第六章 实数单元达标测试综合卷学能测试试卷

第六章 实数单元达标测试综合卷学能测试试卷

一、选择题

1．设[x]表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），则

（ ） A ．132

B ．146

C ．161

D ．666

2．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：

()()1,,P x y x y x y =+-，且规定()()()11,,n n P

x y P P x y -=（n 为大于1的整数）， 如，

()()11

,23,1P =-，()()()()()21111,21,23,12,4P P P P ==-=，()()()()()31211,21,22,46,2P P P P ===-，

则()20171

,1P -=（ ）． A ．(

)1008

0,2

B ．(

)1008

0,2

-

C ．(

)1009

0,2

-

D ．(

)1009

0,2

3．表面积为12dm 2的正方体的棱长为（ ）

A dm

B ．dm

C ．1dm

D ．2dm

4．下列说法错误的是（ ）

A ．﹣4是16的平方根

B 2

C ．

116的平方根是1

4

D 5

5．下列命题中，真命题是（ ） A ．实数包括正有理数、0和无理数 B ．有理数就是有限小数 C ．无限小数就是无理数

D ．无论是无理数还是有理数都是实数 6．有下列命题：

①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④邻补角是互补的角；⑤实数与数轴上的点一一对应． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．如果-1

A ．x -1

B ．x

C ．x 2

D ．x 2

8．下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的绝对值是它本身，则这个数是非负数；④16的平方根是±4，用式子表示是

4=±．⑤若a ≥0，则2a =，其中错误的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

9．在实数13

-，0.7，34，π，16中，无理数有（ ）个． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．在数轴上表示7和6-的两点间的距离是（ ） A ．76-

B ．67-

C ．76+

D ．(76)-+

二、填空题

11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．

12．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______． 13．下面是按一定规律排列的一列数：

14，37，512，719，928

…，那么第n 个数是__． 14．任何实数a ，可用[a]表示不大于a 的最大整数，如[4]=4，31?=?，现对72进行如下

操作：72→72????=8→82?=?→2=1，类似地：

（1）对64只需进行________次操作后变为1；

（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 15．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则154)15+=____ 16．有若干个数，第1个数记作1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ,……，第n 个数记为n a ，若1a =

1

3

，从第2个数起，每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数，则2019a =_____．

17．已知a 、b 为两个连续的整数，且a 19b ，则a +b ＝_____． 18．已知2(21)10a b ++-=，则22004a b +=________．

19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b ．例如

89914*=，那么*(*16)m m =__________．

20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．

三、解答题

21．阅读型综合题

对于实数x y ，我们定义一种新运算(),L x y ax by =+（其中a b ，均为非零常数），等式

右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中

x y ，叫做线性数的一个数对．若实数 x y ，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x y ，叫做正格线性数的正格数对．

（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1L = ，31,22L ??

= ???

； （2）已知(),3L x y x by =+，31,222L ??

=

???

．若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由．

22．对于实数a,我们规定用}{a}为 a 的根整数.如

}=4.

(1)计算？

(2)若{m}=2,写出满足题意的m 的整数值；

(3)现对a 进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次

}=4,再进行第二次求根整数}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2. 23．（1）观察下列式子： ①100222112-=-==； ②211224222-=-==； ③322228442-=-==； ……

根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （2）求01220192222+++

+的个位数字.

