二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论

教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.

研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.

教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念

二次曲面: 在空间,由三元二次方程

022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）

所表示的曲面.

虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点

二次曲面的一些记号

≡

),,(z y x F 44

342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡

242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡

yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ

z a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ

即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++

),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ

二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ????

??

?

??=4434

24143433231324232212

14131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ????

? ??=*

3323

13

232212

131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，

),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。

3322111a a a I ++= 33

23

232233

13

131122

12

12112a a a a a a a a a a a a I +

+

=

33

23

13

232212

13

12113a a a a a a a a a I = 44

34

24

14

3433231324232212

14

131211

4a a a a a a a a a a a a a a a a I =

,44

34

343344

24

242244

1414111a a a a a a a a a a a a

K +

+

=

44

34

24

343323242322

4434

14

34331314

1311

4424

14

242212

14

1211

2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K ++=

§6.1 二次曲面与直线的相关位置

≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++

44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)

与过点),,(000z y x 的直线??

?

??+=+=+=Zt

z z Yt y y Xt x x 000 (2)

将(2)代入(1)得

[]0

),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X （3）

现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况:

1.0),,(≠ΦZ Y X ,这时方程（3）是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：

[]),,(),,(),,(),,(),,(0002

000300020001z y x F Z Y X z y x ZF z y x YF z y x XF Φ-++=?

10 0>?,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点; 20 0=?,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点; 30 0

10 0),,(),,(),,(000300020001≠++z y x ZF z y x YF z y x XF ,直线与二次曲面有唯一交点;

20 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,但0),,(000≠z y x F 直线与二次曲面无交点

30 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,且0),(00=y x F ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.

§6.2 二次曲面的渐进方向与中心

1. 二次曲面的渐进方向

定义 5.2.1: 满足0),,(=ΦZ Y X 的方向Y X :：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.

对于给定的二次曲面≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++

44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)

和过点),,(000z y x 的直线??

?

??+=+=+=Zt

z z Yt y y Xt x x 000 (2)

当Y X :：Z 为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当Z Y X ::为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。

2. 二次曲面的中心

当Z Y X ::为二次曲面的非渐进方向时,即当

02),(22212211≠++≡ΦY a XY a X a Y X

以非渐进方向为方向的直线??

?

??+=+=+=Zt

z z Yt y y Xt x x 000与二次曲面交于两个点,由这两点决

定的线段叫二次曲面的弦.

定义 6.2.2:若点C 是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心,那么点C 叫做二次曲面的中心.

定理6.2.1若点),,(000z y x C 是二次曲面的中心,其充要条件是:

???

??=+++≡=+++≡=+++≡0

),,(0),,(0

),,(340330230130

003240230230120002140130120110001a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-1） 推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有z y x ,,的一次项。

二次曲面的中心坐标，由方程组???

??=+++≡=+++≡=+++≡0

),,(0),,(0),,(343323133

242323122141312111a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-2）

决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组。 根据（6.2-2）的系数矩阵A 与增光矩阵B

????? ??=3323

13

232212

131211

a a a a a a a a a A ，???

?

?

??=3424143323

13

232212

131211

a a a a a a a a a a a a B 的秩r 与R ，有： 10 3==R r ，这时方程组的系数行列式033

23

13

232212

13

1211

3≠=a a a a a a a a a I ，方程组有惟一解，二次曲面（1）有惟一中心。

20 2==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。曲面有无数个中心，这些中心构成一条直线。

30 1==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。曲面有无数个中心，这些中心构成一个平面。

40R r ≠，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。

定义 6.2.3: 有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面, 有无数中心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.

推论 二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为03≠I ，成为非中心

二次曲面的充要条件为03=I

例1 椭球面1222222=++c z b y a x 与双曲面122

2222±=-+c z b y a x 的3I 分别为

01

10

010001

2

222

22≠=c

b a

c b a 与01

10

0100012

222

22

≠-

=-c

b a

c b a 所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为

????

?????=≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(23

2221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 与???

