补充例题: 求cot z 在0z =邻域上的洛朗展开。
分析:为了有效求解此问题,需要发展一些新方法。在具体求解前,
可以先明确以下几点:
1. 奇函数幂级数展开只有奇次幂部分,偶函数幂级数展开只有偶次幂部分。cot z 是奇函数,因此只含有奇次幂项。
2. 由于0
lim cot 1z z z →=,因此cot z 在0z =处是单极点,洛朗展开从-1项开始,且-1次幂系数为1.
3. 最近邻的奇点为π±,所以收敛区域为0z π
<
<。
解:方法1:利用三角恒等式tan cot 2cot 2z z z =-。将问题转化为的泰
勒展开问题。 若0tan ,cot k
k
k k k k z a z
z b z
∞
∞
==-∞
==
∑∑
,则 ()cot 222k
k k
k k k k z b z b z
∞∞
=-∞
=-∞
=
=
∑
∑
三角恒等式两边同阶系数相等,所以有
1
12212
k
k k k k k k a b b b a +=-??=
-
1k =-时本方法失效:而1k ≠-时cot z 的展开系数可由tan z 展开系
数直接得到。
tan z 为奇函数,展开式只有奇次项。下面使用高阶导数法求的泰
勒展开系数:
()2
tan 1tan z z '
=+,
()
()
32
4
tan 28tan 6tan z z z =++
…
在0z =点tan z 的1阶和3阶导数值分别为1和2.
3
1tan 3z z z =+
+
,而13
11,3a a ==
。
11332
4
1111
,12
312
45
b a b a =
=-
==-
--,
所以()
3
111cot , 03
45
z z z z z
π=
--
+<<
方法2:将
11t
-的展开方法继续推广。
当t 是一个多项式甚至是一个无穷级数时,仍然可以应用11t
-的展
开公式。 若23
1
2
3t a z a
z a z =+++
,则在一定的区域上,有:
()
()()2
3
1232
2
3
2
3
12312311
11 1t
a z a z a z a z a z a z a z a z a z =
--+++=+++++++++
由于第n 项的最低项为1n z -,上式还可继续化简为:
()()2
2
3
3
121
3121
1121a z a a z
a a a a z
t
=+++++++-
即:展开公式:若2
3
1
2
3t a z a
z a z =+++
,则
()()2
2
3
3
121
31211121a z a a z
a a a a z
t
=+++++++-
同样可将cot z 的级数展开问题归结为tan z 的级数展开问题:
3
5
2424
3
11cot 12tan 315
11
1213151121
13159111 345z z z z z z
z z z z z z z z =
=+
++=?
??
---- ?
??
????=?-+-++ ???????
=
--
+
方法3:微分方程法
令()cot f z z =,则()()2
1f z f z '=--。这是一个微分方程。 考虑到cot z 性质,()f z 可展开为1
3
13z a z a z -+++
,则:
()(
)1
3
2
2
1
3
1
3
3f z z a z
a z z a a z
--
''==
+
++=-
+++ 左边
()()()
()()2
1
3
1
3
13132
2
2
131
1=1 212f z z a z a z z
a z a z z
a a a z
--
-=----++++++=--+-++
右边
所以:()()21133121,32a a a a a =-+=-+ 解得:1311,345a a =-
=-
。
所以:()3
111cot 3
45
f z z z z z
==
-
-
+
方法4:级数相除法(待定系数法)。
c o s c o t s i n z z z
=
,其中cos z 和sin z
的级数容易给出,
令分式
2
2
0120122
012a a z a z c c z c z b b z b z +++=++++++
其中n a 和n b 已知,n c 待求。
则()()222012012012a a z a z b b z b z c c z c z +++=++++++
比较系数,有0
00110012021120,,,a b c a b c b c a b c b c b c ==+=++
可得迭代公式:
()(
)00
111002211
20
c a b c a b c b c a b c b c b ==-=--
2
4
243
5
2
4
111111cos 1224224cot 1111sin 16
120
6
120
z z z z z z z
z
z z z z z -++-++=
==
-
+
+-
+
+
利用前面求得的迭代公式(2z 当作公式中的z ):
()(
)00
111002211
20
c a b c a b c b c a b c b c b ==-=--
有0
1111111,11263c c ??
??===---?=- ? ?????
