高数公式大全

高等数学公式汇总

第一章 一元函数的极限与连续

1、一些初等函数公式：

sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1

cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ

αβ

αβαβαβαββα

αβαβαβαβαβαβ

±=±±=±±=

??±=

±±=±±=±m m m 和差角公式：

sin sin 2sin

cos

22sin sin 2cos sin

22cos cos 2cos cos

22cos cos 2sin sin

22

αβ

αβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1

sin cos [sin()sin()]

21

cos sin [sin()sin()]21

cos cos [cos()cos()]

21

sin sin [cos()cos()]

2

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：

2222222

222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1

cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα

αααααααα

==-=-=-=

--=

==+=

=-=+

倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1

sin 2

cos 2

1cos sin tan 2

sin 1cos 1cos sin cot

2

sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα

ααααα

αα

+=+=+=-===-===++===

-半角公式：

::ln(2::ln(2

11::ln

21x x

x x

x x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e x

thx arthx chx e e x

-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切

3322()()()a b a b a ab b ±=±+m ，222(1)(21)

126

n n n n +++++=

L

22

3

3

3

(1)124

n n n ++++=L

2、极限

? 常用极限：1,lim 0n n q q →∞

<=

;1n a >=

;lim 1n =

? ln(1())lim

ln(1())~()()

lim[()()]

1/()

()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x e

e ++±→→∞±=??????→若则

? 两个重要极限

1

00sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x

→→∞→∞→==+==+ ?

:常用等价无穷小

211

1cos ~

; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x

--++++

3、连续：

定义：0

00

lim 0;lim ()() x x x y f x f x ?→→?==

00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+

-+

→→?==极限存在或 第二章 导数与微分

1、 基本导数公式：

00000000

()()()()()lim

lim lim tan x x x x f x x f x f x f x y

f x x x x x α?→?→→+?--?'====??-

_0+0()()f x f x -+

''?=导数存在

1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();

11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=?=-?==''''====

22

22

11

(arctan ); (cot ); ();();1111

(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''=

=-==++''''====-

2、高阶导数：

()()()()!

()()!; ()ln ()()!

n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=

?==?=-

()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22

n n n n kx k kx n kx k kx n ππ

=?+?=?+?

()1

()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n n

n n a x x a x x x

-----+=-?==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：

()

()()

0()(1)(2)()()

()

()

(1)(1)(1)2!!

n

n k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑L L L

3、微分：

0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''?=+?-=+??=

???连续极限存在收敛有界;=???可微可导左导右导连续；

?不连续不可导

第三章

微分中值定理与微分的应用

1、基本定理

()()()(),(,)

()()()

,(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

2、

()2

00000000(1)(1)011

0000()(): ()()()()()()()

2!!

(()): (); ((,),(0,1))(())()()()(1)!(1)!n n n n n n n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n o x x R x x x f x x x f x x x x n n ξθθξ++++'''=+-+-++-+?-?

=∈∈?+--=-?++?

L 泰勒公式余项

()(1)21

(0)(0)(): ()(0)(0)()()(); ((0,1))

2!!(1)!

n n n n f f f x f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++∈+L 麦克劳林公式

常用初等函数的展式：

211();();((0,1))2!!(1)!

n x

x

n n n x x e e x R x R x x n n θθ+=+++++=∈+L

3

5

21

12122sin[(21)]2sin (1)();();((0,1))3!5!(21)!(21)!

m m m m m x m x x x x x R x R x x m m π

θθ--+++=-+-+-+=∈-+L

242222121cos[(1)]cos 1(1)();();((0,1))2!4!(2)!(22)!

m m m m m x x x x m x R x R x x m m θπθ+++++=-+-+-+=∈+L

241111

011

ln(1)(1)()(1)(1); 2!3!1(1)

();((0,1))(1)(1)

n n n n n n n n n n

n n n x x x x x x x R x n n n R x x n x θθ+∞∞

--==+++=-+-+-+=-=-+-=

∈++∑∑L

211(1)

(1)(1)

(1)1();

2!!

