《高等数学》第五章 不定积分的习题库(2015年11月)

第五章 不定积分

一、判断题

1.

()'

'

()()f x dx f x dx =??。

（ ） 2. ()()f x dx f x '

??=??

?。

（ ） 3.

()()C f x dx f x '=+?。

（ ） 4. ln()y ax =与ln y x =是同一函数的原函数。 （ ） 5.

2ln 1111

()2x dx d C x x x x ==?+??

（ ）

6.

C =

（ ）

7. 设()sin f x dx x C =+?则

x C =+

（ ） 8.

2

31sin sin 3

x x dx x C =+?

（ ）

二、选择题

1. ()()F x f x '=，C 为常数，下列等式成立的是

（ ）

A.()()F x dx f x C '=+?

B.()()f x dx F x C =+?

C.'

()()f x dx F x C =+?

D.

()()()F x dx F x ''=?

2. F()x 和G()x 是()f x 函数的任意两个原函数，则下式成立的有 （ ）

A.()=CG()F x x

B.()=G()C F x x +

C.()G()C F x x +=

D.()G()C F x x ?=

3. 若曲线()y f x =通过点(1,2)，且在该曲线上任意点(,)x y 处切线的斜率为23x ，则该曲

线方程是

（ ）

A.3()f x x C =+

B.3()1f x x =+

C.3()1f x x =-

D.2()3f x x '= 4. 下列函数中，是同一个函数的原函数的是

（ ）

A.arctan x 和arccot x

B.2sin x 和2cos x

C.()

2

x

x e e

-+和22x x

e e

-+

D.2ln 2

x

和2ln 2x + 5. 若()F x 是()f x 的一个原函数，C 为常数，则下列函数中仍()f x 的是

（ ）

A. ()F Cx

B. ()F x C +

C. ()CF x

D.()F x C + 6. 设'22(sin )cos f x x =，则()f x =

（ ）

A.

2

1sin sin 2x x C -+ B.2

12x x C -

+ C. 24

1sin sin 2

x x C -+

D.2

412

x x C -+

7. 设0a >，函数(),()log x x

a f x a x a e ?==则

（ ）

A. ()f x 的导数等于()x ?

B. ()x ?的导数等于()f x

B.()f x 是()x ?的原函数 D.()x ?是()f x 的不定积分 8.

[]'2

()

1()f x dx f x +?=

（ ）

A.ln 1)2

1

(f x C ++ B.[]2

1ln 1()2f x C ++ C.[]arctan ()f x C +

D.[]1

arctan ()2

f x C + 9. 2

1x dx x -??= ???

?

（ ）

A. 1

2ln x x c x -++

B. 12ln x x c x

--++ C. 1

2ln x c x

--+

D. ln x x c ++ 10. 32232x x

x

dx ?-?=?

（ ）

A.333ln 22x

x c ??

-?+ ???

B.1

3322x x x c -??

-+ ?

??

C.233ln3ln 22x

c ??

-+ ?-??

D.233ln 3ln 22x

x c ??

-+ ?-??

11. 31

1

x x e dx e +=+?

（ ）

A. 212x x

e e x c +++

B. 212x x

e e c ++

C.212

x x

e e x c -++ D.212

x x

e e c -+ 12. 7

71(1)

x dx x x -=+? （ ）

A.7

72

1ln 7(1)x c x ++

B.7

7

1ln

71x c x ++

C.6

62

1ln 6(1)

x c x ++ D.6

6

1ln 61x c x

++ 13. ''

()xf x dx =?

（ ）

A.'()()c xf x f x -+

B.''()()c xf x f x -+

C.'()()c xf x f x ++

D.'

()()xf x f x dx -?

14. sin ln(tan )x x dx ?=

（ ）

A.cos ln(tan )ln tan

2

x

x x c -++ B.cos ln(tan )ln csc cot x x x x c +-+ C.ln(tan )ln tan

x

x c x

++ D.cos ln(tan )ln sin x x x c -++ 15. 2

sin x xdx =?

（ ）

A. 211sin 244x x x c -+

B. 211

cos 248

x x x c -+

C. cos sin x x x c -+

D. 211sin 2cos 2448

x x x x C --+ 16. 2

ln ()x

dx x

=?

（ ）

A. 21(ln 2ln 2)x x x -++

B. 211

ln ln 2x x x c x x

-++

C. 21ln 2ln x x c x --+

D.

