线线角、线面角、二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题

一、异面直线所成的角

1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

2.角的取值范围：090θ<≤?；

垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点

求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值

二、直线与平面所成的角

1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角

2.角的取值范围：?

?

≤≤900θ。

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，

求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。

B

M

H S C

A

_1

_A

一、 二面角：

1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半

平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：?

?

≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。

3.作二面角的平面角的常用方法有六种：

1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。

2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值.

A 1

D 1

B 1

C 1 E

D

B

C

A

巩固练习

1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）

A.α内所有的直线都与a 异面；

B.α内不存在与a 平行的直线；

C.α内所有的直线都与a 相交；

D.直线a 与平面α有公共点.

2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（ ）

A.030

B.045

C.060

D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条

A.3

B.4

C.6

D.8

4.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（

）

A.300

B.450

C.600

D.900

5．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．

求证：(1)直线EF ∥面ACD .

(2)平面EFC ⊥平面BCD .

6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．

(1)证明：PQ ∥平面ACD ；

(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

A

B

C D A 1

B 1

C 1

D 1

7.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，

求点A到平面SBD的距离；

线线角,线面角,二面角的一些题目

B 1 D 1 A D C 1 B C A 1线线角与线面角习题 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο 和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).6 2 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并 要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. A C B D B P C D A C B F E

高中数学线面角与线线角例题、习题-学生

线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P

线面角及二面角的求法

第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1)线面角的求法,找出斜线在平面上的射影,关键就是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小求法,二面角的大小用它的平面角来度量. 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,P A ＝AB＝BC,E就是PC的中点. (1)求PB与平面P AD所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面PCD; (3)求二面角A－PD－C的正弦值. (1)解在四棱锥P－ABCD中, 因P A⊥底面ABCD,AB?平面ABCD, 故P A⊥AB、又AB⊥AD,P A∩AD＝A, 从而AB⊥平面P AD, 故PB在平面P AD内的射影为P A, 从而∠APB为PB与平面P AD所成的角. 在Rt△P AB中,AB＝P A,故∠APB＝45°、 所以PB与平面P AD所成的角的大小为45°、 (2)证明在四棱锥P－ABCD中,

因P A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, 故CD⊥P A、由条件CD⊥AC,P A∩AC＝A, ∴CD⊥平面P AC、 又AE?平面P AC,∴AE⊥CD、 由P A＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝P A、 ∵E就是PC的中点,∴AE⊥PC、 又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD、 【变式探究】如图所示,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD就是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC、E就是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F、 (1)证明P A∥平面EDB; (2)证明PB⊥平面EFD; (3)求二面角C－PB－D的大小. (1)证明如图所示,连接AC,AC交BD于O,连接EO、 ∵底面ABCD就是正方形, ∴点O就是AC的中点. 在△P AC中,EO就是中位线, ∴P A∥EO、 而EO?平面EDB且P A?平面EDB, ∴P A∥平面EDB、 【针对训练】 1.如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为菱形,P A⊥底面ABCD,AC＝22,P A＝2,E就是PC上的一点,PE＝2EC、

线线角、线面角、二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：? ? ≤≤900θ。 _1 _A

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中 点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 一、 二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：? ? ≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 B M H S C A

3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A

线线角,线面角,二面角的几何法

新高考一轮复习之立体几何线线角、线面角、面面角的几何解法 一、异面直线所成角 解题口诀：一平二构三边四余弦 一平：异面直线通过平行线平移至相交 二构：构造三角形 三边：计算三角形的三边长（注意是否为特殊三角形） 四余弦：利用余弦定理求角（注意异面直线的夹角范围为00(0,90]，所以余弦值应该为正的） 练习题： 1、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ） A B C D 2、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，则异面直线1AD 与1OC 所成角的余弦值为（ ） A 、12 B C D 3、在四面体ABCD 中，若2AB CD ==，,,E F G 分别是,,BC BD AC 中点，若 FF =AB CD 与所成角为（ ） A 、030 B 、045 C 、060 D 、0120 4、在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值为（ ） A B 、15 C D

5、已知直三棱柱111ABC A B C -中，0120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A 、3 B 、15 C 、10 D 、3 6、如图，在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M N 、分别为,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 答案：78 二、线面角（线面角的难点在于找出垂线以及计算边长） 题型一：能证明出垂线的 解题步骤： ①先找斜足 ②过斜线上一点作平面的垂线，交点为垂足（线面垂直，需要证明） ③连接斜足和垂足，称为斜线的射影，射影和斜线所成的角即为线面角 基础例题： 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角 A B C D 1A 1B 1C 1D