(1)()

()(1);((0,1))

(1)!

n n n n n n x x x x R x n n R x x x n αααααααααααθθ--+---++=++

++

+--=+∈+L L L

20

1ln (1)1(1)(1)1n n

n n x x x x x x ∞

='?=+=-+++-=-+∑L 3、

3022

2.(:M M s ()()()()M lim .[()()]1

0; .

s ds K MM s

t t t t d K s ds t t K R K R θ

α

α?ψ?ψαα

?ψ?→===?''=

???''''''-?===?''+==弧微分公式：平均曲率：从点到点，切线斜率的倾角变化量；:弧长)点的曲率：直线的曲率：半径为的圆的曲率：

1=M K ρ=曲线在点处的曲率半径:

第四章 不定积分

1、常用不定积分公式：

()(); (())(); ()()f x dx F x C f x dx f x F x dx F x C ''=+==+???

11

(1); ln ;1; ;

ln x x

x x

x x dx C dx x C x

a a dx C e dx e C a μμ

μμ+=+≠-=++=+=+????22

22sin cos ; cos sin ;

tan ln cos ; cot ln sin ;sec ln sec tan ;

csc ln csc cot ln tan

ln csc cot ;2

sec tan ; csc cot ;

cos sin sec t xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C x

xdx x x C C x x C dx dx xdx x C xdx x C x x x =-+=+=-+=+=++=-+=+=-++==+==-+???????????an sec ; csc cot csc ;; ;

xdx x C x xdx x C shxdx chx C chxdx shx C =+?=-+=+=+???

?2222222arcsin arccos ; arcsin

;1arctan arccot ; arctan ; 111ln ; ln ;

22ln(;

x x C x C C a

dx dx x

x C x C C x a x a a

dx x a dx a x C C x a a x a a x a a x x C =+=-+=+=+=-+=+++-+=+=+-+--=++?

????

22

ln(;

2

arcsin 2a x C a x

C

a

=+=+ 2、常用凑微分公式：

2212 (); (ln );

11

(1)()(ln tan );

cos sin dx dx

d d x x x x d dx d x x x dx

d x x x

==-==-=+=

3、有特殊技巧的积分

1

(1)

sin cos sin()dx dx a x b x x ?=++?

sin cos (2)

ln sin cos sin cos c x d x

dx Ax B a x b x C a x b x +=++++?

241(3)1x dx x ++

?2211()1()d x x x x

=--+?

第五章 定积分

1、基本概念

0011

1

()lim ()lim ()()()() , (()())n n

b

b i i a a

n i i i f x dx f x f F b F a F x F x f x n n λξ→→=='=?==-==∑∑?

????连续可积;有界+有限个间断点可积;可积有界; 连续原函数存在

()()()()x

a x f t dt x f x 'Φ=?Φ=?

()

()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dx

?ψ??ψψ''=-? ()(())()a

b

f x dx f t t dt αβ

??'=?

?，()()()()()()a a

b

b

u x dv x u x v x v x du x =-??

2、常用定积分公式：

()[()()]a

a

a

f x dx f x f x dx -=+-?

?；

(),()2()a

a

a

f x f x dx f x dx -=??为偶函数；(),()0a

a

f x f x dx -=?为奇函数

220

(sin )(cos )f x dx f x dx ππ

=?

?；2220

(sin )(sin )(sin )2xf x dx f x dx f x dx πππ

π

π=

=??

?

T T

T

2T 0

2

()()()a a

f x dx f x dx f x dx +-==?

??

；T

T

()()a n a

f x dx n f x dx +=?

?

Wallis

公

式：

2220

13

31,1

2242sin cos 2431,35

2n n n n n n n n n n I xdx xdx I n n n

n n n πππ---??????-?-===

=?--?????-???L L 为正偶数为正奇数 无穷限积分：

+b

+b

-b

b

+-()lim

()(+)();

()lim ()(-)();

()lim

()lim ()(+)()

a a

b b

a

a a

a

b a f x dx f x dx F F a f x dx f x dx F F a f x dx f x dx f x dx F F ∞

→∞-∞→∞+∞

-∞

→∞→∞==∞-==∞-=+=∞--∞??

?

???

?

