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精华:特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

精华:特殊平行四边形知识归纳和题型精讲
精华:特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

八年级平行四边形相关知识归纳

和常见题型精讲

性质和判定总表

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).

矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴;

矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

矩形性质1: 矩形的四个角都是直角.

矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分.

如图,在矩形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O ,由性质2有AO=BO=CO=DO=

2

1

AC=21BD .因此可以得到直

角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 矩形的判定方法.

矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形.

矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形判定方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形.

矩形判定方法4: (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

例1已知:如图 ,矩形 ABCD ,AB 长8 cm ,对角线比AD 边长4 cm .求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长.

例2 已知:如图,矩形ABCD 中,E 是BC 上一点,DF ⊥AE 于F ,若AE=BC . 求证:CE =EF .

例3.如图,已知矩形ABCD 中,E 是AD 上的一点,F 是AB 上的一点,EF ⊥EC ,且EF =EC ,DE =4cm ,矩形ABCD 的周长为32cm ,求AE 的长.

例4、

中,E 为BC 的中点,连接AE 并延长交DC 的延长线于点F .

(1)求证:AB=CF ;

(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时,四边形ABFC 是矩形,并说明理由.

思维训练

例1. 试说明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

分析:两个相同的直角三角形可以拼成一个矩形,故可以利用矩形的特征来加以说明。

解:△ABC 为直角三角形,且∠ABC 为直角,点O 为斜边上的中点。以O 为对称中心,作△ABC 的中心对称图形△CDA ,则所得四边形ABCD ,则ABCD 是平行四边形,而且∠=ABC 90°,所以ABCD 是矩形,而且B 、O 、D 在一条直线上。因为矩形的对角线互相平分。所以

F

E D

C B A

C

BD=2BO。

又因为矩形的对角线相等,所以

AC=BD,

所以AC=2BO。

即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

AOD120°,AB=4cm,求矩形对角线的长。

例2. 如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠=

B C

分析:矩形的对角线相等且互相平分,因此矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形,再由特殊角我们就可以得到更特殊的三角形——等边三角形。

解:因为矩形的对角线相等且互相平分,所以△ABO是等腰三角形。又因为

∠=

AOD120°

AOB60°

所以∠=

所以△ABO是等边三角形

因为AB=4cm

所以AC=BD=2AB=8cm

例3. 如图所示,平行四边形ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H,试说明四边形EFGH是矩形。

A D

B C

DAB ABC180°

答案:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠+∠=

而AF 、BH 分别是∠∠DAB ABC 、的平分线

所以∠=

∠∠=∠11221

2BAD ABC ,, 即()∠+∠=∠+∠=?=12121

2

18090BAD ABC °°

由三角形的内角和定理知∠=∠=39090°,即°HEF 。 同理可得∠=∠=F FGH 9090°,°, 所以四边形EFGH 是矩形。

剖析:题中已知四边形ABCD 是平行四边形,根据平行四边形的特征:两组对边分别平行,进而由平行便可得出相邻的两个角互补,再由角平分线的定义得到△AEB 、△BHC 、△CGD 、△DFA 都是直角三角形,因此四边形EFGH 的四个角都是直角,便可判定它是矩形了。

例4. 如图所示,已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,过顶点C ,作BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E ,交BD 于G ,求证:AC=CE 。

A D

E

分析:本题要证AC=CE ,只须证∠=∠E CAE 。如果过A 作AF 垂直BD 于F ,则有AF//CE ,因而只须证

∠=∠FAE CAE 即可,这可由AE 是角平分线和∠=∠BAF BDA 而得到。 证明:过A 作AF 垂直BD 于F ,因为GE BD ⊥

∴∴∠=∠AF CE

FAE AEC

//

在直角△ABD 中,∠+∠=BAF ABD 90°

∠+∠=∴∠=∠ABD ADB BAF ADB

ABCD 90°

四边形是矩形

∴=∴∠=∠∴∠=∠∠∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠OA OD BDA CAD

BAF DAC AE BAD BAE DAE

BAE BAF DAE DAC

平分

∴∠=∠FAE CAE ∴∠=∠CAE E ∴=CA CE

A D

E

菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

【强调】 菱形(1)是平行四边形;(2)一组邻边相等.

菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等;

性质2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形.

例1 已知:如图,四边形ABCD 是菱形,F 是AB 上一点,DF 交AC 于E .

求证:∠AFD=∠CBE .

例2已知:如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F . 求证:四边形AFCE 是菱形.

例3、如图,在

ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ,求证:

四边形AFCE 是菱形.

例4、

已知如图,菱形ABCD 中,E 是BC 上一点,AE 、BD 交于M , 若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证:AM=BE 。

例5. (10湖南益阳)如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点,过O 点作OE ⊥AB ,垂足为E .

(1)求线段BE 的长.

例6、(2008四川自贡)如图,四边形ABCD 是菱形,DE ⊥AB 交BA 的延长线于

F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系?并证明你的猜想

例7、(2008山东烟台)

如图,菱形ABCD 的边长为2,BD=2,E 、F 分别是边AD ,CD 上的两个动点,且满足AE+CF=2. (1)求证:△BDE ≌△BCF ;

(2)判断△BEF 的形状,并说明理由;

A

B

C

D

E

F

O

1

2

B

M A

D

C

E

(3)设△BEF 的面积为S ,求S 的取值范围.

