可以用一个箭图Q（即有向图）及某种关系表示, 研究代数A上的模相当于研究箭图Q上的表示。给定一个域k, 所谓箭图Q的一个表示，是指如下的要素：在Q的每个顶点处放一个（有限维）k-向量空间，在Q的每条边上放一个k-线性映射。对于Q的两个表示，可以建立它们之间的同态映射。我们关心的是表示的同构类。把箭图Q的全体表示放在一起，就构成了表示的范畴。这是代数表示论的最基本的研究对象。 例如，不难看出，在复数域上如下箭图的表示的同构类与复数矩阵的Jordan标准形一一对应： 上世纪70年代初，瑞士数学家Gabriel证明了如下的著名结果：箭图Q是表示有限型的（即Q的不可分解表示的同构类只有有限多个）当且仅当Q的底图是有限多个如下形式的图的不交并： A (n≥1):??…?? n 1 2 n-1 n ? 2 D (n≥4):??…?? n 1 3 n-1 n ? 3 E (n=6,7,8):????…?? n 1 2 4 5 n-1 n
近世代数的发展历史
近世代数的发展历史 代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科．简单地说，代数学是研究代数结构的，而近世代数--抽象代数是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性． 19世纪中叶以后，各种形形色色的几何学象雨后春笋般涌现出来，需要进行总结分类，而这时群论又是一个热门话题，其影响渗透到数学的各个领域，使数学家们感到，全部数学不过是群论的某个方面，而不是什么别的东西．在这种情况下，出现了克莱因的“爱尔兰纲领”． 克莱因（1849-1925）是德国数学家．他在自己和李关于群论方面研究工作的基础上，着手寻找刻划各种几何特征，其基本观点是每种几何都由变换群所刻划，并且每种几何所要做的实际就是研究变换群下的不变量．或者，一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的一族不变量，在此定义下相当于给定变换群的几个的所有定理仍然是子群几何中的定理．克莱因用变换群的观点对几何学进行分类，在这种观点下，几何学被看作是研究图形（某种元素的集合）对某种变换群的不变性之数学分支，克莱因这种研究几何的方法，完全避开直观图形而诉诸代数结果，确实是一项伟大的转折．当克莱因发表这种见解时，遭到其老师普吕克的反对，斥其大胆妄为．克莱因因此离开哥廷根大学，而到爱尔兰根大学，按照惯例他向大学的哲学教授会和评议会作了专业就职演说．这个演说通常称为“爱尔兰根纲领”，在讲演中克莱因阐述了自己的观点，对后世几何有深远的影响． 对五次和五次以上方程寻求根号群的长期失败，最终引导到19世纪20年代群论的诞生．其创立者是法国青年数学家伽罗华．群论的出现使代数学从古典代数方程论为中心转变为以研究各种代数结果的性质为中心，向着代数数论、超复数系、线性代数、环论、域论等方面发展． 伽罗华，1829年3月第一篇数学论文在《纯粹与应用数学年鉴》上发表，同时开始研究高次方程根号解问题，他提出制定一个已知方程解是否可用根式表示的判别原则．伽罗华为研究方程论而发展起来的方法很可能比他在方程论中的发现更引人注目．他的研究导师了群论理论的诞生． 伽罗华在爱情纠纷引起的一场荒谬战斗中丧了命．在进行决斗前夕，伽罗华曾写信给其朋友，写道：“我请求我的爱国朋友不要责备我不是为自己的祖国而献出生命．……苍天做证，我曾用尽办法试图拒绝这场战斗，只是出于迫不得已才接受了挑战．”“别了，我为公共福利已经献出了自己的大部分生命．”伽罗华在信中还请求朋友将自己的研究成果向德国数学家高斯和雅可比求教，“但不谈论定理正确与否；而是就这些定理的重要性发表他们自己的见解．此后我希望某些人将会发现清理这种一团混乱的状况是有益的．” 伽罗华实质上创立了群的研究，他是最先（1832年）在严格定义下用“群”（group）这个字的． 阿贝尔，在克里斯蒂大学当学生时，他认为他已经发现了如何用代数方法解一般五次方程，但不久自己纠正了这种想法，1824年发表了小册子谈及此事，阿贝尔在其早年论文中证明了用根式解一般五次方程的不可能性，于是这个曾困绕从邦别利到韦达等数学家的难题最终被解决了，在抽象代数中，交换群现在被称为阿贝尔群． 戴德金是德国数学家，就学与哥廷根大学，是高斯和狄利克雷学生．他的成就主要在代数理论方面，他研究了任意域、环、群、结构及模等问题．特别是引入环的概念，并给理论子环下了一般性的定义．代数数域中的戴德金函数，实数论中的戴德金分割，与韦伯合著的代数函数理论，自然数理论都是其著名的贡献． 庞加莱在一个研究领域中从未停留很长时间，并且喜欢敏捷地从一个领域跳到另一个领域，他论述微分方程的博士论文涉及存在定理．这一著作引导他去发展自守函数理论，尤其是所谓Zeta-Fuchsian函数：庞加莱证明，他能用来解带有代数系数的二阶线性
近世代数期末试题
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
近世代数学习系列二十二 群论与魔方
群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)
近世代数1
第一章 §1.1集合 §1.2映射与变换 教学内容：集合，子集，集合相等的概念 集合关系及运算的定义和性质 映射，单射，满射，双射，逆映射的定义及例子 变换，置换等的定义及例子 映射的象及逆象的定义，映射的乘法 教学重点：集合的关系及运算，映射变换的定义，映射的乘法在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论不再重复，这里，只复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一个统一的规定。 1、用Z表示整集合，Z*表示非零整数集，用ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集等。 Z+ ，ψ+…R,C… 2、AB表示A是B的子集，A=B或AB AB表示A是B的真子集，即B中有不存在A的元素 AB表示A不是B的子集 AB表示A不是B的真子集 A=BAB且BA 3、如果集合A含有无穷多个元素，则记为=,如果A含有n个元素，则记为=n。（A的阶），有+=+ 4、称集合A-B={aaA, aB}为集合A与B的差集。易知有A-B=A 5、集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。=（=n） 映射是函数的推广，函数的定义中要求有两个数集，而映射中，是一般的集合 6、定义：设A,B是两个集合，如果有一个法则，他对于A中每个元素，在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应，则称为从A到B的映射。这种关系常表示为 ：AB 或：xy 或y=（x） xy 且称y为x在之下的像，称x为y在之下的原像或逆像。 由定义可知，映射必须满足三个条件： ①A中每个元素都有像，②A中元素的像是唯一的，③A中元素的像在B里。 例：P6例1-6