瑕积分：

()lim ()()lim ();()lim ()lim ()();()()()b b

a t

t a

t a

b

t

a a

t b t b

b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx F b F t f x dx f x dx F t F a f x dx f x dx f x dx

++

--

→→→→==-==-=+?????

?? +1

,1,1p

a

dx p p x ∞

>≤?

收敛发散；11,01,1p a dx p p x <<≥?收敛发散

10

()(1)!x n n e x dx n τ+∞

--==-?,(1)()!;(1)1;n n n n τττ+=?==

2

01 ()22

x e dx τ+∞-=?=?

第六章 定积分应用

1、平面图形的面积：

直角坐标情形：()b

a

A f x dx =?；()()b

a

A f x g x dx =-?；()()d

c

A y y dy ?ψ=-?

参数方程情形：()()()();(();())A t d t t t dt a b ββ

α

α

ψ?ψ??α?β'====??

极坐标情形：2

1()2

A d βαρθθ=

? 2、空间立体的体积：

由截面面积：()b

a

V A x dx =?

旋转体：绕x 轴旋转：222();[()()()

2();2()()()

b b

a a

d d

c

c

V f x dx V f x g x dx x V y y dy V y y y dy y πππ?π?ψ==-==-????为积分变量为积分变量 绕y 轴旋转：

222()2()();()

[()()]()

b b

a

a

d

c

V x f x dx x f x g x dx x V y y dy y πππ?ψ==-=-???为积分变量为积分变量

3、平面曲线的弧长：

a

s ββ

α

α

θ===?

?

?

变力做功：()b a

W F x dx =?

抽水做功：=,g dW dM g h dV g h ρ??=??=???克服重力做功质量高度 液体压力做功：=dF pdA g h dA ρ?==???压力压强面积，

第七章 向量代数与空间解析几何

两点间距离公式 ：

12M M -=，

(,,);x y z x y z a a a a a i a j a k ==++r r r r (,,)x y z x y z b b b b b i b j b k ==++r r r r (,,);x x y y z z a b a b a b a b ±=±±±r r (,,)x y z a a a a λλλλ=r

方向余弦：cos cos cos x y z a a a a a a a αβγ======

r r r 单位向量：(cos ,cos ,cos )a a

e a αβγ==r

r r

数量积：cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ?==++r r r r $

22a a a a ?==?r r r r 0i j j k k i ?=?=?=r r r r r r ，1i i j j k k ?=?=?=r r r r r r

