二次根式的除法教案
22.2 二次根式的除法教案教学目标
1．知识与技能
（1）理解a
b
=
a
b
（a≥0，b>0），和
a
b
=
a
b
（a≥0，b>0）；
（2）运用a
b
=
a
b
（a≥0，b>0），和
a
b
=
a
b
（a≥0，b>0）进行运算．
2．过程与方法
（1）先由具体数据，发现规律，导出a
b
=
a
b
（a≥0，b>0）并运用它进行计算；
（2）再利用逆向思维，得出a
b
=
a
b
（a≥0，b>0）并运用它进行解题和化简．
（3）最后综合运用以上两个规律进行解题．3．情感、态度与价值观
学生通过探究a
b
=
a
b
（a≥0，b>0））培养学生由特殊到一般的探究精神；让学
生推导a
b
=
a
b
（a≥0，b>0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能
力，引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．教学重难点
1．重点：理解a
b
=
a
b
（a≥0，b>0），
a
b
=
a
b
（a≥0，b>0）及利用它们进行计
算和化简．
2．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
一．课堂导入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）
9
16
=________，
9
16
=_________；
答案：4
3
43，； （2）1636
=________，1636=________； 答案：
3232，； （3）416
=________，416=_________； 答案：21
21，；
（4）3681
=________，3681=________． 答案：
3232，； 规律：916______916；1636______1636；416_______416； 3681_______3681． 答案：都是等号；
3．利用计算器计算填空:
（1）34=_________，（2）23=_________，（3）25=______，（4）78
=________． 规律：
34______34；23_______23；25_____25；78_____78。 答案：都是等号；
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．
二．探索新知
（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定： a b
=a b （a ≥0，b>0）， 反过来， a b =a b
（a ≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1． 分析：上面4小题利用a b =a b （a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（1）123=123=4=2 （2）3128÷=313834282
÷=?=?=3×=23 （3）11416÷=111164164
÷=?=4=2 （4）
648=648=8=22 活动：自我检测
练习1 计算:
（1）728÷；
（2）5
125； （3）3183x x ÷；
（4）2
11632n m m ÷. （找四名学生上黑板板演,其余学生在练习本上计算,然后再找学生指出不足.）
例2．化简：
（1）364 （2）22649b a （3）2964x y （4）25169x y
分析：直接利用a b =a b
（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 解：（1）364=33864
= （2）22649b a =2264839b b a a
=
（3）2964x y =293864x x y y
= （4）
25169x y =25513169x x y y = 练习2 化简：
（1）100
36.014409.0?? （2）3312m mn
五、归纳小结
2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简． 本节课要掌握a b =a b （a ≥0，b>0）和a b =a b
（a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业
(4) 31501000m m
.
教学反思
（1）关键要利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法定律，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
（2）在计算和化简中要适时引入最简二次根式的概念，以规范做题。
谈谈你的收获
1．商的算术平方根的性质 (注意公式成立的条件) ．
作业：
计算:
（1）2
18； （2）
102175÷； (3) a
b a 2112532
÷；
人教版初中数学八年级下册第16章 16.2 二次根式的乘除第2课时 优秀教案
16.2 二次根式的乘除 第2课时 教学目标 【知识与技能】 理解a b = b a （a≥0，b＞0）和 b a = a b （a≥0，b＞0），能用它们进行化 简计算，能将二次根式化为最简二次根式. 【过程与方法】 通过具体实例的探究活动，发现二次根式除法的规律，归纳出二次根式除法法则及其逆向等式，能用它们进行化简计算. 【情感态度】 让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，增强合作交流意识和能力. 教学重难点 【教学重点】 a b = b a （a≥0，b＞0）和 b a = a b （a≥0，b＞0）的理解和应用. 【教学难点】 探索二次根式的除法法则. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？
问题2 用你发现的规律填空，并用计算器进行验算： 【教学说明】让学生自主探究，感受二次根式除法运算中所蕴含的规律性特征，获得二次根式相除的感性认识，导入新课. 二、思考探究，获取新知 想一想通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你 能说出二次根式a b 的结果吗？与同伴交流.师生共同回顾思考，总结出二次根式 除法运算法则：a b = b a （a≥0，b＞0）和 b a = a b （a≥0，b＞0） 【教学说明】在师生共同探索出上述二次根式的除法公式后，教师应引导学 生关注其成立的条件，不得出现 4 9 - - = 4 9 - - 的类似错误. 三、典例精析，掌握新知
【教学说明】教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算.教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析，让学生加深对二次根式除法的理解和掌握，并保留每道题的最后结果. 议一议观察上述各题的最后结果，它们有什么特点？在学生相互交流过程中可感受到所有结果中的二次根式有如下两个特征： （1）被开方数中不含分母（或分母中不含二次根式）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把具有上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 小练习： 1.下列二次根式中，是最简二次根式的有_______（填序号）.
