23.2.3配方法二

课题：23.2.3配方法二课型：新授

主备人：审核人：主讲教师：使用日期：

〖三维目标〗

1、知识与技能：了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

2、过程与方法：通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，

3、情感态度与价值观：运用配方法解决一些具体题目．

〖教学重点〗：讲清配方法的解题步骤

〖教学难点〗：把常数项移到方程右边后，?两边加上的常数是一次项系数一半的平方．〖教学方法与手段〗

1、教学方法：探究式教学法、讨论、讲授。

2、教学准备：预习、相关练习题

22配方法(一)

课 题 **、配方法(一) 课型 新授课 教学目标 1．会用开平方法解形如(x 十m)2＝n(n ≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． 教学重点 利用配方法解一元二次方程 教学难点 把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2＝n(n ≥0)的形式． 教学方法 讲练结合法 教 学 内 容 及 过 程 备注 一、复习： 1、解下列方程： （1）x 2=4 （2）(x+3)2=9 2、什么是完全平方式？ 利用公式计算： （1）(x+6)2 （2）(x －1 2 )2 注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。 3、解方程：（梯子滑动问题） x 2+12x －15=0 二、解：x 2十12x 一15＝0， 1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？ 2、解方程的基本思路（配方法） 如：x 2+12x －15=0 转化为 (x+6)2=51 两边开平方，得 x+6=±51 ∴x 1=51 ―6 x2=―51 ―6(不合实际) 3、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 4、讲解例题： 例1：解方程：x 2+8x ―9=0 分析：先把它变成(x+m)2=n （n ≥0）的形式再用直接开平方法求解。 解：移项，得：x 2+8x=9 配方，得：x 2+8x+42=9+42 （两边同时加上一次项系数一半的平方） 即：(x+4)2=25 （1）x ＝土2． (2) x 十3＝士3， x 十3＝3或x 十3＝一3， x 1＝0，x 2＝一6． 这种方法叫直接开平方法． (x 十m) 2 ＝n(n ≥0)． 因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n ≥0 时，两边开平方便可求出它的根。

22配方法(三)

课题**、配方法(三) 课型新授课 教学目标1．利用方程解决实际问题．2．训练用配方法解题的技能． 教学重点利用方程解决实际问题 教学难点对于开放性问题的解决，即如何设计方案 教学方法分组讨论法教具三角尺 教学内容及过程学生活动 一、复习： 1、配方： （1）x2―3x+ =(x―)2 （2）x2―5x+ =(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 3、用配方法解下列一元二次方程？ （1）3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0 二、引入课题： 我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考： 三、出示思考题： 1、 如图所示： （1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？ （2）一元二次方程的解是什么？ （3）这两个解都合要求吗？为什么？ 1、2学生口答 学生演板 阅读课本 观察与思考 (16-2x) (12-2x)= 1 2×16×12 x1=2 x2=12 x1=2合要求，x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。 x2π= 1 2×12×16

2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？ （2）一元二次方程的解是什么？ （3）合符条件的解是多少？ 3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。 四、练习：P56随堂练习 看课本P53～P54，然后小结 五、小结： 1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。 2、设计方案时，关键是列一元二次方程。 3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。 六、作业： （一）P56，习题2.5，1、2 （二）预习内容：P56～P57 板书设计： 课后反思：X1= 96 π≈5.5 X2≈－5.5 X1=5.5 1）花园为菱形（2）花园为圆形？（3）花园为三角形（4）花园为梯形 本节课我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并且知道在解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。 另外，还应注意用配方法解题的技能 一、设计方案 二、练习 三、小结

22.2.1 配方法(2)

63中学导学案年级：八年级学科：数学姓名：_________ ____年____月___日

63中学导学案年级：八年级学科：数学姓名：_________ ____年____月___日

1．式子44x +配成完全平方式，应加上（ D ） A. 4x B. ±4x C. 4x 2 D. ±4x 2 2．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ B ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -= 3．+-px x 2_________=(x －_________)2． 4．x a b x -2＋_________=(x －_________)2． 5．方程2x 2+5x-3=0的解为 6．解方程x 2－2x －1=0． 7．解方程y 2－6y ＋6=0． 8．解方程3x 2－4x =2．