??

????

=-≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F

因此，它们的中心都是坐标原点（0，0，0）

例2 抛物面z b

y a x 222

22=±.

其3I =00

010

0122

=±b a ，所以抛物面为非中心二次曲面，它的1),,(3-=z y x F ，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。

例3 对于曲面0222=-+c z y

3I =01

00010

00=，所以他是非中心二次曲面，但由于0),,(1≡z y x F

y z y x F ≡),,(2z z y x F ≡),,(3，所以曲面有一条中心直线??

?==0

z y ，所给曲面为线心曲面。 (曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。)

作业：8,6,4,2254P

§6.3 二次曲面的切线与切平面

定义 6.3.1:直线与二次曲面相交于互相重合的两个点,那么这条直线叫二次曲面的切线. 重合的交点称之为切点.

特殊情形:直线全部在二次曲面上,亦称之为二次曲面的切线,直线上每一点均是切点.

（二次曲面的直母线线也是切线。） 一.通过曲面上点),,(000z y x 的切线方程

≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++

022224434241423=+++++a z a y a x a yz a (1)

通过曲面（1）的点),,(000z y x 的直线??

?

??+=+=+=Zt

z z Yt y y Xt

x x 000 （2）

1. 直线（2）曲面（1）相交于连个重合点的充要条件：

0),,(≠ΦZ Y X []0),,(),,(),,(2

000300020001=++=?Z y x ZF Z y x YF Z y x XF

2. 直线（2）整个属于曲面（1）的充要条件：

0),,(=ΦZ Y X []0),,(),,(),,(2

000300020001=++=?Z y x ZF Z y x YF Z y x XF

综合1、2、两种情况：通过曲面（1）上的点),,(000z y x 的直线（2）成为曲面在这

个点处的切线的充要条件是：

[]0),,(),,(),,(2

000300020001=++=?Z y x ZF Z y x YF Z y x XF （3）

10， ),,(0001z y x F ，),,(0002z y x F ，),,(0003z y x F 不全为零。由（2）得

)(:)(:)(Z Y 000z z y y x x X ---=：：，代入（3）得

[]0),,()(),,()(),,()(000300002000010=-+-+-Z y x F z z z y x F y y Z y x F x x （6.3-1）

定义6.3.2 二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的

切平面，这一点叫切点。

20 ),,(0001z y x F ，),,(0002z y x F ，),,(0003z y x F 全为零。（3）恒成立，它被任何的方

向Z Y X ::所满足，因此通过点),,(000z y x 的任何一条直线都是二次曲面的切线。

定义6.3.3 二次曲面（1）上满足条件

0),,(),,(),,(000300020001===z y x F z y x F z y x F 的点),,(000z y x 叫做二次曲面（1）的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点。

定理6.3.1如果),,(000z y x 是二次曲面（1）的正常点,那么曲面在点),,(000z y x 处存在惟一的切平面，它的方程是（6.3-1）

推论 如果),,(000z y x 是二次曲面（1）的正常点,那么在),,(000z y x 处曲面的切平面方程是:

)()()()()()(44034024014002300130012033022011=+++++++++++++++a z z a y y a x x a yz z y a xz z x a x y y x a z z a y y a x x a （6.3-3）

例 求二次曲面018222444),,(222=++++---++≡z y x yz xz xy z y x z y x F 在点)3,2,1(的切平面方程。

解法一 因为01864224128941)3,2,1(=++++---++=F ，所以点)

3,2,1(在二次曲面上，又因为1

22),,(122),,(1

22),,(321++--=+-+-=+--=z y x z y x F z y x z y x F z y x z y x F ，

所以8)3,2,1(1-=F ，5)3,2,1(2-=F ，2)3,2,1(3-=F ，这说明)3,2,1(是已知曲面上的正常点，所以根据公式（6.3-1）得曲面在点)3,2,1(处的切平面方程为