夹角余弦：cos(,)a b a b a b a b a b a b ++?==r r r r $r r

向量积：()()()y z z y z x x z x y y x x

y z x

y z

i

j k a b a b a b i a b a b j a b a b k a a a b b b ?=-+-+-=r r

r r r r r r

0a a ?=r r r ，sin(,)a b a b a b S ?==r r r r r r $平行四边形，

空间位置关系：//0(,)0y x z x y z

b b b

a b a b a b a a a αβαβ??=??+=?==r r r r r r r r

00x x y y z z a b a b a b a b a b a b a b ⊥??=?++=?+=-r r r r r r r r r

平面的方程：点法式：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=；一般式 ：

0Ax By Cz D +++=

截距式：

1x y z a b c ++=

两平面的夹角：1212cos n n n n θ?==

u r u u r u r u u r

点到平面的距离：d =

两平行平面的距离：d =

直线与平面的夹角：sin n s n s ??==r r r r

空间曲线C ，曲线的投影xoy C ，空间立体Ω，曲面∑，曲面的投影xy D 球面：2222000()()()x x y y z z R -+-+-=

椭圆柱面：22221x y a b +=；双曲柱面：22

221x y a b

-=；抛物柱面：22x py =

旋转曲面：圆柱面：222x y a +=；圆锥面：2222()z b x y =+；双叶双曲面：

222

221x y z a c

+-= 单叶双曲面：

222221x y z a c +-=；旋转椭球面:222

221x y z a c

++=；旋转抛物面：

222x y pz +=

二次曲面：

椭球面：222

222 1 (0,0,0)x y z a b c a b c

++=>>>

抛物面：椭圆抛物面：2222x y z a b +=；双曲抛物面：22

22x y z a b -=

单叶双曲面：2222221x y z a b c +-=；双叶双曲面：222

2221x y z a b c +-=-

椭圆锥面：222

222x y z a b c

+=

总结

求极限方法：

1、 极限定义；

2、函数的连续性；

3、极限存在的充要条件；

4、两个准则；

5、两个重要极限；

6、等价无穷小；

7、导数定义；8利用微分中值定理； 9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开；

求导法：

1、导数的定义（求极限）；

2、导数存在的充要条件；

3、基本求导公式；

4、导数四则运算及反函数求导；

5、复合函数求导；

6、参数方程确定的函数求导；

7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数）；

等式与不等式的证明：

1、利用微粉中值定理；

2、利用泰勒公式展开；

3、函数的单调性；

4、最大最小值；

5、曲线的凸凹性

第八章 多元函数微分法及其应用

一、定义：

00000

(,)000(,)0

(,)(,)lim

(,)(,)(,)x y x x x y x x x f f x x y f x y d

f x y f x y f x y x

x dx ?→=?+?-====??

二、 微分：

(,)(,)lim

0x y z f x y x f x y y

ρρ

→?-?-?=?可微，??偏导连续可微连续+偏导存在，

全微分：(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+ 三、隐函数求导:

o o d 1 ,0().d 2 ,,0(,) ,x y

y

x z z F y

F x y y f x x F F x y z z f x y F F z

z x F y F =?==-=?=??=-=-??（）且

（）且

四、曲线的切线和法平面

1、曲线方程()

:()()

x t L y t z t ?ψω=??

=??=?

，切线：000000()()()()()()x x y y z z t t t ?ψω---=='''，法平面：000000()()()()()()0t x x t y y t z z ?ψω'''-+-+-=

2、曲线方程():()y y x L z z x =??=?

，切线：000

001()()x x y y z z y x z x ---==''，法平面：00000()()()()()0x x y x y y z x z z ''-+-+-=

3、曲线方程(,,)0

:(,,)0

F x y z L

G x y z =??=?，切向量}{}{

,,,,x y z x y z M M T F F F G G G =±?u r ，切线：

000

z x y z x y z x y z

x y

M M M x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---=

=

四、曲面的切平面和法线

1(,,)0F x y z =、曲面方程：，法向量：}

{

,,x y z M n F F F =±r

，切平

面:000000000000 (,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=,法线：

000000000000()()()

(,,)(,,)(,,)

x x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==

2、(,)z f x y =曲面方程：，切平面

000000000(,,)()(,,)()()0x y f x y z x x f x y z y y z z -+---=，

法线：

000

0000(,)(,)1

x y x x y y z z f x y f x y ---==-

五、方向导数：

cos cos cos x

y

z

M M M M f f f f l

αβγ?=++?

梯度：{}0

grad ,,x y z M M u f f f =

第九章：重积分 一、 二重积分：

2211()

()

()

()

(,)(,)(,)(,)b

x d

x a

x c

x D

D

f x y d f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ?ψ?ψσ===??

????

??

21()

()

(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d d f d β

?θα

?θρθρθρρθθρθρθρρ=??

??

二、三重积分：

1、直角坐标系：21(,)(,)

(,)d d d (,,)d xy

z x y z x y Ω

D f x y,z V x y f x y z z =??????

2

1

()

(,,)(,,).c c D z f x y z dv dz f x y z dxdy Ω

=????

??

2、柱面坐标系：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=??

=??=?

,dv rdrd dz θ=

2211()

(,)

()

(,)

(,,)d d (cos ,sin ,)d .θz θθz θf x y z dv r f z z β

ρρα

ρρθρθρθρΩ

==???

??

?

3、球面坐标系：

2

sin cos ,sin sin ,sin ,cos .x r y r dv r drd d z r ?θ?θ??θ?=??==??=?

2211()

(,)

2()

(,)

(,,)d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d .θr θθr θf x y z dxdydz f r r r r r β

??α?

?θ??θ?θ??Ω

=??????

二、重积分的应用：

1、体积：21d d d [(,) (,)]d d xy

Ω

D V x y z z x y z x y x y ==-?????

2、曲面(,)z f x y ∑=：

面积：d xy

D S x y =??

