量子力学导论答案完整版(上)
第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a
x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
=?
=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量
()
,3,2,12422/2/2
2222
222
22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()?==? ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ???
? ??++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x π ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,
x V E m p n nh x d p -===??
)(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221
()2
x a E V x m a ω===
。 a - 0 a x
由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
2222222
a
a
a
p dx dx m m a m a nh
ωπ
ωωπ++--?===?
==??
?
得ω
ωπm n
m nh a 22
=
=
（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-?
arcsin 2222
22
2
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
==?
n nh d p π
?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
?=。
解：平面转子的转角（角位移）记为?。
它的角动量.
??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件
,3,2,1,220
===?
m mh p dx p ?
π
?π
mh p =∴
?，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
==?，
,3,2,1=m
第二章 波函数与Schr?dinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V
中运动。 （a ）证明粒子的能量平均值为 ω?=?
r d E 3，
ψψψψωV m
**2
2+?= （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=??+??s t w ???
? ?????+???-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）
V T r d V m E +=???
? ??+?-=?3
22*
2ψψ （1）
?=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）
()()()[]
?????-???-=????
???-=ψψψψψ
ψ**3222*
3
2)(2动能平均值r d m
m r d T 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此
ψψ???=?
*322r d m T （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2
ψψψψωV m
+???= （4） 且能量平均值 ?
?=ωr d E 3
。
（b ）由（4）式，得
...
2
**.....
2*22**.
.
2
222
*2222V V t m t t t t
V V m t t t t t t s V V t m t m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ
??
??*??*???=
???+???++?????????
?
??????*??*??*??? ? ?=
???+?-?+?++?? ? ??????????????????*?=-??+-?++-?+ ? ???????=-??+..*
t t ψψψψ???*? ?
+ ?????
ρt E s ??+?-?=
（ρ ：几率密度）
s
?-?= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）
所以
0=??+??s t
w
。 2.2考虑单粒子的Schr?dinger 方程
()()()()[]()t r r iV r V t r m
t r t i ,,2,2122
ψψψ++?-=?? （1） 1V 与2V 为实函数。
（a ）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b ）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为
()
???
?????+??-?-=τ
τψψψψψψψψ*
32*
**322r d V S d im r d dt d S
证：（a ）式（1）取复共轭， 得
()*21*
22*2ψψψiV V m
t i -+?-
=??- （2） ?*
ψ（1）-?ψ（2）,得
()()
()
ψ
ψψψψψψψψψψψψψ*2**2
2**22
*2*2222iV m
V i m
t i +?-???-=+?-?-=?? ()()()
ψψψψψψψψ*2***22
V im t +?-???-=??∴
（3） 即 022≠=??+??ρρ
V j t ， 此即几率不守恒的微分表达式。
（b ）式（3）对空间体积τ积分，得
()()()
()
ψψψψψψψψψψψψψψτ
τ
ττ*
23***233***32222rV d S d im rV d r d im r d t S ??????????????+??-?-=+?-???-=??
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（S d j
?-=?? ） ，而第二项代表体积τ中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3 设1ψ和2ψ是Schr?dinger 方程的两个解，证明
()()0,,2
*13
=?
t r t r r d dt d ψψ。 证： 12
212ψψ???
? ??+?-=??V m t i （1） 22
222ψψ???
? ??+?-=??V m t i （2） 取（1）之复共轭： *12
2*12ψψ???
? ??+?-=??-V m t i （3） ?2ψ（3）?-*1ψ（2）,得
()()
22*1*1222
2*12ψψψψψψ?-?-=??-m
t i 对全空间积分：
()()[]
???-?-=-22
*1*122322*132,,ψψψψψψr d m
t r t r r d dt d i ()()()()()[]
????+???-?-???-=2*
1*122*1*12322ψψψψψψψψr d m
()[]
??-???-=2*1*1232
2ψψψψr d m
()
022*1*122=??-?-=?S d m
ψψψψ，（无穷远边界面上，0,21→ψψ） 即 ()()
0,,.2*
13=?t r t r r d dt
d ψψ。
2.4）设一维自由粒子的初态()
/00,x ip e
x =ψ， 求()t x ,ψ。
解： () /2200,???