24．七年某班师生为了解决“22012个位上的数字是_____”这个问题，通过观察、分析、猜想、验证、归纳等活动，从而使问题得以解决，体现了从特殊到一般的数学思想方法．师生共同探索如下： （1）认真填空，仔细观察．

因为21=2，所以21个位上的数字是2 ； 因为22=4，所以22个位上的数字是4； 因为23=8，所以23个位上的数字是8； 因为24= _____ ，所以24个位上的数字是_____； 因为25= _____ ，所以25个位上的数字是_____； 因为26= _____ ，所以26个位上的数字是_____；

（2）小明是个爱动脑筋的学生，他利用上述方法继续探索，马上发现了规律，于是猜想：210个位上的数字是4，你认为对吗？

（3）利用上述得到的规律，可知：22012个位上的数字是_____；

（4）利用上述研究数学问题的思想与方法，试求：32013个位上的数字是_____． 25．阅读材料，回答问题：

（1）对于任意实数x ，符号[]

x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，

[]x 就是x ，当x 不是整数时，[]x 是点x 左侧的第一个整数点，如[]33=，[]22-=-，[]2.52=，[]1.52-=-，则[]3.4=________，[]5.7-=________．

（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准

2元

4公里/元

6公里/元

8公里/元

①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；

②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？

26．在已有运算的基础上定义一种新运算?：x y x y y ?=-+，?的运算级别高于加

减乘除运算，即?的运算顺序要优先于+-?÷、、、

运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算：()53?-= ； （2）若35x ?=，则x = ；

（3）在数轴上，数x y 、的位置如下图所示，试化简：1x y x ?-?；

（4）如图所示，在数轴上，点A B 、分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点A 向正方向运动，点B 向负方向运动，t 秒后点A B 、分别运动到表示数a 和b 的点所在的位置，当2a b ?=时，求t 的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B

解析：B 【解析】

分析：先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案． 详解：1.52=2.25，可得出有2个1； 2.52=6.25，可得出有4个2； 3.52=12.25，可得出有6个3； 4.52=20.25，可得出有8个4； 5.52=30.25，可得出有10个5； 则剩余6个数全为6.

故=1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6=146. 故选：B.

点睛本题考查了估算无理数的大小.

2．D

解析：D 【详解】 因为

()()11

,10,2P -=，()()()()()21111,11,10,2=2,2P P P P -=-=-,()()()()()31211,11,22,20,4P P P P -=-=-=,()()41,14,4P -=-,()()51

,10,8P -= ()()61

,18,8P -=-,所以()()211,10,2n n P --=,()()21,12,2n n n P -=-,所以 ()()

100920171,10,2P -=,故选D.

3．A

解析：A 【分析】

根据正方体的表面积公式：S ＝6a 2，解答即可． 【详解】

解：根据正方体的表面积公式：S ＝6a 2， 可得：6a 2＝12，

解得：a ．

dm ． 故选：A ． 【点睛】

此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，解题的关键是根据公式进行计算．

4．C

解析：C 【分析】

分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．【详解】

A．﹣4是16的平方根，说法正确；

B.2，说法正确；

C.

1

16

的平方根是±

1

4

，故原说法错误；

D.，说法正确．

故选：C．

【点睛】

此题考查了平方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．

5．D

解析：D

【分析】

直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．

【详解】

A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；

B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；

C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；

D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．

6．B

解析：B

【分析】

利用无理数的概念，邻补角、平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系，两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

①无理数是无限不循环小数，正确；

②平方根与立方根相等的数只有0，故错误；

③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；

④邻补角是相等的角，故错误；

⑤实数与数轴上的点一一对应，正确．

所以，正确的命题有2个，

故选B.

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解无理数、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识，难度不大．

解析：A

【分析】

直接利用负整数指数幂的性质结合x的取值范围得出答案.

【详解】

∵-1＜x＜0，

∴x-1＜x＜x2，

故选A.

【点睛】

此题主要考查了负整数指数幂的性质以及实数的大小比较，正确利用x的取值范围分析是解题的关键.

8．B

解析：B

【分析】

利用实数的分类，无理数的定义，绝对值的性质、平方根的定义及二次根式的性质.

【详解】

①有理数和数轴上的点是一一对应的，正确；

②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误；

③绝对值是它本身的数是非负数，正确；

±，错误；

④16的平方根是±4，用式子表示是4

==，正确；

⑤若a≥0，则2a a

则其中错误的是2个，

故选B.