二次根式除法.doc
课题： 12.2二次根式乘除(3) 设计人：张超审核人：八年级数学备课组班级：姓名【学习目标】 1、经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则 2、能运用法则a = a （a≥0，b＞0）进行二次根式的除法运算b b 3、理解商的算术平方根的性质a = a （a≥0，b＞0）并能运用于二次根式的化简和b b 计算 【学习重点】二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质【问题导学】 1.填空： （1）9 =________， 9 =_________（2） 16 =________， 16 =________ 16 16 36 36 （3）4 =________， 4 =________ 1616 1.通过观察，二次根式的除法法则是什么？ 2.把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质【展示交流】 例 1、计算： ⑴ 12 ⑵ 56 ⑶ 27 ÷ 3 ⑷ 1 2 ÷ 1 3 7 3 3 跟踪练习： （1）60 ；（ 2）72 ；（ 3）18÷6；（ 4） 2 2 ÷ 1 1 ； 15 8 3 3
例 2：化简： ⑴ 16 ⑵ 1 7 3 ⑷ 4b 2 ⑶ 2 （ a＞ 0， b≥ 0） 25 9 16 9a 跟踪练习： （1） 4 ；（ 2）35 ；（ 3） 3 ；（4） 9a2 b2 （a≥ 0，b≥ 0，c＞0）； 9 9 49 16c2 例 3、计算过程：20 = 5 4 = 5 4 = 4 =2 正确吗？为什么？ 5 5 5 【课堂检测】 补充习题44 页、 45 页 【思考】计算： 3 1 ÷（ 2 2 1 ）×（ 4 1 2 ） 353 5 点拨：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 【课后作业】练习册54页、55页 【学习反思】
22.2二次根式的乘除(第二课时)教案
22．2 二次根式的乘除 第2课时 教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2=_____； （3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____． （1 ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 合探2．化简： （1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值． 分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6
(完整版)16.2二次根式的乘除教案.doc
二次根式的乘除 教案总序号：4时间： 教学内容 a · b ＝ab （a≥0，b≥0），反之 ab = a · b （a≥0，b≥0）及其运用． 教学目标 理解 a · b ＝ab （a≥0，b≥0），ab = a · b （a≥0，b≥0），并利用它们 进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出 a · b ＝ab （a≥0，b≥0）并运用它进行计算；? 利用逆向思维，得出ab = a · b （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键 重点： a · b ＝ab （a≥0，b≥0），ab = a · b （a≥0，b≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出 a · b ＝ab （a≥0，b≥0）． 关键：要讲清 ab （a<0,b<0）= a g b ，如( 2) ( 3) = ( 2) ( 3) 或( 2) ( 3) = 2 3= 2 ×3． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （ 1） 4 ×9 =_______， 4 9 =______； （ 2）16×25 =_______，16 25 =________． （ 3）100×36 =________， 100 36 =_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4 ×9 _____ 4 9 ，16 × 2 5 _____ 1 6 25 ，100 ×36 ________ 100 36 2．利用计算器计算填空 （ 1） 2 ×3 ______ 6 ，（2） 2 × 5 ______ 10 ， （ 3） 5 × 6 ______30 ，（4）4 × 5 ______20 ，
16.2.2二次根式的除法教案
16.2.2二次根式的除法教案【教学目标】 1.知识与技能 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b =a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 2.过程与方法 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。 3.情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。【教学重点】 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b =a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 【教学难点】 发现规律，归纳出二次根式的除法规定。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法。 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式的乘法法则，现在，我们一起来复习一下如何正确运用二次根式的乘法法则进行计算吧。 课件展示题目。 【过渡】现在，请大家快速计算一下吧，看谁能最先得到正确答案。 带领学生复习，进行计算。 二、新课教学 1．二次根式的除法 【过渡】上节课，我们通过实例的探究总结出了二次根式的乘法法则，那么这节课呢，我们采用