?
??-=t m p x p i e t x ψ
2.5 设一维自由粒子的初态()()x x δψ=0,，求()2
,t x ψ。
提示：利用积分公式
()()2sin cos 2
2
πξξξξ=
=??+∞
∞
-+∞
∞
-d d
或 []
[]4exp exp 2ππξξi d i =
?
+∞
∞
-。
解：作Fourier 变换： ()()?+∞
∞
-=
dp e p x ipx
?πψ210,， ()()
πδπ?π?21)(210,21==
=
?
?+∞
∞
--+∞
∞
--dx e x dx e
x p ipx ipx ，
()()()?
+∞
∞
--=
∴
dp e p t x Et px i
/21,?πψ （m p E 22=） ?∞+∞
-???
?
??--=
dp e px t m
p i 22
21
π （指数配方）
?+∞
∞-??????????? ??--=
dp t mx p m it e t
imx
2
22ex p 21
2
π 令 2
22??
?
??-=t mx p m t ξ，则
()?????????? ?
?-=
??
=?=
-+∞
∞
--?42exp 2221
221,24/2222
2ππππξπψπξt mx i t m
e e t
m d e t m e
t x i t imx i t
imx
()t
m
t x πψ2,2
=
。
2.6 设一维自由粒子的初态为()0,x ψ，证明在足够长时间后，
()[]??
?
??????????-=t mx t imx i t m t x ?πψ2exp 4exp ,2
式中 ()()?+∞
∞
--=
dx e
x k ikx
0,21ψπ
?是()0,x ψ的Fourier 变换。
提示：利用 ()x e e x
i i δπ
ααπα=-∞
→2
4/lim
。 证：根据平面波的时间变化规律
()t kx i ikx e e ω-→ ， m k E 22 ==ω，
任意时刻的波函数为
()()(
)dk e
k t x m
tk kx i 2/221, -+∞∞
-?=
?πψ
()???
?
??????? ??--?=?
∞
+∞
-2
2/2ex p 212t mx k m t i k dk e
t
imx ?π
（1）
当时间足够长后（所谓∞→t ） ，上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取
m t 2 =α ， ??
?
??
-
=t mx k u ， （2） 参照本题的解题提示，即得
()()?+∞
∞
--??? ??
-?≈
k d t mx k k e t m e
t x i t
imx δ?ππ
ψπ4/2221,2 ??
?
??=
-t mx e e t m t imx i ?π2/4/2 （3） ()
2
2
,??
? ??≈t mx t m t x ?ψ （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k 值的分波已经互相分离，波群在x 处的主要成分为t mx k =，即
m kt x =，强度()2
k ?∝，因子t m 描述整个波包的扩散，波包强度t 12
∝ψ
。
设整个波包中最强的动量成分为0k ，即0k k =时()2
k ?最大，由（4）式可见，当t 足够大以后，2
?的最大值出现在0k t mx = 处，即m t k x 0 =处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k 。
2.7 写出动量表象中的不含时Schr?dinger 方程。
解：经典能量方程 ()r V m
p E
+=22 。 在动量表象中，只要作变换p p →，dp
d
i r
→ 所以在动量表象中，Schr?dinger 为：
()()p E p dp d i V m
p ψψ=???
??????? ??+ 22。
第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
?
??∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
m
E y
x n n 222π =
)(2
22
2b n a n y
x +
,2,1, ,sin
sin
2==
y x y x n n n n b
y
n a
x
n ab
y
x
ππψ
若b a =，则 )(2222
22y x n n n n ma
E y
x +=π a
y n a x n a y x n n y
x
ππψsin sin 2
=
这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'
'
==y x n n ）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
??