空间中线线角,线面角,面面角成法原理和求法思路

D B A C α 空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角， 则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ， 90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ① (PO NO MO PN PM α⊥? ?=?? 斜线长相等推射影长相等） ＝

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题 一、 异面直线所成的角 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积； （2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值

二、直线与平面所成夹角 1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ， 90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2P A A D A B B C ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．

2、如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线 段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。 （1）证明：EB FD ⊥； （2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，2 3 FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

线线角和线面角

线线角和线面角 [重点]：确定点、斜线在平面内的射影。 [知识要点]： 一、线线角 1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角. 2、范围:(0,] 3. 向量知识： 对异面直线AB和CD (1)； (2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB 和CD的夹角； (3) 二、线面角 1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角； 直线垂直平面它们所成角为， 3、范围: [0,]。 4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。

5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 6、向量知识 （法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角. [例题分析与解答] 例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 解：∵，， ∴ ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 所以异面直线BA1与AC所成的角为60°. 点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示. 例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.

线面角的计算方法

教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学 学生年级 高二 教材版本 人教版 课题名称 线面角，二面角的计算方法（文科） 本次学生 课时计划 第（10）课时 共（60）课时 教学目标 线面角的计算方法 教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法 教师活动 学生活动 上次作业完成情况(%) 一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题 二．回顾上次课辅导内容 三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾 （1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 （二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 典型例题： 线面夹角的计算 例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED =90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明： AC ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值. 例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． (1)证明：BD ⊥平面APC ； ( 43 3 ) (2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC 的值．(3/2) 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直

§52 线线角与线面角(教案)

B 1 D 1 A D C 1 B C A 1 §线线角与线面角(教案) 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维” 的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=3，AD、BC所成的角 为. 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D所成角的余弦值为( ) (A). 4 6 (B). 3 6 (C). 6 2 (D). 6 3 3.平面α与直线a所成的角为 3 π ,则直线a与平面α内所有直线所成的角的取值范围是． 4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为 ( ) (A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系. 2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过 程,还要有合理的步骤. A C B D B P C D A C B F E

线面角与二面角的向量解法

线面角与二面角的向量解法 广州市第65中学 朱星如 510450 几何中的距离和角是初等几何学的核心问题，是新旧教材的教学重点，也是高考常考点。近几年来，各种数学杂志发表了不少用向量解几何题的文章，笔者觉得有些方法在实际解题中，操作起来并不方便，在教学中效果不佳。如线面角论及得较少；而用法向量求二面角的平面角时，两法向量的夹角与二面角的平面角是相等或互补，但不易确定取哪种关系。本文就这两个问题的解答方法作一介绍，但愿对同行的教学有所裨益。 先推导一个线面角公式。设PQ 是平面a 的一条斜线段，P 、Q 均 不为斜足，线段PQ 所在直线与平面α交于点Q '，直线PQ 与平 面α所成的角为q ，见图1。P '为直线PQ 上的一点，作P 'Q a ^ 于H ，连H Q '，则P Q H q ⅱ?。设平面a 的法向量为n r ，则有： 90HP Q q ⅱ+?o ，,HP Q n PQ ⅱ ?uuu r r 或,n PQ p -uuu r r ， sin cos cos ,HP Q n PQ q ⅱ=?=uuu r r PQ n PQ n ×uuu r r g uuu r r ，从而 arcsin (1)PQ n PQ n q =×uuu r r g L uuu r r 。 注：当Q 点为斜足或点P 、Q 在平面α的异侧时本公式也适用。 我们改编一个91年全国的高考题例说公式（1）的应用。 例1：已知正方形ABCD 的边长为4,PA ⊥平面ABCD ，PA =2,E 、F 分别为BC 、 CD 的中点。求直线EB 、FB 分别与平面PEF 所成的角（见图2）。 解：以A 为原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，AP 所在的 直线为z 轴，建立空间右手直角坐标系。则有 B （0，4，0），C （4，4，0），D （4，0，0），P （0，0，2）。用中点坐标公式 可得E （2，4，0），F （4，2，0）。(2,2,0),(2,4,2)E F E P =-=--u u u r u u u r ，(2,0,0)EB =-u u u r ， (4,2,0)FB =-u u u r 。设平面PEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则有 0,0n EF n EP ==u u u r u u u r r r g g ，由此得：220,2420x y x y z -=--+=，可解出： ,3y x z x ==，取1x =得()1,1,3n =r ， 记直线BE 、BF 与平面PEF 所成的角分别为1θ、2θ，则由公式（1）得 1sin n EB n EB q == =uuu r r g uuu r r ，1arcsin q = 22sin arcsin n FB n FB q q == ==uu u r r g uu u r r 。 处理线面角问题用公式（1），可回避找斜线在平面内的射影之苦，从而提高学生的学习效率，真正为学生减负。 () A O B D 图 2 P ' Q ' θ 图1