（完成时间：45分钟，满分：100分） 一、选择题（每题5分，共25分） 1．方程x 2－3x ＋2＝0的解是 ( ) A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 2．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为 ( ) A ．x 1=4，x 2=－2 B ．x 1=－10，x 2=8 C ．x 1=10，x 2=－8 D ．x 1=－4，x 2=2 3．用配方法解方程013 22=--x x 应该先变形为 ( ) A ．98)31(2=-x B ．98)31(2-=-x C ．910)31(2=-x D ．0)3 2(2=-x 4．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为 ( )． A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．2或6 5．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．不能确定 二、填空题（每题5分，共25分） 6．x x 23 2-＋_________=(x －_________)2． 7．方程x 2－6x ＋8＝0的解是 8．方程042=-x x 的解是______________． 9．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 10．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 三、解答题（每题10分，共50分） 11．x 2＋4x －3=0． 12．x (x ＋4)＝21． 13．－2x 2＋2x ＋1＝0. 14．2x －1=－2x 2 15．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．

22配方法(二)

课 题 **、配方法(二) 课型 新授课 教学目标 1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程． 2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤． 教学重点 用配方法求解一元二次方程． 教学难点 理解配方法． 教学方法 讲练结合法 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习： 1、什么叫配方法？ 2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。 3、解方程： （1）x 2+4x+3=0 （2）x 2―4x+2=0 二、新授： 1、例题讲析： 例3：解方程：3x 2+8x ―3=0 分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。 解：两边都除以3，得： x 2+8 3 x ―1=0 移项，得：x 2+8 3 x = 1 配方，得：x 2+83 x+(43 )2= 1+(4 3 )2 （方程两边 都加上一次项系数一半的平方） (x+43 )2=(5 3 )2 即：x+43 =±5 3 所以x 1=1 3 ，x 2=―3 2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 （4）用直接开平方法求出方程的根。 3、做一做： 一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系： h=15 t ―5t 2 小球何时能达到10m 高？ 三、巩固： 练习：P51，随堂练习：1 学生回答 演板 由学生共同小结

四、小结： 1、用配方法解一元二次方程的步骤。（1）化二次项系数为1； （2）移项； （3）配方： （4）求根。 五、作业： （一）课本P52习题2.4 1、2 （二）预习内容：P53～P54 板书设计： 课后反思： 这节课我们利用配方法解决了二次项系数不为1或者一次项系数不为偶数等较复杂的一元二次方程，由此我们归纳出配方法的基本步骤 一、解方程 二、做一做，读一读 三、课时小结 四、课后作业

22.2.1配方法(1)

第3课时配方法（1） 教学目标： 知识与技能 理解配方法，会利用配方法对一元二次方程实行配方； 通过对比、转化，总结得出配方法的一般过程，提升推理水平；锻炼学生的抽象概括水平；会用已有知识解决新问题； 情感态度与价值观 通过配方法的探究活动，培养学生奶勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点： 掌握配方的法则． 教学难点： 凑配的方法与技巧． 教学过程： 一、创设情境导入新课 用开平方法解下列方程： (1)x2=441；(2)196x2-49=0； 引入新课 我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题． 二、探究新知 1.课本第25页问题1--------------- 2.我们研究方程x2+6x+7=0的解法： 将方程视为：x2+2·x·3=-7，即x2+2·x·3+32=32-7，∴(x+3)2=2， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就能够进一步通过直接开平方法来求出它的解． 例1 解方程x2-4x-3=0． 配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则． 例2 解方程2x2+3=7x． 三、课题训练 练习：P34 1、2题 四、归纳小结 应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：