例5. 已知菱形的周长为20cm ,两个相邻角的度数比为1:2,求较短的对角线长。

分析:菱形是四条边都相等的四边形,因此菱形的每条对角线都将它分成两个等腰形三角形,再由特殊角可得到等边三角形。

解:如图所示,因为菱形的四条边都相等且周长为20cm ,所以菱形的边长

C

AD=CD=5cm

所以△ADC 为等腰三角形

又因为∠+∠=ADC DAB 180°, 且∠∠=ADC DAB ::12, 所以∠=ADC 60°, 因此△ADC 为等边三角形。 所以较短的对角线AC 长度为5cm 。

例6. 如图所示,从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,试说明,连接各垂足的四边形是矩形。

A N D

B M C

答案:在菱形ABCD 中,AD//BC , 因为ON AD ⊥,所以ON BC ⊥

因为OM BC ⊥,所以N 、O 、M 三点在同一条直线上(过一点,有且只有一条直线垂直于已知直线)。 同理,E 、O 、F 三点也在同一条直线上

又因为四边形ABCD 是菱形,所以∠=∠ADB CDB 。 而ON AD OF DC ON OF ⊥⊥=,,所以 同理:OE=OM ,OE=ON 所以ON=OM ,OE=OF ,

所以四边形EMFN 为平行四边形。 所以OE+OF=ON+OM ,即EF=MN 。 所以四边形EMFN 为矩形。

剖析:本例中,已知菱形的两条对角线的交点,实质上隐含的是菱形的四条角平分线的交点,再可根据角平分线的性质可得OM=OE=ON=OF ,从而可得出四边形EMFN 是矩形。

例7. 如图所示,在菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠=∠=B EAF 60°,求证:∠=∠CEF BAE 。

D

分析:观察△ABC 与△ACD ,联想菱形性质和∠=∠=B EAF 60°这个已知条件,寻找它们的关系(△ABC 与△ACD 均为等边三角形),从而得出AE=AF 的结论,得等边△AEF ,从而可确定AE 与AF 、∠BAE 与∠CAF 的大小关系。观察∠∠ABE BAE 、、∠∠∠AEC AEF CEF 、、,联想三角形外角的性质,就能得出∠∠CEF BAE 与的关系。 解:连结AC 。

四边形是菱形ABCD

∴===∠=∠=∴∴=∠=∠=∠=∠=∴∠=∠AB BC CD AD D B ABC CDA AB AC ACD BAC B EAF BAE CAF

,°与为等边三角形

,°又°606060??

∴将△ACF 绕A 点顺时针旋转60°必与△ABE 重合

∴=∠=∴∴∠=∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠AE AF EAF EAF AEF AEC AEF CEF B BAE CEF BAE

又°

为等边三角形°

又 6060?

例11. 如图所示,在矩形ABCD 中,已知AD=8,AB=6,BD=10,P 是AD 边上任一点,PE BD E PF AC F ⊥⊥于,于,那么PE PF +的值为( )?为什么?

A P D

B C

思路点拨:分别求出PE 、PF 困难,△AOD 为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质,则问题迎刃而解。 解:连结OP ,做AG BD G ⊥于

S S S OD AG OA PF OD PE ABCD OA OD AG PF PE S AB AD BD AG AOD AOP DOP

ABD ????=+∴?=?+?∴=∴=+=

?=?12121

2121

2

矩形

∴??=??∴=∴+=12861

2104848

AG AG PF PE ..

A P D

B C

例12. 如图所示,在△ABC 中,∠=BAC 90°,AD BC BE AF ⊥,、分别是∠∠ABC DAC 、的平分线,BE 和AD 交于G ,求证:GF//AC 。

(湖北省荆州市中考题)

思路点拨:从角的角度证明困难,连结EF ,在四边形AGFE 的背景下思考问题,证明四边形AGFE 为平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形。 图解(1): ∠=⊥BAC AD BC D 90°,于

∴∠=∠∠∴∠=∠∠∴∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=BAD C BE ABC ABE CBE

AGE ABG AGE BAD ABE AEB C CBE AGE AEG AG AE

平分是的外角

同理?

AF GAE

AF GE

平分∠∴⊥

在△ABF 中,

BO AF AD BF ⊥⊥,,且交于点G

∴⊥⊥∴GF AB AC AB GF AC

//

解(2):连结EF

同证法(1)可得:AG=AE

AF DAE AF GE GO EO

ABO FBO AOB FOB ABO FBO BO BO

ABO FBO AO FO GO EO

平分垂直平分在与中

°,,与重合又∠∴∴=∠=∠=∠=∠=∴∴==????90

∴四边形AGFE 为平行四边形 ∴GF//AC 。

引伸:证明四边形AGFE为菱形

∵可证出四边形AGFE为菱形AF GE

AGFE

∴平行四边形为菱形

正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:

①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)

②有一个角是直角的平行四边形(矩形)

正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.

正方形定义:有一组邻边相等

......并且有一个角是直角

.......的平行四边形

.....叫做正方形.

正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴;

因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下:边:对边平行,四边相等;

角:四个角都是直角;

对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.

正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.

正方形的判定方法:

?(1)有一个角是直角的菱形是正方形;

?(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.

?注意:1、正方形概念的三个要点:

?(1)是平行四边形;

?(2)有一个角是直角;

?(3)有一组邻边相等.

2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.

例1 已知:如图,正方形ABCD 中,对角线的交点为O ,E 是OB 上的一点,DG ⊥AE 于G ,DG 交OA 于F . 求证:OE=OF .

例2 已知:如图,四边形ABCD 是正方形,分别过点A 、C 两点作l 1∥l 2,作BM ⊥l 1于M ,DN ⊥l 1于N ,直线MB 、DN 分别交l 2于Q 、P 点.

求证:四边形PQMN 是正方形.

例3、(2008海南)如图,P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点(P 与A 、C 不重合),点E 在射线

BC 上,且PE=PB .

(1)求证:① PE=PD ; ② PE ⊥PD ; (2)设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围; ② 当x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值.

例4.(2006年河南省)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=AD=DC ,E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB ,试判断△ADE 的形状,并给出证明.

例5:(2008深圳)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC , DB 平分∠ADC ,过点A 作AE ∥BD ,交CD 的延长线于

A

B C

P

D

E

图 5

E D C B

A

点E ,且∠C =2∠E .

(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形.

(2)若∠BDC =30°,AD =5,求CD 的长.

