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北师大版九年级下册数学1.6利用三角函数测高教案

1．6利用三角函数测高

教学目标

1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程．

2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．

3．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．

重点难点

重点

运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告；综合运用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．难点

活动时的组织和调控；撰写活动报告．

教学过程

一、创设情境，导入新课

现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题．请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器？有何用途？如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样的？

二、合作交流，探究新知

活动一：设计活动方案，自制仪器

首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等)．一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成．下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器．

制作测角仪时应注意什么？

支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确．度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点．当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下．

一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤．

活动二：测量倾斜角

(1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．

(2)转动度盘，使度盘的直径对准较高目标M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．

问题1：它的工作原理是怎样的？

如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度

线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置．我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M ，此时铅垂线指向一个度数．即∠BCA 的度数．根据图形我们不难发现∠BCA ＋∠ECB ＝90°，而∠MCE ＋∠ECB ＝90°，即∠BCA ，∠MCE 都是∠ECB 的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA ＝∠MCE .因此读出∠BCA 的度数，也就读出了仰角∠MCE 的度数．

问题2：如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢？

和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角．

活动三：测量底部可以到达的物体的高度

“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离．

要测旗杆MN 的高度，可按下列步骤进行(如下图)：

(1)在测点A 处安置测倾器(即测角仪)，测得M 的仰角∠MCE ＝α.

(2)量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN ＝l .

(3)量出测倾器(即测角仪)的高度AC ＝a (即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离)．根据测量数据，就能求出物体MN 的高度．

在Rt △MEC 中，∠MCE ＝α，AN ＝EC ＝l ，所以tan α＝ME EC

，即ME ＝tan a ·EC ＝l ·tan α. 又因为NE ＝AC ＝a ，所以MN ＝ME ＋EN ＝l ·tan α＋a .

活动四：测量底部不可以到达的物体的高度

所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．例如测量一个山峰的高度．

可按下面的步骤进行(如图所示)：

(1)在测点A 处安置测角仪，测得此时物体MN 的顶端M 的仰角∠MCE ＝α.

(2)在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪(A ，B 与N 都在同一条直线上)，此时测得M 的仰角∠MDE ＝β.

(3)量出测角仪的高度AC ＝BD ＝a ，以及测点A ，B 之间的距离AB ＝b .

根据测量的AB 的长度，AC ，BD 的高度以及∠MCE ，∠MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系，即可求出MN 的高度．

在Rt △MEC 中，∠MCE ＝α，则ta n α＝ME EC ，EC ＝ME tan α

；在Rt △MED 中，∠MDE ＝β，则tan β＝ME ED ，ED ＝ME tan β

；根据CD ＝AB ＝b ，且CD ＝EC －ED ＝b .所以ME tan α－ME tan β＝b, ME ＝b 1tan α－1tan β

＝b tan αtan βtan β－tan α，

MN ＝b

1tan α－1tan β＋a ＝b tan αtan βtan β－tan α

＋a 即为所求物体MN 的高度．议一议：

(1)到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？

(2)如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？

三、运用新知，深化理解

例1 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B 处6米的D 处，仰望旗杆顶端A ，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED 为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，3≈1.732)．

分析：由题意可得四边形BCED 是矩形，所以BC ＝DE ，然后在Rt △ACE 中，根据tan ∠AEC ＝AC EC

，即可求出AC 的长．

解：∵BD ＝CE ＝6 m ，∠AEC ＝60°，∴AC ＝CE ·tan60°＝6×3≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB ＝AC ＋DE ＝10.4＋1.5＝11.9(米)．

所以，旗杆AB 的高度约为11.9米．

例2 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30 cm ，灯罩BC 长为20 cm ，底座厚度为2 cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少厘米(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.732)?

分析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．

解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G .∴四边形BFDG 矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，

∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12

＝10(cm)．在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝15 3(cm)．∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋15 3＋2＝12＋15 3≈37.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0 cm.