0)3(2)2(5)1(8=------z y x ，即024258=-++z y x

解法二 由解法一知)3,2,1(是已知曲面上的正常点，所以根据公式（6.3-3）得所求切平面的方程是

018)3()2()1()23(2)3(2)2(232=++++++++-+-+-++z y x z y z x y x z y x

即 024258=-++z y x

作业: 8,6,5,3258P

§6.4 二次曲面的径面与奇向

本节讨论二次曲面≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++

44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1) 的平行弦的中点轨迹。

定理 6.4.1 二次曲面的一族平行弦的中点的轨迹是一个平面

证明：设Z Y X ::为二次曲面的任意一个非渐进方向，而),,(000z y x 为平行于

方向Z Y X ::的任意弦的中点，那么弦的方程可以写成??

?

??+=+=+=Zt

z z Yt y y Xt x x 000 （2）

面弦的两端点是由二次方程

[]0

),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X 的两根1t 和2t 所决定，因为),,(000z y x 为弦的中点的充要条件是021=+t t ，即

0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ，把上式中的),,(000z y x 改写为

),,(z y x 便得平行弦中点的轨迹方程为0),,(),,(),,(321=++z y x ZF z y x YF z y x XF

（6.4-1）即

0)()()(343323132423221214131211=+++++++++++a z a y a x a Z a z a y a x a Y a z a y a x a X

或

)()()()(342414332313232212131211=+++++++++++Z a Y a X a z Z a Y a X a y Z a Y a X a x Z a Y a X a ，

即0),,(),,(),,(),,(4321=Φ+Φ+Φ+ΦZ Y X z Z Y X y Z Y X x Z Y X （6.4-2） 因为Z Y X ::为非渐进方向，所以有

0),,(),,(),,(),,(321≠Φ+Φ+Φ≡ΦZ Y X Z Z Y X Y Z Y X X Z Y X

因此),,(1Z Y X Φ，),,(2Z Y X Φ，),,(3Z Y X Φ不全为零，所以（6.4-2）或（6.4-1）为一个三元一次方程，它代表一个平面。

定义 6.4.1二次曲面的平行弦的中点轨迹，就是（6.4-1）或（6.4-2）所代表的平面，叫做共轭于平行弦的径面。而平行弦叫做这个径面的共轭弦，平行弦的

方向叫做这个径面的共轭方向。

定理6.4.2 二次曲面的任何径面一定通过它的中心（假如曲面的中心存在的话）

推论1 线心二次曲面的任何径面通过他的中心线。 推论2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合。

如果方向Z Y X ::为二次曲面（1）的渐进方向，那么平行与它的弦不存在，但如果仍有),,(1Z Y X Φ，),,(2Z Y X Φ，),,(3Z Y X Φ不全为零，那么方程（6.4-2）任然

表示一个平面，我们把这个平面叫做共轭于渐进方向Z Y X ::的径面。如果

???

??=++≡Φ=++≡Φ=++≡Φ0

),,(0),,(0),,(3323133

23221221312111Z a Y a X a z y x Z a Y a X a z y x Z a Y a X a z y x （3） 那么方程（6.4-2）不表示任何平面。

定义 6.4.2 满足条件（3）的渐进方向Z Y X ::叫做二次曲面（1）的奇异方向，简称奇向。

定理6.4.3 二次曲面（1）有奇向的充要条件是03=I 推论 中心二次曲面而且只有中心二次曲面没有奇向。 定理6.4.4 二次曲面的奇向平行于它的任何径面。

证 设二次曲面（1）的奇向为000::Z Y X ，那么

0),,(),,(),,(000300020001=Φ=Φ=ΦZ Y X Z Y X Z Y X 因此

),,(),,(),,()()()()()()()

,,(),,(),,(000300020001033023013023022012013012011332313023221201312110302010=Φ+Φ+Φ=++++++++=++++++++=Φ+Φ+ΦZ Y X Z Z Y X Y Z Y X X Z a Y a X a Z Z a Y a X a Y Z a Y a X a X Z a Y a X a Z Z a Y a X a Y Z a Y a X a X Z Y X Z Z Y X Y Z Y X X 所以二次曲面的奇向000::Z Y X 平行于它的任意径面（6.4-2）