例8. 如图所示,四边形ABCD 是正方形,延长BC 到E ,使CE=AC

,连接AE ,交CD 于F ,求∠AFC 的度数。

B C E

答案:∠=AFC 1125.°

剖析:本题是运用正方形的性质解题,正方形的性质很多,要根据题目的已知条件和要达到的结论,选择最恰当的方法,使解题思路简捷。在本例中,因为∠AFC 是Rt CFE ?的外角,∠=FCE 90°;因此只需求出∠E 的度数即可。由已知AC CE =,所以∠=∠E CAE ,而CA 是正方形ABCD 的对角线,所以∠=ACD 45°,故

∠=ACE 135°。

所以∠=

-=E 1801352

225

.° 所以∠=+∠=+=AFC E 90902251125°°°°..

例9. 如图所示,若把边长为1的正方形ABCD 的四个角(阴影部分)剪掉,得到四边形A B C D 1111,试问怎么剪才能使剩下的图形仍为正方形?说明理由。

A D 1 D

C 1 A 1

B B 1 C

由果索因是解答本题的重要途径。

假设把如图所示的边长为1的正方形ABCD 的四个角(阴影部分)剪掉,得到的四边形A B C D 1111是正方形,那么,它和原正方形一样是中心对称图形,并且两个正方形有相同的对称中心,由此你能得出图中线段间的关系吗?

想一想,应怎样剪?

解:剪法:当AA BB CC DD 1111===时,四边形A B C D 1111仍为正方形 理由:在正方形ABCD 中

AB BC CD DA A B C D AA BB CC DD A B B C C D D A

====∠=∠=∠=∠====∴===1

9011111111°

∴将?D AA 11绕正方形对角线的交点O 每次旋转90°,连续旋转三次,必分别与???A BB B CC C DD 111111、、重合

∴===∠=∠=∠=∠∠+∠=∴∠+∠=∴∠=D A A B B C C D AD A BA B CB C DC D AA D AD A AA D BA B D A B 11111111

111111111111111111119090902()

()

°

°°

由(1)、(2)可知四边形A B C D 1111为正方形。

例10. 如图所示,在正方形ABCD 中,M 为AB 的中点,MN MD ⊥,BN 平分∠CBE 并交MN 于N 。求证:MD=MN 。

D C

A M

B E

要证MD=MN ,一般证它们所在的两个三角形能够重合,但△MBN 与△ADM 不可能重合,因此必须造一个三角形能与△MBN 重合,取AD 的中点P ,连结PM ,证??MPD MBN 与能重合即可。

证明:如图所示,以M 为中心,将△MBN 顺时针方向旋转90°,得?MB N 11,此时MB AD 1//,MB MB 1=, MN MD ⊥

∴N DM MB N 111在的延长线上,再将向左平移,?到△AB 2N 2位置,再将△AB 2N 2向上平移, 使A 到D 的位置,B 2到P 点。此时N 2的对应点在直线DM 上, 且DP BM AB AD ==

=121

2

∴=∠=∠=∴∠+∠=⊥∴∠+∠=∴∠=∠=

==P AD ABCD AD AB A ABC ADM AMD DM MN

BMN AMD ADM BMN PA AD AB AM 是的中点

在正方形中,,°°

又°909090121

2

∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∴∠=∠APM AMP MPD BN CBE

MBN DPM MBN

45135135°°

又平分°

∴点N 2的对应点在MN 上

∴点N 2的对应点在直线MN 与DM 的交点上 ∴点N 2的对应点是点M ∴==DM AN MN 2

D C

P

21

引伸:若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上的任意一点”。其余条件不变(如图乙所示)。则结论“MD=MN ”还成立吗?如果成立。请证明;如果不成立,请说明理由。

(上海市闵行区中考题)

D

C

A M

B E

例题讲解

例一.分析:(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法.

解:设AD=xcm ,则对角线长(x+4)cm ,在Rt △ABD 中,由勾股定理:222)4(8+=+x x ,解得x=6. 则 AD=6cm . (2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式: AE×DB = AD×AB ,解得 AE = 4.8cm .

例二分析:CE 、EF 分别是BC ,AE 等线段上的一部分,若AF =BE ,则问题解决,而证明AF =BE ,只要证明△ABE ≌△DFA 即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形. 证明:∵ 四边形ABCD 是矩形,

∴ ∠B=90°,且AD ∥BC . ∴ ∠1=∠2. ∵ DF ⊥AE , ∴ ∠AFD=90°. ∴ ∠B=∠AFD .又 AD=AE , ∴ △ABE ≌△DFA (AAS ). ∴ AF=BE . ∴ EF=EC .

此题还可以连接DE ,证明△DEF ≌△DEC ,得到EF =EC .

菱形 例1 证明:∵ 四边形ABCD 是菱形,

∴ CB=CD , CA 平分∠BCD . ∴ ∠BCE=∠DCE .又 CE=CE , ∴ △BCE ≌△COB (SAS ). ∴ ∠CBE=∠CDE .

∵ 在菱形ABCD 中,AB ∥CD , ∴∠AFD=∠FDC ∴ ∠AFD=∠CBE .

例2 证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AE ∥FC . ∴ ∠1=∠2.

又 ∠AOE=∠COF ,AO=CO , ∴ △AOE ≌△COF . ∴ EO=FO .

∴ 四边形AFCE 是平行四边形. 又 EF ⊥AC ,

∴ AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).

例6、解:DE =DF

证明如下: 连结BD

∵四边形ABCD 是菱形

∴∠CBD =∠ABD(菱形的对角线平分一组对角) ∵DF ⊥BC ,DE ⊥AB

∴DF =DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)

例7 、

正方形例1 分析:要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.

证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).

又DG⊥AE,∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.

∴∠EAO=∠FDO.

∴△AEO ≌△DFO.

∴OE=OF.

例2 分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.

证明:∵PN⊥l1,QM⊥l1,

∴PN∥QM,∠PNM=90°.

∵PQ∥NM,

∴四边形PQMN是矩形.

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).

∴∠1+∠2=90°.

又∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3.

∴△ABM≌△DAN.

∴AM=DN.同理AN=DP.

∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN .

∴ 四边形PQMN 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

例3 (1)证法一:

① ∵ 四边形ABCD 是正方形,AC 为对角线, ∴ BC=DC , ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC =PC ,

∴ △PBC ≌△PDC (SAS ).