3、质量：(,)d D

M x y ρσ=??或,,M x y z dv μΩ

=???（）

4、质心(,)x y ：

(,)(,),D

D

x x y d y x y d x y M

M

ρσ

ρσ

=

=

????或

,,,,,,,,,,,,,,x x y z dv y x y z dv z x y z dv x y z x y z dv x y z dv x y z dv μ

μ

μ

μ

μ

μ

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

?????????=

=

=

?????????（）（）（）（）（）（）

5、 转动惯量：2222(,),(,),()(,)x y o D

D

D

I y x y d I x x y d I x y x y d ρσρσρσ===+??????

或

222222222

(),,,(),,(),,,(),,x y z o I y z x y z dv I z x x y z dv I x y x y z dv I x y z x y z dv

μμμμΩ

Ω

Ω

Ω

=+=+??????=+=++??????（）（）（）（）

第十章：曲线积分和曲面积分 一、第一类曲线积分：（对弧长的曲线积分）：

(,)((),((,((()cos ,()sin b

a

L

f x y ds f t t f x y t f β

α

β

α

?ψρθθρθθθ

===????

(,,)((),(),(L

f x y z ds f t t t β

α

?ψω=?

?

二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： 1、计算公式：

(,)(,)[(,)cos (,)cos ][((),())()((),())()]L

L

b

a

P x y dx Q x y dy P x y Q x y ds

P t t t Q t t t dt

αβ?ψ??ψψ+=+''=+???

2、格林公式：

(

)(cos cos )D

D D

Q P

dxdy Pdx Qdy P Q ds x x αβ+????-=+=+??????蜒 3、Stokes 公式：

Stokes d d dz d d d d d d cos cos cos (,,)xy ΓD P x Q y R y z z x x y dS f x y z dxdy x y z x y z P Q R P Q R

αβ

γ

+

=?∑∑∑

++=

????

??

==±??????????????公式：

4、封闭曲线围城的面积：1

2D

A xdy ydx +?=-?? 三、第一类曲面积分：

:(,) (,,)(,,(,xy

D z z x y f x y z dS f x y z x y ∑

∑==????：

四、第二类曲面积分： 1、计算公式： (,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(cos cos cos )n F x y z d S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

F x y z e dS P Q R dS

αβγ∑∑

∑

∑

=++=?=++????????u r u r

u r r

(,,)d d [,,(,)]d d (,,)d d [,,(,)]d d (,,)((,),,)(,,)(,(,),)xy

xy

D D Dyz

Dzx

R x y z x y R x y z x y x y R x y z x y R x y z x y x y

P x y z dydz p x y z y z dydz Q x y z dzdx p x y z x z dzdx

∑∑∑

∑

==-=±=±????????????????上侧

下侧

；；

2、投影转化法：

cos cos :(,),,cos cos :(,,)0,,z z x y dydz dxdy z dxdy dzdx dxdy z dxdy

x y F F y

x F x y z dydz dxdy dzdx dxdy

F F z z αβ

γγ

∑==

=-==-∑=== 3、高斯公式：

+d d d d d d (cos cos cos )d = ()d ;.)

P y z Q z x R x y P Q R S P Q R

V x y z αβγ∑

∑

-Ω++=++???±++∑?Ω+∑?Ω-?????

?????乙。（为外侧时取为内侧时取

4(,,)(,,)(,,)(,,),, A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k u u x y z =++=?u r r r r

，（

） ;(,,)

();rot

x y z x y z xx yy zz divA P Q R gradu u u u i j k div gradu u u u A x y z P Q R =++=???=++=???u r

r r r u r 散度：梯度：旋度：

第十一章 无穷级数 一、常数项级数1n n u ∞

=∑

011111-1/1

111

1(1)0101

n n n p

p n n q q q q P P P P n

n P P ∞

=∞

∞

==?=

>>??-??<≤<≤??∑∑∑收、常用级数：等比级数几何级数：发收绝对收敛级数：；交错级数：收敛发条件收敛

120

1/lim (11n n n n n n u S u u σρρ+→∞≥?<

==?>??=?