同样的方法来总结除法法则。大家根据课本P8的探究内容，来总结一下二次根式的除法法则吧。 课本P6探究内容。 【过渡】从刚刚的结果中，我们大家能用字母表示你所发现的规律吗？ （学生讨论回答） 【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的除法法则： 一般地，对二次根式的除法规定为 【过渡】从我们总结出来的规律，以及二次根式和分母的条件，我们可以知道，在除法中，必须要有的条件。 【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用除法法则计算吧。 课本例4。 【过渡】例4只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。 根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。 课本例5。 【过渡】这些例题中，我们能够发现，在我们所得到的结果中，都需要满足这样的要求。 （1）分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母； （2）最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。 【过渡】那么现在又有一个问题，究竟什么的根式属于最简二次根式呢？我们来看一下这样几个 根式， 3 10 ，35，22，23，这几个根式均是没有办法再进一步化简的计算结果。从这几个式子当 中，结合刚刚的例题，大家能总结出来最简二次根式的定义吗？ 最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 【练习】课件展示练习题，学生快速回答。 【过渡】根据这个最简二次根式，大家来计算一下例6吧。 课本例6。 【过渡】从例6中，我们可以发现，如果在最初的化简之后，得不到最简二次根式，那么我们就需要想办法去满足。这个在做题的过程中，需要大家慢慢体会。
二次根式除法
16.2二次根式的乘除 第2课时二次根式的除法
16.2二次根式的乘除 第2课时 二次根式的除法 学习目标： 1、掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算. 2、会利用二次根式进行化简与计算. 3、理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化为最简二次根式. 重点： 会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行二次根式的除法运算。 难点： 会进行二次根式的除法运算和最简二次根式的运用。 一、复习提问 复习二次根式乘法并计算 在二次根式乘法的基础让提问同学 我们知道，二次根式可以进行乘法运算，那么，二次根式能否进行除法运算,如果能怎样运算呢？ 引出课题 二、讨论新知 知识点一、二次根式除法法则 问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ ____;94)1(=.____94=____;16)2(=.____2516=
_______ ; =______ （1）你发现了什么规律？ （2）你能用字母表示你发现的规律吗？ 二次根式的除法法则 练习巩固： 计算：1、 2、 注意事项 1、被开方数是带分数，先化成假分数再计算 2、被开方数是小数，先化成分数再计算 3、 其中 知识点二、二次根式除法法则进行化简 利用 进行化简 问题2 能否将二次根式364 化简？ 33 364 64=． a a b b ()()()() b a n m b n a m ÷?÷=÷0 ,0,0≠>≥n b a b a b a =( )0,0>≥b a
练习巩固： 化简：1、 2、 知识点三、最简二次根式 计算：1、2、3、 问题观察上面各小题计算的最后结果并思考： （1）你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简的二次根式了吗？（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？ 我们把被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，最后结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的形式. 练习巩固： 1、辨别下列二次根式是否是最简二次根式． （1）；（2）；（3） 22 x y；（4）22 + x y 2、把下列二次根式化成最简二次根式． （1）32；（2）40 ；（3）15.；（4） 3、设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S= ，b= ,求a. 310
《二次根式的除法》教学设计
16.2 二次根式的乘除 第2课时二次根式的除法 教学目标 一、知识与技能 a≥0，b>0)a≥0，b>0)及利用它们进行简单的二次根式的除法运算与化简；理解最简二次根式的概念并运用它来化简。 二、过程与方法 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，类比二次根式的乘法法则归纳出除法法则，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。 三、情感态度与价值观 通过小组合作探究二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，发展学生有条理的思考和语言表达能力，培养学生的类比思想。 教学重难点 1、重点：a≥0，b>0)a≥0，b>0)及最简二次根式进行运算。 2、难点：二次根式的除法法则和最简二次根式的运用。 教学过程 一、复习旧知 请学生回顾二次根式的乘法法则及逆向等式，由此引入二次根式的除法法则。 二、新课教学 探究1二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质 问题：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1_______________；
（2_______________； （3_______________． 学生先自主探究，再小组讨论，计算后可以发现： （1（2（3 教师引导学生得出：一般地，二次根式的除法法则是 a≥0，b>0). 两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数。 让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义。下面我们利用这个法则来计算和化简一些题目。 例4计算：（1（2 解：（1 （2 类比二次根式乘法法则，把上式反过来，就得到 a≥0，b>0). 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 例5化简：（1（2 解：（1 （2
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2）
二次根式乘除练习题
二次根式的乘除法习题课 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 . （6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =? x xy 1312 .
=÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8）32 123= 3、你能用几种方法将式子 m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-?
16.2二次根式的乘除 教案
二次根式的乘除 教案总序号：4 时间： 教学内容 a · b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 教学目标 理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得出ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 重点：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）． 关键：要讲清ab （a<0,b<0）=a b ，如(2)(3)-?-=(2)(3)--?--或(2)(3)-?-=23?=2×3． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1）4×9=_______，49?=______； （2）16×25=_______，1625?=________． （3）100×36=________，10036?=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×36________10036? 2．利用计算器计算填空 （1）2×3______6，（2）2×5______10， （3）5×6______30，（4）4×5______20，
（5）7×10______70． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1．计算 （1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35 （2）13×9=1 93?=3 （3）9×27=292793?=?=93 （4）12×6=1 62?=3 例2 化简 （1）916? （2）1681? （3）81100? （4）229x y （5）54 分析：利用ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）直接化简即可． 解：（1）916?=9×16=3×4=12 （2）1681?=16×81=4×9=36 （3）81100?=81×100=9×10=90 （4）229x y =23×22x y =23×2x ×2y =3xy
二次根式的乘除法
中科教育学科教师辅导讲义 年 级：九 辅导科目：数学 知识点一二次根式的乘法 ★二次根式的乘法法则：i a b = ?.. ab （a _0,b _0） ★二次根式的乘法法则的拓展：、a 「b c h.J abc （a _ 0,b _0,c _0） 例 1 计算：（1）.3 7 （2） . 1 （_? 8） （3） -4 3 2 V 2 （5） ｛扛 2Xe （ 6）4 血占 知识点二 积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用） ★把.a ?. b =『ab （a _0,b _0）反过来，就得到.ab ；a b （a _ 0,b _ 0），也就是说，积的算术平方根等 于各因式算术平方根的积 注意：（1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面； （2）在利用「王一0,b 一0）时，要特别注意满足条件 a —0,b_ 0 例2计算与化简，使被开方数不含完全 平方的因式（或因数） （1） 300 （ 2） 8a 4 （3） -2 3 （- 6） （4） （-36） （-4） （5） a 3b 4 （ 6） 一172-82 知识点三二次根式的除法 ★二次根式的除法法则： 孚=十：（a 王0,b 王0） 学员编号: 学员姓名: 课时数：2 学科教师：郭姗姗
(4)卫聖 <3b 知识点四 商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用） ★商的算术平方根用式子可表示为：V-.:」0』0），也就是说，商的算术平方根，等于两个算术 平方根的商 、、亠 注意： （1） 商的算术平方根的性质的限制条件是 a_0,b ?0,它与积的算术平方根的限制条件类似，但 也有 区别，因为分母不能为0,即除式b 不能为0,所以除式b 必须是正数 （2） a = V （a_0,b 0）中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满 V b vb 足a_0,b 0 ，才能用此性质进行计算 知识点五最简二次根式 ★被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幕的指数都小于 2,像这样的二次根式 称为最简二次根式 注意：最简二次根式要从以下两点来解释 （1） 根号下是整数或整式； （2） 被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就是每个因数或因式的指数都是 1 例5下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A 、存 B 、丫 8a C 、 D 、Jx 3+1 \'3 知识点六化二次根式为最简二次根式 ★化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式 注意：（1） 由于二次根式的被开方数必须是非负数，又因为分母不能是 0,所以公式中分子的被开方数 要大于或者等于0,分母的被开方数要大于0,即公式要满足条件a_0,b 0 (2) 当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则， 把系数和被开方数分别相除 作为积的因式，即 mja 壬(nVb) = m J^(a 兰 0,b a 0) n b 例3计算: (1) .18「2 (3) 2 ”(；8 ) (3) :-9 7 -4 6 (5) 2」(一 例4化简:
《二次根式的乘除法》教案
《二次根式的乘除法》教案 教学目的： 1、使学生掌握二次根式的乘除法法则． 2、会应用二次根式的乘除法法则进行简单的二次根式的乘除法运算． 3、能正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算． 教学重点： 应用二次根式的乘除法法则进行简单的二次根式的乘除法运算． 教学难点： 正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算． 教学过程： 一、复习 复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？ 二、探索新知 1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则．二者的关系是什么？ 答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．即： ()0,0≥≥?=b a b a ab 二次根式的乘法法则是：()0,0≥≥= ?b a ab b a 这两个式子是互逆的关系． 概括：)0,0(≥≥=?b a ab b a ． 得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变． 例1、计算： （1）73?； （2）4831?. 例2、化简下列二次根式： （1）48； （2）325m ； （3）22817-. 例3、计算： （1）615?； （2）355202?-. 2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示． 答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即： b a b a =()0,0>≥b a ．