?∞<<<<<<=其余区域
,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为
)(2222
222
22c
n b n a
n m n n n E z
y
x
z
y x +
+=π ,
,3,2,1,, ,sin sin sin 8
==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z
y x πππψ
当c b a ==时，
)(2222222z y x
n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin
sin sin 22
3
??
? ??= z y x n n n ==时，能级不简并；
z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如 ???→++=++→++=++)
9,6,3()10,5,1(20
86161210)
11,3,1()9,7,1(10438652
22222
2
22222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
??
?><∞<<=a
x 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子
)61(12)x -(x ,22222π
n a a x -==
讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数
x a
n a x n πψsin 2)(=
. 2
sin 2022
0a xdx a n x a dx x x a a
n 分部??=
=πψ （1） 4
)(2
2
2
2
2
2
a dx x x x x x n
a
-=-=-?ψ
4
)2cos 1(212202a dx a x n x a a --?=?π )61(12222π
n a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为a
dx ，故
2
a
a dx x x a
=?
=? ， （3） 3
20
2
2
a a dx x x a
=?=?
，
4
3)(2
22
2
2
a a x x x x -=-=- （4）
当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
?
?
?<∞<=2 ,2
,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为 a
x
a πψcos 21=
, （参P57，（12））
2cos
22cos 12cos
112121121
)(2
11
cos 221)(2
2223
222222
)()(2
2
22pa
p a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e
a
dx e e e
a dx a
x a e p a p a i a p a i a p a i a p a i a
a p a i p a i a x
i a x i a
a ipx
a
a ipx
-=
??????????????+
+-=???????
??????
??????
???-???? ??+-+????????-???? ??-=??
????+=
+?=?
=
∴??? ??+??? ??+-??? ??--??? ??--+-------?
?
?ππππππππππππφππππππππ
动量的几率分布()
2cos 4)()(2
2
2222
3
2
pa p a a p p -=
=π
π?ρ 3.5）设粒子处于半壁高的势场中
??
?
??><<-<∞=a
x a x V x V ,00,
x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出eq s .:
a
x ,0)()(a x 0 ,0)()(22
"2
12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）
其中 ()'2
202
2
22, k E
k V E μ
μ=
+=
（3）
方程的解为
kx
kx
x ik x ik De
Ce x Be Ae x --+=+=)()(21'
'
ψψ （4）
根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则
0=C
当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是
a
x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx
De x a x k F x ψψ （5）
在a x =处，波函数及其一级导数连续，得
ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）
上两方程相比，得 k
k a k tg '
'
-= （7）
即 ()E E V E V a
tg +--=??
????+002
2 μ
（7’） 若令 ηξ==a a k k ,'
（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
22
202( 9)(10)
2 ctg V a ηξξμξη=-??
?+=??
（10）式是以a V r 202 μ=为半径的圆。对于束缚态来说，00<<-E V ，
结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚
态能级。当2π≥r ，即
222
πμ≥a V ，亦即 82220 πμ≥a V （11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，
()ψψ E V m dx
d -=∴22
2 当±∞→x 时，0→ψ，故有
()()()()???
??-=<<=<<+-=<=-
E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A x
k x k 222
1112,,2,0,
sin 2,0,
21πδδψ 由
dx d ψ
ln 在0=x 、
a x =处的连续条件，得
()δδ+-==ka kctg kctg k 21k , （1）
由（1a ）可得 1
2sin mV k =
δ （2）
由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知δ+ka 为二，四象限的角。 因而 ()2
2sin mV k ka ±
=+δ （3）
又由（1），余切函数()ctg 的周期为π，故由(2)式，
1
1
12sin mV k n -+=πδ (4)
由(3)，得 21
2sin mV k n ka --=+πδ (5)
结合(4),(5)，得 1
112122sin 2sin mV k n mV k n ka -----=ππ
或 2
1
1
1
2sin 2sin mV k mV k n ka ----=π （6）
,3,2,1=n
一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：
m
k E n
n 22
2 = （7）
当12V V ≠时，仅当
1
2
1
2
sin 2
2V V mV a --≥
π
才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ???
