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2016年上海高考理科题及答案

2016年上海高考理科试题及答案

1、设x ∈R ，则不等式|x -3|<1的解集为 .

解：由原不等式得-1

2、设z=(3+2i)/i ，其中i 为虚数单位，则Imz= .

解：z=(3+2i)/i=-(3i-2)=2-3i ，则复数z 的虚部为-3，即Imz=-3.

3、已知平行直线l 1：2x +y -1=0，l 2：2x +y +1=0，则l 1与l 2的距离是 . 解：d=|1-(-1) | /√(4+1)=2√5/5.

4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是 . 1.76

解：六个数依次排列如下：1.69<1.72< 1.75<1.77<1.78<1.80, 位于中间的两个数的平均数，即(1.75+1.77)/2=1.76，就是中位数.

5、已知点(3,9)在函数f (x )=1+a ^x 的图像上，则f (x )的反函数 f -1(x )= .log 2(x-1) 解：由点(3,9)在函数f(x)=1+a^x 的图像上知a=2，那么函数y=1+2^x 的反函数是y=log2(x-1).

6、如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长3，BD 1与底面所成

的角的大小为arctan 32，则该正四棱柱的高等于 . 解：∠DBD1是BD1与底面所成的角，设DD1=x ，则BD1=√(18+x^2)，

由√(18+x^2)/3√2=2/3，解得x=2√2.

7、方程3sinx =1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 . π/6, 5π/6

解：3sinx =1+1-2(sinx ) ^2, 得sinx =1/2,或sinx =-2(舍), 故原方程1在区间[0,2π]上的解为π/6, 5π/6.

8、在n x

x )2(3-的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 . 解：由二项式系数之和为256知n=8，对T(r+1)通项分析得r=2,从而T3=112.

9、已知△ABC 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .

解：先由余弦定理计算三角形某角的余弦，化为正弦，然后用正弦定理得到外接圆半径为7√3/3.

10、设a >0,b >0，若关于x ,y 的方程组?

??=+=+11by x y ax 无解，则a +b 的取值范围是 .(2,+ ∞) 解：由方程组无解知ab=1且a ≠b ，所以a +b >2√ab=2，即a +b 的取值范围是(2,+ ∞) .

11、无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为前n 项和，若对任意n ∈N*，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为 . 4

解：依题目要求，构造无穷数列{a n }如下：2,1,-1,0,0,…，它由4个不同的数组成.再也不可能用更多数组成符合要求的数列了，所以k 的最大值为4.

12、在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0,-1)，P 是曲线21x y -=上一个动点，则向量的数量积BP·BA 的取值范围是 . [0,1+2]

解：曲线是圆心在原点、半径为1的半圆，半圆的范围是-1≤x≤1,0≤y≤1.设P(cosθ,sinθ).则向量的数量积BP ·BA= cosθ+sinθ+1，由-1≤x≤1,0≤y≤1知0≤θ≤π，于是

-1≤cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)≤√2,因此所求取值范围是[0,1+√2] C B

A D D 1 A 1

B 1

C 1

13、设a ,b ∈R ，c ∈[0, 2π)，若对任意实数x 都有)sin()3

3sin(2c bx a x +=-π，则满足条件的有序实数组(a ,b ,c )的组数为 . 4

14、如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1,A 2,…,A 8的中心，A(1,0)，任取不同的两点A i ,A j ，点P 满足向量0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限

的概率是 . 5/28

15、a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( )条件.A

A 充分不必要

B 必要不充分

C 充要

D 既不充分又不必要

16、下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ).D

A ρ=6+5cos θ

B ρ=6+5sin θ

C ρ=6-5cos θ

D ρ=6-5sin θ

17已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S S n n =∞→l i m ，

下列条件中，使得S S n <2恒成文的是( ). B

A a 1>0，0.6

B a 1<0，-0.7

C a 1>0，0.7

D a 1<0，-0.8

A ①和②均为真命题

B ①和①均为假命题

C ①为真命题，②为假命题

D ①为假命题，②为真命题

19、将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵

长为32π，A 1B 1⌒长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧， ⑴求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；√3/12

⑵求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小.π/4

20、有一块正方形菜地EFGH ， EH 所在直线是一条小河。收获的蔬菜可送到F 点或河边运

走，于是菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点附近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到与到F 点的距离相等。现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)，如图，

⑴求菜地内的分界线C 的方程；y 2=4x(0

⑵菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到面积的经验值为3

8，设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另有一边过点M 的矩形面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的经验值? 解：⑴因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分的方程是 ⑵M(1/4,1)所求矩形面积为5/2,而所求五边形面积为11/4，矩形面积与“经验值”之差的绝对值为|5/2-8/3|=1/6，而五边形面积与经验值

之差为|11/4-8/3|=1/12，所以五边形面积更接近S1面积的经验值。

21、双曲线122

=-b y x (0>b ) 的左、右焦点为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A,B 两点，

⑴若l 的倾斜角为π/2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

⑵设b=3，若l 的斜率存在，且|AB|=4，求l 的斜率(文科).

⑶设b=3，若l 的斜率存在，且向量F F ?+)(11=0，求l 的斜率. (理科)

解：⑴依题意，l 过右焦点且垂直于x 轴，因此|AB|=2b^2，由于△F1AB 是等边三角形，所以2b^2∶2c=2∶√3,又c^2=1+b^2，从而解得b=√2，∴渐近线方程为y=±√2x. ⑵双曲线为x^2-y^2/3=1, F2(2,0)，

设l ：y=k(x-2)，代入x^2-y^2/3=1,消去y 得(3-k^2)x^2+4(k^2)x-(4k^2+3)=0

△=36(k^2+1), 由弦长公式，得 6(k^2+1)/|k^2-3|=4，解得k=±3.

⑶双曲线为3x^2-y^2=3, F1(-2,0)， F2(2,0)，

设线段AB 的中点为M(n,m), A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)，直线l 的斜率为k ，则

3x1^2-y1^2=3, 3x2^2-y2^2=3,