例1 求单叶双曲面122

2222=-+c

z b y a x 的径向。

解 因为单叶双曲面为中心曲面，即03≠I 。所以它没有奇向，任取方向

Z Y X ::，那么21),,(a X Z Y X =

Φ，22),,(b Y Z Y X =Φ，2

3),,(c

Z

Z Y X -=Φ，0),,(4=ΦZ Y X ，所以单叶双曲面共轭于方向Z Y X ::的径面为0222=-+z c Z

y b Y x a X ，

显然它通过曲面的中心)0,0,0(。

例2 求椭圆抛物面z b

y a x 222

22=+的径面。

解 因为椭圆抛物面为无心曲面，03=I ，所以曲面有奇向000::Z Y X ，因为

21),,(a X Z Y X ≡

Φ 2

2

),,(b Y Z Y X ≡Φ 0),,(3≡ΦZ Y X ，所以曲面的奇向为1:0:0::000=Z Y X ，任取非齐方向Z Y X ::，又有Z Z Y X -≡Φ),,(3，因此根据（604-2）椭圆抛物面共轭于非齐方向Z Y X ::的径面为02

2=-+Z y b Y

x a X ，显然它平行于奇向1:0:0 作业: 4,2),3(1262P

§6.5 二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根

定义6.5.1 主径面:如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向，那么这个径面就叫做二次曲面的主径面。

定义6.5.2 主方向:二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向），或者二次曲面的奇向，叫做二次曲面的主方向

设二次曲面为≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++

022224434241423=+++++a z a y a x a yz a (1)

方向Z Y X ::如果是（1）的渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是

???

??=++=++=++0

00

332313

232212131211Z a Y a X a Z a Y a X a Z a Y a X a （2） 成立，即Z Y X ::必须是（1）的奇向。

如果Z Y X ::是（1）的非渐进方向，那么它成为（1）的主方向的条件是与它的共轭径面

)()()()(342414332313232212131211=+++++++++++Z a Y a X a z Z a Y a X a y Z a Y a X a x Z a Y a X a （3）

垂直，所以有Z Y X Z a Y a X a Z a Y a X a Z a Y a X a ::)(:)(:)(332313232212131211=++++++

从而得???

??=++=++=++Z

Z a Y a X a Y Z a Y a X a X

Z a Y a X a λλλ332313

232212131211 （6.5-1）

显然，如果在（6.5-1）中取0=λ，那么就得到（2），因此方向Z Y X ::成为二次曲面（1）的主方向的充要条件是存在λ使得（6.5-1）成立，把（6.5-1）改写

成???

??=-++=+-+=++-0

)(0)(0

)(332313

232212131211Z a Y a X a Z a Y a X a Z a Y a X a λλλ （6.5-2） 这是一个关于Z Y X ,,的其次线性方程组，因此Z Y X ,,不能全为零，因此

03323

13

232212

13

1211=---λ

λλa a a a a a a a a （6.5-3）

即032213=+-+-I I I λλλ （6.5-4）

定义6.5.3 方程（6.5-3）或（6.5-4）叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫做二次曲面的特征根。

从特征方程（6.5-3）或（6.5-4）求得特征根λ，代入（6.5-1）或（6.5-2），就可以求出相应的主方向Z Y X ,,，当0=λ时，与它相应的主方向为二次曲面的奇向；当0≠λ时，与它相应的主方向为非奇主方向，将非奇主方向Z Y X ::代入（6.4-1）或（6.4-2）就得共轭于这个非奇主方向的主径面。

例1 求二次曲面023414422233222=-+++---++z y x yz xz xy z y x 的主方向与主径面。

解 这个二次曲面的矩阵是????

???