? ??-≥
-1212s i n 22V V mV a π
（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。相应的波函数为:
()()()()()????
?
????-=>-<<+-=<=---
E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n n
n n n n x
k n
n n n 22221
111
2,
, 21,0
, sin 2, 0, 22δψ
其中 ()n n n k k a A 21112++=
3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。 解：势阱为 ??
?><-=.
0,0,
0,)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故
()
mE k Ce E V m k Be Ae x
ik x ik x ik 2,2,220112
1
1
==+=+=-ψψ 由)0()0(21ψψ=，得 C B A =+。 由)0()0('
2'
1ψψ=，得 ()C k B A k 21=-。
从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。
反射系数 ()()
2
212
21222
k k k k A B r R +-=== 将21,k k 代入运算，可得
()
?
?
?<<->>=++=
000
2204
20,41,16V E V E V E E V E
E V
V R
3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
()()()()[]
)(21)(12)(121
)()(21
)(21)(222
21
1x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++++-=??????++=
ψψψαψψψαψ
并由此证明，在n ψ态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(2
2
2x H e A x n x n n αψα-= （1）
其中，归一化常数 ωαπαm ,!
2=??=
n A n
n （2）
)(x H n α的递推关系为 .0)(2)(2)(11=+--+x nH x xH x H n n n αααα （3）
[]
()()??
????++=
??+?
+???
+???
-???
=
?????+
?????=+=?=
?=∴+-+-+---+----+---)(21
)(21)(2
1!
121
)(2
!
121
)
(!
221)(!
21
)(2)(21)(221
)()(1
112
112112
12
112
22
22222
22
22
2222
2x n x n x H e n n x H e n n x H e n x nH e n x nH x H e A x x xH e A x xH e A x x n n n x n n x n n x n
n x n
n n x n n x n n x n n ψψααπαα
απα
α
απαα
απαα
αααααα
αψααα
α
α
αα
()()()()[]
)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21
)(21)(222
2
221
12x n n x n x n n x n x n n x n x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++++-=????????????????+++++??????+-=??
????++=
∴ψψψα
ψψψψαψψαψ
0)(21
)(21)(11**
=??
????++?==+-+∞
∞-+∞∞-??dx x n x n x dx x x n n n
n n
ψψαψψψ
()()22121122121)(122121)()(21)(2222*
22*
n n n n n E n n m dx
x n m x dx
x x m x V =???
??+=+??=+???=??=??+∞
∞
-ωα
ωψα
ωψψωψ
3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））
()()()()[
]
222
2
211211212)(21
2)(+-+-+++
+--=??????+-=n n n n
n n n n n n n n x dx d n n x dx d ψψψαψψψαψ
证：A3.式（12）：)(2dx
)
(dH
),(2)(1n 1'
x H n x nH H n n n αααξξ--==
(
)
[]
?
?
????+-=?+??
????++-=+-=?+-?=+--+-----)(21)(2)
(2)(21)(2)
(2)()(2)()(1111112122222222x n x n x n x n x n x n x x x H n e x H e x A x dx
d
n n n n n n n n x n x n n ψψαψαψψααψψαααααψαα
()()()()[]
222
2
222211212
2221212212)(+-+-+++
+--=
???
?????????????+-+?+-??????--?=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx d ψψψαψψαψψααψ
()021211*
*=??
????+-
?-=??? ??-=??+-dx n n i dx dx d i p n n n n n ψψαψψψ ()()()()[]
()()2
2121124124211212
2222*
22222
*2222*2
n
n n n n n n n n E n n m m dx n m dx n n n n n m dx dx d m m p T =??? ??+=+??=+?=++++--?-=???? ??-?==???+-ωωψψαψψψαψψψ
3—10）谐振子处于n ψ态下，计算
()
2
1
2
??????-=?x x x ，()
21
2
?
?
????-=?p p p ，?=???p x 解：由题3—6），ωω
ωm n m E m V x x n ??? ??
+====212 ,02
22
由题3—7），ω m n mE T m p p n ??