∴ PB = PD , ∠PBC =∠PDC . 又∵ PB = PE ,

∴ PE =PD .

② (i )当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合)时,

∵ PB =PE ,

∴ ∠PBE =∠PEB , ∴ ∠PEB =∠PDC ,

∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°, ∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°,

∴ PE ⊥PD . )

(ii )当点E 与点C 重合时,点P 恰好在AC 中点处,此时,PE ⊥PD . (iii )当点E 在BC 的延长线上时,如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ,∠1=∠2, ∴ ∠DPE =∠DCE =90°, ∴ PE ⊥PD .

综合(i )(ii )(iii ), PE ⊥PD .

(2)① 过点P 作PF ⊥BC ,垂足为F ,则BF =FE .

∵ AP =x ,AC =2,

∴ PC =2- x ,PF =FC =x x 2

2

1)2(22-=-.

BF =FE =1-FC =1-(x 221-)=x 22.

∴ S △PBE =BF ·PF =x 22

(x 221-)x x 2

2212+-=.

即 x x y 22

212+-= (0<x <2).

② 41

)22(21222122+--=+-=x x x y .

∵ 2

1

-=a <0,

∴ 当2

2=

x 时,y 最大值41

=.

(1)证法二:① 过点P 作GF ∥AB ,分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形,

∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形, △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形. ∴ GD=FC =FP ,GP=AG =BF ,∠PGD =∠PFE =90°. A B C

P

D

E F A

B

C D

P

E

1

2

H

A P D

G

1

2 3

又∵ PB =PE , ∴ BF =FE , ∴ GP =FE ,

∴ △EFP ≌△PGD (SAS ). ∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.

∴ PE ⊥PD . (2)①∵ AP =x ,

∴ BF =PG =

x 22,PF =1-x 2

2.

∴ S △PBE =BF ·PF =x 22

(x 221-)x x 2

2212+-=.

即 x x y 22

212+-= (0<x <2).

② 41

)22(21222122+--=+-=x x x y .

∵ 2

1

-=a <0,

∴ 当2

2=

x 时,y 最大值41

=.

(注:用其它方法求解参照以上标准给分.)

例4 【解析】△ADE 是等边三角形.

理由如下:∵AB=CD ,∴梯形ABCD 为等腰梯形, ∵∠B=∠C .

∴E 为BC 的中点, ∵BE=CE .

在△ABE 和△DCE 中,

∵,,AB DC B C BE CE =??

∠=∠??=?

∴△ABE ≌△DCE . ∵AE=DE .

∴AD ∥BC ,DE ∥AB ,

∴四边形ABCD 为平行四边形. ∴AB=DE ∵AB=AD , ∴AD=AE=DE .

∴△ADE 为等边三角形.

例5:(1)证明:∵AE ∥BD, ∴∠E =∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠ADC =2∠BDC

又∵∠C=2∠E

∴∠ADC=∠BCD

∴梯形ABCD是等腰梯形

(2)解:由第(1)问,得∠C=2∠E=2∠BDC=60°,且BC=AD=5 ∵在△BCD中,∠C=60°, ∠BDC=30°

∴∠DBC=90°

∴DC=2BC=10

平行四边形经典题型

1.平行四边形的性质: ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 2.平行四边形判定: 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 4.逆定理1:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。

第四节:中心对称图形 课堂练习 1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是() A.正三角形 B.平行四边形 C.等腰直角三角形 D.正六边形 2.下列图形中,不是中心对称图形的是() 3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(). 4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形,请你再添加一个同样大小的小正方形,使 所得的新图形分别为下列A,B,C题要求的图形,请画出示意图. (1)是中心对称图形,但不是轴对称图形; (2)是轴对称图形,但不是中心对称图形; (3)既是中心对称图形,又是轴对称图形. 第五节:平行四边形的判定 例题讲解 例1:判断下列说法的正误,如果错误请画出反例图 ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。 ( ) ②一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) ③一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.( ) ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ( ) ⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( ) ⑥相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。 ( ) ⑦对角互补的四边形是平行四边形 ( ) ⑧一条对角线分四边形为两个全等三角形,这个四边形是平行四边形 ( ) ⑨两条对角线相等的四边形是平行四边形 ( )例2:如图所示,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么

平行四边形知识点总结

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一.正确理解定义 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法. (2)表示方法:用“ABCD记作,读作“平行四边形ABCD”.2.熟练掌握性质 平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的. (1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等; (2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等; (3)对角线:平行四边形的对角线互相平分; (4)面积:①S= 底高ah;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形. =? 3.平行四边形的判别方法 ①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、.几种特殊四边形的有关概念 (1)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:①平行四边形;②一个角是直角,两者缺一不可. (2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形,它是研究菱形的基础,它既可以看作是菱形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:①平行四边形;②一组邻边相等,两者缺一不可. (3)正方形:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形. (4)梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形,对于这个定义,要注意把握:①一组对边平行; ②一组对边不平行,同时要注意和平行四边形定义的区别,还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题. (5)等腰梯形:是一种特殊的梯形,它是两腰相等的梯形,特殊梯形还有直角梯形. 2.几种特殊四边形的有关性质 (1)矩形:①边:对边平行且相等;②角:对角相等、邻角互补; ③对角线:对角线互相平分且相等;④对称性:轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条).