、正项级数：基本定理：收敛部分和有上届比较审敛法：大收小收，小发大发

比较审敛法的极限形式： 同阶：同收同发；低阶：同收；高阶：同发，收敛

比值根值审敛法：，发散

，失效

-1

1111

1

1

1

1

31(0),lim 0:n n n n n n n n n

n n n n n n n n n u u u u S u r u u u u u u ∞

=++→∞∞

∞

∞

∞

====-≥≤???≤≤?=???∑∑∑∑∑、交错级数：（）

莱布尼茨审敛法：级数收敛，绝对收敛：收敛收敛，条件收敛收敛而发散，发散

1

4? lim ? lim 0? /1lim

(lim 11n n n n n n n n

S S u u u ρρ→∞

→∞

+→∞

?=?∞?≠?

==?>???=?

、任意项级数：

，收敛

利用定义：部分和有极限；

，发散

利用收敛的必要条件：发散；

利用正项级数（比值根植）审敛法：

，绝对收敛收敛，绝对值发散发散

，失效

二、幂级数：00

()n n n a x x ∞

=-∑

1

、收敛半径：1

1/ 0lim (00n n n n

a R a ρρρρρρ+→∞

<<∞??

==?==∞??∞=?

，， ，

2、常用等式：

01(1)1n

n x x x ∞

==<-∑，1(1)1n n x x x x ∞==<-∑，0

1(1)(1)1n n

n x x x ∞

=-=<+∑

1ln(1) (11)n n x x x n ∞

==---≤<∑，11(1)ln(1) (11)n n n x x x n ∞

-=-=+-<≤∑ 12

01

1

(1) (1)

(1)n

n n n n x nx x x ∞∞

-==+==

<-∑∑，

21

21011111ln (1)2121

21n n n n x x x x n n x ∞

∞

+-==+==<+--∑∑ 21

arctan x=(1)(1)21n n

n x x n +∞

=-<+∑

202135121

1

122420

e 1 (,)

!

2!!(1)sin (1)

(,)

(21)!3!5!(21)!

cos (1)1 (1)(,)(2)!2!4!(2)!ln(1)n n

x

n n n n n n n n n

n n x x x x x n n x x x x x x x n n x x x x x x n n x ∞

=---∞

-=∞

===+++???++???∈-∞+∞-=-=-++???++???∈-∞+∞--=-=-+-???+-+???∈-∞+∞+∑∑∑；；；231

11

1

2(1) (1)(1, 1]23(1)(2) (1)

(1)1!

(1)(1) (1)1 (1, 1)

2!!

n n

n n n n

n n

x x x x

x x n n

n x x n n x x x x n α

αααααααααα∞

--=∞

==-=-+-???+-+???∈---???-++=+--???-+=+++???++???∈-∑∑

；；

3、泰勒展开：

(1)()100000

1()

()(),(),()(),((,))

!(1)!lim ()0

n n

n n n n n n n n f f x a x x a f x R x x x x x n n R x ξξ+∞

+=→∞

=-==-∈+?=∑ 三、01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑傅里叶级数：

01

12()(cos sin )()2 (-,),1

1

()cos (0,1,2)()sin (1,2)()(()n n n n n a T f x a nx b nx S x x x a f x nxdx n b f x nxdx n f x S x π

π

π

ππππ

∞

=-

-

==++=∈∞+∞≠=

==

==∑??L L -、：，

（且间断点）其中，；，。间断点处， π

0 π

0()

)

2

2()0,()sin d ;π2()0,()cos d ;

πn n n n f x f x a b f x nx x f x b a f x nx x ++?==

?=??若为奇函数正弦级数（）若为偶函数余弦级数（=）

0122()(cos sin )(,),211()cos (0,1,2)()sin (1,2)n n n l l n n l l a n x n x

T l f x a b x x l l

n x n x

a f x dx n

b f x dx n l l l l

ππππ∞=--==++∈-∞+∞≠====∑??L L 、：，（且间断点）

其中，；，。

01-/13(),

(1)[,]()()()()(cos sin )((,))

2(-)()

(())