21arctan ln(1)c 2

x x

x e e x e -++++ 17. 2arcsin x

dx x =? （ ） A. 1arcsin ln csc cot x x x c x -+-+ B. 1

arcsin ln cot csc x x x c x

---+

C. 1arcsin x c x --+

D. 1arcsin x c x -+ 18. arctan x

x

e dx e

=? （ ）

A. 21arctan ln(1)c 2x x x e e e ---++

B. 21arctan ln(1)c 2

x x x

e e x e --++++

C.arctan (1)c x x x e e e ----++

D. 21ln(1)arctan c 2

x x x

e e e x --+--+

19. 1cos 1cos x

dx x

-=+? （ ） A. +2cot csc x x x c ++ B. 2cot x x c --+

C. 2(csc cot )x x x c -+-+

D. csc cot x x x c -+-+ 20. 31

sin (2csc cot )sin x x x dx x

-+

?= （ ）

A. 2sin cot x x x c -+

B. 2sin cot x x x c --+

C. 2sin cot x x c --+

D. csc cot x x x c -+-+ 21. 1

1sin x

+的全体原函数是 （ ）

A. 1tan sin x c x

-+ B. 2

1tan 2

c x -++

C. 1tan sin x c x -++

D.

1

tan cos x c x

++ 22. 4

4sin cos sin cos x x

dx x x =+? （ ） A. 1arctan(cos 2)c 2x + B. 1

arctan(cos 2)c 2

x -+

C. arctan(cos 2)c x -+

D. 1sin 21ln

c 2sin 21

x x -++ 23. 2x x

e dx =?

（ ）

A.2x x e

B. ()()

2ln 2x

e C e +

C.()()2ln 2x

e e C +

D.22x x x x

e e d -?

三、填空题

1. 若曲线()y f x =上点(,)x y 的切线斜率与3x 成正比并且通过点(1,6)A 和B(2,9)-则该

曲线方程为 。

2. 若曲线()y f x =通过点(1,2)，且曲线上任意一点的处的切线斜率等于该点横坐标的2

倍，则该曲线方程为 。

3. 某一曲线通过2(,3)e ，且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，则该曲线的方程

为 。

4. ()

3

21=x dx +? 。

5.

= 。

6. 221

+dx a x ?= 。

7.

2

()(0)ax b dx a +≠?= 。

8. 2

2x xe dx ?

= 。 9.

23ln x

dx x +?= 。

10. 2

sin cos x xdx ?= 。

11.

=? 。

12. 3

sin =xdx ? 。 13. 34

sin cos =x xdx ? 。

14. 2

cos =2

x

dx ? 。 15.

。 16. 2

2

1+x dx x ?= 。

四、求解题

1.

dx ?

）

2.

2

3.

22cos 2sin cos x

dx x x ?

4.

sec (sec tan )x x x dx -?

5.

4

x e

dx -?

6. 2

sin x x dx ?

（2+1+3）

7. 2

sin

2

x dx ?

（）

8. 4

2

1x dx x

+?

9.

2dx ??

?

10.

2 11.

3)x dx -

12.

2

x

x e dx ?

13.

1cos 2dx

x -?

14.

1cos 2dx x +?

15.

22cos 2cos sin x

dx x x ?

16. 22sin cos dx

x x

? 17.

cos 2cos sin x

dx x x -?

18.

2

19.

(32)x x e dx -?

20.

1)dx ?

21.

22.

2

cot

xdx ?

23.

21

(1x

-?

24. 11

2510

x x x

dx +--? 25.

2

211x dx x -+?

26. 423

331x x dx x

++?

27. 1

23dx x

+? 28.

29. sin(35)x dx +?

30.

x

31.

x ?

32. 2ln x

dx x

+? 33. 1

(2ln )

dx x x +?

34. 2ln x dx x

?

35. sin cos x

e xdx ?

36.

37. 2

1

4dx x -? 38.

?

39. 3

sin xdx ?

40. 4

sec xdx ?

41.

?

42. 2

21x

dx x +?

43. sin x x

e e dx ?

44. sin cos x

e xdx ?

45. cos sin x e xdx ?

46.

47. 222015

20152014

x dx x x +++?

48.

2arcsin x

49.

tan ?

50. 1

()

x x dx e e -+?

51. 2cos ()sin()x x dx ωφωφ++?

52. x xe dx ? 53.

x xe dx

-?

54. cos x xdx ?

55. sin x xdx ?

56. cos 2x xdx

?

57. cos 2x

x dx ?

58. 2ln x xdx ?

59. ln xdx ?

60. 3ln x

dx x

? 61. ln x xdx ?

62. cos x xdx ?

63. cos 2

x

x dx ?

64. sin x e xdx ? 65. 2

sin xdx

?

66. 2

cos x

xdx

?

67. 2sin x xdx

?

68.

2

x e x dx -?

69. 23

56

x dx x x +-+?

70. 3

3

x dx x +?