把式子b a b a =()0,0>≥b a 反过来，得到b a b a =()0,0>≥ b a ，这是二次根式的除法法则.运用这个法则可以进行二次根式的除法运算． 例4、计算： （1）672 ；（2）6 1211÷． 解：（1）672=323232126 7222=?=?==． （2）由学生口述，并说明各步运算依据． 3、什么是最简二次根式. 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是． 例5、把下列根式化为最简二次根式： （1）18； （2） 32； （3）()043＜a b a . 4、分母有理化 把分母中的根号划去，叫做分母有理化. 例6、把下列各式的分母有理化： （1） ；53 （2）；b a a + （3）.1852 三、习题演示 练习1：计算（1）354 -（2）5 31513÷ 2：计算：（1）45 40 （2）345653n m n m ÷ 解：（1）45 40=32298984540=== （2）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m n m n m 535353535322223456345 6====
二次根式除法
《二次根式除法》教学设计 一、教学目标 1.知识技能： （1）掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 （2）能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 2.解决问题： 引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题。 3.情感态度： 通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的。二、重点难点 重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算。 难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用。 三、学情分析 本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向. 四、教学过程设计 1．复习 （1）二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？ 师生活动：学生回答。 【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则． （2）计算：（1）38×（-46）（2）3 12ab ab 6【设计意图】让学生巩固二次根式乘法法则的运用。 2．观察思考，理解法则 （1）完成下列各题。 （1 （2=________
（3（2）比较大小： 问题1：通过上面活动，你发现了什么规律？ 师生活动：学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则： . 问题2：:对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？ 师生活动 学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零。 【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误. 问题3：对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？ 师生活动：学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数。 【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算。 问题4：对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？ 师生活动：学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即 利用该性质可以进行二次根式的化简. 3．例题示范，学会应用 例1 计算： （1）324； （2）18 123 。 例2 化简： （1）1003； （2）27 75。 【设计意图】通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算技能。
新人教版八年级数学下册教案二次根式的除法教案
第2课时 二次根式的除法 1．掌握二次根式的除法法则和商的算 术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点) 一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？ (1) 3649 ＝________； 36 49 ＝________． (2) 916 ＝________； 9 16 ＝________． 3649________3649 ； 916 ________ 916 . 二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算 计算： (1)0.760.19 ；(2)－ 12 3÷554； (3)6a 2 b 2ab ；(4)5÷? ?? ??－5 145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法 则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分． 解：(1) 0.76 0.19 ＝0.76 0.19 ＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷ 5 54＝ －53×54 5＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab ＝6a 2 b 2ab ＝3a ； (4)5÷? ? ? ?? －5 145＝－5÷595 ＝－5×1 5× 59＝－15×53＝－13 . 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简． 【类型二】 二次根式的乘除混合运算 计算： (1)945÷3 212×32 223； (2)a 2 ·ab ·b b a ÷9b 2 a . 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×3 2× 45×25× 83 ＝183； (2)原式＝a 2 ·b · ab ·b a ·a 9b 2＝ a 2 b 3 a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 探究点二：商的算术平方根的性质 【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围 若 a 2－a ＝ a 2－a ，则a 的取值
(完整word版)人教版第十六章二次根式教案
第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2 a 和 2a 所含运算、运算顺序、运算结 果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3. ()2 a 和 2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5 h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 1 1+x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？ 1、若 m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______.