??-------23272231171112113，则73131=++=I

123

11

1311311132=--+--+--=

I ，03

111111

13

3=------=I

二次曲面的特征方程为012723=-+-λλλ，所以特征根为0,3,4=λ

1将4=λ代入（6.5-2）得??

?

??=---=---=---0030Z Y X Z Y X Z Y X

解该方程组得对应于特征根4=λ的主方向为)1(:0:1::-=Z Y X ，将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：

0=-z x

2将3=λ代入（6.5-2）得??

?

??=--=---=--0020

Y X Z Y X Z Y

解该方程组得对应于特征根3=λ的主方向为1:)1(:1::-=Z Y X ，将其代入（6.4-1）或者（6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：

01=-+-z y x

3将0=λ代入（6.5-2）得??

?

??=+--=-+-=--03003Z Y X Z Y X Z Y X

解该方程组得对应于特征根0=λ的主方向为1:2:1::=Z Y X ，这一主方向为二次曲面的奇向。

二次曲面特征根的性质：

定理6.5.1 二次曲面的特征根都是实数。

定理6.5.2 特征方程的三个根至少有一个不为零，因而二次曲面总有一个非奇主方向。

推论 二次曲面至少有一个主径面

作业: 2),4()1(1269P

§6.6 二次曲面方程的化简与分类

本节利用空间直角坐标变换,讨论二次曲面的化简与分类。 一.空间直角坐标变换

设在空间给出了两个由标架{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;决定的右手直角坐标系， 为了叙述方便，我们把前面的一个叫做旧坐标系，后面的一个坐标系叫做新坐标系。它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标，以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定。在这里我们先讨论两种特殊的坐标变换，然后研究一般坐标变换

（1） 移轴

设标架{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;的原点O 与O '不同，O '在极坐标系下的坐标为

),,(000z y x ，但是i i ='，j j ='，k k =' ，这时新坐标系可以看成由{}k j i O ,,;平移到使O 与O '重合而得来，我们把这种情况下的坐标变换叫做移轴。

设P 为空间任意一点，它在{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;下的坐标分别是),,(z y x 与

),,(z y x '''，那么zk yj xi P O ++=

， （1）

k z j y i x k z j y i x P O '+'+'=''+''+''=''

（2）

此外又有k z j y i x O O 000++='

（3）

P O O O P O '+'= （4）

将（1）（2）（3）三式代入（4）得k z z j y y i x x zk yj xi )()()(000+'++'++'=++

所以得??

?

??+'=+'=+'=000

z

z z y y y x x x （6.6-1）

这就是空间直角坐标系的移轴公式。

从（6.6-1）解出),,(z y x '''就得到用旧坐标表示新坐标的坐标变换公式，即移轴的

逆变换公式??

?

??-='-='-='000

z

z z y y y x x x

（2） 转轴

设两个右手标架{}k j i O ,,;与{}k j i O '''',,;的原点相同，但坐标向量不同，这时新 坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转，使得k j i ,,分别与k j i ''',,重合得到的，我们把

这种情况下的坐标变换叫做转轴。

具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的交角来 决定，列表如下：

(5)

从表（5）我们知道??

?

??++='++='++='3332221

11cos cos cos cos cos cos cos cos cos γ

βαγβαγβαk j i k k j i j k j i i （6）

设空间任意一点P ，它的旧坐标为),,(z y x ，在新坐标系内的坐标为),,(z y x '''，那么有空间直角坐标变换的转轴公式：

??

?

??'+'+'='+'+'='+'+'=3213213

21cos cos cos cos cos cos cos cos cos γ

γγβββαααz y x x z y x y z y x x （6.6-3） 转轴的逆变换公式为：

??

?

??++='++='++='3332221

11cos cos cos cos cos cos cos cos cos γ

βαγβαγβαz y x z z y x y z y x x

（6.6-4） 转轴的正交条件

??????????