21111111246312045c ??????
=--?--?=- ? ? ???????
所以()()24311111
1cot 1345345f z z z z z z z z ??==
--+=--+ ???
方法5:若对前面的方法不放心,也可采用提出n z 因子,然后泰勒展
开硬算的方法。
前面已经说明()cot z 在0z =处是一个单极点,因此将其乘上z 后得到的函数()cot z z 可以泰勒展开。然后展开式中每项次数降1就得到了原函数的洛朗展开。这实际上是我们前面介绍过的基本方法,但这里用起来比较繁琐。因为如果用高阶导数法求解()cot z z 的泰勒展式,每项都要求极限才能得到。
此外也可将()cot z z 化为cos sin z z z
?,然后分别展开再逐项相乘。但
用高阶导数法展开
sin z z
仍然较繁琐。
先用高阶导数法求()cot f z z z =
的泰勒展式。由于cot z z 是偶函数,
其泰勒展式只有偶次项。
()
lim cot lim cos 1sin z z z z f z z z z z
=→→==?
=
()
()2
3
2lim 22cot 2cot 2cot 3
z z f z z z z z z =→''=--++=-
()
()
()
42
3
4
5
lim 832cot 16cot 40cot 24cot 24cot 8 15
z z f
z z z z z z z z z →==--++-+=-
所以2
4
2
4
2811cot 1132!
154!
3
45
z z z z z z =---
+=-
-
+??
最后3
111
cot 3
45
z z z z =
--
+
方法6:cot z 将减去1
z
,剩下的部分也可以泰勒展开硬算。同等情况
下比方法5简单一些。
对()cot 1f z z z =-采用高阶导数法。这是一个奇函数,只有奇次项。
()
2
20
011lim 1cot 3z z f z z z =→??'=--+=- ??
? ()
()
324
400
62lim 28cot 6cot 15z z f
z z z z →=??=---+=- ??
?
()3
3
12113
153!
3
45
f z z z z z =-
-
+=-
-
+?
最后()3
1111cot 3
45
z f z z z z
z
=+=
-
-
+
更高的要求:能否给出展开系数的通项公式或者迭代公式?
cot z 的展开式的通项不能用初等函数表示,但可以表示为伯努利
数的形式。伯努利数本身不存在更简单的通项公式,但存在一系列迭代公式。
()221
2
cot 2!
n
n n
n B z x
n ∞
-==
-
∑
其中n B 为伯努利数,具体数值可以查表得到:
12316,1,142,B B B ===
展开方法小结:
一般不直接使用定义(回路积分)形式进行计算,而是采用一些变通方法。
常见方法:(泰勒展开的方法都适用)
1. 对于极点型奇点,常可提出因子()0m
z z --,使得剩下部分可以泰勒展开为()00
n
n n c z z ∞
=-∑,则原函数的展开即为()00
n m n n c z z ∞
-=-∑。
2.
利用2
1
23
1, 1
1
,11z z z z z z z z ---?+++=?---->-??
3. 对于本性奇点型,常用0
1t z z =
-等变量代换。对于分式的展开,
常先进行因式分解。
复变函数与积分变换 综合试题(一) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设cos z i =,则( ) A . Im 0z = B .Re z π= C .0z = D .argz π= 2.复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为( ) A .443(cos ,sin )55i ππ- B .443(cos ,sin )55i ππ- C .44 3(cos ,sin )55i ππ D .44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3.设C 为正向圆周|z|=1,则积分 ?c z dz ||等于( ) A .0 B .2πi C .2π D .-2π 4.设函数()0z f z e d ζ ζζ=?,则()f z 等于( ) A .1++z z e ze B .1-+z z e ze C .1-+-z z e ze D .1+-z z e ze 解答: 5.1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的( ) A . 3阶极点 B .4阶极点 C .5阶极点 D .6阶极点 6.下列映射中,把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为( ) A .4411z w z +=- B .44-11z w z =+ C .44z i w z i -=+ D .44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ) A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析,(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+,则(,)uxy = ( ) A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -
数学物理方法习题答案: 第二章: 1、(1)a 与b 的连线的垂直平分线;以0z 为圆心,2为半径的圆。 (2)左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部;圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+; 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+; ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--; (623)i k e ππ+; 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+; 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、(1) 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 (2)u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章: 1、 (1) i π (2)、 i ie π-- (3)、 0 (4)、i π (5)、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数,则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章: 1、(1) 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- (2)23313 (1) 2!3!e z z z ++++ (3) 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ , 34z <<时
天津工业大学(2009—2010学年第一学期) 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为:i ee ; 三角形式为:)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数ε 为半径作一圆,则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系?). 4. 给出矢量场旋度的散度值,即=????f ? 0 . 5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导,而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导,则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分,共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(,求该解析函数
嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一?(6分) 2、奇点分为几类?如何判别? (6分) 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 4、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式(8分) 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos (8分) 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2(8分) 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径(8分) 二、计算题(共30分) 1、试用分离变数法求解定解问题(14分) ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u
2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题(不必求解)(6分) ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 2、奇点分为几类?如何判别? (6分) 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类?波动方程属于其中的哪种类型?(6分) 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径(8分) 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数(8分) 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos (8分) t e y y y -=-'+''32
第七章 数学物理定解问题 1.研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的,则该端的边界条件为 __。 2.研究细杆的热传导,若细杆的0=x 端保持绝热,则该端的边界条件为 。 3.弹性杆原长为l ,一端固定,另一端被拉离平衡位置b 而静止,放手任其振动,将其平衡位置选在x 轴上,则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4.一根长为l 的均匀弦,两端0x =和x l =固定,弦中力为0T 。在x h =点,以横向力0F 拉弦,达到稳定后放手任其振动,该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+; B 2 t xx u a u f =+; C 2t xx u a u =; D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题,则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个; B 2个; C 3个; D 4个。 7.“一根长为l 两端固定的弦,用手把它的中 点朝横向拨开距离h ,(如图〈1〉所示)然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A .?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B .???? ?====00 t t t u h u C .h u t ==0 D .???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8.“线密度为ρ,长为l 的均匀弦,两端固定,开始时静止,后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
北京邮电大学2018-2019学年第一学期 《数学物理方法》期末试题(B ) 注意:本试卷共5 道大题。答题时不必抄题,要注明题号,所有答案一律写在答题纸上,否则不计成绩。 一、 解答下列各题(每题6分,共36分) 1、 写出三类基本方程的最简单形式。 2、求解下列本征值问题的本征值和本征函数 ()()()()()() 02,2?λ??π??π?''Φ+Φ=???''Φ+=ΦΦ+=Φ??3、将Bessel 方程 222()0x y xy x m y λ'''++-= 化成Sturm-Liouville 型方程,并指出其核函数和权函数。 4、用达朗贝尔公式求下列定解问题的解 ()()()20,0,,0cos ,,0. tt xx x t u a u x t u x x u x e ?-=-∞<<∞>??==??5、设()f x 在区间[-1,1]上的有界且连续,并设 ()()()0Legendre n n n n f x f P x P x ∞ ==∑其中是多项式 试证明 ()()11 212n n n f P x f x dx -+= ?. 6、已知Bessel 函数的递推公式1[()]()m m m m d x J x x J x dx -=,试计算30()x J x dx ?。
二、研究细杆上的热传导问题。设杆上的初始温度是均匀的为0,u 然后保持杆的一端的温度为不变的0,u 而另一端则有强度为恒定的热流0q 进入,即求解定解问题 22200000,,,.x x x l t u u a t x q u u u k u u ===???=?????==???=?? (25分) 三、 求解下列定解问题 ()222220001,0,0,,,0.b t t u u u a b t u u u u f t ρρρρρρρ====??????=+< ????????=<+∞????==??? (20分) 四、试证明微分方程221sin (1)0sin sin d d m l l d d θθθθθ??Θ??++-Θ= ??????? 通过变换cos x θ=可以化成关联Legendre 方程 22 2(1)()2()(1)()01m x x x x l l x x ??'''-Θ-Θ++-Θ=??-?? (8分) 五、在半径为a 的球内求解Laplace 方程的定解问题 200,3cos 21r r a u u u θ==??=?<+∞=+? (11分) 坐标电子院。答案就不上传了,毕竟每年试题相仿,上传了不太好。这门课18级挂科率高达1/5,惨绝人寰,还是认真对待哈。
数学物理方法试卷 一、选择题(每题4分,共20分) 1.柯西问题指的是( ) A .微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C .微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2.定解问题的适定性指定解问题的解具有( ) A .存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3.牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是( ) A .0=f . B .0=Γu . C .0=?ΓdS f . D .0=?Γ dS u . 4.用分离变量法求解偏微分方程中,特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是( ) A .) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B .) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C .) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D .) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5.指出下列微分方程哪个是双曲型的( ) A .0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B .044=+-yy xy xx u u u . C .02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D .023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题(每题4分,共20分)
1.求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2.对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3.二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y ( ). 4.二维拉普拉斯方程的基本解为( r 1ln ),三维拉普拉斯方程的基本解为( ). 5.已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -,利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J ( ). 三、(20分)用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解:
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明:令Re z u iv =+。Re z x =,,0u x v ∴==。 1u x ?=?,0v y ?=?, u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明:令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或:()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=,*2i z e z θ-?=?与趋向有关,则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。 证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??, 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题(共70 分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一( 6 分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别(6分) 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F( z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则 只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo 称为函数 F( z)的可去奇点,极点及本性奇点。 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性( 6 分) 1,定解问题有解; 2,其解是唯一的; 3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些( 6 分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2)这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3)u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4)在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型( 6 分)
数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式( 6 分) f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式( 8 分) 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式: 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式:由三角形式得: 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数( 8 分) 7 1)( z 2) 2 (z 解: 奇点:一阶奇点 z=1;二阶奇点: z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
2. 试解方程:()0,044>=+a a z 444244 00000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则 1.计算: (1) i i i i 524321-+-+ (2) y = (3) 求复数2 ?? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- (2) 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==-+ ?????=-===+=±± 原式所以:, 3.试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明:所以:。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解: ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ???而即所以由知带入上式,则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
数理试卷 1. 设有半径为a 的导体球壳被一过球心的水平绝缘层分割成两个半球壳,若上下各半球壳 各充电到V 1、V 2,则球壳内的电势所满足的定解问题是 2. 初值问题 U tt -a 2U xx =0(-∞
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一?(6分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类?如何判别?(6分) 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F(z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo称为函数F(z)的可去奇点,极点及本性奇点。 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 1,定解问题有解;2,其解是唯一的;3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数. 2) () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3)()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4)在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类?波动方程属于其中的哪种类型?(6分)
数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式(8分) 三角形式:()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式:由三角形式得: 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 解: 奇点:一阶奇点z=1;二阶奇点:z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
《数学物理方法》试卷答案 一、选择题(每题4分,共20分) 1.柯西问题指的是( B ) A .微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C .微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2.定解问题的适定性指定解问题的解具有( D ) A .存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3.牛曼内问题 ??? ??=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是( C ) A .0=f . B .0=Γu . C . 0=?Γ dS f . D .0=?Γ dS u . 4.用分离变量法求解偏微分方程中,特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是( B ) A .) cos , (2 x l n l n ππ??? ??. B .) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C .) 2)12(cos ,2)12( (2 x l n l n ππ-??? ??-. D .) 2)12(sin ,2)12( (2 x l n l n ππ-?? ? ??-. 5.指出下列微分方程哪个是双曲型的( D ) A .0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B .044=+-yy xy xx u u u . C .02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D .023=+-yy xy xx u u u .