最新特殊的平行四边形复习讲义学习资料

沃根金榜一对一学科教师辅导讲义 学生姓名:年级:老师: 上课日期:上课时间:上课次数: ______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ] 课前检查: 作业完成情况:优()良()中()差() 复习预习情况:优()良()中()差()——————————————————————————————————[ 学习内容 ] 特殊的平行四边形讲义 考试考点综述: 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是初二的必考内容之一,主要出现的题型多样,注重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括:矩形、菱形、正方形的性质与判定,以及相关计算,了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平行四边形 是矩形、菱形、正方形的条件。 知识目标 掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,通过定理的证明和应用的教学, 使学生逐步学会分别从题设和结论出发,寻找论证思路分析法和综合法。 重难点: 1.矩形、菱形性质及判定的应用 2. 相关知识的综合应用 教学过程 知识点归纳

对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形 矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示: 一.矩形 矩形定义:有一角是直角的平行四边形叫做矩形. 【强调】矩形(1)是平行四边形;(2)一一个角是直角. 矩形的性质 性质1矩形的四个角都是直角; 性质2 矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。 矩形的判定 矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形. 注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形. 矩形判断方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例1:若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为600,则该矩形的面积为

北师大新版九年级数学特殊平行四边形题型归纳

九上 第一单元: 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )。 A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等 2.在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,若过点A作于E,则AE=()BCAE? A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论不正确的是() A.当AC=BD时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形 D.当AB=BC时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形 4、下列说法中,错误的是() A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C.四个角都相等的四边形是矩形 D.邻边相等的平行四边形是正方形 5.(兰州中考)下列命题中正确的是() A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.一组对边平行的四边形是平行四边形 6.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为() A.45??75.D?60.C?55.B 第题图2 的、如图,四边形7ABCDCD的平行线交BD是菱形,作A过点 1 / 6 延长线于点E, 则下列式子不成立的是( ) A.DA=DE B.BD=CE C.∠EAC=90°D.∠ABC=2∠E 8.

将四根长度相等的细木条,转首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD动这个四边形,使AC=2.当 它形状改90变.当∠B=°时,如图①,测得∠B=60°时,如图②,AC=() 第5题图 DCB2. . . A. 6222)AC=6对角线,若过点A作于E,则AE=(9.在菱形ABCD中,AB=5,BC AE A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 为矩形,四EFGHABCD中,E、F、G、H分别是四条边的中点,要使四边形10.在四边形ABCD 应具备的条件是()边形A.一组对边平行而另一组对边不平行.对角线相等B .对 角线互相平分 D B.C.对角线互相垂直 菱形具有而平行四边形不具有的性质是11. .对角线互相垂直D.对边平行且相等360 A.内角和是°B.对角相等 C CDF,的垂直平分线交对角线,∠BAD=12.如图:菱形ABCD80,ABAC于FE 的度 0为垂足,则∠ 数为C60B 80.A°.°.D 50°.40°2 / 6 第10 题图如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于2015?青岛) O点,E,F分别 13.( 是AB,BC边上的中点,连接EF.若EF=,BD=4,则菱形ABCD的周长为()

平行四边形知识点总结及对应例题.

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的性质: (1):平行四边形对边相等(即:AB=CD,AD=BC); (2):平行四边形对边平行(即:AB//CD,AD//BC); (3):平行四边形对角相等(即:∠A=∠C,∠B=∠D); (4):平行四边形对角线互相平分(即:O A=OC,OB=OD); 判定方法:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法); 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定 1.矩形的定义、性质与判定 (1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)矩形的性质:矩形的对角线_________;矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形,对称轴有_____________条,矩形也是中心对称图形,对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 (3)矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形;有三个角是_____________的四边形是矩形;对角线_____的平行四边形是矩形。 温馨提示:矩形的对角线是矩形比较常用的性质,当对角线的夹角中,有一个角为60度时,则构成一个等边三角形;在判定矩形时,要注意利用定义或对角线来判定时,必须先证明此四边形为平行四边形,然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。 2.菱形的定义、性质与判定 (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)菱形的性质 菱形的_______都相等;菱形的对角线互相_______,并且每一条对角线______一组对角;菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形,对称轴有____条。 (3)菱形的面积

特殊平行四边形知识点总结及题型

新天宇教育授课讲义 授课科目初三上册授课时间(2016.9.11)授课内容特殊的平行四边形 1 基础知识1.基础知识点(概念、公式) 1.菱形 菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (1)是平行四边形;(2)一组邻边相等. 菱形的性质 性质1菱形的四条边都相等; 性质2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角; 菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形. 2.矩形 矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴; 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1: 矩形的四个角都是直角. 矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分. 矩形的判定方法. 矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形. 矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形.

矩形判定方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形判定方法4:对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 2.正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思: ①有一组邻边相等的平行四边形(菱形 ②有一个角是直角的平行四边形(矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形. 正方形定义:有一组邻边相等 .......的平行四边形 .....叫做正方形.正方形是中心对称......并且有一个角是直角 图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴; 因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下: 边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角; 对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质. 正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 正方形的判定方法: (1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)有一组邻边相等的矩形是正方形. 注意:1、正方形概念的三个要点: (1)是平行四边形; (2)有一个角是直角; (3)有一组邻边相等. 2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)精编版

特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示: 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行,四边相等 对边平行,四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形; ·是平行四边形且有一组 邻边相等; ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形,且有一组邻边相等; ·是菱形,且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形

专题一:特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ (4)______________ (5)______________ 2.矩形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 3.菱形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 4.正方形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 5.等腰梯形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 【练一练】 一.选择题 1.能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是(). A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD 2.具备下列条件的四边形中,不能确定是平行四边形的为(). A.相邻的角互补 B.两组对角分别相等 C.一组对边平行,另一组对边相等 D.对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等 B.一组对边平行,一组对角相等 C.一组对边平行,一组邻角互补 D.一组对边相等,一组邻角相等 4.如下左图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是(). A.若AO=OC,则ABCD是平行四边形; B.若AC=BD,则ABCD是平行四边形; C.若AO=BO,CO=DO,则ABCD是平行四边形; D.若AO=OC,BO=OD,则ABCD是平行四边形 5.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是() A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能判断它为矩形的题设是() A.AO=CO,BO=DO B.AO=BO=CO=DO C.AB=BC,AO=CO D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是() A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD 8.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件能判定这个四边形是正方形的是() A、AC=BD,AB∥CD,AB=CD B、AD∥BC,∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D、AC=CO,BO=DO,AB=BC

