专题5.4 三角函数的图象和性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典
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1
专题5.4 三角函数的图象和性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数1
tan 2
4y x π??=+
???的定义域是（ ）
A ．4,2x
x k k Z π
π??
≠-+∈???
?
∣ B ．2,2x
x k k Z π
π?
?
≠+∈???
?
∣ C ．32,2x x k k Z ππ??
≠+∈?
???
∣ D ．,2x x k k Z ππ??
≠+∈?
???
∣ 【答案】B
【解析】令
1,242x k k Z πππ+≠+∈，则2,2
x k k Z π
π≠+∈，故选：B. 2．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
x π
=
对称的函数是（ ）
A ．2sin 23y x π??
=+
??
?
B ．2sin 26y x π??
=-
??
?
C ．2sin 23x y π??
=+ ???
D ．2sin 23y x π?
?=- ??
?
【答案】B
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2
【解析】先选项C 中函数2sin 23x y π??
=+ ???的周期为
2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3,而函数sin()y A x B ω?=++在对称轴处取最值.故选:B .
3．已知函数()3sin f x x ω=在区间[,]34
ππ
-
上的最小值为3-，则ω的取值范围是（ ）
A ．9][6,)2∞?+∞(-,-
B ．93][,)22
∞?+∞(-,-
C ．2][6,)∞?+∞(-,-
D ．32][,)2
∞?+∞(-,-
【答案】D
【解析】因为,34x ππ??
∈-
????
，函数()3sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为3-，
所以0>ω时，,34x ωπωπω??
∈-
????
，所以32ωππ-≤-，32ω≥， 0ω<时，,43x ωπωπω??∈-?
???
，所以42ωππ≤-，2ω≤-，
所以ω的范围是32][,)2
∞?+∞(-,-． 故选：D ．
4．已知函数()|sin ||cos |f x x x =+，则以下结论错误的是（ ）
A ．()f x 为偶函数
B ．()f x 的最小正周期为
2
π C ．()f x 的最大值为2
D ．()f x 在423,ππ???
???
上单调递增 【答案】C
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3
【解析】由题知，22()sin cos 2|sin cos |1|sin 2|f x x x x x x =++=+
则A 选项()1|sin(2)|1|sin 2|()f x x x f x -=+-=+=，A 选项正确.
B 选项，()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ??
???
?+=+++=+= ? ? ??
????
?，所以()f x 的最小正周期为
2
π
，B 选项正确. C 选项，由①知max ()112f x =+=C 不正确.
D 选项，当3,42x ππ??
∈????
时，()sin cos 24f x x x x π??=-=- ???，由222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
解得3224
4k x k π
π
ππ-
≤≤+
（k Z ∈），令0k =可得344
x ππ-≤≤，所以()f x 在423,ππ??
?
???
上单调递增，所以D 选项正确. 综上所述，不正确的选项为C .故选：C
5．已知函数π()sin()0,0||2f x x ω?ω??
?=+><< ??
?的最小正周期为π，且关于,08π??
???
中心对称，则下列结论正确的是（ ） A ．(1)(0)(2)f f f <<
B ．(0)(2)(1)f f f <<
C ．(2)(0)(1)f f f <<
D ．(2)(1)(0)f f f <<
【答案】C
【解析】根据()f x 的最小正周期为π，故可得2T π
πω
=
=，解得2ω=.
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4
又其关于,08π??
???中心对称，故可得sin 04π???+= ???，又0,2π???∈ ???
， 故可得4
π
?=-
.则()sin 24f x x π?
?
=-
??
?
. 令222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，
解得()3,,88x k k k Z π
πππ??
∈-
+∈???
?
. 故()f x 在3,88ππ??
-????
单调递增.
又()3224
f f π??=- ???
，且30,?2,14
π-都在区间3,88ππ??
-
???
?中， 且3
2014
π-<<，故可得()()()201f f f <<.故选：C . 6．函数()cos tan f x x x =的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
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5
【解析】()sin ,tan 0cos tan sin ,tan 0
x x f x x x x x ≥?==?
-
π??≠+∈????Z ．
当x 在第一象限时，()sin 0f x x =>，当x 在第三象限时，()sin 0f x x =<，当x 在第二象限时，
()sin 0f x x =-<，当x 在第四象限时，()sin 0f x x =->，结合定义域可知选B.
故选：B
7．已知函数()πsin 26f x x ?
?
=+
??
?
在区间[],0a -上单调递增，则实数a 的可能值为（ ） A ．
π8
B ．
π4 C ．
3π8
D ．
π2
【答案】AB
【解析】因为[],0x a ∈-，所以22,666x a π
ππ?
?+
∈-+????
，0a > 所以sin y x =在2,66a ππ?
?
-+
???
?单调递增，所以226
a ππ-≤-+，解得3a π
≤， 所以a 的取值范围是03π?? ???
， 故选：AB.
8．已知函数()sin sin f x x x =-，下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 是奇函数；
B ．函数()f x 是周期函数，且周期为2π；
C ．函数()f x 的最小值为-2；
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6
D ．函数()f x 的图象关于直线,2
x k k Z π
π=+∈对称.