线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F G 线线角、线面角、二面角的求法 1.空间向量的直角坐标运算律： ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是 1122330a b a b a b a b ⊥?++= ⑵两个非零向量与平行的充要条件是 a 2 b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式 若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a 2b =|a ||b | cos θ （2）模长公式：则2 12||a a a a a =?=++，2 ||b b b b =?=+（3）夹角公式：2 cos ||||a b a b a b a ??==?+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2 | |(AB AB x ==,A B d = ①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα?? ∈ ??? 在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>= 例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5 15arccos B ． 4 π C ．5 10 arccos D ．2π （向量法，传统法）

P B C A 例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：（1）向量法 （2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中 ，即 t a n 2PD DBA DB ∠ = =． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P - ②直线a 与平面α所成的角0,2πθ?? ∈ ??? (重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量→ a 与平面α的法向量→ n 的夹角ω表示，由向量平移得：若 ππ（图）；若ππ 平面α的法向量→ n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤： (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z = (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a << (4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。 图1－ 图1－ 图1－ 1 D 1 B 1 C P D B C A

线线角与线面角

线线角与线面角 线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角 异面直线所成角,直线与平面所成角 知识整合: 1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证 热点题型1 例1、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中， 13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的 中点 (Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面; (Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 解析;异面直线所成角的平面角顶点O 的选取一般 选在两异面直线的端点处,初学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处. 解：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1； （III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角， 在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21 AB=2 5， CE=2 1 CB 1=22， ∴ 8cos 5 5 22 CED ∠= = ?， 1 A 1 A

线面角与二面角

二面角及其度量 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。 棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角，记作l αβ--。A α∈，B β∈，二面角也可以记作A l B --。 在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别做射线OA l ⊥，OB l ⊥，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角。显然，这个平面角与点O 在l 上的位置无关。 二面角的大小可以用它的平面角来度量。二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。我国发射的第一颗人造卫星的倾角是68.5，这个倾角指的是人造卫星的轨道平面和地球赤道平面所成的角。 我们约定，二面角的范围是[0,]π。 平面角是直角的二面角叫做直二面角。互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。 我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量。 如图，分别在二面角l αβ--的面,αβ内，作向量1n l ⊥，2n l ⊥，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。 如图，设1m α⊥，2m β⊥，则角12,m m <>与该二面角大小相等或互补。 O O 1 A B A 1 B 1 l α β α 1m 2m β l 1n 2n

2 如图 四棱锥ABCD P -底面为直角梯形，平面⊥=⊥⊥PA AB CD AD CD AD AB ,2,, ABCD ． ⑴BC 与平面PCD 成角． ⑵求二面角C BD P --的平面角． ⑶设Q 为侧棱PC 上一点，PC PQ λ=,试确定λ的值，使得二面角P BD Q --为.45?

高考数学线线角与线面角复习

第5课时线线角与线面角 ?要点·疑点·考点 ?课前热身 ?能力·思维·方法 ?延伸·拓展 ?误解分析

要点·疑点·考点 1.线线角 (2)范围：?? ? ??20π，(1)定义：设a 、b 是异面直线，过空间任一点O 引，则所成的锐角(或直角)，叫做异面直线a 、b 所成的角. b a ''，a 'b b a ////'，

2.线面角 (3)范围：?? ????20π，(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角 (2)若直线l ⊥平面α，则l 与α所成角为直角 若直线l ∥平面α，或直线l 平面α，则l 与α所成角为0° ?

(4)射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短 (5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小 的角. 返回

2. 相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为( )(A) (B) (C) (D) 332336261. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( )(A)30°(B)60°(C)90°(D)150° 课前热身 C C

3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在的平面成60°的二面角，则异面直线 AD与BF所 成角的余弦值是___________. 4 2

线线角_线面角_二面角的讲义

B 1D 1A D C 1 B C A 1 线线角与线面角 一、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3π ,则直线a 与平面α所有直线所成的角的取值围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与 BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 二、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平A C B D B P C D A C B

面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】 例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在 此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作 平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直 的性质找平面的垂线.②点的射影在面的特殊位置. 例 3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中 点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否 使EF 与平面BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 一、知识与方法要点： 1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面的射影，即确定过斜线上A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C B A B 1D C 1E F

专题：空间线面角与二面角的求解问题

专题一：空间线面角与二面角的求解问题 1.（2015浙江）如图，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA=AB=2DC= 2a，设F为EB的中点. （1）求证：DF//平面ABC； （2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值. 2.（2014湖北检测）如图所示，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1 ,AB=2，点E是AB 的中点. （1）证明：BD1//平面A1DE； （2）证明：D1E⊥A1D； （3）求二面角D1?EC?D的正切值.