2(2)[0,]()()()sin

,((0,n n n n n f x x l l f x F x a n x n x f x S x a b x l l l l f l f l x l S x x l f x F x n x

f x b x l l

πππ∞=+∞

=∈-????→→==++∈-+=±=∈?????→????→→=∈∑∑周期延拓

奇延拓偶延拓周期延拓

、非周期函数：展开限制

，时，：展开限制奇延拓：0010));2()sin ( 1, 2, )(0()0);

()cos [0,] 22()cos (0, 1, 2, )l n n n l n n x b f x dx n x l S x l l

a n x

f x a x l l

n x a f x dx n l l

πππ∞===???===+∈==????∑?；或时，偶延拓：（）

，端点处不间断。

第十二章 微分方程

: 一、基本类型的一阶微分方程

()()()1:

()() ,() ()2: ()()()0 :()0 :(())P x dx P x dx P x dx dy dy f x g y f x dx dx g y dy

P x y Q x dx

Q x y e Q x y e Q x e dx C --==+=??==?????≠=+?

???、可分离变量方程分离变量，两边积分、一阶线性微分方程齐次通解：，非齐次通解：

03(,)d (,)d 0(), . (1)(2)(,)(,)d (,)d .

(3)u P x y u(x,y)=P(x,y)dx +c(y)x u(x u Q x y c (y)=Q-P(x,y)dx (y)x y y x x

y

x y P x y x Q x y y P Q u x y C u x y P x y x Q x y y C ?+====+=??

????

????

?

'?=????????、全微分方程:其中通解：（）、分项组合法；

、特殊路径法：、偏积分法；

(,)=

(,)=,y)=P(x,y)dx +(y)dy ???

:

二、可化为基本类型的一阶微分方程11221()(),a x b y dy y dy y

f f u dx x dx a x b y x +===+（）齐次方程：或令

111222

2()a x b y c dy

f dx a x b y c ++=++（）准齐次方程：

111112222211

221111111112211200,, ()()d 0().d a x b y c a b x X h h k a b y Y k a x b y c a X bY dY Y f u dX a X b Y X a b k a x b y c y f a x b y u a x b y a b x a x b y c ?++==+???=

≠???=+++???

?+??==?

+?

?++??====+=+++??若令，(由解得)，再令。若，令。

(3)

() dy

f ax by c u ax by c dx

=++=++令。

1(4) ()()(0,1) (1)()(1)()

dy dz

P x y Q x y z y P x z Q x dx dy ααααα-+=≠=?+-=-伯努利方程：，令(,)

5 (,)(,)0 (),y x dy P x y P x y dx Q x y dy P Q dx Q x y +=≠?

=-（）其中（）

16/()()()(),x dx dx P y x Q y P y x Q y x z x dy dy

αα

-+=+==（）关于的线性方程伯努利方程：

； 令 ()()7(,)(,)0 ()1;21

(1)()()()()1

(2)()()()()1

(3)(,)y x x dx y x y dy y x P x y dx Q x y dy P Q u x P Q x u x ce Q

u y P Q y u y ce P u x y xP yQ

?ψ?ψ-+=≠??

-=?=?

?-=?==

+（）其中求积分因子方法：

、分项组合法：常用全微分公式、公式法：

方程有形如的积分因子方程有形如的积分因子齐次方程的积分因子

: 三、可降阶的高阶微分方程

d 1() n d 2(,), (,) d d 3(,) , (,) d d n n y f x x

y f x y y p y p p f x p p p y f y y y p y p p f y p y y

=''''''''===?=''''''===?=（）连续积分次;

（）令，则（）令，则

四、二阶常系数齐次线性微分方程 200y py qy r pr q '''++=?++=特征方程：

121212122121221,21240,40,()

40,(cos sin )

r x r x r x x p q r r y C e C e p q r r y C C x e p q r i y e C x C x ααβββ?=->≠?=+?=-==?=+?=-<=±?=+通解：通解：通解：

四、二阶常系数非齐次线性微分方程

() ()()() y p y q y f x y x Y x y x *'''++==+通解齐次通解非齐次特解

01() () ()12x k x m m k f x e P x y x Q x e k k λλλλλ*=??

?