?=++=++=++=++=++=++0

cos cos cos cos cos cos 0

cos cos cos cos cos cos 0cos cos cos cos cos cos 1

cos cos cos 1cos cos cos 1cos cos cos 3322113

3221133221132221232

2212

322212γαγαγαβγβγγαβαβαβαγγγβββααα （6.6-5） 与???????????=++=++=++=++=++=++0cos cos cos cos cos cos 0

cos cos cos cos cos cos 0cos cos cos cos cos cos 1cos cos cos 1cos cos cos 1cos cos cos 1313133

2323221212132323222

2222121212γγββααγγββααγγββααγβαγβαγβα （6.6-6） 又因为1)()(='''=k j i ijk ，可得（6.6-3）与（6.6-4）的系数行列式

1cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 3

3

3

2221

11

32

13213

21==γβαγβαγβαγγγβββααα （6.6-7） （3）一般变换公式

设在空间给出了由标架{}k j i O ,,;决定的旧坐标系与由标架{}k j i O '''',,;决定的新坐标系，且O '在旧坐标系的坐标为),,(000z y x ，两坐标系的坐标轴之间的交角由表格（5）决定，那么在这种一般情况下，由旧坐标系变换到新坐标系可以分两步来完成，可以先移轴，使原点O 与坐标系的原点O '重合，变成辅助坐标系z y x O ''''''-'。然后再由辅助坐标系转轴变到新坐标系。 则空间直角坐标变换的一般公式为：

??

?

??+'+'+'=+'+'+'=+'+'+'=032103210

321cos cos cos cos cos cos cos cos cos z

z y x x y z y x y x z y x x γγγβββααα （6.6-8） 上式的逆变换公式是：

??

?

??-+-+-='-+-+-='-+-+-='3030302020201

01010cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )(γ

βαγβαγβαz z y y x x z z z y y x x y z z y y x x x （6.6-9）

注：它们的系数分别满足正交条件（6.6-5）（6.6-6），它们的系数行列式都等

于1.

二.二次曲面的化简与分类

定理6.6.1 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列五个简化方程 中的一个：

;

0,

0)V (;

0,02)V (;0,0)(;0,02)(;0,0)(114421124112221122114422221134221123422221133221144233222211≠=+≠=+I ≠=++III ≠=++II ≠=+++I a a x a a a y a x a a a a y a x a a a a z a y a x a a a a a z a y a x a

定理6.6.2 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列十七种标准方程的一种形式：

)(1]

1[22

2222椭球面=++c z b y a x

)(1]2[22

2222虚椭球面-=++c z b y a x

)(0]3[22

2222点或称虚母线二次锥面=++c z b y a x

)(1]4[22

2222单叶双曲面=-+c z b y a x

)(1]5[22

2222双叶双曲面-=-+c z b y a x

)(0]6[22

2222二次锥面=-+c z b y a x

)(2]7[22

22椭圆抛物面z b y a x =+

)(2]8[22

22双曲抛物面z b y a x =-

)(1]9[2

2

22椭圆柱面=+b y a x

)(1]

10[22

22虚椭圆柱面-=+b y a x

)(0]11[22

22共轭虚平面交于一条实直线的一对=+b y a x

)(1]12[22

22双曲柱面=-b y a x

)(0]13[22

22一对相交平面=-b

y a x

)(2]14[2抛物柱面py x = )(]15[22一对平行平面a x =

)(]16[22一对平行的共轭虚平面a x -= )(0

]

17[2一对重合平面=x

作业：3,2,1286P

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方

第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:

10三维空间中二次方程与二次曲面解读

三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）

二次型的几何分类及其应用

二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，

并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵

二次型与二次曲面

第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。

()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。

常见的空间曲面与方程

常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8

例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z

二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44

二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.