例1.不是映射，不满足①例2.不是映射，不满足②例3.不是映射，不满足③ 例4.是映射，不单不满例4.是映射，不单，满例6.是映射， 单不满 7、映射是函数概念的推广，是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。A中不同元 素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆 像，则称为A到B的一个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也不同，则称是从A到B的一个单射。如果既是满射又是单射，则称是从A到B的一个双射，或一一映射。 例：P7，例 4-8 例7，双射，例8，满射，不单。 8、设有映射：AB，A，B.用（）表示中所有元素在之下的像的全体组成的集合，称为在之下的像，（）B。用（）表示中所有元素在之下的逆像全体组成的集合，称为在之下的逆像，（）A。 易知：是满射（A）=B. 9、设：AB是双射，（思考，为什么？），则：BA 也是一个映射,且为双射（为什么？）， xy=(x) yx 称为的逆映射。 注意：双射才有逆映射。 定理：设A,B是两个有限集合，且=，是A到B的一个映射，则是单射是满射是双射 证明：略。 10、设б与都是A到B的映射，如果xA,都有б（x）=(x),则称б与相等，记作б= 11、设：AB б：C 则AC x(x) y(y)， x(x)（(x)） 是一个A到C的映射，记为，即：AC 并称为与的合成或乘积。 x（(x)） 12、集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，：AB 它是一个一一变换。 xx，
抽象代数
近世代数练习题 一、填空题 1、设集合A={1,2,3,?,m}，B={1,2,3,?,n}，是正整数n m ,，集合B A ?含有 个元素。 2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。 3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个 4、n 次对称群n S 的阶是 。 5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。 6、设R 是模2 n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2 x 在R 里有 个根。 7、由13 =x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。 9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。 10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。 二、选择题 1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ） 。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC 132231:→→→σD 2、下列说法错误的是（ ） 域是除环A 域是整环B 可交换除环是域C 可交换整环是域D 3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。 奇数A 偶数B 0C 整数D 4、下列环中不是除环的是（ ） 整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D 5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2 x x x （ ） 。
()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ） αασ→:A 2:αατ→B ααρ-→:C ααδ→:D 7、设2 2?R 是数域R 上的一切22?矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则 以下矩阵可作为环2 2?R 的零因子的是（ ）。 ???? ??0000A ???? ??0001B ???? ??0111C ??? ? ??1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。 1A 2A 3C 4A 9、剩余类加群Z 18的子群有( )。 个3A 个4B 个5C 个6D 10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2x x x （ ） 。 ()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 三、计算题 1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ?B ， A ? B ,B A ?。 2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ?B ， A ? B ， B A ?。 3、试举出一个由正实数集+ R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换 ???? ??=???? ??=???? ??=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1 -π ,τρ (2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。 5、求出3次对称群3S 的所有子群。 6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。 7、设{} Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。
