河北南宫中学2020届高三数学上学期第八次周测试卷 文
南宫中学2020届高三（上）文科数学第八次周测试题
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分。共60分．
1．已知i 是虚数单位，则2
112
i ()+-+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．设集合A={-1，0，a}，B={01x|x <<}，若A B ≠?I ，则实数a 的取值范围是 A{1} B ．(-∞，0) C ．(1，+∞) D．(0．1)
3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为 A ．19、13 B ．13、19 C ．20、18 D ．18、20 4．下列命题中是假命题的是 A ．02
x (,
),tan x sin x π
?∈> B ．30x x R,?∈>
C ．0002x R,sin x cos x ?∈+=
D ．000x R,lg x ?∈=
5．点M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1的中点，用过A 、M 、N 和D 、N 、C 1的两个截
面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为
A ．①、②、③ B．②、③、③ C．①、③、④ D ．②、④、③
6．实数x ，y 满足110x y a(a )x y ≥?
?
≤>??-≤?
，若目标函数z x y =+取得最大值4，则实数a 的值为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
32
7．平面向量a v 与b v
的夹角为23
π，(3,0),||2a b ==v
v ，则|2|a b +v v = A. 7 B.
37 C. 13 D. 3
8．执行右边的程序框图。则输出n 的值为
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 9．若曲线1f (x )x sin x =+在2
x π
=
处的切线与直线a x +2y +1=0互相垂直，
则实数a 的值为
A ．-2
B ．-l
C ．1
D ．2 10．若函数3
f (x )sin(x )π
ω=+
的图象向右平移
3
π
个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是 A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．3 11．在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB 、AC 的边长分别为2、1，∠BAC=60o
．则AG BG u u u r u u u r
g =
A ．89-
B ．109-
C ．53-
D ．-53-
12.已知函数c bx ax x x f +++=
2
32
131)(在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,满足)0,1(1-∈x ，)1,0(2∈x ，则2
4
2+++a b a 的取值范围是（ ）
A ．)2,0(
B ．)3,1(
C ．]3,0[
D ．]3,1[
二、填空题：本大题共4小题．每小题4分，共16分．
13．已知等差数列{n a }中，35a a +=32，73a a -=8，则此数列的前10项和10S = ▲ ．
14．函数220
410ln x x x,x f (x )x ,x ?-+>=?+≤?
的零点个数是 ▲ ．
15．已知,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，且l α⊥，则//l β是αβ⊥的 ▲ 条件。(填：充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)
16．已知向量1(cos ,),(1,)2a x x b t =--=v v ，若函数()f x a b =?v v 在区间上(0,)2
π
存在增区间，则t 的
取值范 范围是 .
三、解答题：本大题共6小题．共74分．解答应写出文宇说明、证明过程或推演步骤。
17
．已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n ==u v
v ，若1m n ?=u v v ，求cos()3
x π
+的值.
18．(本小题满分12分) 在△ABC 中，已知A=4
π
，
cosB=5．
(I)求cosC 的值；
(Ⅱ)若
D 为AB 的中点，求CD 的长．
19.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，当2≥n 时，总有n
n n a a 221+=-成立，且41=a ．
(Ⅰ)证明：数列?
??
???n n a 2是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ．
20.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：(Ⅰ)1C O ∥面11AB D ；
(Ⅱ)1
AC ⊥面11AB D ．
21．（本小题满分14分）
已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈.
（Ⅰ）若1a =时，求曲线=()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
22．已知函数2
2()ln a f x a x x x
=++. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值. (Ⅱ)若0a >，求()f x 的最小值()g a ； (Ⅲ)在(Ⅱ)上求证：4
()g a e -≥-.
A
（第20题图）
D 1
C 1
B 1
A 1
O
D
C
B
参考答案
BDACB CCCDD AB
二、填空题：每小题4分，共16分.
13. 190 14. 3 15. 充分不必要 16. )2
1
,∞-（
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 18.