2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对 ()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个 负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2 )4(-π，2 )32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2 a -() 2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思
二次根式的除法教案
22.2 二次根式的除法教案教学目标 1．知识与技能 （1）理解a b = a b （a≥0，b>0），和 a b = a b （a≥0，b>0）； （2）运用a b = a b （a≥0，b>0），和 a b = a b （a≥0，b>0）进行运算． 2．过程与方法 （1）先由具体数据，发现规律，导出a b = a b （a≥0，b>0）并运用它进行计算； （2）再利用逆向思维，得出a b = a b （a≥0，b>0）并运用它进行解题和化简． （3）最后综合运用以上两个规律进行解题．3．情感、态度与价值观 学生通过探究a b = a b （a≥0，b>0））培养学生由特殊到一般的探究精神；让学 生推导a b = a b （a≥0，b>0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能 力，引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．教学重难点 1．重点：理解a b = a b （a≥0，b>0）， a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计 算和化简． 2．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 一．课堂导入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 16 =________， 9 16 =_________；
答案：4 3 43，； （2）1636 =________，1636=________； 答案： 3232，； （3）416 =________，416=_________； 答案：21 21，； （4）3681 =________，3681=________． 答案： 3232，； 规律：916______916；1636______1636；416_______416； 3681_______3681． 答案：都是等号； 3．利用计算器计算填空: （1）34=_________，（2）23=_________，（3）25=______，（4）78 =________． 规律： 34______34；23_______23；25_____25；78_____78。 答案：都是等号； 每组推荐一名学生上台阐述运算结果． 二．探索新知 （老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： a b =a b （a ≥0，b>0）， 反过来， a b =a b （a ≥0，b>0）
二次根式乘除法 (含答案)
一、知识聚焦： 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 5．最简二次根式： 符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” 二、经典例题： 例1．化简 (1)0 x ≥y ,0≥ 例2．计算 (1)15 5?3 2 ? 2 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)= (2)× 例4．化简： (1))0 ,0 (> x)0 x ≥y ≥y >b ,0 (≥ a)0 (> ,0 例5．计算： ÷（4 例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
(1)b a 23 (2) 2 3ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 例7. 把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2 例8. 把下列各式分母有理化 (1) 例9. 比较3223和两个实数的大小 答案： 例 例2. （1（2）303 （3）（4）6 例3. (1)不正确． ×3=6 (2) 例4.（1）8 3 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）y x 135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22 例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是 例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x 例8. (1)21 144- (2) b a b a a ++2 例9. 3223> 三、基础演练： 1.计算①②3 × 2.化简:
二次根式除法优秀教案.doc
