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【优化指导】2016-2017学年高中数学第四章圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系练习新人教A版必修2

4.2.1 直线与圆的位置关系

1.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为()

A.0或2

B.0或4

C.2

D.4

解析:(法一)圆x2+y2=m的圆心坐标为(0,0),半径长r=(m>0),由题意得,即m2=2m, 又m>0,所以m=2.

(法二)由消去y并整理,

得2x2+2mx+m2-m=0.

因为直线与圆相切,所以上述方程有唯一实数解,

因此Δ=(2m)2-8(m2-m)=0,即m2-2m=0,

又m>0,所以m=2.

答案:C

2.过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()

A.2

B.4

C.2

D.5

解析:当圆心和点(1,1)的连线与AB垂直时,弦心距最大,|AB|最小.易知弦心距的最大值为, 故|AB|的最小值为2=4.

答案:B

3.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,a等于()

A.B.2-C.-1 D.+1

解析:圆心C(a,2)到直线l的距离d=,所以=4,

解得a=-1-(舍去)或a=-1.

答案:C

4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()

A.(x+2)2+(y-2)2=1

B.(x-2)2+(y+2)2=1

C.(x+2)2+(y+2)2=1

D.(x-2)2+(y-2)2=1

解析:设点(x,y)与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,则解得从而可知圆C2的圆心坐标为(2,-2),又知其半径为1,故所求圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.

答案:B

5.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,则()

A.m∥l,且l与圆相交

B.m⊥l,且l与圆相切

C.m∥l,且l与圆相离

D.m⊥l,且l与圆相离

解析:∵点P(a,b)在圆内,∴a2+b2

又k OP=,∴k m=-.

直线l的方程为ax+by=r2,∴k l=-,

∴l∥m.设圆心到直线l的距离为d,

则d==r,故直线l与圆相离.

答案:C

6.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为. 解析:设圆心为(a,0)(a>0),则=2,∴a=2,故所求方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.

答案:x2+y2-4x=0

7.过点M(3,2)作圆O:x2+y2+4x-2y+4=0的切线方程是.

解析:由圆的方程可知,圆心为(-2,1),半径为1,显然所求直线斜率存在,设直线的方程为y-2=k(x-3),

即kx-y-3k+2=0,由=1,

解得k=0或k=,

所以所求直线的方程为y=2和5x-12y+9=0.

答案:y=2或5x-12y+9=0

8x,y满足方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值

为.

解析:方程x2+y2+4x-2y-4=0可化为(x+2)2+(y-1)2=9,它表示圆心为A(-2,1),半径为3的圆,如图所示.x2+y2=()2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然,连接OA并延长交圆于点B,则|OB|2即x2+y2的最大值,为||OA|+3|2=(+3)2=14+6.

答案:14+6

9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.

(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求l的倾斜角.

(1)证明:由已知直线l:y-1=m(x-1),知直线l恒过定点P(1,1).∵12=1<5,∴P点在圆C内,

∴直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立方程组消去y,得

(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0,设x1,x2是一元二次方程的两个实根,∵|AB|=|x1-x2|,

∴,

∴m2=3,m=±,∴l的倾斜角为.

10O:x2+y2=1和定点A(2,1),由☉O外一点P(a,b)向☉O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.

(1)求实数a,b间满足的等量关系;

(2)求线段PQ的最小值.

解:(1)连接OP,

∵Q为切点,∴PQ⊥OQ.

由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.又|PQ|=|PA|,

∴|PQ|2=|PA|2,

即a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,

整理,得2a+b-3=0.

(2)由2a+b-3=0,得b=-2a+3,∴|PQ|=,∴当a=时,|PQ|min=,

即线段PQ的最小值为.

B组

1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是()

A.在圆上

B.在圆外

C.在圆内

D.以上都有可能

解析:由题意,得<1,∴>1,

即a2+b2>1.∴点P(a,b)在圆外.

答案:B

2.已知圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,则k的取值范围是()

C.(-∞,-2)∪∪(2,+∞)

D.∪(2,+∞)

解析:圆x2+y2-4x-2y-15=0的圆心为(2,1),半径为2,∵圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,

∴<3,

∴k的取值范围是(-∞,-2)∪∪(2,+∞).

答案:C

3.(2016吉林长春外国语学校期中)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()

A.0

B.-

C.0

D.0

解析:圆x2+4x+y2-5=0化为(x+2)2+y2=9,

圆与y轴正半轴交于(0,),

因为过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,

如图,

∴k MA

答案:A

4.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程

为

解析:令y=0,得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0).因为直线x+y+3=0与圆C相切, 所以圆心到直线x+y+3=0的距离等于半径,

即r=,

所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.

答案:(x+1)2+y2=2

5.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0,则ac的值为.

解析:已知直线斜率k1=-2,直线ax+2y+c=0的斜率为-.∵两直线垂直,∴(-2)·=-1,得a=-1.∵圆心到切线的距离为,即,

∴c=±5,故ac=±5.

答案:±5

6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点P(2,-1),过P点作圆C的切线PA,PB,A,B为切点.

(1)求PA,PB所在直线的方程;

(2)求切线长|PA|;

(3)求直线AB的方程.

解:(1)易知切线斜率存在,设切线的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,又C(1,2),半径r=, 由点到直线的距离公式,得,

解之,得k=7或k=-1.故所求切线PA,PB的方程分别是x+y-1=0和7x-y-15=0.

(2)连接AC,PC,则AC⊥AP.

在Rt△APC中,|AC|=,

|PC|=,

故|PA|==2.

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则

(x1-1)2+(y1-2)2=2,(x2-1)2+(y2-2)2=2.

∵CA⊥AP,∴k CA·k AP=-1,即=-1,

∴(y1-2)(y1+1)=-(x1-1)(x1-2),

变形,得(y1-2)(y1-2+3)=-(x1-1)(x1-1-1),

(y1-2)2+3(y1-2)=-(x1-1)2+(x1-1),

(x1-1)2+(y1-2)2+3(y1-2)-(x1-1)=0.

∵(x1-1)2+(y1-2)2=2,

∴上式可化简为x1-3y1+3=0.

同理可得x2-3y2+3=0.

∵A,B两点的坐标都满足方程x-3y+3=0,

∴直线AB的方程是x-3y+3=0.

75的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.

(1)求圆的方程;

(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;

(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4)?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,所以=5, 即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.

故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.

(2)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5,

代入圆的方程,消去y,

整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.

由于直线ax-y+5=0与圆交于A,B两点,

故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0.

由于a>0,解得a>,

所以实数a的取值范围是.

(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为-,

l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.

由于,故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．典型例题三例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C

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