．解：（Ⅰ）552cos =
B Θ且(0,)B π∈，∴5
5
cos 1sin 2=-=B B …………2分
)4
3cos(
)cos(cos B B A C -=--=π
π …………………………………… 4分 10
10
552255222sin 43sin cos 43cos -
=?+?-=+=B B ππ ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得10
10
3)1010(1cos 1sin 22=-
-=-=C C ……………………8分 由正弦定理得sin sin BC AB A C =，即10
10
32
252AB
=，解得6=AB ．………………10分
在BCD ?中，5
5
252323)52(222???-+=CD 5=，
所以5=CD ． ………………………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）Θ当2≥n 时， n
n n a a 221+=-，即
12
211
=---n n n n a a ， 又
221=a .∴数列??????n n a 2是以2为首项，1为公差的等差数列. ……………4分 ∴
11)1(22
+=?-+=n n a n
n ，故n
n n a 2)1(+=. ……………6分 （Ⅱ）∵n n n a 2)1(+=，n
n n n n S 2)1(22322121?++?+???+?+?=∴-，
1322)1(223222+?++?+???+?+?=n n n n n S ，
两式相减得：
1111
3222)1(2
1)
21(442
)1()222(4++-+?-=?+---+=?+-+???+++=-n n n n n n n n n S
∴ 1
2+?=n n n S ……………12分
20．证明：（Ⅰ）连结11C A ，设11111O D B C A =I ，连结1AO ，
1111D C B A ABCD -Θ是正方体, 11ACC A ∴是平行四边形, AC ∴//11C A , 又1O ,O 分别是11C A ,AC 的中点，
AO ∴//11C O , 11O AOC ∴是平行四边形,
11//AO O C ∴ ……………4分 111D AB AO 平面?Θ，111D AB O C 平面?111//D AB O C 平面∴． ……………6分
（Ⅱ）11111D C B A CC 平面⊥Θ,111D B CC ⊥∴,
又1111D B C A ⊥，C C A D B 1111平面⊥∴,
111D B C A ⊥∴, ……………10分 同理可证11AB C A ⊥, ……………11分
又1111B AB D B =I ,
111D AB C A 平面⊥∴ , ……………13分
21．解：()ln 1()(0,)f x x ax a R x =++∈∴∈+∞
'
11
()ax f x a x x
+=
+= ……………… 1分
（Ⅰ）当1,a =(1)2f =，'
(1)112k f ==+=；
故=()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：22(1)y x -=-，即20x y -=; ………………… 4分
（Ⅱ）当）为增函数，
在（∞+∴>≥0)(,0)(,0'
x f x f a 当0a <，令,100)('a
x x f -
<,10)('
a x x f ->?<
综上：），的单调增区间为（∞+≥0)(,0x f a
1
1
0,()0,,)a f x a a
<-
+∞的单调增区间为（，-）减区间为（22.解：
（Ⅰ）)(x f 的定义域为{}0>x x ，)0(,12)(22
>+-='x x
a x a x f ，根据题意有2)1(-='f ，
所以0322
=--a a 解得1-=a 或2
3
=
a . ………………………………4分 （Ⅱ）)0(,)
2)((212)(2
22222>+-=-+=
+-='x x a x a x x a ax x x a x a x f 当0>a 时，因为0>x ，由0)(>'x f 得0)2)((>+-a x a x ，解得a x >， 由0)(<'x f 得0)2)((<+-a x a x ，解得a x <<0，
所以函数)(x f 在),0(a 上单调递减，在()+∞,a 上单调递增； …………………6分 （Ⅲ）由（2）知，当a>0, )(x f 的最小值为()()ln 3,()ln 4g a f a a a a g a a '==+=+ 令()ln 40g a a '=+= 4
()ln 40,g a a a e -'=+== 当4
4
,(),()a e g a a e g a --><单调递增，当单调递减
44()()g a g e e --=-的最小值为。 4()g a e -∴≥- …………………14分