例3 如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB 是1.7 m ，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M 在同一条直线上，测得旗杆顶端M 仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD 是1.5 m ，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°.两人相距28 m 且位于旗杆两侧(点B ，N ，D 在同一条直线上)，求出旗杆MN 的高度(参考数据：3≈1.7，结果保留整数)．

分析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝x m，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．

解：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE＝ME＝x m，则MF＝(x＋0.2) m，FC＝(28

－x) m．在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝

3(28－x)，

解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．

所以，旗杆MN的高度约为12米．

四、课堂练习，巩固提高

《探究在线·高效课堂》“自主检测”部分．

五、反思小结，梳理新知

这节课我们在前面已研讨过设计方案的基础上，分组进行了实地测量，使我们所学的数学知识应用到了实践中．整节课，每个小组的成员都能积极地投入到活动中，在活动中积极想办法，克服困难，团结协作高效地完成了活动课题，并在活动结束后，整理了活动过程，书写了活动报告，进一步回顾整理了已经学过的测高方法及相关知识．

六、布置作业

1．《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材P23习题1.7第1～3题．

利用三角函数测高

利用三角函数测高导学案班级：九年级学生姓名：使用时间：11月28日【学习目标】1.能够利用三角函数测一些实际物体的高度 2.体会数学来源于生活又服务于生活. 【重点】能够利用三角函数测一些实际物体的高度【难点】能够利用三角函数测一些实际物体的高度【学法指导】合作交流，自主探究【课时安排】 1 课时总第7课时相关知识回顾： 1.直角三角形ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）边角之间关系：（2）三边之间关系：（3）锐角之间关系： 2. 解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？预习要求：通过预习初步了解本节知识点，并根据个人能力初步完善探究案。学科组长组检查组内各对子预习完成情况。一、情景引入：请同学们欣赏下列图片，你们能测量出它们的高度吗？二、PPT出示教学目标。三、第一次“先学后教”——如何测量倾斜角测量方法：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： 1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. 四、第二次“先学后教”——测量底部可以到达的物体的高度（概念指导：所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离）测量方法：如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：预习案——课前自主学习探究案——课中合作探究人贵有志，学贵有恒。学者如禾如稻，不学者如蒿如草。

1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ 成水平位置时它与地面的距离）做一做：（小组展示）根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由。五、第三次“先学后教”——测量底部不可以到达的物体的高度（概念指导：所谓“底部不可以到达”－－－就是在地面上不可以直接测得测点与被测物体之间的距离。）测量方法：如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A，B与N在一条直线上，且A，B 之间的距离可以直接测得），测得M的仰角∠MCE=β 3.量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b. 做一做：（小组讨论解决问题）根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由. 六、当堂检测： 1.如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m) 2.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan=3 4 ，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26. 6°，求小山岗的高AB(结果取整数，参考数据：sin26. 6°=0. 45，cos26. 6°=0.50) 七、小结：（小组内总结组内成员完成了本节的哪些学习目标）掌握一个解题方法，比做一百道题更重要。

新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大九年级数学下册知识点总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ;

图1 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h:l l B

北师大版九年级数学下册教学计划.doc

九年级数学下册教学计划李艳娟一、学情分析：本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。二、教材分析本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又

利用三角函数测高设计

利用三角函数测高教学内容本节课为活动课，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度．教学目标 1、能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题； 2、经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力； 3、通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．教学重点、难点设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养．教具准备自制测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具．教学过程一、提出问题，引入新课现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后度时，用到了哪些仪器？有何用途？如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样的？活动一：设计活动方案，自制仪器首先我们来自制一个测倾器（或测角仪、经纬仪等）．一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成．下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器．制作测角仪时应注意什么？支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确．度盘的顶线PQ 与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ 的交点．当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下．

一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤）活动二：测量倾斜角（1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．它的依据是什么？如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数．即∠BCA的度数．根据图形我们不难发现 ∠BCA+∠ECB=90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA=∠MCE．因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数．活动三：测量底部可以到达的物体的高度． “底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离．要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：（如下图）（1）在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α．（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l．（3）量出测倾器（即测角仪）的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据，就能求出物体MN的高度．

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全)

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡；通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆ 想一想书本P 2 想一想通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边 A A A ∠∠=tan （3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2）若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3）若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形）（4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边斜边 A B C

利用三角函数测高

1.6 利用三角函数测高 1. 2. 3. 明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).

4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D 处测得点A,点B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米) B D A C 5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索: 实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算树AB 的高度(精确到0.1米) 实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图; (3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________. (1) (2) 6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少? (说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.) 7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.6米，请你计算树（AB ）的高度．（精确到0.1米）

北师大版九年级初三数学下册第二学期教学计划

九年级数学下册教学计划一、学情分析：本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。二、教材分析本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，