?
??+
====212 ,02
()
(
)
()
(
)
??? ?
?
+=????
?
???????
??+=-=?
?
????
-=???
?
????
?? ??+=-=?
?
????-=?2121212
1
2
1
2
2
2
1
22
12
1
2
2
2
1
2
n p x m n p
p p p p m n x
x x x x ωω
对于基态，2,0 =???=p x n ，刚好是测不准关系所规定的下限。
3—11）荷电q 的谐振子，受到外电场ε的作用，
x q x m x V εω-=
222
1
)( （1） 求能量本征值和本征函数。
解： x q H x q x m m p H εεω-=-+=
022221
2 （2） 0H 的本征函数为 )(2
2
2x H e A n x n n αψα
-=，
本征值 ()
ω ??
? ??+
=210n E n 现将H 的本征值记为n E ，本症函数记为)(x n ?。 式（1）的势能项可以写成 ()[]
2
2022
1)(x x x m x V --=
ω 其中 2
0ωεm q x = （3） 如作坐标平移，令 0'
x x x -= （4）
由于 ''p dx
d
i dx d i p =-=-=
（5） H 可表成 2022,22'2
1212x m x m m p H ωω-+=
（6） （6）式中的H 与（2）式中的0H 相比较，易见H 和0H 的差别在于变量由x 换成'
x ，并添加了常数项
??
?
??-20221x m ω，由此可知 ()2
202
1x m E E n n ω--= （7） )()()(0'x x x x n n n -==ψψ? （8）
即
,2,1,0 ,22121212
2
22
22=-??
? ??
+=???
???-??? ??+=n m q n m q m n E n ωεωωεωω （9）
??
?
?????? ??-
=?
?
? ??--22
2
22)(ωεα?ωεαm q x H e
A x n m q x n n (10) 其中 ωαπαm ,!
2=??=
n A n
n (11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
???
??><∞=.0,2
1,0,)(2
2x x m x x V ω 求粒子能级。
解：既然粒子不能穿入0
() ,2,1,0 ,232=+=k k E k ω
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
()??
?>--<∞=.
0,,0,
)(x a x r x x V δ ()0,>a r (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。
解：S.eq: ()ψψδψE a x r dx d m =---
2
2
22 (2) 对于束缚态（0 β (3) 则 ()0222 22=-+-ψδψβψa x mr dx d (4) 积分 ? +-ε ε a a dx ,+→0ε,得'ψ跃变的条件 )(2)()(2''a mr a a ψψψ - =--+ (5) 在a x ≠处，方程(4)化为 02 22=-ψβψdx d (6) 边条件为 ()束缚态0)( ,0)0(=∞=ψψ 因此 ? ??><≤=-.,, 0,)(a x Ae a x x sh x x ββψ (7) 再根据a x =点)(x ψ连续条件及)(' x ψ跃变条件(5)，分别得 )(a Ae a sh a ψββ==- (8) )(22a mr a ch Ae a ψββββ - =--- (9) 由（8）（9）可得（以)(a a ψ-乘以（9）式，利用（8）式） 2 2coth mra a a a = +βββ (10) 此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，- →0E ，所以+ →0a β, 利用 1lim coth lim 00 ==→→a th a a a a a ββββββ, （10）式化为 + +=+=01coth 22 a a a mra βββ , 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122 ≥ mra （11） 纯δ势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(≡x ψ，对0≤x ）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯δ势阱的特征长度mr L 2 = 。 条件（11）可改写为 2L a ≥ （12） 即要求无限高势垒离开δ势阱较远（2L a ≥）。才能保证δ势阱中的束缚态能存在下去。显然，当∞→a （即 2L a >>），∞→a β时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth →a β，式（10）给出 22 mr =β 即 2 2 2222 mr m E =-=β （13） 与势阱)()(x r x V δ-=的结论完全相同。 令ηβ=a ， 则式（10）化为 ()2 2coth 1 mra = +ηη （14） 由于()1c o t h 1≥+ηη，所以只当122≥ m r a 时，式（10）或（14）才有解。解出根η之后，利用 mE a a 2-==βη，即可求出能级 2 2 22ma E η -= （15） 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则 ()BA AB +21 和()BA AB i -21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=?? ? ???++++++ 21212121 ()BA AB +∴2 1 为厄米算符。 ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=?? ? ???-+++++ 21212121 ()BA AB i -∴21 也为厄米算符。 ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+ + + + ， 且定义 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+ -++ +==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 -++=iF F F 4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =??-= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ == ,),(n m n m mn p x C p x F 。 证： （1）先证[ ][] 11 , ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。 [][][][][ ] [][ ] [ ]()()[ ] ()1 111113 3 1 3 32312 2211 1 1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m x mi x i x i m x x p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x x p x p x x p 同理， [][][][][] [ ]1 2 2 1 22211 1 ,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n n p ni p p x p i p p x p p x p p i p p x p x p p x 现在， [][] ()∑∑∑∞ =-∞ =∞=-= =??????=0 ,1 ,0,,,,n m n m mn n m n m mn n m n m mn p x mi C p x p C p x C p F p 而 () ∑∞ =--=??-0 ,1n m n m mn p x mi C x F i 。 []F , x i F p ?? -=∴ 又 [][] () ∑∑∑∞ =-∞ =∞== =??????=0 ,1 ,0,,,,n m n m mn n m n m mn n m n m mn p ni x C p x x C p x C x F x 而 ( ) ∑∞ =-=??0 ,1n m n m mn p ni x C p F i []F , p i F x ??=∴ 4.3）定义反对易式[]BA AB B A +=+,，证明 [][][][][][] + + + + -=-=C A B C B A BC A B C A C B A C AB ,,,,,, 证： [][][]()()[][]B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC B C A C B A C AB ++-=+-+=-+-=-=,,,,, [][][]()()[][] + + -=+-+=-+-=+=C A B C B A CA AC B C BA AB BCA BAC BAC ABC C A B C B A BC A ,,,,, 4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为 () ∑∑=?=?αβγ βααβγα ααεB A B A , 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + = + = （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p += 2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212 121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ????? ? ?-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()2 2 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j ? ?的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值 0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。 二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-， []y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =?? -=η η 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,, n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,, 第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =? =n n a λ n a /2=∴λ （1） 又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量 () ,3,2,12422/2/2 2222 222 22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==? ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 ??? ? ??++=++=222222222 222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221 ()2 x a E V x m a ω=== 。 a - 0 a x 量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ= ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j 的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。 二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-， []y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =??-= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。 第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4） 第十二章 散射 12－1)对低能粒子散射，设只考虑s 波和p 波，写出散射截面的一般形式。 解： ()()()2 2 c o s s i n 121∑∞ =+= l l l i P e l k l θδθσδ 只考虑s 波和p 波，则只取1,0=l ，于是 ()()()2 11002 cos sin 3cos sin 11 θ δθδθσδδP e P e k i i += ()1cos 0=θP ， (),c o s c o s 1θθ=P 代入上式，得 ()2 102 cos sin 3sin 11 θ δδθσδδi i e e k += ()2 2 12 101002 2cos sin 9cos cos cos sin 6sin 1θ δθδδδδδ+-+=k 2 2 2102 cos cos 1θ θA A A k ++= 其中 020sin δ=A ，()10101cos cos sin 6δδδδ-=A ，122sin 9δ=A 。 