【答案】BCD
【解析】对于A ，因为()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=---=--≠-， 所以()f x 不是奇函数，故选项A 错误；
对于B ，()()()2sin 2sin 2sin sin ()f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，故()f x 是周期函数，2π为()f x 的一个周期，故选项B 正确；
对于C ，()[)[)
()
0,02,2sin sin {
,2sin ,2,22x k k f x x x k Z x x k k πππππππ∈++=-=∈∈++，
故()min 2f x =-，故C 选项正确； 对于D ，因为
()()()2sin 2sin 2f k x k x k x ππππππ+-=+--+- ()()sin sin x x ππ=---()sin sin ,x x k Z =-∈
所以()2()f
k x f x ππ+-=，
所以函数()f x 的图象关于直线,2
x k k Z π
π=+∈对称.
故D 选项正确.故选：BCD.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．已知函数()222a
f x sin x cos x =
+的图象关于直线12
x π=对称，则4f π??
= ???
_____.
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7
【答案】
33
【解析】∵函数()222a
f x sin x cos x =
+的周期为π，它的图象关于直线12
x π=对称， ∴f （0）＝f （
6π）＝131
42a =+，∴a 233
=， ∴f （
4π）323
a ==， 10．函数()3sin(2)3
f x x π
?=-
+，()0,?π∈为偶函数，则?的值为______
【答案】
56
π
【解析】因为()3sin(2)3
f x x π
?=-
+为偶函数，故y 轴为其图象的对称轴，
所以20,3
2
k k Z π
π
?π?-
+=+
∈，故5,6
k k Z π
?π=+
∈， 因为()0,?π∈，故56
π?=
11．函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________
【答案】3[3,]4
--
【解析】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,
设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2
213124
y t t t ??=-+-=--- ???， 当12
t =
时，函数有最大值为3
4-；当1t =-时，函数有最小值为3-.
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8
故函数值域为3[3,]4
--.
12．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ??
-????
上是增函数，则ω的取值范围是________.
【答案】2 30,2
?? ??
?
【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>，所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ，
所以()f x 的最大值为2，因为()f x 在区间,43ππ??
-????
上是增函数，
所以,,4322πωπωππ????-?-????????，所以42
3
2πω
ππωπ
?-≥-????≤??，解得30,2ω??∈ ???. 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．设函数()tan 23π??
=-
??
?x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．
【解析】（1）()tan 23π??=- ???
x f x ，212
T π
π
==.
令
232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23
ππ=+x k ，k Z ∈，
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9
故对称中心为2,03ππ??+ ???
k ()k Z ∈.
（2）令
023x π-=，解得23x π=，令234x ππ
-=，解得76
x π=， 令
234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ
-=，解得53
x π=， 令
232x ππ
-=-，解得3
x π=-， 所以函数()tan 23π??
=-
???x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π??
???
， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3
x π
=-和53
x π
=
. 故函数在一个周期内的函数图象为：
14．已知函数f (x )=sin (2x +
5π6
)．
（1）求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值； （2）求f (x )的单调递减区间．
【解析】（1）令2x +5π6
=2k π+π2
，即x =k π?π
6
(k ∈Z)时，
f(x)取最大值1．
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10
（2）由2kπ+π2≤2x +
5π6
≤2kπ+
3π2
(k ∈Z)
得f(x)的减区间为[kπ?π
6,kπ+π
3]，k ∈Z
15．设函数()sin(2)(0)f x x ?π?=+-<<，()y f x =的图像的一条对称轴是直线8
x π=．
（1）求?；
（2）求函数()y f x =在0,
2π??
????
的值域． 【解析】（1）因为8
x π=
是函数()y f x =的图像的对称轴，所以sin 218π
??
?
?
+=± ??
?
. 所以
4
2
k π
π
?π+=+
，k Z ∈，得4
k π
?π=+
，又0π?-<<，
所以1k =-时，34
π
?=-
. （2）由（1）可得3()sin(2)4f x x π=-
，0,2x π??∈????
， 令t =324x π-
，0,2x π??∈????，则t ∈3,44ππ??
-
???
?， 则sin ,y t =t ∈3,44ππ??
-
????，根据正弦函数的图象得2[]y ∈- 16．已知函数()224f x x π??=- ??
?，x ∈R ．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数()f x 在区间,82ππ??
-
???
?上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.
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【解析】（1）
()224f x x π??=- ???
，所以，该函数的最小正周期为22T π
π==.
解不等式()2224
k x k k Z π
πππ-+≤-
≤∈，得()388
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈. 因此，函数()y f x =最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z π
π
ππ??
-
++∈????
； （2）
,82x ππ??
∈-????，32244x πππ∴-≤-≤.
当204
x π
-
=时，即当8
x π=
时，函数()y f x =取得最大值，即()max 2f x =；
当324
4
x π
π-=
时，即当2x π
=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 3214f x π==-.