近世代数
1.1集合 1、B 包含于A ，但B 不是A 的真子集，这个情况什么时候能出现？ 解 由题设及真子集定义得，A 的每一个元都属于B ，因此A 属于B ，B 属于A ，得A=B 。所以上述情形在A=B 的情况下出现。 2、假设A 包含于B,A ∩B=? A ∪B=? 解 （i ）由于A 包含于B ，所以A 的每一个元都属于B ，即A 的每一个元都是A 和B 的公共元，因而由交集的定义得 A 包 含于A ∩B ，但显然有A ∩B 包含于A ，所以A ∩B=A （ii ）由并集的定义，A ∪B 的每一个元都属于A 和B 之一，但A 包含于B ，所以A ∪B 的每一元都属于B ：A ∪B 包含于B 。 另一方面B 包含于A ∪B ，所以A ∪B=B 。 1.2映射 1、A={1，2，……，100}。找一个AxA 到A 的映射。 解 用（a ，b ）表示AxA 的任意元素，a 和b 都属于A 。按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 Ф： （a ，b ）→a 就 是这样的一个，因为Ф替AxA 的任何元素（a ，b ）规定了一个唯一的象a ，而a ∈A 。 2、习题1的映射下是不是每一个元都是AxA 的一个元的象？ 解 映射Ф之下，A 的每一个元素都是AxA 的一个元的象，因为（a ，b ）中的a 可以是A 的任一元素。 1.3 代数运算 1、A={所有不等于零的偶数}。找一个集合D ，使得普通乘法是AxA 到D 的代数运算。是不是找得到一个这样的D ？ 解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数。所以取 D={所有不等于零的有理数}， 普通除法就是一个AxA 到D 的代数运算。 2、A={a,b,c}. 规定A 的两个不同的代数运算。 解 （i ）用运算表给出A 的一个代数运算： o 按照这个表，通过o ，对于A 的人和两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a 来，而a 仍属于A 。所以o 是A 的一个代数运算。 这个代数运算也可以用一下方式来加以描述o ： （x ，y ）→a=x o y 对一切x ，y ∈A (ii)同理o ： （x ，y ）→x=x o y 对一切x ，y ∈A 也是A 的一个代数运算。（列表亦可） 1.4 结合律 1、A={所有不等于零的实数}。O 是普通除法： a o b=a / b 这个代数运算适不适合结合律？ 解 这个代数运算o 不适合结合律。例如，当 a = 4， b = c = 2 时 ( a o b ）o c = (4o2)o2 =4/2 o2=2/2=1 a o(b o c) = 4o(2o2) =4 o(2/2)=4/1=4 所以 当a ，b 和c 取上述值时 ( a o b ）o c ≠ a o(b o c)。 2、A={所有实数}。代数运算o ：(a ，b)→a+2b= a o b 适不适合结合律？ 解 略 3、A={a,b,c}. 由表 给出的代数运算适不适合结合律？ 解 所给代数运算o 适合结合律。为得出结论，需对元素a ，b ，c 的27（=33）种排列（元素允许重复出现）加以验证。
近世代数学习系列十 中英对照
近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态
factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交
近世代数期末考试题库45962
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??? ???=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数学习系列三 环
环 简介 一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集Z就构成一个（数）环。 在20世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来： 1. 若a和b都是环中的元素，那么a+b也是环中的元素； 2. 加法符合结合律：若a、b和c都属于这个环，那么a+(b+c)=(a+b)+c； 3. 在环中存在一个类似于0的元素－－甚至也可以称它为0－－具有性质：对于环中的任一元素a，有0+a=a； 4. 对于环中的每个元素a和b，a+b=b+a都成立。 在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质： 1. 若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环； 2. 若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。 环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种n×n矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。 在20世纪的前30多年中，由于德国数学家诺特(Emmy Noether，1882-1935年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。 环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
近世代数期末考试真题
近世代数期末练习题 一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123） 所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。 2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。 三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。