课题：二次根式的除法 1、使学生掌握商的算术平方根的性质； 2、使学生会用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式 教案目的的二次根式（也就是分母开方能开尽）； 3、使学生掌握分母有理化知识，并能利用它进行二次根式的化简及近似计 算； 教案难点商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用； 知识重点商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用； 教案过程教案方法和手段 一、知识导向： 从教材的编排看，二次根式的乘除法着重讲乘法， 除法给学生自己去探索，有了乘法的经验，应当不难归 纳除法运算法则。在教案中主要让学生充分地进行讨 论、交流，发表见解，应注重二次根式乘除法公式的对 课程引入 比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及 时解决。 二、新课讲解： 1、知识设疑： 其一、积的算术平方根的性质： ab a ? b (a 0, b 0) 其二、36 6 2 6 而36 6，所以 49 ( ) 7 49 7 7 36 = 36 。 49 49 新课解读 2 、知识形成 商的算术平方根： 概括：商的算术平方根的性质：a a （ a≥ 0， b = b b ＞0）。 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注意： (1)若根式中的被开方数的分子与分母都是两个因数之 积，因此先运用商的算术平方根的性质，再运自主探究，合作交流，当堂训练，让学生感受到成功的喜悦。激发学生的学习兴趣。
例题精讲课堂练习 课堂小结本课作业 用积的算术平方根的性质将分子与分母分别化 简 . (2)若根式中的被开方数的分子是多项式，可先分解 因式，再应用商的算术平方根的性质和积的算术 平方根的性质分别将分子及分母化简。 3、例题讲解： 例 1、化简： （1）1 15 ；（2） 3 ；（3）25 x4 49 100 9y 2 例 2、化简： （ 1）16 25 ；（ 2）0.9 121 64 0.36 100 例 3、式子x 4 x 4 成立的条件是什么 x 5 x 5 例 4、计算： （ 1） 72 ；（ 2）1 1 1 6 2 6 三、巩固训练： Ｐ12 “做一做”、 exc1（ 3、 4）补 充： 1、把下列各式分母有理化： （ 1） 5 ；（2） 3m 。 246m 2 、计算： （1）19 95 ；（2）x 3 y 12 5 小结与作业 四、知识小结： 1、商的算术平方根的性质； 2、会利用商的算术平方根的性质对一些式子进行化简。 五、家庭作业： Ｐ14exc2（ 3）、 3（ 3） 六、每日预题： 1、什么是同类二次根式 2、二次根式的加减法与合并同类项之间有何异同点
16.2.2二次根式的除法教案
二次根式的除法教案 【教学目标】 1.知识与技能 理解= （a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 2.过程与方法 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。 3.情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。【教学重点】 理解= （a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 【教学难点】 发现规律，归纳出二次根式的除法规定。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法。 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式的乘法法则，现在，我们一起来复习一下如何正确运用二次根式的乘法法则进行计算吧。 课件展示题目。 【过渡】现在，请大家快速计算一下吧，看谁能最先得到正确答案。 带领学生复习，进行计算。 二、新课教学 1．二次根式的除法
【过渡】上节课，我们通过实例的探究总结出了二次根式的乘法法则，那么这节课呢，我们采用同样的方法来总结除法法则。大家根据课本P8的探究内容，来总结一下二次根式的除法法则吧。 课本P6探究内容。 【过渡】从刚刚的结果中，我们大家能用字母表示你所发现的规律吗？ （学生讨论回答） 【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的除法法则： 一般地，对二次根式的除法规定为 a b = a b （a≥0，b>0） 【过渡】从我们总结出来的规律，以及二次根式和分母的条件，我们可以知道，在除法中，必须要有的条件。 【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用除法法则计算吧。 课本例4。 【过渡】例4只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。 a b = a b （a≥0，b>0） 根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。 课本例5。 【过渡】这些例题中，我们能够发现，在我们所得到的结果中，都需要满足这样的要求。 （1）分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母； （2）最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。 【过渡】那么现在又有一个问题，究竟什么的根式属于最简二次根式呢？我们来看一下这样几个根式，，3，2，2，这几个根式均是没有办法再进一步化简的计算结果。从这几个式子当中，结合刚刚的例题，大家能总结出来最简二次根式的定义吗？ 最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 【练习】课件展示练习题，学生快速回答。 【过渡】根据这个最简二次根式，大家来计算一下例6吧。