北师大版1.6利用三角函数测高教案

第一章直角三角形的边角关系 1.6 利用三角函数测高一、知识点 1. 制作测倾器并掌握测倾器测角的方法? 2. 应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题二、教学目标知识与技能： 1. 能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法 2. 能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题过程与方法： 1. 经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际. 2. 经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力情感态度与价值观：能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神? 三、重点与难点重点：合理制定方案，掌握用三角函数的知识计算出物体的高度难点：制作测倾器，理解测倾器的构造原理，并对测量结果进行矫正四、试一试测量倾斜角：数学课上，我们用直尺测量长度，用量角器测量角度.生活中，我们是如何测量长度和角度的呢? 测量长度可以用皮尺或卷尺，测量倾斜角可以用测倾器简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.（如图）（出示幻灯片2）

皮尺测倾器

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下（出示幻灯片3、4）: 1、把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线水平位置. 2、转动度盘，使度盘的直径对准目标M记下此时铅垂线所指的度数. 根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由. 活动内容：测倾器的使用活动目的：培养学生的使用工具的能力? 活动的注意事项：展示样品，让学生亲身使用五、掌握测量物体高度的原理活动内容：活动一：测量底部可以到达的物体的高度所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离分组活动、小组合作: 1、你们能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗？ 2、需要用到哪些工具？（工具尽可能简单、尽可能少） 3、需要测量哪些数据？（数据尽可能方便、尽可能少） 4、根据测量数据，如何计算物体的高度？全班交流研讨，确定方案：如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行（出示幻灯片5、6）: PQ在

北师大九年级数学下册知识点总结

图 1 图 3 图4 九年级数学下册知识点归纳第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： ①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A ) ②平方关系：③商数关系：图2 h

北师大版九年级数学下册各章知识点汇总

第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 2 30°，45°，60°角的三角函数值 3 三角函数的计算 4 解直角三角形 5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ;

※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。

1.6 利用三角函数测高导学案

榆中五中“三导六部”课堂教学模式导学案班级：姓名：组长： §1.6利用三角函数测高学习目标： 1、能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题. 2、经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际；经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力. 3、能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神. 教学过程：一、掌握测量物体高度的原理活动内容： 1、物体底部可到达；（1）测量以下数值： ∠MCE=α，AN=l，AC=a （2）根据三角函数正切值的原理：在Rt△MEC中，由tan ME CE α=得，tan ME lα =? 所以，物体高度MN=a+tan lα ?

2、物体底部不可到达. （1）测量以下数值： ∠MCE=α，∠MDE=β，AB=b ，AC=BD=a （2）根据三角函数正切值的原理：在Rt △MEC 中，由tan ME CE α=得，tan ME CE α= 在Rt △MED 中，由tan ME DE β=得，tan ME DE β = 所以b=tan tan ME ME αβ-，则tan tan tan tan ME b αββα ?=?- 所以物体高度为MN=a+tan tan tan tan b αββα?? - 二、实际应用活动内容：例题1，如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗，经测量，得到大门的高度是5m ，大门距主楼的距离是30m ，在大门处测得主楼顶部的仰角是30o，而当时测倾器离地面1.4m ，求学校主楼的高度.（精确到0.1米） . 例题2，河对岸的高层建筑AB ，为测量其高，在C 处由D 点用测量仪测得顶端A 的仰角为30o，向高层建筑物前进50m 到达C ′处，由D ′测得顶端A 的仰角为45o，已知测量仪CD=C ′D ′=1.2m ，求建筑物AB=的高（精确到0.1米）. D A M 30o

北师大九年级数学下册知识点汇总

图 1 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册) 第一章直角三角形边的关系 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠=sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ; ※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot( tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。 ※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 22 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0

利用三角函数测高题型

利用三角函数测高题型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

利用直角三角形测高向阳校区一、地位近几年河北中考对于直角三角形的考察越来越趋于现实知识，将直角三角形求高的经常与三角函数应用联系，所以对于综合探究性题型起到敲门砖的重要作用，同时它是河北各市模拟考试的常见题型，每年都有体现，选择、填空及解答题都有涉及，对于学生有一定能力要求，所以学好这一模块有很大的现实意义。二、基础知识：一、如何测量倾斜角测量倾斜角可以用测倾器。 ----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成二、使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： 1、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅锤线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。 2、转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的读数三、测量底部可以直接到达的物体的高度。所谓“底部可以到达”－－－就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 四、测量底部不可以直接到达的物体的高度。所谓“底部不可以到达”－－－就是在地面上不可以直接测得测点与被测物体之间的距离。五、测高方法总结