第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型

高数下册常用常见知识点

高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=

大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x

二次曲面的分类

二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即 ()1112 1311232122232141242343443132 333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ???? ???++++= ??? ??????? ， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ?? ?= ? ???，那么实二次型()1112131123123212223231 32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ???? ???Φ= ??? ???????的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ?? ?= ? ??? ，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ?? ?Φ====++ ? ?? ?， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=. 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去 一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到： 1. 椭圆面 2223122221z z z a b c ++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c ++=-；

解析几何&二次曲面期末复习资料

3. 2 其它二次曲面 本节主要从曲面的方程出发，考虑三类二次曲面，运用用平面截线法来讨论其几何特征及图像。 一般二次曲面的方程设为： 2221112221323332220a x a xy a y a xz a yz a z Ax By Cz D +++++++++= 上节我们以讨论过二次锥面，即222 2220x y z a b c +-=。 本节讨论下面三类二次曲面 222 2221x y z a b c ++= (椭球面)， 222 222 1x y z a b c +-=± (单叶，双叶双曲面) 22222x y z a b += (椭圆抛物面)，22 222x y z a b -= (双曲抛物面) 3.2.1 椭球面 在空间直角坐标系下，由方程 2222221x y z a b c ++= (其中,,a b c 为正常数) (3． 2．1) 所确定的曲面称为椭球面．特别，当,,a b c 有两个相等时，(3．2．1)表示旋转椭球面，当 a b c ==时，(3．2．1)表示球面． 下面来讨论椭球面的几何特征及其图像． 1）范围 由方程(3．2．1)可知，x a ≤，y b ≤，z c ≤．故曲面包含在由六个平面x a =±， y b =±，z c =±所围成的立方体中． 2）对称性 x 用x -，y 用y -，z 用z -来代替，方程(3．2．1)不变，这表明椭球面关于三个坐 标面，三个坐标轴及原点都是对称的，此时原点称为椭球面的中心． 3）与三个坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线 椭球面与三个坐标轴交点分别为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，(0,0,)c ±，这六个点称为椭球面的顶点，若 a b c >>，则,,a b c 分别称为椭球面的长半轴，中半轴，短半轴．

二次曲面的一般理论

第六章二次曲面的一般理论 教学目的：本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念，从不同角度对二次曲面进行了分类? 研究了二次曲面的几何性质，并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式化二次曲面的一般方程为规范方程，对二次曲面进行了分类和判定，是二次曲面理论的推 广和扩充? 教学重难点：通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规 范方程,既是重点又是难点? 基本概念 二次曲面：在空间，由三元二次方程 2 2 2 a11x a22y - a33z 2a12xy - 2a13xz 2a23yz 2a14x 2a24y 2a34z a44= 0（1） 所表示的曲面? 虚元素:空间中，有序三复数组（x,y,z）叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 F（x,y,z）二 a11x2 a22y2a33Z22a12xy 2a13xz 2a23yz 2 a14x 2a24y 2 a34z a44 F1（x, y,z）=印必a^y a^z a^ F2（x,y,z）二盹乂a23y a?3Z a?4 F3（x,y,z）三33X a23y a33Z a34 F4（x,y,z）三a^x a?4y a34Z a44 ：：」（x, y,z）二印必2 a22y2 a33Z2 Za^xy Za^xz 2a23yz :：J1（x,y, z）= aux a12y a^z :：J2（x, y, z）= a^x *22 y a?3z