【点睛】

本题考查了有理数，无理数，绝对值，平方根及二次根式，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

9．B

解析：B

【分析】

根据无理数的定义判断即可．

【详解】

1

-，0.716π是无理数，

3

故选：B．

【点睛】

本题主要考查无理数的定义，熟练掌握定义是关键．

10．C

解析：C

在数轴上表示7和-6，7在右边，-6在左边，即可确定两个点之间的距离．【详解】

如图，

7和67在右边，6在左边，

7和67-（6）76．

故选：C．

【点睛】

本题考查了数轴，可以发现借助数轴有直观、简捷，举重若轻的优势．

二、填空题

11．、、、．

【解析】

解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；

如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；

如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；

解析：53、17、5、1．

【解析】

解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；

如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；

如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；

如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；

则满足条件的整数值是：53、17、5、1．

故答案为：53、17、5、1．

点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．

12．-1

【分析】

根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．

【详解】

解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，

∴2x-1+2-x=0，

解得：x=-1．

故答案为：-

解析：-1 【分析】

根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可． 【详解】

解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x ， ∴2x-1+2-x=0， 解得：x=-1． 故答案为：-1． 【点睛】

本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．

13．【解析】

∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1, ∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…, ∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：

221

3

n n -+ 【解析】

∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1, ∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…, ∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是

2213n n -+,故答案为

:221

3

n n -+. 14．255 【分析】

（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；

（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案． 【详解】 解：（1）

解析：255 【分析】

（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；

（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案． 【详解】

解：（1）由题意得：

64→=8→2=→=1，

∴对64只需进行3次操作后变为1，

故答案为3；

（2）与上面过程类似，有256→=16→4=→=2→1=，对256

只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→3=→=1，即只需

进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255； 故答案为255． 【点睛】

本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．

15．4 【分析】

根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可． 【详解】 = = =4

故答案为4． 【点睛】

本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键

解析：4 【分析】

根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可． 【详解】

4)+

4

=4=4

故答案为4． 【点睛】

本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．

16．-2 【分析】

根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．

解：= ……

所以数列以，，三个数循环， 所以== 故答案为：． 【

解析：-2 【分析】

根据1与它前面的那个数的差的倒数，即11

1n n

a a +=-，即可求得2a 、3a 、4a ……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定2019a ． 【详解】 解：1a =

13

2131213

a =

=

-

312

312

a =

=--

411123

a =

=+ …… 所以数列以

13，3

2

，2-三个数循环， 20193673÷=

所以2019a =3a =2- 故答案为：2-． 【点睛】

通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．

17．9

首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．

【详解】

∵＜，

∴4＜＜5，

∵a＜＜b，

∴a＝4，b＝5，

∴a+b＝9，

故答案为：9．

【点睛】

本题主要考查了估算无理数的

解析：9

【分析】

a、b的值，然后可得a+b的值．

【详解】

∴45，

∵a b，

∴a＝4，b＝5，

∴a+b＝9，

故答案为：9．

【点睛】

本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．

18．【分析】

根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】

解：∵，

∴2a＋1＝0，b?1＝0，

∴a＝，b＝1，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了非负数

解析：5 4

根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】

解：∵2(21)0a +=， ∴2a ＋1＝0，b?1＝0， ∴a ＝1

2

-

，b ＝1， ∴2

2

2004

200411511244a b

??

+=-+=+= ???，

故答案为：5

4

． 【点睛】

本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

19．+1 【分析】

首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可． 【详解】 m*（m*16） =m*（+1） =m*5 =+1．

故答案为：+1． 【点睛】

此题考查实数的运算，解题的关键是要

【分析】

首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可． 【详解】 m*（m*16）

=m*） =m*5

=．

． 【点睛】

此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．

20．255

根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可． 【详解】 解：∵，，， ∴只

解析：255 【分析】

根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可． 【详解】

解：∵1=，3=，15=，

∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 【点睛】

本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．

三、解答题

21．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为()26L ，

【分析】

（1）根据定义，直接代入求解即可； （2）将31,222L ??