第十八章平行四边形知识点总结

} 第十八章 平行四边形知识点总结 考点题型分析: 证明线段相等:①证明线段所在的两个三角形全等;②在同一个三角形中,利用等角对等边; 一.平行四边形 1.(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)表示方法: ”表示平行四边形,例如,平行四边形ABCD 记作 ABCD ,读作“平行四边形ABCD ”. 2.性质: (1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;(2)边:两组对边分别平行且相等;(3)对角线:对角线互相平分;(4)面积:①S ==?底高ah ;②对角线将四边形分成4个面积相等的三角形. 3.平行四边形的判别及证明四边形是平行四边形:方法有(5种) ①定义:两组对边分别平行 ②方法1:两组对角分别相等 ③方法2:两组对边分别相等 的四边形是平行四边形 ④方法3:对角线互相平分 ⑤方法4:一组对边平行且相等 二、矩形: (1)定义:有一个角是直角 的平行四边形 是矩形。 注意条件:① 平行四边形; ② 一个角是直角,两者缺一不可. (2)矩形性质:①边:对边平行且相等; ②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线互相平分且相等;④对称性:轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条). (3)矩形的判定及证明四边形是矩形:方法有(3种) ①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形; ③四个角都相等 三、菱形: (1)菱形的定义:有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形。 注意把握:① 平行四边形;② 一组邻边相等,两者缺一不可. (2)菱形:①边:四条边都相等;②角:对角相等、邻角互补; ③对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角; ④对称性:轴对称图形(对角线所在 直线,2条). (2)(2)菱形的判定及证明四边形是菱形:方法有(3种) ①有一组邻边相等的平行四边形; ②对角线互相垂直的平行四边形; ③四条边都相等. 四、正方形: (1)定义:有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形。它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形. (2)正方形性质:①边:四条边都相等; ②角:四角相等;③对角线:对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450; ④对称性:轴对称图形(4条). (3)正方形的判定及证明四边形是正方形:方法有(5种) ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形; ③ 对角线互相垂直 的矩形. ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形; 2.几种特殊四边形的面积问题 ① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ,则S 矩形=ab . ② 设菱形ABCD 的一边长为a ,高为h ,则S 菱形=ah ;若菱形的两对角线的长分别为a,b ,则S 菱形=1 2 ab . ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ,则S 正方形=2 a ;若正方形的对角线的长为a ,则S 正方形=2 12 a . ④ 设梯形ABCD 的上底为a ,下底为 b ,高为h ,则S 梯形= 1 ()2 a b h +. 五、梯形:(选学) (1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。注意把握:①一组对边平行;② 一组对边不平行 (2)等腰梯形:是一种特殊的梯形,它是两腰相等 的梯形,特殊梯形还有直角梯形. (3)等腰梯形性质:①边:上下底平行但不相等,两腰相等; ②角:同一底边上的两个角相等;对角互补 ③对角线:对角线相等;④对称性:轴对称图形(上下底中点所在直线). (4)等腰梯形的判定: ① 同一底两个底角相等的梯形;② 对角线相等的梯形. 4.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 (1)识别矩形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角. ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的对角线相等. ③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角. (2)识别菱形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等. ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直. ③ 说明四边形ABCD 的四条相等. (3)识别正方形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等. ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等. ③ 先说明四边形ABCD 为矩形,再说明矩形的一组邻边相等. ④ 先说明四边形ABCD 为菱形,再说明菱形ABCD 的一个角为直角. (4)识别等腰梯形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为梯形,再说明两腰相等. ② 先说明四边形ABCD 为梯形,再说明同一底上的两个内角相等. ③ 先说明四边形ABCD 为梯形,再说明对角线相等.

平行四边形知识归纳总结及解析

平行四边形知识归纳总结及解析 一、选择题 1.如图,菱形ABCD 中,∠A 是锐角,E 为边AD 上一点,△ABE 沿着BE 折叠,使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上,连接EF ,BF ,给出下列结论: ①若∠A =70°,则∠ABE =35°;②若点F 是CD 的中点,则S △ABE 1 3 =S 菱形ABCD 下列判断正确的是( ) A .①,②都对 B .①,②都错 C .①对,②错 D .①错,②对 2.如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边BC 上一动点(且点P 不与点B 、C 重合),PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ,M 为EF 中点.设AM 的长为x ,则x 的取值范围是( ) A .4≥x >2.4 B .4≥x≥2.4 C .4>x >2.4 D .4>x≥2.4 3.如图,90MON ∠=?边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ,ON 上当B 在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动,等边三角形的形状保持不变,运动过程中,点C 到点O 的最大距离为( ) A .2.4 B 5 C 31 D . 5 2 4.如图,菱形ABCD 中,60BAD ∠=?,AC 与BD 交于O ,E 为CD 延长线上的一点,且CD DE =,连结BE 分别交AC ,AD 于点F ,G ,连结OG 则下列结论:①1 2 OG AB = ;②与EGD ?全等的三角形共有5个;③ABF S S ?>四边形ODGF ;④由点A ,B ,D ,E 构成的四边形是菱形.其中正确的是( )

A.①④B.①③④C.①②③D.②③④ 5.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB; ④PF=PC.其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,点E是正方形ABCD外一点,连接AE、BE和DE,过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=3.下列结论:①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到直线AE 的距离为7;④S正方形ABCD=8+14.则正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O.过点O作EF∥BC交AB于E.交AC于F.过点O作OD⊥AC于D.下列五个结论:其中正确的有() (1) EF=BE+CF;(2)∠BOC=90°+1 2 ∠A;(3)点O到△ABC各边的距离都相等; (4)设OD=m.若AE十AF =n,则S△AEF= mn;(5)S△AEF=S△FOC. A.2个B.3个C.4个D.5个 8.已知,如图,在菱形ABCD中.(1)分别以C,D为圆心,大于1 2 CD长为半径作弧,

平行四边形全章知识点总结

平行四边形 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 平行四边形 (1)平行四边形性质 1)平行四边形的定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2)平行四边形的性质(包括边、角、对角线三方面) : A B D O C 边:①平行四边形的两组对边分别平行; ②平行四边形的两组对边分别相等; 角:③平行四边形的两组对角分别相等; 对角线:④平行四边形的对角线互相平分. 【补充】平行四边形的邻角互补;平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点. (2)平行四边形判定 1)平行四边形的判定(包括边、角、对角线三方面):