?：」3(x, y, z)三 a^x a 23y a 33Z ?：」4(x, y, z)三 a i4x a 24y a 34Z 即有恒等式成立:F (x, y, z) = xF 1(x, y, z) yF 2(x, y, z) zF 3(x, y,z) F 4(x, y, z) :：J (x, y, z) = x ：：、(x, y,z) y ：：」2 (x, y,z) z^(x,y, z) 缶 a i2 a i3 a i4 ' 二次曲面F(x,y,z)的系数矩阵 A = a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 014 a 24 a 34 a 44 J 2ii a i2 a i3 而由①(x, y,z)的系数矩阵为 A* = a i2 a 22 a 23 l a i3 a 23 a 33 J 二次曲面(1)的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是F j (x,y,z), a ii a i2 a i3 a ii a i2 a ii a i3 a 22 a 23 i = aii + 822+ a 33 I 2 = + + 13 = a )2 a 22 a 23 a i2 a 22 a i3 a 33 a 23 a 33 a i3 a 23 a 33 § 6.1二次曲面与直线的相关位置 2 2 2 F(x, y,z)三 a 11x a 22y a 33z 2a 12xy 2a 13xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44 (1) x = x 0 Xt 与过点(X o , y o , z o )的直线 y = y ° Yt (2) z = Zo Zt 将⑵代入(1)得 ：：」(X,Y,Z)t 2 2〔XF i (x °, y o ,z o ) YF 2(x °, y °, zj ZF 3(x °, y °,z g )t F(x o ,y °,z °) = 0 (3) a ii a i2 a i4 a ii a i3 a i4 a 22 a 23 a 24 a i2 a 22 a 24 + a i3 a 33 a 34 + a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 44 a i4 a 34 a 44 a 24 a 34 a 44 K 2 F 2(x, y,z)，F 3(x, y, z)， F 4(x, y,z)的系数。 a ii a i2 a i3 a i4 a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 34 a 44 a ii a i4 + a 22 a 24 + a 33 a 34 a i4 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44 K i

二次型在中学数学中的应用

二次型在中学数学中的应用 摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。 关键词 二次型 标准形 对称矩阵 1. 引言 二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。 2. 正文 二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下： 文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。 定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。 定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。或秩等于1．

空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面

第四章一般二次曲线与二次曲面 这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。 §4.1直角坐标变换 平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。 4.1.1平面直角坐标平移 设Oxy 和O x y '''是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P 在坐标系Oxy 中的坐标(,)x y 和在坐标系O x y '''中的坐标(,)x y ''有什么联系呢？ 设O '在Oxy 中的坐标为00(,)x y ，从点P 向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出： x x x y y y '=+?? '=+? （4.1.1） 这就是将原点O 平移到00(,)O x y '的坐标变换，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点 P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系O x y '''中的坐标。这种坐标变换叫做平移。如果用旧坐标表示 新坐标，那么有 x x x y y y '=-?? '=-? （4.1.2） （4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。 x'x 图4-1-1 例1 用平移化简2 2490x x y --+=，并画出它的图形。 解 原方程可以移项、配方成 2 (1)4(2)x y -=-

将原点O 移到(1,2)O '，即作平移： 1 2x x y y '=-?? '=-? 那么，在新坐标系O x y '''中，方程简化成2 4x y ''=。这是一条开口向上，焦参数为2的抛物线，如图4-1-2。 图4-1-2 4.1.2平面直角坐标旋转 设坐标原点O 不动，将坐标系的两条轴同时绕原点旋转一个角度θ得到一个新的坐标系 Ox y ''（图4-1-3） ，那么平面上任意一点P 的新、旧坐标之间的关系又如何呢？ 如图1.3所示，有 ||cos ||cos() ||sin ||sin() x OM OP MOP OP y MP OP MOP OP ?θ?θ==∠=+?? ==∠=+? 利用两角和的三角展开式，我们有 ||cos cos ||cos sin ||cos sin ||sin cos x OP OP y OP OP ?θ?θ ?θ?θ=-?? =+? 但||cos ,||sin x OM OP y M P OP ??''''====，以此代入上面两个展开式中，即得 cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ''=-?? ''=+? （4.1.3） 这就是转角为θ的坐标旋转公式，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系Ox y ''中的坐标。如果用旧坐标表示新坐标，那么从（4.1.3）中解出,x y ''，则得到 cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=+?? '=-+? （4.1.4）

二次型的性质及应用

唐山师范学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师张王军讲师 年级 2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年5月

郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日

目录 摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的历史及概念 (2) 1.1二次型的历史 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (6) 3.1 多元函数极值 (6) 3.2 证明不等式 (12) 3.3 因式分解.................................. (错误!未定义书签。) 3.4 二次曲线 (13) 结论 (14) 参考文献 (15) 致谢 (14)

二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：张王军 摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别