3.（2014深圳调研）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF//CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2. （1）求证：AF//平面CDE； （2）球平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值； （3）球直线EF与平面ADE所成角的余弦值. 4.（2014浙江名校联考）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点（靠近C处），F为线段EC上的一动点（包括端点），现将?AFD沿AF折起，使点D在平面内的射影恰好落在AB边上，则当F运动时，二面角D?AF?B的余弦值的取值范围是________.

5.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1?BC?A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明. 6.如图所示,四棱锥S?ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC= SD=2,E为棱SB上一点,平面EDC⊥平面SBC,求二面角A?DE?C的大小.

线线角_线面角_二面角一些题目

B 1D 1A D C 1B C A 1线线角与线面角习题 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直 线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3 π,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用 平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. 例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 为棱BB 1上一点,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC 1; (2)试问:若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 四、反馈练习 1设集合A 、B 、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则 (A)A=B=C (B)A=B ?C (C)A ?B ?C (D) B ?A ?C. 2两条直线a ,b 与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 3设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 . A C B A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C B A B 1D C 1E F D B P C D A C B F E

二面角与线面角

直线和平面所成的角与二面角 一、选择题(共45题，题分合计225分) 1.在直二面角α- l-β中,直线m ?α,直线n ?β,且m 、n 均不与l 垂直,则 A. m 与n 不可能垂直,但可能平行 B. m 与n 可能垂直,但不可能平行 C. m 与n 可能垂直,也可能平行 D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行 2.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题: (1)若a a //,a b //,则b a //.(2)若a a //,β//a ,则β//a . (3)若γ⊥a ,γβ⊥,则β//a . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图△ABD ≌△CBD ，且△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，正确结论的序号是 ①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形③AB 与面BCD 成60°角④AB 与CD 成60°角 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 4.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为： Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C.0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2 5.在直二面角α－AB －β的棱AB 上取一点P ，过P 分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为 A.45° B.60° C.120° D.60°或120° 6.二面角α-l -β的平面角为120°,A ,B ∈l , AC ?α, BD ?β, AC ⊥l , BD ⊥l ,若AB =AC =BD =1，则CD 等于 A.2 B.3 C.2 D.5 7.60°的二面角α- l-β,直线a ?α,直线b ?β,且a 、b 无公共点.设a 、b 所成的角是θ,则cos θ的取值范围是

线线角与线面角

线线角和线面角 ［重点］:确定点、斜线在平面内的射影。 ［知识要点］: 一、线线角 1、定义：设a 、b 是异面直线，过空间一点 O 引a ' 〃a,b '则/域；b 所成的锐角（或直角）， 叫 做异面直线a 、b 所成的角. 3. 向量知识： 对异面直线AB 和CD ⑵ 向量二_和匚匸 的夹角＜_」，「「「： ＞（或者说其补角）等于异面直线 AB 和CD 的夹角; （3）..”厂，二：二「二 ■-- 二、线面角 1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围 是(0, _ ). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角; 直线垂直平面它们所成角为 - 3、范围:［0,二］ 4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: （1） 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2） 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； 2、范围 7T 一

（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成 的一切角中最小的角。 6、向量知识 （法向量法） ■* -f * 与平面的斜线共线的向量 显和这个平面的一个法向量 J 的夹角V 」，一1 >（或 者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角 ［例题分析与解答］ 例1 ?如图所示，在棱长为 a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线 BA 1与AC 所成 的角. ■- - -11! ■',再根据异面直线 BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角 解：???】，—-匸二 ， -!<■'.：― 二.'：： =B T AB+BA BC+BB[ AB+BB[ BC ?/ AB 丄 BC ，BB 1 丄 AB ，BB 1± BC ， ...「 i,T-； I, BB] BSC BA AB = -a\ ...二小 cos < BApAC >= — ---------- =-— ...-_三〔13二- 所以异面直线 BA i 与AC 所成的角为60°. 点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积, 必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 例2.如图⑴，ABCD 是一直角梯形， AD 丄AB ，AD//BC ，AB=BC=a, AD=2a,且PA 丄平面 ABCD ，PD 与平面 ABCD 成30。角. 分析: 利用〔［厂「J _ \ J - 的夹角