=

???

代入(),3L x y x by =+求出b 的值，再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+，表示出kx ，再根据题干分析即可．

【详解】

解：（1）∵(),3L x y x y =+ ∴()2,1L =5，31,22L ??=

???

3 故答案为：5，3； （2）有正格数对． 将31,222L ??

=

???

代入(),3L x y x by =+， 得出，1111323232L b ??=?+?= ?

??

，， 解得，2b =，

∴()32L x y x y =+，， 则()3218L x kx x kx =+=，

∴1832

x

kx -=

∵x ，kx 为正整数且k 为整数

∴329k +=，3k =，2x =，

∴正格数对为：()26L ，

． 【点睛】

本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键． 22．(1)3；(2)2，3，4(3)3 【分析】

（1的大小，再根据新定义可得结果；

（2）根据定义可知12，可得满足题意的m 的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2. 【详解】

解：（1）根据新定义可得，，故答案为3；

（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1，可得m 的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4； （3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3. 【点睛】

本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键.

23．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.

【分析】

（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可. 【详解】

（1）11222n n n ---= 理由是：122n n --

11122n n +--=- 11222n n --=?-

()1212n -=-? 12n -=

（2）原式=(

)()()()10

2

1322020201922

2

22222-+-+-++-

2020022=-

()

505

42

1=-

505161=-

因为6的任何整数次幂的个位数字为6. 所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5.

【点睛】

本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键. 24．（1）16，6；32，2；64，4；（2）对；（3）6；（4）3． 【分析】

（1）利用乘方的概念分别求出24、25、26的结果，即可解决； （2）算出210的结果，即可知道个位数是多少，即可解决；

（3）按照上述规律，以4为周期，个位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故能得出答案；

（4）分别求出31，32，33，34，找出规律，个位数重复3，9，7，1，2013中是4的503倍，而且余1，故得出结论． 【详解】

解：（1）∵24=16、25=32、26=64

∴24的个位数为6；25的个位数为2；26的个位数为4； （2）∵210=1024 ∴个位数是4，该说法对

（3）可以知道规律，以4为周期，各位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故22012个位数刚好为6；

（4）∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243； ∴个位数重复3，9，7，1 ∵2013中是4的503倍，而且余1 ∴个位数为3． 【点睛】

本题主要考查了乘方的运算以及找规律，熟练乘方的运算以及找出规律是解决本题的关键．

25．（1）3；6-；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里． 【分析】

（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；

（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得； ②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得． 【详解】

（1）∵3 3.44<< ∴[]3.43=

∵6 5.75-<-<- ∴[]5.76-=- 故答案为：3；6-． （2）①∵3.074< ∴3.07公里需要2元 ∵47.9312<<

∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元 ∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元） ∵19.212174<<

∴19.17公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；

∴19.17公里所需费用为：2226++=（元） 故答案为：2；3；6．

②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；

∴乘坐24公里所需费用为：2226++=（元）

∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里 ∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）

∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里． 【点睛】

本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．

26．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x ；（4）t 1=3；t 2=53

【分析】

（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果； （2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；

（3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x 、y 的取值范围进行化简即可； （4）根据A 、B 在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数a 和b ，再根据（2）的解题思路即可得到结果． 【详解】

解：（1）5(3)5(3)(3)5?-=--+-=； （2）依题意得：335-+=x ， 化简得：3=2-x ， 所以32x -=或32x -=-， 解得：x =5或x =1；

（3）由数轴可知：0

（4）依题意得：数a =?1+t ，b =3?t ； 因为2a b ?=，

所以(1)(3)32-+--+-=t t t ， 化简得：241-=-t t ， 解得：t =3或t =

53

， 所以当2a b ?=时，t 的值为3或53

． 【点睛】

本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键．