A B D O C 边:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 角:④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线:⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2)三角形中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. 4)平行线间的距离: 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离。 两条平行线间的距离处处相等。 Ⅱ. 矩形 (1)矩形的性质 1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2)矩形的性质: ①矩形具有平行四边形的所有性质; ②矩形的四个角都是直角; ③矩形的对角线相等; ④矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,对称中心是对角线的交点. (2)矩形的判定 1)矩形的判定: ①有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②对角线相等的平行四边形是矩形; ③有三个角是直角的四边形是矩形. 2)证明一个四边形是矩形的步骤: 方法一:先证明该四边形是平行四边形,再证一角为直角或对角线相等;

《平行四边形》知识点归纳和题型归类

平行四边形知识点归纳和题型归类【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1.定义:的四边形叫做平行四边形. 2.性质:(1); (2); (3); (4)中心对称图形. 3.面积: 4.判定:边:(1)的四边形是平行四边形; (2)的四边形是平行四边形; (3)的四边形是平行四边形. 角:(4)的四边形是平行四边形; 对角线:的四边形是平行四边形. 要点诠释:平行线的性质: (1)平行线间的距离都; (2)等底等高的平行四边形面积 . 要点二、矩形 1.定义:的平行四边形叫做矩形. 2.性质:(1)边:; (2)角:; (3)对角线:; (4)是中心对称图形,也是轴对称图形. 3.面积: 4.判定:(1) 的平行四边形是矩形. (2)的平行四边形是矩形. (3)的四边形是矩形. 要点诠释:由矩形得直角三角形的性质: (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的; (2)直角三角形中,30度角所对应的直角边等于斜边的. 高 底 平行四边形 ? = S 宽 =长 矩形 ? S

要点三、菱形 1. 定义: 的平行四边形叫做菱形. 2.性质:(1)边: ; (2)角: ; (3)对角线: ; (4)是中心对称图形,也是轴对称图形. 3.面积: 4.判定:(1) 的平行四边形是菱形; (2) 的平行四边形是菱形; (3) 的四边形是菱形. 要点四、正方形 1. 定义:四条边都 ,四个角都是 的 形叫做正方形. 2.性质:((1)边: ; (2)角: ; (3)对角线: ; (4)是中心对称图形,也是轴对称图形. (5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形; 3.面积:=S 正方形边长×边长= 1 2 ×对角线×对角线 4.判定:(1) 的菱形是正方形; (2) 的矩形是正方形; (3) 的菱形是正方形; (4) 的矩形是正方形; (5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; (6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形. 中点四边形(拓展) 原四边形 一般四边形 矩形 菱形 正方形 图示 顺次连接 各边中点 所得的四 边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 2 对角线 对角线高= =底菱形??S M G F E D C B A C D E F M G B A B E A C G M F D A F G M B D E C

特殊的平行四边形单元精编讲义

第十八章 四边形 第一节 平行四边形 一 、课标导航 二 .核心纲要 1. 平行四边形的定义 两组对边分别平行四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”. 2.平行四边形的性质 (1)边:对边平行且相等. (2)角:对角相等,邻角互补. (3)对角线:对角线互相平分. (4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点. (5)面积=底×高. 3.平行四边形的判定 (1)边:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等四边形是平行四边形; ③一组对边平行四边形且相等的四边形是平行四边形; (2)角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (3)对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线; (2)定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. A B C D

5.平行四边形中的面积关系 (1) 1 2ABC ABD DBC ADC ABCD S S S S S ????====? ; (2) 12341 2 ABCD S S S S S ====? ; (3) 1231 2ABCD S S S S =+=? ; (4) 13241 2 ABCD S S S S S +=+=? ; (5)14 23 S S S S =或S 1S 3 = S 2S 4. 6.已知三点确定平行四边形的方法 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,那么,以A 、B 、C 为顶点,可在平面上画出平行四边形的个数是3个,其作法分别为过三角形ABC 的三个顶点作对边的平行线,交点即为平行四边形的第四个顶点,如图所示. 本节重点讲解:一个图形,四个性质,五个判定,五个面积关系. 三、全能突破 A B C D E S S S 4 321S A B C D P S 13S 2 4 S S A B C D A B C D E F

九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结教程文件

第一章特殊平行四边形 一、矩形 1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2、矩形的性质: (1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等。(4)矩形是轴对称、中心对称图形。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD 5、矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3)对角线相等的平行四边形是矩形. 注意:①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件:一是有一个角是直角;二是平行四边形.也就是说有一角是直角的四边形,不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形. ②用定理证明一个四边形是矩形,也必须满足两个条件:一是对角线相等;二是平行四边形.也就说明:两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形. 二、菱形 1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 注意:菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等. 2.菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质. (2)菱形的四条边都相等. (3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. (4)菱形是轴对称、中心对称图形. (5) 菱形面积=底×高=对角线乘积的一半. 3.菱形的判定: (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)四边都相等的四边形是菱形. (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 注意:①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,必须加上平行四边形这个条件它才是菱形. O D C B A

三.正方形 1.正方形的概念:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形,所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们的包含关系如图: 2.正方形的性质 (1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. (2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等. (3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. (4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴. (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形. (6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等. (7)正方形的面积:若正方形的边长为a ,对角线长为b ,则22 2 b a S ==. 3.正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形主要根据定义,途径有两种: ①先证它是矩形,再证它有一组邻边相等. ②先证它是菱形,再证它有一个角为直角. (2)判定正方形的一般顺序:①先证明它是平行四边形,②再证明它是菱形(或矩形);③最后证明它是矩形(或菱形). 四、三角形中位线定理: (1)三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。、 (2)过三角形一边的中点,平行于另一边的直线,必平分第三边。 五、中点四边形 1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形 2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关,若不相等也不垂直是平行四边形;若相等是菱形;若垂直是矩形;若相等且垂直是正方形。