二、填空题(每题4分,共20分) 1.求定解问题??? ? ? ????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是(x t cos sin 2). 2.对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3.二阶常微分方程0)()43 41()(1)(2'''=-++x y x x y x x y 的任一特解=y ( )21 (2 3 x J 或0). 4.二维拉普拉斯方程的基本解为( r 1ln ),三维拉普拉斯方程的基本解为( r 1 ). 5.已知x x x J x x x J cos 2 )( ,sin 2)(2 12 1ππ== -,利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J ( )s i n )(1(2)cos sin 1(223 x x dx d x x x x x x ππ-=- ). 三、(15分)用分离变量法求解如下定解问题 222220 00, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???? ???==>? ????==≤≤?? 解:第一步:分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =,代入方程可得
2. 试解方程:()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1.计算: (1) i i i i 524321-+ -+ (2) y = (3) 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- (2) 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以:, 3.试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明:所以:。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解: ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式,则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
2013-2014 1 数学物理方程(A ) 数理学院 信计101-2、应数 (答案写在答题纸上,写在试题纸上无效) 一.填空题(每小题3分,共15分) 1.已知非齐次波动方程22 222(,)(0,0) (0,)(,)0 (0)(,0)(,0)0(0) u u a f x t t x l t x u u t l t t x x u u x x x l t ???=+><??? ???==>? ????? ==<?? ,若);,(τt x W 是初边值问题 22 222 (,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ???=><??? ???==>? ??? ?? ==<?? 的解(其中τ为参数),则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解; 2.已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在,则12()F f f *= ; 3.偏微分方程22222222u u u u t x y z ????=++????的特征方程为 ; 4.当 时,方程22220u u y x y ??-=??的类型为双曲型; 5.作未知函数的线性变换 可将方程组u u v x t x x v u v x t x x ????=+??????????=+????? 化为对角型方程组。 二.单项选择题:(每小题3分,共15 分) 1.对于一维波动方程下列结论正确的是:( ) )A 左端点必须是第一类边界条件; )B 两个端点必须是同类边界条件; )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端; )D 上述说法都不对。 课程考试试题学期 学年 拟题学院(系): 适 用 专 业:
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一(6分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别(6分) 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F(z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo称为函数F(z)的可去奇点,极点及本性奇点。 # 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性(6分) 1,定解问题有解;2,其解是唯一的;3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些(6分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数. 2) () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3)()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4)在边界上达最大值。 |
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型(6分) 数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式(8分) ¥ 三角形式:()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式:由三角形式得: 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 解: 奇点:一阶奇点z=1;二阶奇点:z=2
济南大学2009 ~2010 学年第一学期课程考试试卷(补考卷) 课 程 数学物理方法 授课教师 任妙娟 考试时间 2010 年 月 日 考试班级 学 号 姓 名 一、 判断题(每小题2分,共20分) [对者画√,错者画×] [ ] 1.在复数域内,负数也有对数。 [ ]2.可去奇点的留数一定是零。 [ ]3.复变指数函数z e 是无界的周期函数。 [ ]4.实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数。 [ ]5.定义在区域G 上的函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,若 ,u v v u x y x y ????==-???? ,则()f z 是G 上的解析函数。 [ ]6.()n J x 在0x =的值总是零。 [ ]7.格林函数代表一个点源在一定的边界条件和(或)初始条件下所产生的场。 [ ]8.函数2 ()(0,)f x x l =,因为2x 是偶函数,所以只能开拓为周期性偶函数, 展开为Fourier 余弦级数。 [ ]9.只有齐次边界条件才能和相应的方程构成本征值问题。 [ ]10.行波法适用于无界区域的波动方程。 二、选择题(每小题3分,共30分) [ ]1. 复数i 25 8-2516z =的辐角为 A . arctan 21 B .-arctan 21 C .π-arctan 21 D .π+arctan 21 [ ]2.设z=cosi ,则[ ] A .Imz=0 B .Rez=π C .|z|=0 D .argz=π [ ]3. 设C 为正向圆周|z+1|=2,n 为正整数,则积分? +-c n i z dz 1)(等于 A . 1 B .2πi C .0 D .i π21 [ ]4. 3z π=是函数f(z)= π π-3z )3-sin(z 的 A 一阶极点 B .可去奇点 C .一阶零点 D .本性奇点 [ ]5.方程0u 2=?-u a t 是 A 波动方程 B .输运方程 C .分布方程 D .以上都不是 [ ]6.可以用分离变量法求解的必要条件是: A 泛定方程和初始条件为齐次 B .泛定方程和边界条件为齐次 C .边界条件和初始条件为齐次 D .泛定方程、边界条件和初始条件均为齐次 [ ]7. 级数的收敛半径是 A . 2 B. k C k 2 D. 1 [ ]8.本征值问题?? ? ??===+==00' 0' 'l x x X X X X λ 的本征函数是 A . x l n π)21(cos + B. x l n π)21(sin + C x l n πsin D. x l n πcos [ ]9.00=x 是方程02 ''=+y w y 的 A 常点 B .正则奇点 C .非正则奇点 D .以上都不是 …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… …… … … … 答 ……… …… 题…… … … …不…… … …… 要 ………… … 超 …… … ……过…………… 此………… …线… … …… ……