12－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a ） ()?? ?><-=. , 0;,0a r a r V r V （b ） ()2 0r e V r V α-= （c ） ()r e r V αγ κ-= （d ） ()().r r V γδ= 解：本题的势场皆为中心势场，故有 ()() ? ∞ - =0 ' '' ' 2 sin 2dr qr r V r q u f θ ，2 sin 2θ k q = （1） ()() () 2 ' ' ' ' 2 4 22sin 4? ∞ = =dr qr r V r q u f θθσ （1） （a ）()()qa qa qa q V dr qr V r a cos sin sin 2 00 ' ' 0' -- =-? ()()2 6 4 2 02cos sin 4 qa qa qa q V u -= ∴ θσ （b ）()? ? ∞ --∞ --= ??? ??0 ' '00 ''0' ' ' 2 '2'2sin dr e e e r i V dr qr e V r iqr iqr r r αα 量子力学与统计物理习题解答 第一章 1. 一维运动粒子处于?? ?≤>=-) 0(0 ) 0()(x x Axe x x λψ 的状态，式中λ>0，求 （1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度； （3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1） ? ? ∞ -∞ ∞ -*=0 222 )()(dx e x A dx x x x λψψ 令 x λξ2=，则 3 232 32 02320 2224!28)3(88λ λλ ξ ξλξ λA A A d e A dx e x A x =?=Γ==-∞∞ -?? 由归一化的定义 1)()(=? ∞ ∞ -*dx x x ψψ 得 2 /32λ=A （2）粒子的几率密度 x e x x x x P λλψψ2234)()()(-*== （3）在极值点，由一阶导数 0) (=dx x dP 可得方程 0)1(2=--x e x x λλ 而方程的根 0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。几率密度在极值点的值 0)0(=P ；0)(lim =∞ →x P x ；2 4)/1(-=e P λλ 由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为2 4-e λ，出现在λ/1=x 处。 2. 一维线性谐振子处于状态 t i x Ae t x ωαψ2 12122),(--= （1）求归一化因子A ； （2）求谐振子坐标小x 的平均值； （3）求谐振子势能的平均值。 解：（1） ? ? ∞ ∞--∞ ∞ -*=dx e A dx x 2 22 α ψψ ? ∞-=0 2 2 22dx e A x α ?∞ -= 2 2 2ξαξd e A α π 2A = 由归一化的定义 1=? ∞ ∞ -*dx ψψ 得 π α=A （2） ? ?∞ ∞ -∞ ∞ --== dx xe A dx x xP x x 2 22)(α 因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）? ∞ ∞-= dx x P x U U )()( ?∞ ∞--=dx e kx x 2 2221απα ?∞-=0 222dx e x k x απ α ? ∞ -= 222 ξξπ αξd e k ???? ??+-=?∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k ?∞-=022 2 1ξπαξd e k 2 212 π παk = 2 4αk = 将2μω=k 、 μω α=2 代入，可得 02 141E U == ω 是总能量的一半，由能量守恒定律 U T E +=0 可知动能平均值 U E U E T == -=002 1 和势能平均值相等，也是总能量的一半。 3．设把宽为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则 ()BA AB +21 和()BA AB i -21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=?? ? ???++++++ 21212121 ()BA AB +∴2 1 为厄米算符。 ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=?? ? ???-+++++ 21212121 ()BA AB i -∴21 也为厄米算符。 ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+++ +， 且定义 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+ -++ +==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 -++=iF F F 4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ??=?? -= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ == ,),(n m n m mn p x C p x F 。 证： （1）先证[ ][] 11 , ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。 [][][][][ ] [][ ] []()() []()1 111 11 3 3 1 3 32312 2211 1 1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m x m i x i x i m x x p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x x p x p x x p 同理， 宝鸡文理学院试题 课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班 本文档是我在淘宝0.8元购买的，求报销！！！ 填空题中的1、2、4题，是量子力学基本知识，值得考。 一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分) １、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。 ２、波函数的标准条件为（ ）。 ３、正交归一方程* m n mn u u d τδ=? 的狄拉克表示为（ ）。 4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。 5、z L L ??2和的共同本征函数为（ ）。 