1、凡是求高（求线段的长）的问题往往可以借助解直角三角形来解决，如果没有直角三角形可以设法去构造。 2、对于一些教复杂的问题，如果解一个直角三角形还不能使问题得以解决，可考虑解两个直角三角形。 3、如果不能直接通过解直角三角形处理问题，可以去寻找已知与未知之间的等量关系，借助解直角三角形建立方程，从而使问题得以解决。六、反思与评价 1、充分体会将实际问题数学化的一种常用方式：即通过分析问题，建立数学模型，从而提出较为完整的测量方案和解决问题的方法。实际问题画图示意已知未知数学问题 2、解决这类测量问题往往是寻找或构造直角三角形，通过解直角三角形使问题得于解决。三、题型 1．要测一电视塔的高度，在距电视塔80米处测得电视塔顶部的仰角为60°，则电视塔的高度为米． 2．如图1—87所示，两建筑物的水平距离为a ，在A 点测得C 点的俯角为β，测得D 点的俯角为a ，则较低建筑物的高度为． 3．建筑物BC 上有一旗杆AB ,由距BC 40m 的D 处观察旗杆顶部A 的仰角为50 观察底部B 的仰角为45,求旗杆的高度(精确到0.1m ). 4．如图1—88所示，在测量塔高AB 时，选择与塔底同一水平面的同一直线上的C ，D 两处，用测角仪测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°，已知测角仪的高CE ＝米CD ＝30米，求塔高AB ．(3≈ 4550 A B C D

初中数学_利用三角函数测高教学设计学情分析教材分析课后反思

一、学习目标确定 1、能分小组制作仪器并利用仪器进行实地测量得到数据，并撰写活动报告。 2、能够利用所得数据进行不同方法的计算，并会对计算结果进行比较，思考测量计算中出现的问题。 3、培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。二、学习重点难点利用测倾器测量目标的仰角或俯角并尽量准确，面对具体的测量任务能想出可行的解决方法。三、教学过程设计本节课分为课前准备和课堂操作两个阶段。课前准备阶段包括学生自制测倾器，分小组测量数据并撰写活动报告。课堂操作阶段分为前情回顾、风采展示、课堂计算、拓展延伸四个教学环节。环节一：前情回顾——回顾测倾器的使用方法和原理，回顾测量底部可以直接到达和不可到达的物体的高度的方法。教师课件出示测倾器图片和实物，让学生上台演示使用方法，说出使用原理；教师课件出示底部可以到达和不可到达的物体的高度的示意图，让学生看图说出测量方法和计算依据。环节二：风采展示——课件展示课前学生自制测倾器和分小组测量某一物体高度采集数据的视频和图片，激发学生学习的兴趣。

环节三：课堂计算——利用前期的测量数据进行计算，完善前期撰写的活动报告。教师出示前期测量数据，学生利用计算器分小组计算，把前期未完成的活动报告进行完善，并对比分析结果；教师引导学生进行分析反思感悟，环节四：拓展延伸——当堂提出问题，完成具体的测算任务教师提出具体的测算任务——在教学楼内足不出户测校园中的旗杆高度，组织引导学生讨论解决方法，实地测量数据，完成任务。最后引导学生对本课进行总结，然后布置作业，下课。大多数学生对于三角函数理论的学习是可以做到熟练掌握的，但是动手制做、操作能力是严重的不足的。如何在实践中锻炼他们，提高他们的能力，是摆在老师们面前的一大问题，特别是在应试教育大背景下，学生的数学素养不光要学会纸面上的东西，更重要的要学会在现实中解决问题，因为数学来自于生活，最终要服务于生活。本节课注重学生的动手实践能力，包括课前学生自己动手制作教具，分小组测量记录数据，撰写活动报告，课堂上的操作计算器计算，当堂进行测算，都充分体现了这一点。学生动起来，参与进来，做中学，理论联系实践，课堂气氛活跃，效果很好。比起老师干巴巴讲理论知识，学生照本宣科依样画葫芦做题，学生更喜欢这样的课堂形式。本节课内容是在上节利用三角函数测高理论学习基础上展开的实践与理论结合课。对于直角三角形中边与角的关系，学习已经能熟练掌握，但是停留在纸面上的写写算算。给出一个实际的测量计算问

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题不错!)

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章直角三角形的边角关系 1．正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，常省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。例在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 2. 正弦．．：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; 例在ABC ?中，若90C ∠=?，1 sin 2 A =，2A B =，则AB C ?的周长为 3. 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ; 例等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（） A ．4 B ．23 C ．2 D ．22

4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。例 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2 |tan 3|2sin 30B A -+ -=（），则△ABC 是（） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形 5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 7.在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系： ,tan , cos ,sin b a A c b A c a A = == ,tan , cos , sin a b B c a B c b B === 30 o 45 o 60 o sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 23 2 2 2 1 tan α 3 3 1 3

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