71. 2

1

(1)dx x x -? 72. 2(12)(1)

dx

x x ++?

73. cos 1sin x dx x +?

74.

75. 31(1)x dx x +-?

76.

77.

78. 2

23

310

x dx x x ++-?

79. (3)(2)(1)

x

dx x x x +++?

80. 4

tan xdx ?

81.

82. 5438

x x dx x x

+--?

83.

1sin

sin(1cosx)

x

dx

x

+

+

?

84.

85.

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

不定积分练习题

4月16日不定积分练习题 基础题 一．填空题 1.不定积分： ?=_____x x dx 2 2.不定积分： dx x ?-2 ) 2(=______ 3.不定积分： dx x x x )1 1(2?- =_______ 4.不定积分：dx x ?-2 ) 2(=__________ 5.不定积分： dx x e x )32(?+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2 ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为 ____________________ 7.已知一个函数)x (F 的导函数为 2 x 11-，且当1x =时函数值为π2 3 ，则此函数为_______________ 8. =+ ?x d ) x 1 x ( ________ 9. 设 1 ()f x x = ，则()f x dx '=? 10.如果x e -是函数 ()f x 的一个原函数，则()f x dx =? 11. 设 21 ()ln(31)6 f x dx x c =-+?,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 . 13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = . 14. (10 3sin )x x x dx +-=? . 15. 222()a x dx +=? . 16. 33 2 1 (1)x x dx x -+- =? . 二．选择题 1、，则设x d x 1 I 4 ?= I =（ ） c x 3 1 )D ( c x 3 1)C ( c x 3 1)B ( c x 4)A (3335++- +- +---

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。

第五章 不定积分习题答案

第五章 不定积分习题答案 练习5.1 1. 是 2. 不是，2 13 x c +为2 x 的全部原函数 3. 22,xdx x c =+?，曲线为2 x c +，c 为常数 4. 2 1(2)22 x dx x x c += ++?，由已知 ，当2x =时 1.4452 c ++= 得1c =-，所以函数为2 1212 y x x =+- 练习5.2 1．3 4 1(1)4 x x x c -=- +?，c 为任意常数 2. 原式=1 1 3 1 3 7 222 2444()()7 x x dx x dx x dx x c === +?? 3. 4. 2 2 2 222 cos 1sin 1cot ( 1)sin sin sin cot x x xdx dx dx dx x x x x x c -= = = -=--+??? ? 练习5.3 1.3332 1 2 22(3)33ln x x x dx d x c = = +?? 2.23 3 33 1 1 1(1)ln(1)1313 x dx d x x c x x = +=++++? ? 3.cos cos sin x x x x x e e dx e de e c ==+?? 4. 3 2 2 sin 1tan tan (sec 1)tan (tan )tan ln cos cos 2 x xdx x x dx xd x dx x x c x = -= - =++???? 5.令 4 4 2 3 2 2 2 1111[(1)]tan 1 1 1 3 x x dx dx x dx x x x c x x x -+= =-+ = -+++++?? ?

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

(完整版)定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册

42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．

43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法

定积分典型例题11254

定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

§_5_定积分习题与答案

第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

定积分典型例题56177

定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

高等数学第五章定积分试题

第五章 定 积 分 §5—1 定积分概念 一、填空题 1． )(x f 在[a,b]上可积的充分条件是 。 2． n n k n k n ∑ =∞ →1 lim 用定积分表示可表示成 。 3． 由定积分的几何意义知?- π π xdx sin = ，?-π π xdx sin = 。 4． 定积分 dx x a a a ? --22的几何意义是 。 二．判断题。 1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。（ ） 三．单项选择题。 1． 定积分? b a dx x f )(表示和式的极限是 。 （A ）、))((1lim a b n k f n a b n k n --∑ =∞ → （B ）、 ))(1 ( 1 lim a b n k f n a b n k n ---∑=∞ → （C ） ∑=∞ →?n k k k n x f 1 )(lim ξ （i ξ为i x ?中任一点） （D ）、 ∑=∞ →?n k k k x f 1 )(l i m ξλ （}{max 1i n i x ?=≤≤λ，i ξ为i x ?中任一点） 2．定积分 ? b a dx x f )(= ∑=∞ →? n k k k x f 1 )( lim ξ λ 表明 （A ）、[b a ,]必须n 等分, k ξ是[x k-1,x k ]的端点。 （B ）、[b a ,]可以任意分, ξ k 必是[x k-1,x k ]的端点。 （C ）、[b a ,]可以任意分, }m ax{1x k n k ?≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取。 （D ）、[b a ,]必须等分, }m ax{1x k n k ?≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取 四．利用定积分定义计算 ? b a xdx )(b a <

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。