平行四边形知识点分类归纳练习题汇编

初二下数学第18章平行四边形期中复习卷 班级: 姓名: 座号: 平行四边形的性质 1、平行四边形定义: 的四边形是平行四边形. 表示方法:用 “□” 表示平行四边形,例如:平行四边形ABCD 记作 □ ABCD ,读作“平行四边形ABCD ”. 2、平行四边形的性质: (1)角:平行四边形的对角_________; (2)边:平行四边形两组对边 ; (3)对角线:平行四边形的对角线_________; (4)面积:①S ==?底高ah ;②平行四边形的对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形. 练习题: 1 . 已知一个平行四边形两邻边的长分别为6和8,那么它的周长为_____. 2.如图,□ABCD 中,BC=BD ,∠C=70°,则∠ADB 的度数是______,∠A 的度数是_____. 3. 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于点O,且AB=5,△OCD 的周长为23,则平行四边形A BCD 的两条对角线的和是_____. 平行四边形的判定 平行四边形的判定方法:(5种方法) 边: (1) 定义:两组对边 的四边形是平行四边形 (2) 两组对边 的四边形是平行四边形 (3)一组对边 的四边形是平行四边形角: 角: (4) 两组对角 的四边形是平行四边形。 对角线: (5) 对角线 的四边形是平行四边形。 练习: 1. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内,从①AB//CD ;②AB =CD ;③BC//AD ;④BC =AD 四个条件中任意选两个,不能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有( ) A .①② B .②③ C . ①③ D . ③④ 2、如图,在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别是A (-2,5),B (-3,-1),C (1,-1),在第一象限内找一点D ,使四边形ABCD 是平行四边形,那么点D 的坐标是

平行四边形培优讲义新打印版

平边四边形知识点 一.知识框架 二.知识概念 平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) 矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab(a、b为两条对角线) 或底×高 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有四条对称轴) 正方形常用的判定: 有一个内角是直角的菱形是正方形;

对角线互相垂直的矩形;对角线相等的菱形; 梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义:两腰相等的梯形。 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等。?等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 梯形常用辅助线:

特殊平行四边形:证明题

特殊平行四边形之证明题 题型一:菱形的证明 1、如图,在三角形ABC 中,AB > AC ,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,△ADE 沿线段DE 翻 折,使点A 落在边BC 上,记为A '.若四边形ADA E '是菱形,则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2.已知:如图,在ABCD Y 中,AE 是BC 边上的高,将ABE △沿BC 方向平移,使点E 与点C 重合,得GFC △. (1)求证:BE DG =; (2)若60B ∠=°,当AB 与BC 满足什么数量关系时,四边形ABFG 是菱形?证明你的结论. 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠,使点C 与A 重合,点D 落到D ′ 处,折痕为EF . (1)求证:△ABE ≌△AD ′F ; (2)连接CF ,判断四边形AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论. 4.如图,△ABC 中,AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ,交AC 于点O ,CE ∥AB 交MN 于E ,连结AE 、CD . (1)求证:AD =CE ; (2)填空:四边形ADCE 的形状是 . 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置,AB BF =,求证: 四边形BNDM 为菱形. D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E

6.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,连结AD ,在AD 的延长线上取一点E , 连结BE , CE . (1)求证:△ABE ≌△ACE (2)当AE 与AD 满足什么数量关系时,四边形ABEC 是菱形?并说明理由. 7.如图,将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开,再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△. (1)证明A AD CC B '''△≌△; (2)若30ACB ∠=°,试问当点C '在线段AC 上的什么位置时,四边形ABC D ''是菱形,并请 说明理由. 8.在菱形 ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,56AB AC ==,. 点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E . (1)求BDE △的周长; (2)点P 为线段BC 上的点,连接PO 并延长交 AD 于点Q .求证:BP DQ =. 9.如图,在△ABC 和△DCB 中,AB = DC ,AC = DB ,AC 与DB 交于点M . (1)求证:△ABC ≌△DCB ; (2)过点C 作CN ∥BD ,过点B 作BN ∥AC ,CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系,并证明你的结论. C D E M A B F N A Q D E B P C O C B A D A ' C '(第19 D ' A D M

平行四边形知识点归纳和题型归类

平行四边形知识点归纳和题型归类 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1.定义: 的四边形叫做平行四边形. 2.性质:(1) ; (2) ; (3) ; (4)中心对称图形. 3.面积:高底平行四边形?=S 4.判定:边:(1) 的四边形是平行四边形; (2) 的四边形是平行四边形; (3) 的四边形是平行四边形. 角:(4) 的四边形是平行四边形; 对角线: 的四边形是平行四边形. 要点诠释:平行线的性质: (1)平行线间的距离都 ; (2)等底等高的平行四边形面积 . 要点二、矩形 1.定义: 的平行四边形叫做矩形. 2.性质:(1)边: ; (2)角: ; (3)对角线: ; (4)是中心对称图形,也是轴对称图形. 3.面积:宽=长矩形?S 4.判定:(1) 的平行四边形是矩形. (2) 的平行四边形是矩形. (3) 的四边形是矩形. 要点诠释:由矩形得直角三角形的性质: (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ; (2)直角三角形中,30度角所对应的直角边等于斜边的 . 要点三、菱形 1. 定义: 的平行四边形叫做菱形. 2.性质:(1)边: ; (2)角: ; (3)对角线: ; (4)是中心对称图形,也是轴对称图形. 3.面积:2 对角线 对角线高= =底菱形??S 4.判定:(1) 的平行四边形是菱形; (2) 的平行四边形是菱形; (3) 的四边形是菱形. 要点四、正方形 1. 定义:四条边都 ,四个角都是 的 形叫做正方形. 2.性质:((1)边: ; (2)角: ; (3)对角线: ; (4)是中心对称图形,也是轴对称图形. (5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形; 3.面积:=S 正方形边长×边长= 1 2 ×对角线×对角线 4.判定:(1) 的菱形是正方形; (2) 的矩形是正方形; (3) 的菱形是正方形; (4) 的矩形是正方形; (5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; (6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形.

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