选择题中2、4两题亦考察基本知识，可以考，不至于太难。 二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分） １、?与?对易，则两算符： (1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。 ２、自由粒子能级的简并度为： （1）1 (2) 2 (3) 3 (4)4 3、设线性谐振子处于011 3()()()22 x x x ψψψ=+描述的状态时，则该态中能量的平均值为 （1）0 ; （2） 75ω (3)5 2 ω； （4）5ω 4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合 （1）一定是定态 ; （2）不是定态 (3) 不能确定 5、 对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现的跃迁是： (1) Ψ322→Ψ300; (2) Ψ211→Ψ100; (3) Ψ322→Ψ21-1; (4) Ψ322→Ψ200; 就题目来讲，简述题中1、2题有些熟悉，知道在书中哪里，可以考。 三、简述（每小题5分，5×4＝20分） 1、光电效应实验的规律 2、量子力学中态的叠加原理 3、希尔伯特空间 第十章 定态问题的常用近似方法 10－1) 设非简谐振子的Hamilton 量表为'0H H H += 2 22 2202 12x u dx d u H ω+-= 3'x H β=（β为实常数） 用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。 解：已知)0()0(0n n n E H ψψ=，()x H e N n x n n αψα 2 ) 0(2 2-=， () ω 21) 0(+=n E n ， ωαu = ()[] 11121 +-++=n n n n n x x ψψα ψ ()()()()()[ ]222 22112121 +-+++ +++= n n n n n n n n n x x ψψψαψ ()()()()()()()[ ]31133 3321113321221++--++++ ++++--= n n n n n n n n n n n n n n n x x ψψψψα ψ计算 一级微扰：n n n H E ψψ' ) 1(=03 ==n n x ψψβ。 （也可由()?+∞ ∞ -?==dx x x H E n nn n 32 ' ) 1(βψ0＝（奇）直接得出） 计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0： ()()' ,33 332122n n n n H n n n x --=--=α βψβψ ' ,13 31322n n n n H n n x --=?=α βψβψ ()' ,13 3111322n n n n H n n x ++=++?= α βψβψ ()()() ',33 3332122n n n n H n n n x ++=+++?= α β ψβψ 计算2' kn H ：()()6 22' ,3821αβ--=-n n n H n n 6232 ',19αβn H n n =- 6232 ',189αβn H n n =+ ()()()622' ,38321αβ+++=+n n n H n n waterysun 似水骄阳 1 第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ? ??<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =?=n n a λ n a /2=∴λ （1） 又据de Broglie 关系λ/h p = （2） 而能量 () ,3,2,12422/2/222222 22 22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()∫==? ,3,2,1,x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 ??? ?????++=++=222222222222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2, ,2,1,x V E m p n nh x d p ?===?∫ )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2 x a E V x m a ω===。 a ? 0 a x 第十一章 量子跃迁 11—1）荷电q 的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为()ωρ，波长较长。求：（a ）跃迁选择定则；（b ）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 11—2）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用()()t t δεε0=。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取0ε沿z 轴方向来计算）。 解：令() ()()∑-= n t iE n n n e r t C t r ψ ψ, （6） 初始条件（5）亦即 () 10n n C δ=- （5） 用式（6）代入式（4），但微扰项ψ'H 中ψ取初值1ψ（这是微扰论的实质性要点！）即得 ()t z e H e dt dC i n t iE n n n δψεψψ101'==∑- 以*n ψ左乘上式两端并全空间积分，得 () t iE n n n e t z e dt dC i -=δε10 再对τ积分，由00>→=- t t ，即得 ()10 n n z i e t C ε= ()1≠n （7） 因此0>t 时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到n ψ态的几率为[可直接代入 P291式（23）、P321式（15）而得下式] () 212 02 n n n z e t C P ?? ? ??== ε （8） 根据选择定则()0,1=?=?m l ，终态量子数必须是 ()()10n nlm = 即电子只能跃迁到各np 态()1=l ，而且磁量子数0=m 。 跃迁到各激发态的几率总和为 ?? ???? -??? ??=??? ??=∑∑ ∑n n n n n n z z e z e P 211212 02 1 ' 2 0' εε （9） 其中 01111==ψψz z （z 为奇宇称） ∑∑=n n n n n z z z 1 12 1ψψψψ212112 13 1 a r z ===ψψψψ （10）量子力学导论第6章答案
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