(1)化二次项系数为1； (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式. 五、布置作业： 习题22.2 1、3题 课外训练 1.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是 A.a B.0 C.1或a D.0或a 2.已知关于x 的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m 的值 为 A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对 3.若x2-mx+41 是一个完全平方式,则m= A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对 4.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是 5.①+- x x 212 =(x- )2 ②++x x 252 =(x+ )2 课后反思：

22配方法练习题

2.2配方法练习题 一、双基整合 1．用适当的数填空： （1）x2-3x+________=（x-_______）2 （2）a（x2+x+_______）=a（x+_______）2 2．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．如果关于x的方程x2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=________，另一根为______．4．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 5．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． 6．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 7．形如（x+m）2=n的方程，它的正确表达是（） A．都可以用直接开平方法求解且x=．当n≥0时，x=-m C．当n≥0时，x=．当n≥0时，x= 8．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 9．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 10．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） A．2．-2．． 11．解下列方程： （1）（x+2）2=1 （2）x2=7 （3）x2+12x-15=0 （4）x2+8x=9 12．小冰准备将家中一幅长2m，宽1.4m的人物画镶在班级后墙的中央，?并且四周必须留相等的距离，已知班级后墙长8m，高4m，请问画的四周与墙的宽度为多少？

5-3 正定二次型与正定矩阵

５－３ 正定二次型与正定矩阵 复习：５．２．４： ｎ元二次型 ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｒ≤ｎ。 ｎ元二次型经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为如下标准形： ｆ＝ＸＴＡＸ＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋…＋ｄｐｙｐ２－ｄｐ＋１ｙｐ＋１２－…－ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｐ≤ｒ≤ｎ。 再作满秩线性变换： ????? ????? ???====++n n r r r r r z y z y z d y z d y 1111 1 11， 化ｆ为规范形：ｆ＝ｚ１２ ＋…＋ｚｐ２ －ｚｐ＋１２ －…－ｚｒ２ ，０≤ｐ≤ｒ≤ｎ，ｒ＝秩（Ａ）。 一、正定二次型与正定矩阵的概念 定义５．３［Ｐ205：－３行至P206：１行］换个方式讲 设ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ ＝Ａ）是一个ｎ元实二次型，如果对每一个非零ｎ维 实列向量Ｘ０＝（ｃ１，ｃ２，…，Ｃｎ）Ｔ，都有Ｘ０Ｔ ＡＸ０＞０，则称ｆ为正定二次型，称Ａ为正定矩阵。 思考题（１）［Ｐ２０９］： 作业：Ｐ２１６：１２（讲）：如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，则Ａ＋Ｂ也是正定矩阵。 Ｐ２６３：证明题：２ 二、二次型为正定二次型的充要条件（五个）： １、定理５．３ ｎ元实二次型ｆ为正定二次型 ?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ ［即：ｆ的正惯性指数ｐ＝ｆ的秩ｒ＝ｆ的变元个数ｎ］ ?ｆ的规范形为：ｚ１２＋ｚ２２＋…＋ｚｎ２ 。 作用：化实二次型为标准形，据系数为正的平方项的个数判断ｆ的正定性。 例：P202例５．４中，３元实二次型ｆ的标准形为：２ｙ１２ ＋３ｙ２２ ＋ 3 5ｙ３２ ，ｆ的正惯性指数为３，所以ｆ正定。 例：P203例５．５中， ３元实二次型ｆ的标准形为：ｚ１２－ｚ２２ ，ｆ的正惯性指数为

22.2.2配方法

22.2.2配方法解一元二次方程（1） 年级：八年级科目：数学课型：新授执笔：姜艳审核：徐中国，薛柏双备课时间：2010.6.16 上课时间：2010.6. 18 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．【课前预习】 导学过程 阅读教材第31页至第34页的部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？

思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2- 2 1x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0

22.2 解一元二次方程(配方法)

22.2 解一元二次方程(配方法) 第1课时 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程． 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，?引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重难点关键 1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 2．?难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得 x=mx+n=p≥0）． 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 二、探索新知 列出下面二个问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，?八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”． 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的1 8 的平方，另一队猴子数是 12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？ 问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，?修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？