=?== ? ?=??不是特征根（）特解形式是特征单根是特征重根

[]

] (1)(2)

2() () ()cos ()sin 0 ()cos ()sin 1x l n x m

m f x f x e P x x P x x iw k y xe R x x R x x iw k λλωωλωωλ*==++=????=+ ??+=??

（）不是特征根特解形式是特征根

高数公式大全(全)

高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高等数学常用公式大全

高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

大学高数常用公式大全

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高等数学公式总结(绝对完整版).

高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

大一高数公式

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高数知识点公式大全

高等数学公式 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

高数公式大全

大学数学公式 常用导数公式： 常用积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高数积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝ 11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d () x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++

的积分 10 ．x C 11 ．x ? ＝22(3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝ 22232(15128105a x abx b C a -++ 13 ．x ＝22(23ax b C a -+ 14 ．2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ． ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 16 ． 2a b 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分

19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)x C b C b ?+>???+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+? 27．32d ()x x ax b +?＝2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+

同济高等数学公式大全

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小学到大学所有数学公式

小学到大学所有数学公式.txt真正的好朋友并不是在一起有说不完的话题，而是在一起就算不说话也不会觉得尴尬。你在看别人的同时，你也是别人眼中的风景。要走好明天的路，必须记住昨天走过的路，思索今天正在走着的路。1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形

高等数学常用公式汇总————

高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++ ++≥ 倒数关系：sinx ·csc x=1 tanx ·cot x=1 cosx ·sec x=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-si n^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

(完整版)大学高数公式大全

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βαβααβαctg tg ±±±±((cos(sin(

·半角公式： ·正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 30 21),,(z y x F M z y x =?? ? ??=曲面在点空间曲线方向 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：

高数积分公式大全

12. （一）含有ax b 的积分（a 1 . dx 1 ax b a =-In ax b 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 13. 常用积分公式 0) 1 (ax b) dx = a( 1) x 1 dx = -^(ax b ax b a 丄dx =丄 ax b a 3 (ax bln b)2 b) ax b) C 2b(ax b) b 2ln ax b dx x( ax b) dx x 2(ax b) x 2dx (ax b) 2 (^dx 1ln b 1 bx ax ax b 1 = -r(ln a ax b ax b ) 2bln ax b b 2 ax b ) C dx 2 x(ax b) b(ax b) 含有.ax b 的积分 1 2 In b 2 ax b Tax~ dx = — T(ax~b)3 3a x 、、ax bdx = -^(3ax 2b 15a x 2 . ax bdx = ^^(15a 2x 2 12abx 8b 2) ., (ax b)3 C 105a ).(ax b)3 C x 2 - d x = -- 2 (ax 2b)、ax b C ，ax b 3a 2

2 15a 3 dx x ￥ ax b dx x 21 ax b ax b. dx = (3a 2x 2 4abx 8b 2)、、ax b ■, ax b 、. ； b .ax b .b A C (b (b 0) 0) bx 2b x 丫 ax b 2 ax b dx x, ax b ax b , 2 dx = x a dx 2 x 、ax b 14. 15. 16. 17. 18. (三) 19. 20. 21 . (四) 22. 23.

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·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ

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高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C

三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u

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大学高数公式大全

大学高数公式大全 对的性对及推对数 用^表示乘方～用log(a)(b)表示以a对底～b的对数 *表示乘～号/表示除号 定对式, 若a^n=b(a>0且a?1) 对n=log(a)(b) 基本性对, 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 推对 1.对就不用推了～直接由定对式可得个吧(把定对式中的[n=log(a)(b)]对入 a^n=b) 2. MN=M*N 由基本性对1(对掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)] 由指的性对数 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因对指函是对对函～所以数数数 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3.与2对似对理 MN=M/N 由基本性对1(对掉M和N)

a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)] 由指的性对数 a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因对指函是对对函～所以数数数 log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4.与2对似对理 M^n=M^n 由基本性对1(对掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指的性对数 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因对指函是对对函～所以数数数log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 其他性对, 性对一,对底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 推对如下 N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 对合式可得两 N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因对N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {对步不明白或有疑对看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 性对二,;不知道什对名字, log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推对如下

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大学数学公式总结大全

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高数公式大全(全)

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